第07讲：第四章 三角函数 章节总结 精讲（原卷版）

第07讲：第四章三角函数章节总结章节总结目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：典型例题讲解 1题型一：任意角 1题型二：弧度制 3题型三：任意角的三角函数 5题型四：同角三角函数的基本关系 5题型五：诱导公式的计算 7题型六：三角函数的奇偶性 9题型七：三角函数的周期性 9题型八：三角函数的对称性 10题型九：三角函数的单调性 11题型十：三角函数中与有关的计算 12题型十一：五点法作图 13题型十二：根据图象求三角函数解析式 15题型十三：函数图象的变换 17题型十四：和差倍角计算 18题型十五：拼凑角问题 19题型十六：三角函数综合（单调性及根据单调性求参数） 20题型十七：三角函数综合（值域，最值） 22题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题） 23题型十九：三角函数综合（零点问题） 25题型二十：三角函数模型 27第二部分：新定义题 30第一部分：典型例题讲解题型一：任意角1．（多选）（22-23高一上·湖北武汉·期末）下列说法正确的是（

）A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于C．经过小时，时针转了D．若角和角的终边关于对称，则有2．（多选）（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（

）A．经过1后，扇形AOB的面积为B．经过2后，劣弧的长为C．经过6后，质点B的坐标为D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇3．（2023·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为.4．（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是.题型二：弧度制1．（多选）（2023高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为＋3B．经过s后，扇形AOB的弧长为C．经过s后，扇形AOB的面积为D．经过s后，A，B在单位圆上第一次相遇2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是.3．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．

(1)用与表示扇形的面积；(2)用与表示扇形的面积．4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，．(1)若，求矩形的面积；(2)用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值．题型三：任意角的三角函数1．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为.4．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知角的终边经过点，则．5．（23-24高一下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.(1)求、、的值；(2)设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.题型四：同角三角函数的基本关系1．（2024·山东泰安·一模）若，则（

）A． B． C．2 D．2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则.3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；（2）已知，求的值.4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知是的内角，且.(1)求的值；(2)求的值.5．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）（1）已知、都是锐角，若，，求的值；（2）已知，，求的值．6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（2）化简：．题型五：诱导公式的计算1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）解答下列问题：(1)计算的值；(2)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值．3．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）（1）已知，求的值．（2）已知是关于的方程的两个实根，求的值．4．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）已知(1)求(2)化简并求值：5．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．(1)求，的值；(2)求的值．题型六：三角函数的奇偶性1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）将函数的图像整体向右平移个单位长度后，得到的函数图像对应一个偶函数，则．4．（2022高三·全国·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若具有奇偶性，则的最小值为．5．（2023高一下·海南·竞赛），且则.题型七：三角函数的周期性1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，且函数在上单调递增，则函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知下列函数中，最小正周期为的是（

）A． B．C． D．4．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期末）在下列函数中，最小正周期为的偶函数为（）A． B．C． D．5．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知函数，那么函数最小正周期为；对称轴方程为.题型八：三角函数的对称性1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，在上单调递减，为的一个对称轴，为奇函数，则（

）A． B． C． D．12．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．3．（22-23高一下·湖北荆州·期中）已知函数的图象关于点对称，则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，且满足，，则．5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数的对称中心是，则．题型九：三角函数的单调性1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（

）A． B． C． D．2．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是．3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数．(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)求函数在上的单调递增区间．4．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为3．(1)求常数m的值；(2)求函数单调递减区间．5．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数．(1)求的值；(2)求函数的单调递减区间．题型十：三角函数中与有关的计算1．（2024·全国·模拟预测）已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州贵阳·一模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．15．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数，，若将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间内没有极大值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十一：五点法作图1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数.(1)填写下表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；0200(2)解不等式.2．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知函数.

(1)求的最小正周期；(2)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图.3．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.(1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合；(2)用“五点法”画出在上的图象.题型十二：根据图象求三角函数解析式1．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（

）

A． B．C． D．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（

）A． B．C． D．3．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：①

②函数为偶函数③

④在上单调递增所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③④ C．③④ D．①④4．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（

）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．题型十三：函数图象的变换1．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2020高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．4．（多选）（2023·安徽安庆·三模）函数（其中）的图像如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．函数的最小正周期是B．C．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度D．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度5．（多选）（2023·河北·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．6．（多选）（22-23高一下·四川达州·阶段练习）下列能产生的图象的变换是（

）A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位；D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位．题型十四：和差倍角计算1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）式子（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（

）A． B． C． D．3．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（

）A． B． C． D．4．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）下列式子化简正确的是（

）A． B．C． D．5．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).题型十五：拼凑角问题1．（2024高三·全国·专题练习）已知tanα＝，tanβ＝－，则tan(2α＋β)的值为（

）A．－ B．－C．1 D．2．（23-24高三下·陕西渭南·开学考试）已知角满足，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知，则．5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，则.题型十六：三角函数综合（单调性及根据单调性求参数）1．（23-24高三上·北京朝阳·期末）已知函数的图象过原点.(1)求的值及的最小正周期；(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.2．（22-23高一上·广西百色·期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)若在上单调递增，求的取值范围.3．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值及相应的的取值(3)若函数在上是增函数，求的最小值.4．（22-23高一下·北京·期中）已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知.条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π.(1)求的值；(2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值5．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知函数（），满足函数是奇函数．(1)求函数，的值域；(2)函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围．（19-20高一·全国·课时练习）是否存在实数a，且，使得函数在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由.题型十七：三角函数综合（值域，最值）1．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数.(1)求函数在的值域；(2)将函数的图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有最值，求的最大值.2．（23-24高一上·浙江·期末）设函数(1)求函数的对称中心；(2)若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值．3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围.4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，且．(1)求的定义域与最小正周期；(2)当时，求的值域题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）函数（其中）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.

(1)当时，求函数的解析式；(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.2．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）设函数．(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．3．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数（，且）为偶函数．(1)求的值；(2)若，使成立，求实数的取值范围．4．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）已知向量，，设函数．(1)求的单调增区间；(2)若对任意，恒成立，求m的取值范围．5．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；(3)在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．题型十九：三角函数综合（零点问题）1．（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数（，），函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．(1)求，的值；(2)求函数在上的单调减区间；(3)若方程在有两个不同的根，求m的取值范围．2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中.(1)求在上的解；(2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围.3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，函数，，.(1)当时，求的值；(2)若，求的最小值；(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.4．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数．(1)求函数在上的单调递减区间；(2)解关于x的不等式；(3)若在区间上恰有两个零点，求的值．5．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像(1)求的最小正周期及单调增区间(2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围(3)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值题型二十：三角函数模型1．（23-24高一下·全国·课后作业）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图．设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离，逆时针匀速旋转一圈的时间是，水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）．(1)求h与旋转时间t（单位：s）的函数解析式，并画出这个函数的图象；(2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及5min时点P距离地面的高度；(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？3．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.(1)求关于的函数解析式；(2)求的取值范围4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.5．（23-24高一上·广西柳州·期末）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系.(1)求的表达式；(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.6．（23-24高一上·浙江温州·期末）下表是地一天从时的

部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数来近似描述温度与时刻的关系．时刻/h26101418温度/℃2010203020(1)写出函数的解析式：(2)