2024-2025学年重庆市高三年级上册第一次联合考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年重庆市高三上学期第一次联合考试数学检测试题

注意事项：

1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合。=2血，则下面结论中正确的是（）

A.B.

C.｛0｝《'D.。任力

【正确答案】D

【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据。=2夜为无

理数可得正确的选项.

【详解】因为。表示元素，｛“｝表示集合，故B、C错误.

因为2正不是自然数，所以且｛0｝之'不成立，故A也错误，D正确，

故选：D.

本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或

不包含，

2.记S"为数列｛4｝的前"项和，则“任意正整数〃，均有%>°”是“｛*｝是递增数列”的（

）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据4与S"的关系，利用作差法，可判断充分性，取特殊例子，可判断必要性，

即得答案.

【详解】当％>°时，则S"—S"T=%〉0(〃之2,〃eN),

...S〃>S-i,即数列｛s〃｝是递增数列，

所以“对任意正整数力均有是"｛，"｝为递增数列”的充分条件；

取数列&｝为TUS4,…，显然数列｛'｝是递增数列，但是死不一定大于零，

所以“对任意正整数"，均有%〉°”不是“｛邑｝为递增数列”的必要条件，

因此“对任意正整数"，均有例>°”是“｛，"｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知向量°'=(，),(，),(，),若点A,B,C能构成

三角形，则实数机不可以是()

1

A.-B—C.1D.-1

【正确答案】C

【分析】求益与NC,使之共线并求出机的值，即可得解.

【详解】因为T)-。，-3)=(1,2),

AC=OC-OA=(m+l,m-2)-(l,-3)=(m,m+l)

假设48，C三点共线，则+2机=°,即机=1.

所以只要加N1,则4民°三点即可构成三角形.

故选：C

4.己知'3,则<)VJ的值是

121_2

A.3B.3c.3D.3

【正确答案】D

【分析】

将代数式中的角用75°+a表示，利用诱导公式即可求出所求代数式的值.

[详解]sinQ_15°)+cos(105°_a)=sin[(a+75°)—90°]+cos[180°_(a+75°]

=-2cosQ+75。)=一2xg=—g

故选：D.

本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要将角利用已知角加以表示，考查计算能力，

属于基础题.

5.已知函数,°)一1nx1在点(卜1)处的切线与曲线""'("I)*—?只有-个公共

点，则实数a的取值范围为()

A.B.{。19}c.{T-外D.

{0,-1,-9}

【正确答案】B

【分析】求出切线方程，再对。分。=°和讨论即可.

/((x)=~+~?/⑴―2

[详解]由万必得

所以切线方程是N=2(X—1)—1=2X—3,

①若a=°,则曲线为V=一x-2,显然切线与该曲线只有一个公共点，

②若a70,贝ij2x-3=ax"+(a-l)x—2,

即af+(a-3)x+1—0

由△=(□—3)2-4。=°,即/_1()4+9=0,

得。=1或a=9,

综上:。=°或或。=9.

故选：B.

6.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且

每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

G；CC43

A黑盘盘34

B.团D.

叱CC43

【正确答案】A

【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题

只需每个课题依次选三个人即可，共有《中选法，最后选一名组长各有3种，

故不同的分配方案为：°；2玛戏3,

故选A.

7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%〜100%,当

血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:

S（7）=S°eK’描述血氧饱和度S«）随给氧时间/（单位：时）的变化规律，其中风为初始血

氧饱和度，K为参数.已知*=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度

达到90%,则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）

（精确到0.1,参考数据：ln2y0.691n37110）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

【正确答案】B

【分析】依据题给条件列出关于时间/的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要》一1小时，

由题意可得60eK=80,60e&=90,两边同时取自然对数并整理，

A：=ln—=ln-=ln4-ln3=21n2-ln3&=ln—=ln-=ln3-ln2

得603602,

：ln3-ln2：1.10-0.69;小

则211127n32x0.69-1.10,则给氧时间至少还需要。.5小时

故选：B

8.若V4SC的内角满足sin5+sinC=2sinN,则（）

兀271

的最大值为H

A.AB.A的最大值为3

兀71

C.A的最小值为3D.A的最小值为6

【正确答案】A

【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

【详解】由题意结合正弦定理有：2a=b+c,结合余弦定理可得:

〃+02_

b2+c2-a2

cosA=

2bc2bc

°时等号成立,

1

所以，COS/的最小值是2,

兀

又余弦函数＞=cosx在（0,兀）上单调递减得，A的最大值为3.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知I的展开式中，二项式系数之和为64,下列说法正确的是（）

A.2,",10成等差数列

B,各项系数之和为64

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项

D.展开式中第5项为常数项

【正确答案】ABD

【分析】先根据二项式系数之和求出"的值，再令x=l可求系数和，根据展开式的总项数可

得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.

【详解】由।的二项式系数之和为2"=64,得〃=6,得2,6,10成等差数列，

A正确；

—与=26=64

令x=l,IVxJ,则I小）的各项系数之和为64,B正确；

KN

1的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；

5x--C：（5x）2]—与=15x25x81

I的展开式中的第5项为I为常数项，D正确.

故选:ABD

10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为6°kg,方差为200,乙队体重的

平均数为7°kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4,则下列说法正确的

是（）

A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68kg

B.甲、乙两队全部队员的平均体重是65kg

C.甲、乙两队全部队员的方差是296

D.甲、乙两队全部队员的方差是306

【正确答案】AC

【分析】依题意利用各样本平均数和方差与总体平均数和方差的关系式，代入公式计算即可

求得结果.

£4

【详解】根据题意可知，甲、乙两队的队员在所有队员中所占权重分别为丁》；

又甲队体重的平均数为60kg,乙队体重的平均数为70kg,

14

-x60+-x70=68.

所以甲、乙两队全部队员的平均体重是55kg,即可得A正确，B错误；

s2=1200+(60—68月+m300+(70—68)2]=296

乙两队全部队员的方差是，可知C

正确，D错误.

故选：AC

r,、sm/rx

/（x）=------r

11.设函数％―x+1,则（）

4

A./（X）的最大值为3B」/（小5卜|

C.曲线了=/（"）存在对称轴D.曲线，=/（"）存在对称中心

【正确答案】ABC

、sin7ix

/（x）=------7

【分析】函数X-X+1，

对于A：分别求出分子分母的范围，即可求出了（“）的最大值；

g=|西0|x——（5

X|7TX（_j_Y3

对于B：借助于V2）4,判断出/（X）怕5忖；

对于C：分析出y=sinm和＞=/—x+1的对称轴即可

对于D：利用对称中心的定义进行验证.

、sinrex

/(x)=-27

作出X—X+1的图像，如图示:

“工八八二sin»xe八目》一入+1

对于A：•.•分子L'」，分母44

，/、sinjtx14

/(x)=f---------<—=-

x2-x+l33

4,故A正确;

_J_

5是J=/（x）的对称轴，故c正确;

对于D・・./（"-x）+/（a+x）.

<1不可能为常数，故D错误.

故选：ABC

（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）对于非基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，利用定义法进行分析.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复数z=©+1）°—4）,则复数z的实部与虚部之和是.

【正确答案】-4

【分析】先化简求得z再计算实部和虚部的和即可.

【详解】2=（3+i）0-4i）=3-12i+i+4=7-Ui,故实部和虚部之和为7-11=-4.

故-4

13.若函数/（x）-2x一山》在其定义域的_个区间（2左-1,24+1）内不单调，则实数左的取

值范围是.

【正确答案】弓

【分析】只需函数/（X）的极值点在区间Q后一1，2左+1）内，再利用（2左一1,2左+1）为定义域

的真子集即可求出实数上的取值范围.

【详解】解：函数/（x）=2》2-Inx的定义域是（0,+oo）,

k>-

所以2kT20,即2.

/（x）=4x--

因为x,

所以/,a）在（°，+00）上单调递增，

Y——1

由/'（X）=o,可得2

若函数/（x）=2x?-Inx在区间（2左-1,2左+1）内不单调，

113

2k-l<-<2k+\--<k<-

则2,解之可得44,

k>--<k<-

又因为2,所以24.

故答案为」57）

14.已知平面向量℃满足Q=|。8|=4,〈0408〉6,则

ULIUULIULIUULU

O^OB=,若（℃-。壮（℃-08）=3,则I否的最大值为.

【正确答案】①.T24+V13

【分析】空1,利用向量的数量积的定义求解即可；空2,先建立平面直角坐标系，再设

c（x/）,则点。在圆一+3—1）2=16上运动,结合三角函数范围得出I"区4+屈,

即可求解.

【详解】空1,因为山川=2百，Q司=4,〈°"3〉一

OAOB=2A/3X4XCOS—=-12

所以6.

B

空2,以。为坐标原点，04所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

cosOA,OB=--sin04,05=-

不妨设C。/),由题知2,则2

故可设砺=(一26,2),厉=(26,0),设C(xj),

UUULMUUUUXIJ—L

则(0C-CM).(<9C-OB)=(x-2V3,y)g+2V3,J-2)=x2+/-2j-12=3

x=4cos0

即点C在圆/+3—1)2=16上运动，令［y-l=4sin£,

故IAC|=7(4cos3-273)2+(4sin3+1)2=也9+8sin"16百cos©

=j29+8V^sin(M+0)<也9+8巫=4+713

所以।就饱最大值为4+JF.

故答案为.4+小

关键点点睛：关键在于建立坐标系，求得点c(x/)的轨迹方程，进而三角代换利用辅助角

公式求得最大值.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知各项均为正数的等差数列｛""｝的前三项和为12,等比数列也｝的前三项和为改，

日4]=4〃2=“2

_tL，.

(1)求｛%｝和｛4｝的通项公式；

an,n=2k-\

cn—<I——

⑵设[Jb“,〃=2k,其中左eN*,求数列匕｝的前20项和.

册=2〃b=2"

【正确答案】(1)n

(2)2246

【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求

解；

（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解.

【小问1详解】

解：设等差数列｛“〃｝的首项为q、公差为d,

等差数列3"｝的首项为4、公比为”

3%+3d—12

a1+d=biq

<4（l+q+/）=7/?i

q〉0

得°

由题意,

解得4=2,d=2,4=2,q=2

所以a〃=2〃，bn=T；

【小问2详解】

解：由题知｛,"｝的前20项和

S=%+%+,,,+%9++…+yf^20

10

2+382x（2-l）

xl0+—----12246

即22-1

271

sinX+1+V2sinXH-----

16.已知4MY]2

（1）求/（X）的单调递增区间;

5兀3兀

（2）若函数一切在区间L24'8」上恰有两个零点%

①求相的取值范围；

②求国+々的值.

3兀7兀7/7ry、

----卜际,一+E（kEZ）

【正确答案】（1）188」

1171

_<〃？<一X[+X?=—

(2)①42或机=0②~4

【分析】（1）根据降幕公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦

函数单调性进行求解即可;

（2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即

可.

【小问1详解】

7t

/(x)=sin2*+V2sinx+—•cosx+—

I42

1—cosI2xH—

I4

+交sin£x+四71£

2222

二2°s2x+&in2x+旦°s2x」

24422

=—sin2x+—cos2x

44

=-sin[2x+-71

24

--+2H<2x+-<-+2kji(keZ)

结合正弦函数的图象与性质可得：当242

3兀7,'兀

-------卜ku<x<—+E（左eZ）

即88时，函数单调递增,

3兀7兀7,7ryX

-----F左兀，一十左兀（左£N）

所以函数/（X）的单调递增区间为L88-

【小问2详解】

兀5兀3兀兀1.11

t=2x+—xG三了」时,te6,71—sin/e

①令4,当242

1.

y=—sin/e

所以2°4

0四

2

-----，——<m<一

所以要使y=l/（x»一”在区间L248」上恰有两个零点，制的取值范围为42或

m=0.

1.

y=—smt-m—2X|H--,4=--

②设是函数2的两个零点（即44）,

c兀c兀

,>_2X]H-------F2x?H-----=71

由正弦函数图象性质可知4+‘2=71,即4-4

17.随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”

软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学

员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为3,且计划

当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟

考试机会为止.

（1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；

（2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.

【正确答案】（1）9

1210

⑵亏

【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得；

（2）求出一天内模拟考试的次数4的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解

口的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可.

【小问1详解】

pF\——£=-x—=一

设学员小张恰第7•次通过模拟考试的概率为4,则3,339,

8

9-

所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为39

【小问2详解】

设J表示一天内模拟考试的次数，则JT，2,3,4,5,

由题意知：尸…彳，尸…)十三尸("A：jx”

1327

尸("4)叫I'llP（=）=I।=8l

/、22221121

£G）=1X—+2x—+3x——+4x——+5x——=——

所以v73927818181

因为X=10J,所以~IJ81

1210

所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为81分钟.

18.2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平

面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求48=ND=4,BC=6,

⑴若3,3,求cosNADC的值；

⑵若。。=2,四边形N5CD面积为4,求c°s('+0)的值.

V7

【正确答案】(1)4

5

⑵6

【分析】(1)△"BO中求出8。，在△5C。中，由正弦定理求出sinNBDC,根据

cosZ.BDC=Vl-sin2ZBDC即可求cosZ.BDC.

(2)在△NBO、△C3O中，分别由余弦定理求出BQ?,两式相减可得cosN与cosC的

SABCD=SAABD+SCRD='，4D-AB,sinA-i--CB-CD,sinC...「

关系式；又由c22的smN与sinC的

关系式；两个关系式平方后相加即可求出c°s(4+C).

【小问1详解】

4=空ZADB=-

在/\4BD中，...4B=AD=4,3,贝ij6

BD=2ADcosZADB=2x4xcos—=4A/3

6

BC_BD

在△BCD中，由正弦定理得，sinZBDCsinC,

6sin-

BCsinC3=3a

sinZBDC=

BD404

由BC=6,BD=4也,得BC<BD

Q<ZBDC<ZBCD=^

cosZBDC=Vl-sin2Z5DC

【小问2详解】

在△4BD、△C8O中，由余弦定理得,

BD?=AB2+AD2—2AB-ADcosA=42+42—2x4x4xcosA=32—32cosA

BD2=CB2+CD2-2cB-CDcosC=62+22-2x6x2xcosC=40-24cosC

从而4cosN-3cosc=-1①，

,S^ABD+Sx4><4xsin+x6x2xsinC4

由C5O=21^42=得za，

4sin4+3sinC=2②，

①每2得16(sin2/+cos?/)+ggin?C+cos?C)-24(cos/cosC-sin/sinC)=5

即25-24cos(Z+C)=5

cos(/+C)="!

2X

/(x)=+ax+b(x-1)3

2X-1+1

19.已知函数(其中a,6eR).

(1)当a>°,b=0,记/(X)的导函数为了'(X),证明：/'(X)〉°恒成立；

(2)指出歹=/(0的对称中心，并说明理由；

2X

3

ng(x)=+e*—/(x)+b(x-I)+(Z?-1)..

(3)已知aw。，设函数2,若对任意的

b+a

xeR恒成立，求。的最小值.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)y=/(X)的对称中心为(1,+"),理由如解析

(3)-1

【分析】(1)根据给定条