2024-2025学年浙教版八年级数学下册培优训练：平行四边形的存在性问题

专题三平行四边形的存在性问题

知识梳理

在平行四边形中若已知三个顶点的位置，要确定第四个点的位置，可以分成三种情况讨论。如图1分别以BC、

AB、AC为对角线(也可以分别以AB和AC为一组邻边、以AC和BC为一组邻边、以AB和BC为一组邻边),

则第四个点分别为外、D2,D3),已知A、B两个顶点的坐标，AB可能为平行四边形的对角线，也可能为平行四边

［例1］如图2，直线/i：y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B，直线l2-.y=-久+2与y轴交于点Co

(1)直接写出点A、B、C的坐标分别为:A,B,C;

(2)是否存在将直线Z2:y=-x+2向上或向下平移使其经过点D,且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平

行四边形？若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由。

【例2］如图3,在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A,直线y=-1+2交x轴于点B,两直

线交于点Co

(1)求证:AABC是直角三角形；

(2)平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写

出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【例3】如图4,在直角坐标系中，平行四边形OABC的边(0A=18,0C=8vx乙40C=45。，点P以每秒2

个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒或个单位的速度从点0向点C运动。当其中一点到达终

点时，两点都停止运动，设运动时间为L

⑴求点C、B的坐标。

⑵当t为何值时，AP1C8?此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请直接写出点M的坐标。若不存在，请说明理由。

(3)当t为何值时，△力PQ的面积是平行四边形OABC面积的!?

O

【例4］如图5,在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点0与坐标原点重合,顶点A、C在坐标轴上，B(8,

4),将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合。

⑴求点E的坐标；

(2)点P从0出发，沿折线O-A-E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设点P的

运动时间为t,APCE的面积为S,求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围。

(3)在⑵的条件下，当P2=|PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得以点P、E、G、Q为顶点的四边

形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标。

【例5】如图6,已知在平面直角坐标系中，直线.y=-1%+6分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐

标为(8,0),点C为AB中点。

⑴求点B的坐标；

(2)点M为直线AB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线OC于点Q,设点M的横坐标为m,线段

MQ的长度为d,求d与m的函数关系式(请直接写出自变量m的取值范围)；

(3)当点M在线段AB(点M不与A、B重合)上运动时，在坐标系内是否存在一点N，使得以。、B、M、N为

顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由。

【例6］如图7,正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，.4B=6。点E、F

分别在边AB和射线OB上运动(E、F不与正方形的顶点重合),(OF=2&BE设BE=t。

⑴当t=2时，则AE=,BF=;

⑵当点F在线段OB上运动时，若ABEF的面积为・,求t的值；

(3)在整个运动过程中，

①平面上是否存在一点P,使得以P、O、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请

说明理由。

②若函数y=?+a(x>0,a为常数)的图象同时经过&F,直接写出a的值。

【例7】如图8,在平面直角坐标系xOy中，直线.y=x+2与y=kx+2分别交x轴于点A、B,两直线交

于y轴上同一点C,点D的坐标为(-泉。)点E是AC的中点，连接OE交CD于点F.

⑴求点F的坐标;

(2)若NOCB=乙ICO,求k的值；

⑶在⑵的条件下，过点F作x轴的垂线1,点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线1

上的动点，使得以B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标。

【例8］如图9,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=1也于①的第

—象限内的图象上，。4=4,0C=3,动点P在x轴的上方，且满足SPA0=N矩形AOCB。

⑴若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

⑵连接PO、PA,求PO+PA的最小值:

⑶若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q

的坐标。

［例9］如图10,在矩形ABCD中，AB=4,BC=7,乙4BC的角平分线交AD于点E,动点P从C出发以每秒

2个单位的速度向点B运动，过点P作PF||BE,与边CD交于点F,过点F作FG\\BC,^BE交于点G。当点F

与点D重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒。

⑴用含t的代数式分别表示线段DF和GF的长，则有DF=；

⑵点P在运动过程中，平面内是否存在一点Q，使得以P、G、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求PQ

的长；若不存在，请说明理由。

⑶作E关于FG的对称点为.E',

①当直线PF经过E'时，求t的值；.

②取线段PF的中点H,连接E'H,点P在运动过程中，E出的最小值是。(直接写出答案)

【例10］如图H,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴正

半轴上，连接AC,且4C=6V2.

①②备用图

困11

⑴求B点坐标;

⑵动点P从A出发沿线段AO向。以2个单位/秒的速度运动，连接CP,将CP绕点P逆时针旋转45。得到

线段QP,设运动的时间为t秒，设APOQ的面积为S,求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

⑶在⑵的条件下，在直线EF上存在一点M,且M点坐标为(m,14-m),同时在平面内存在一点N，使得以

C、P、M、N为顶点的四边形为正方形，求t的值并直接写出N点坐标。

专题三平行四边形的存在性问题答案

【例1】解:⑴直线Jy=2x+4,令x=0,则y=4,

令y=2x+4=0,解得x=-2,

对于直线k：y=-x+2,令x=0,则y=2,

故点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(0,4)、(0,2),

故答案为：(-2,0)、(0,4)、(0,2);.

(2)存在,理由:

设平移后的直线表达式为y=-x+b,则设点D(m,-m+b),①当AB是边时，

点A向右平移2个单位向上平移4个单位得到点B,则点C

(D)向右平移2个单位向上平移4个单位得到点D(C)，则0+2=m,2+4=-m+b或0-2=m,2-4=-m+b,解得｛;1;或

(m=-2

lb=-4

②当AB是对角线时，

由中点公式得:|(-2+0)=|(0+4)=|(2«m+6),解得已;/

故平移后的直线表达式为y=-x+8或y=-x-4或y=-x,故直线L平移的方式是：向上平移6个单位或向下平移6个

单位或向下平移2个单位。

［例2］解:⑴证明:：直线y=2x+4交x轴于点A,

当y=0时,x=-2,

点A的坐标为(-2,0),

,直线y=-1+2交x轴于点B,

当y=0时,x=4,

•••点B的坐标为(4,0),

由故+2'[y=^,

*e•点c的坐标为(一g

AC=J-2-(-/rac45)]2+(0-=笫

(-jy+(*。)，萼,

AB=4-(-2)=4+2=6,

AABC是直角三角形；

⑵平面直角坐标系内存在点D，使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为

(3412\/1412、7/2612、

(一至石)，K'-w)或(g，E)，

如图所示，

当CDJIAB时,

:点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为

•••AB=CD1=6,

二.Di的坐标为(-合芳)；

当AC〃DB2时，

设直线AC的函数解析式为y=kx+b,

-2k+b=0(k=2

—5+u得1匕=4

55

即直线AC的函数解析式为y=2x+4,

设直线BD2对应的函数解析式为y=2x+c,

•.•点B(4,0)在该直线上,

/.0=2x4+3得c=-8,

直线BD2对应的函数解析式为y=2x-8,

•••点D2的纵坐标为-

-Y=2%-8,解得%=y,

.*.D2的坐标为(Y--y)；

当CD3IIAB时,

:点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(YT),

AB=CD3=6,

；必的坐标为(y-y)；

由上可得，点D的坐标为(-当,昔),(£,-用或信用,

【例3】解:⑴如图①，过点C作CDLOA,垂足为D,

,/ZAOC=45°,

•••△OCD为等腰直角三角形，

在AOCD中，0D2+CD2=0C2,

-：0C=8V2,

OD=CD=J(8A/2)2+2=8,

；•点C坐标为(8,8),

；0A=18,即点A坐标为(18,0),

V四边形OABC为平行四边形,

•••点B坐标为(26,8);

⑵若APLBC,如图②，则点P坐标为(18,8),

/.CP=18-8=10,

；.止匕时t=10+2=5s,此时(0Q=5V2,

同⑴可知点Q此时的坐标为(5,5),

VA,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形,

•••点M的坐标为(5,13)或(5,-3)或(31,3);

⑶如图③，由题意可得：(OQ=V2t,CP=2t,

同⑴可得:点Q的坐标为(t,t),点P的坐标为(8+2t,8),.^.△APQ的面积=四边形OABC的面积-AAOQ的面积

-△PQC的面积-AABP的面积

=18x8——x18xt——x2tx(8t)——x(18—2t)x8=t2—9t+72,

'­•AAPQ的面积是口OABC面积的I

o

•••t2-9t+72=-x18x8解得t=3或6,

8

:•当t为3秒或6秒时,AAPQ的面积是nOABC面积的1

O

【例4】解:⑴如图①，

在矩形ABCO中,B(8,4),

；.AB=8,BC=4,

设AE=x,

贝!]EC=x,BE=8-x,

RtAEBC中，由勾股定理得:

EB2+BC2=EC2,

(8-x)2+42=%2,

x=5,BPAE=5,

・・・E(5,4);

⑵分两种情况：

①当P在0A上时,0WtW2,如图②,

s=S矩形CMBC—SAFAE-S^BEC~~S^OPC»

=8x4-1x5(4-2t)-1x8x2t=-3t+16,②当P在AE上时,2<饪4.5,如图③,

"JLcr-'-JiG(—3t+16(0<t<2)

综上所述S=3t+18(2<t<45

⑶存在，由P2=|PE可知：P在AE上,如图④，过G作GHXOC于H,

；AP+PE=5,

；.AP=3,PE=2,

设OF=x，贝(JFG=x,FC=8-x,

由折叠得/zCGF=乙4。尸=90°,

由勾股定理得.FC2=FG2+CG2,

(8-x)2=x2+4?,解得x=3,

FG=3,FC=8-3=5,-FC-GH=-FG-CG,

，22

11

-x5xGH=-x3x4,

22

GH=2.4,

由勾股定理得FH=V32-2.42=1.8,

二•OH=3+1.8=4.8,

・・・G(4.8,-2.4),

•・,点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE=2,

・・・(2(6.8,-2.4)或(2.8,-2.4),

当PE为对角线时，此时Q(£T)，

综上所述，点Q的坐标是(6.8,0.4)或(2.8,-2.4)或偿用,

［例5］解:⑴：直线y=-fx+6过点A(8,0),

0=-6+b,解得b=6,

直线AB的解析式为丫=-为+6,令7=-9+6中x=0,则y=6,.•.点B的坐标为(0,6)。

44

(2)依照题意画出图形，如图①所示。

,•1A(8,0),B(0,6),且点C为AB的中点,；.C(4,3),

设直线0C的解析式为y=kx(*0),则有3=4k,解得k=*夕辞\6

•••直线OC的解析式为y=\x,

•・,点M在直线AB上，点Q在直线OC上，点M的横坐标为m,MQ±x轴，

•••M(TTP—［TH+6),Q3mj,

当m<4时，d=—|m+6—|m=—|m+6;

当m>4时，d=-m—(--m+6)=-m—6O

(--m+6(0<m<4)

故d=3?

I-m—6(4<m<8)

(3)假设存在,设点M的坐标为(n，—|几+6)(0<n<8)。

•••点P在第一象限，

.,.以O,B,M,N为顶点的四边形为菱形有两种情况：

①以BM为对角线时，如图②所示。

四边形OMNB为菱形,B(0,6),

OM=OB=6=Jn2+(-|n+67,

解得n=等或n=0(舍去)，

二点M葭圜，

则点N葭费);

②以OM为对角线时，如图③所示。

设点M的坐标为(加-泞+6)则点N的坐标为(加-］叫由01\［=08得：6?=疗+(_1)解得m-g(不

合题意的值已舍去)，故点N的坐标为(称一蔡)；

综上,故N点坐标为：葭昔)或偿'-三)，

【例6】解:⑴设点F(x,y),

四边形OABC为正方形，则x=y,

2/=OF2=8产，解得x=2t=y,故点F(2t,2t),点E(6,6-t),

当t=2时,AE=AB-BE=6-t=4,

BF=OB-PF=6V2-2V2X2=2V2,

故答案为：4,2企

(2)ABEF的面积=|xBFx(%B-%F)=|xtx(6-2t)=(解得t=|;

⑶①由⑴知，点E、F的坐标分别为(6,6-t)、(2t,2t),

2

则OF2=(2V2t)=8t2,EF2=(6-2t尸+(6-3t)2,OE2=62+(6-t)2,

当EF为对角线时，如图①，

则OE=OF,即8t2=62+(6-［产解得t=弯"(不合题意的值已舍去)；

当EF是边时，如图②，③,

当FE=OE时，即((6-2t尸+(6-3t¥=6?+(6-t)：解得t=0(舍去)或4;

当EF=OF时，同理可得t=叱誓,

综上t=亚手或4成30-6v

②将点E、F的坐标分别代入函数y=?+a,

45

6-t=—Fat=2.5

得6解得(

2t=—45+aa=-4,

2t

故a=-4o

【例7】解:⑴如图①,

:令直线y=x+2中的x=0厕y=2,令y=0,贝!]x=-2,

.••A(-2,0),C(0,2),

•，点E是AC的中点，

；.AE=EC,

二由中点坐标公式得:E(-1,D,

，设直线OE的解析式为y=ko£x,代入E(-l,l),得koc=-l,

.•・直线OE的解析式是:y=-x,

设直线CD的解析式为：y=七%+打，代入点C、D可得：

2

一内+瓦=。解得kr=3

bi=2A=2

..•直线CD的解析式为y=3x+2,

由｛/ZU2解得匕二

⑵如图②，过点D作DIUCD交BC于点T,过点T作TH，x轴于点H,

;OA=OB,故NACO=45。,

NOCB=NACD,

・•・ZDCB=ZBCO+ZOCD=ZACD+ZDCO=45°,J^ACDT为等月要直角三角形，贝!JCD=TD,

ZCDO+ZHDT=90°,ZHDT+ZDTH=90°,

JZCDO=ZDTH,

ZCOD=ZDHT=90°,CD=TD,

・•・△DHT之△COD(AAS),

2

.・.HT=OD=-,DH=CO=2

3

贝„.OH=2-^2=41，

T("O,

把TG，-1)代入y=kx+2,解得k=-2;

(3)如图③,

当四边形BNHMi是菱形时，连接BPi交OC于K,作KHXBC于H。

,/ZKBO=ZKBH,KO±OB,KH±BC,

.\KO=KH,

VBK=BK,ZKOB=ZKHB=90°,

RtAKBO^RtAKBH(HL),

BO=BH=1，设OK=KH=x,

BC=y/OB2+OC2=Vl2+22=V5,

•••CW=V5-1,

在RtACHK中,CK2=KH2+CH2,

・•.(2—%)2=%2+(V5—以，

Vs-i

•,•A,y.—___■

2

设直线BK的解析式为y=k2x+b2,

代入B(1,O),K(0,(i)得3=笥网=多。

直线BK的解析式为y=亨％+等，

当久时.y=亨,

当四边形BN2P2M2是菱形时，可得直线BP2的解析式为y=等尤-等，

当％=-泄>=牛,••2(-!，牛)，

当四边形BP3N3M3是菱形时，M3在直线X=-;时，

M3(-M，

,「P3与M送于X轴对称，

二。3(-")

综上所述，满足条件的点P的坐标为(力斗力或

【例8】解:⑴：四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3,

.♦•点B的坐标为(4,3),

•••点B在反比例函数丫=三也手0)的第一象限内的图象上，

/.k=12,

12

••・y=p

设点P的纵坐标为m(m>0),

,SPAO_3,矩形AOBC

■■-l-OA-m=OA-OC-l，

m=2,

当点,P在这个反比例函数图象上时，贝U2=子,

x=6,

.♦•点P的坐标为(6,2)。

⑵过点(0,2)作直线Uy轴。

由(1)知，点P的纵坐标为2,

二点P在直线1上，

作点O关于直线1的对称点O',则00'=4,

连接AO,交直线1于点P,此时PO+PA的值最小,

贝！1PO+PA的最小值：=PO'+PA=O'A=V42+42=4A②

(3)

①如图②中，当四边形ABQP是菱形时.易知AB=AP=PQ=BQ=3,P](4-展，2),P2(4+遍,2),

Qi(4一逐，5),Q2(4+有，5)。

②如图③中，当四边形ABPQ是菱形时，P3(4-2V2-2),P/4+2V2-2),

<23(4-2V2--1),(24(4+2V2,-l)o

综上所述，点Q的坐标为：(Qi(4—遍5)。(4+倔5)&(4-2V2,-l),Q4(4+2A/2,-1)O

【例9】解:⑴依题意得:CP=2t,

:四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=7,

；./ABC=/C=90°,CD=AB=4,AD=BC=7,BP=BC-PC=7-2t,

VBE平分/ABC,

NGBP=LBC=45°,

2，

•・・PF〃BE,FG〃BC,

/•/FPC=/GBP=45。,四边形BPFG是平行四边形，

/.CF=CP=2t,GF=BP=7-2t,

/.DF=CD-CF=4-2t,

故答案为42t;7-2t°

⑵存在满足条件的点Qo

••・当点F与点D重合时，点P停止运动，

.\CF=2t<4,BP0<t<2,

①若四边形PQGF是菱形.如图①，则点B、Q重合，

/.BP=PF,

•..等腰RtACPF中CF=CP=2t,彳ED

•••PF=VCF2+CP2=2V2t,

c

①

VBP=7-2t,

7-2t=2&t,解得t=等二，

PQ=BP=7-2・^1^=14-7vx

②若四边形PQFG是菱形，如图②，

；.PG=FG=BP,

ZBGP=ZGBP=45°,

ZBPG=ZCPG=90°,

；•菱形PQFG是正方形，点C、Q重合，

③若四边形PFQG是菱形，如图③，连接PQ交FG于点0,

•­°F=>=1（7-2DPQUG,__X

；.PQ〃CD,

；•四边形PCFO是平行四边形，

.*.OF=CP=2t,OP=CF,

.。（7—2t）=22解得t=Z

LO

PQ=2P0=2CF=4t=学综上所述,PQ的长为：14-76-7/或感y

⑶①连接EE,交FG于点M,交BC于点N,--------/——ID

点E与点E关于GF对称，尸―一7F