2024年高三数学重难点复习专练：三角函数的图像与性质八大题型（原卷版）

重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总

a

题型1正余弦平移问题............................................................1

题型2识图问题..................................................................3

题型3恒等变换与平移............................................................6

题型4已知对称轴问题............................................................7

题型5已知对称中心问题..........................................................8

题型7平移与重合问题..........................................................11

题型8sinx,cosx和差积与最值...................................................12

题型1正余弦平移问题

函数户sinx的图象经变换得到y=Asin（cox+（p）（A>0,CD>0）的图象的两种途径

〔

步

[画出尸sin%的图象>骤画出尸sin”的图象]

1

〕

〔横坐标变为原来的倍

向左（右）平移个单位长度步9

（得到尸sin（；+9）的图象,骤

2得到尸sinto%的图象）

〕

横坐标变为原来的3倍〔向左（右）平移个单位长度

步

[得到y=sin（fa）；+卬）的图象,骤｛得到y=sin（ft）；+（p）的图豪T）

3

〕

纵坐标变为原来的4倍用纵坐标变为原来的4倍

[得到y=4sin（s4+。的图豪卜也导到y=4sin®%+（p）的图画

4

注意：1.两种变换的区别

□先相位变换再周期变换（伸缩变换；，平移的量是刷个单位长度；□先周期变换（伸缩变换；

再相位变换，平移的量是殍回>0）个单位长度.

2.变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大

变化，而不是看角"COX+<p”的变化.

【例题1]（2023秋•湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数f（%）=

sin（2x+或的图象，可以将函数gO）=sin（2x+自的图象（）

A.向左平移?个单位B.向左平移三个单位

C.向右平移2个单位D.向右平移?个单位

【变式1-1]1.（2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试）把函数y=/O）图象上所有点

的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移?个单位长度，得到函数

O

y=COS[x+的图象,则/■（x）=（）

A.cos（2x一区）B.cos《+当C.cos（2x+皿）D.cosf--当

V127\2127\127\2127

【变式1-1]2.（2023•甘肃陇南统考一模）将函数y=sin（2%+以图像上各点的横坐标缩

短到原来的|，纵坐标不变，再将图像向右平移?个单位长度，得到函数y=f（x）的图像，以

DO

下方程是函数y=/0）图像的对称轴方程的是（）

A.x=--B.x=——C.x=—D.%=-

3993

【变式1-1]3.（多选）（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知函数/（%）=

sin（x+9）（0<（p<2n）,gO）=sin（MX+以（3>0）,若把f（x）的图象上每个点的横坐标缩

短为原来的小音后，再将图象向右平移?个单位，可以得到g（x）,则下列说法正确的是（）

Z6

AA.0=”2

B.g（%）的周期为n

c.g（x）的一个单调递增区间为（工,州）

D.g（x）=3在区间（a,6）上有5个不同的解，贝帕-a的取值范围为（2n,3n]

【变式1-1]4.（2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习）将函数g（x）=sins（3>0）的

图象向左平移"（0<（p<TT）个单位长度得到函数久久）的图象，/（0）=，/（x）为/（久）的导

函数，且尸（0）<0,若当xG[0,川时，/⑴的取值范围为卜词，则3的取值范围为（）

A.-<to<1B.-<to<1

33

C.-<co<-D.-<o)<-

3333

【变式1-1]5.(2023・河南开封•统考模拟预测)将函数/(%)=cos2x的图象向右平移?个

单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的23>D,得到函数g(“)的图

象，若在区间[0JT)内有5个零点,则3的取值范围是()

A八.一23工,3V,—29入B.—23<,34,2一9

12121212

厂29,,35口29),35

12121212

题型2识图问题

型色重点

给出y=Asin(cox+9)的图象的一部分，确定A,to,。的方法

⑴逐一定参法：如果从图象可直接确定A和。，则选取“五点法”中的“第一零点”的数

据代入“°x+w=0"(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得(p或选取最值点代入公

、71

式1a>x+甲=尿+qZ,求9.

(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A,co,夕.这里需要注

意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asinox,再根据图象平

移、伸缩规律确定相关的参数.

【例题2】(2023•全国高三专题练习)已知函数/'(X)=Xsin(wx+9)(4>0,3>0,-TT<

W<-欧的部分图象如图所示，把函数/(久)图象上所有点的横坐标伸长为原来的蒋倍，得到

函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.g(x+以为偶函数

B.gO)的最小正周期是n

C.g(%)的图象关于直线％=头寸称

D.g(x)在区间管,TT)上单调递减

【变式2-1]1.(2023•全国•高三专题练习)函数f0)=AsinQx+9)+6(切<的图

象如图，则/'(X)的解析式和S=象如+象1)+象2)+…+/(2020)+象2021)+象2022)+

「(2023)的值分别为()

-1

A./(%)=-sin2nx+1,S=2023

i1

B.fix)=jsin2nx+1,S=2023j

C.f(x)=-sin—+1,S=2024工

7k7222

D./(x)=|siny+l,S=2024

【变式2-1]2.(2023秋・天津滨海新•高三校考期末)函数““)=2sin3x+9)(3>0,0<

(P<兀)的图象如图，把函数/(久)的图象上所有的点向右平移?个单位长度，可得到函数y=

gO)的图象,下列结论中：

①9=|；②函数g(x)的最小正周期为冗;

③函数g(x)在区间[三再上单调递增；④函数g(x)关于点(-g,0)中心对称

其中正确结论的个数是().

【变式2-l】3.(2022秋・广东广州•高三广州市第十六中学校考阶段练习如图是函数f(x)=

Asin^x+9)(4>0,3>0,0<9<今的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需

要将函数g(x)=1—2\[3sinxcosx-Zsin?%的图象()

A.向左平嘴个单位长度B.向右平移E个单位长度

C.向左平移1个单位长度D.向右平移三个单位长度

【变式2-1]4.(多选)(2022秋•福建宁德•高三福建省福安市第一中学校考阶段练习)函

数TO)=V2sin(wx+0)(3>0,Isl<小的部分图像如图所示，则下列说法中，正确的有

()

B.向左平移萼个单位后得到的新函数是偶函数

O

c.若方程/(久)=1在(0,机)上共有6个根，则这6个根的和为子

O

D./(%)(%e[0吊)图像上的动点M到直线2x-y+4=0的距离最小时，M的横坐标为；

题型3恒等变换与平移

【例题3](2020春•四川成都・高三树德中学校考阶段练习)设函数f(x)=asin3K+bcosajx

(3>0)在区间片5上单调,且ff(4)=-fg),当x=/寸，”久)取到最大值4,

若将函数/(%)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则函数y=

g(x)-口|零点的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【变式3-1]1.(2022•全国•高三专题练习)已知把函数f⑺=sin(%+=)cosx-手的图

象向右平移;个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，

若g(*i)-g(x2)=i,若,%2e,则/一右的最大值为()

A.TTB.yC.yD.2n

【变式3-1J2.(多选X2023秋•江苏扬州・高三扬州市新华中学校考期末)已知广⑺是f0)

的导函数，/'(x)=asinx-bcosx(ab丰0),贝!]下列结论正确的是()

A.将尸(久)图象上所有的点向右平移三个单位长度可得f(x)的图象

B./⑺与尸⑴的图象关于直线x=耳对称

C.f(x)+八x)与f(x)-9(x)有相同的最大值

D.当a=b时，/(%)+/(久)与f(x)-/(久)都在区间(0()上单调递增

【变式3-1]3.(多选)(2022秋・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)已知f(x)=

2cos2+9)-1,(3>0,06(0,§),具有下面三个性质：①将/'(久)的图象右移兀个单位

得到的图象与原图象重合；②VxeR,f(x)<|/g)|;③f(x)在Xe(0,If)时存在两个零

点，给出下列判断，其中正确的是()

A.f（乃在％e（0,时单调递减

B.F）+©+《N

C.将/（x）的图象左移或个单位长度后得到的图象关于原点对称

D.若久久）与"%）图象关于久=河称，则当xG*用时,g（x）的值域为[-1,|]

【变式3-1J4.（2020•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知“切=4sinx+3cosx,

/（x）向右平移a（0<a<兀）个单位后为奇函数，则tana=,若方程/（%）-m=。在

[a,汨上恰有两个不等的根,则m的取值范围是

题型4已知对称轴问题

已知对称轴，可以带入对称轴

【例题4】（2023•全国高三专题练习）将函数f⑺=sin（cox+5）3>0）的图像向左平移方

个单位长度后彳导到的图像关于y轴对称，且函数f0）在[。隽]上单调递增，则3的取值息）

A.-B.2C.-D.1

22

【变式4-1]1.（2023秋•浙江绍兴•高三浙江省上虞中学校考开学考试）将函数y=

2sinsx（3>0）的图象向左平移？（0<9<IT）个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到

3

/（X）的图象，已知函数f（x）的一-^零点是久=|,且直线久=-^是y=/（尤）的图象的一条对

称轴，则当3取最小值时，w的值是（）

A.—B.-C.-D.-

18181818

【变式4-1]2.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）把函数八乃=

sin（x+0）（0<（p<n）的图象向右平移;个单位长度可以得到g（x）的图象若g（x）为偶函数，

则得在售T上的取值范围为（）

A.怜闾B.[1,V2]C.[V2,2]D.[1,2]

【变式4-1]3.（2023•全国高三专题练习）将函数y=cos（2%+§的图像向左平移⑴个单

位长度后，得到的函数图像关于y轴对称,则。I的最小值为

【变式4-1]4.（2023秋•山西运城•高三统考阶段练习）已知函数“久）=2sintoxcos2（^—

6-siMg久（3＞0）,现将该函数图象向右平移：个单位长度彳导到函数g（x）的图象，且g»）

443

在区间G，斗）上单调递增，则3的取值范围为.

题型5已知对称中心问题

H划重点

已知对称中心，可以带入对中心

【例题5]（2023秋・湖北•高三校联考阶段练习）将函娄好（乃=sinx+Wcosx的图像向左

平移＞0）个单位长度后，所得函数是奇函数，则R的最小值为:

【变式5-1]1.（2023秋・湖南•高三临澧县第一中学校联考开学考试）若将函数/。）=

sin（2%+卬）（0＜（p＜TT）的图象向右平移与个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则

（P=-

【变式5-1]2.（2023秋•山东德州•高三德州市第一中学校考开学考试）将函数/0）=

2sin（2支+租）（0＜9＜欧的图像向左平移，个单位，得到偶函数g（x）的图像，下列结论中：

①g（x）的图像关于点&0）对称；②八久）在卜星]上的值域为[-1,网；③/⑺的图像关于

直线x=十对称；④/（%）在区间总,外上单调递减.其中正确的结论有.

【变式5-1】3.（2023•福建福州福州三中校考模拟预测函数f。）=2sin（3x+.）（|初＜

欧的图象向右平移罟个单位长度，得到的函数或久）的图象关于点（-Q,0）对称，且久久）在

区间&-5）上单调递增，则3=，实数m的取值范围是:

【变式5-1]4.(2021•黑龙江大庆•大庆实验中学校考模拟预测)已知。e椁W，子,2*,

14Z4J

现将函数/O)=COS%-sin%的图象向右平移e个单位后得到函数g(x)的图象，若两函数

g(x)与y=tans久(3>0)图象的对称中心完全相同，则满足题意的。的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

题型6周期问题

1.化一法，直接利用正余弦最小正周期定义求解.

2.利用图像观察求解.

3.定义证明：f(x+T)=f(x).

4.经验推论：如果是多项式和与差型，则各项的最小正周期的公倍数是周期(需要证明是否

是最小正周期).

【例题6](2023•全国•高三专题练习)已知函数八%)的一条对称轴为直线久=2,一个周期

为4,则/(久)的解析式可能为()

A.sinB.cos(p)

C.sin(")D.cos(")

【变式6-1]1.(多选)(2020・全国•校联考模拟预测)已知函数/(x)=sin(x+6)+

cos(2x+20),则下列结论正确的是()

A.兀是函数/'(>)的一^Is-周期

B.存在8，使得函数f(%)是偶函数

c.当e=?时，函娄好⑴在[o用上的最大值为日

D.当8=兀时，函数f(x)的图象关于点(2兀,0)中心对称

【变式6-1]2.(2023・北京•高三专题练习)函数"X)是定义域为R的奇函数，满足

f停一%)=f(D且当xe⑼砌时，f(久)=豪之，给出下列四个结论:

①<(兀)=0；

②兀是函数/'(%)的周期；

③函数了(%)在区间(-1,1)上单调递增；

④函数gO)=/(x)-sinl(x6[-10,10])所有零点之和为37r.

其中，正确结论的序号是

【变式6-1]3.(多选)(2023秋•山东荷泽・高三校考阶段练习)已知函数加0)=sin晨+

cosnx(n6N*),下列命题正确的有()

A.八(2%)在区间[0,川上有3个零点

B.要得到月(2%)的图象，可将函数y=&cos2x图象上的所有点向右平移?个单位长度

C"⑺的周期为三,最大值为1

D.%0)的值域为[—2,刀

【变式6-1]4.(多选)(2022•广东中山•中山纪念中学校考模拟预测)已知函数八%)=

|sin|x|+|cos|x|,x&R,则下列说法正确的有()

A./O)是周期函数，且TT是它的一个周期B./(X)的图象关于直线久=2n对称

C.〃久)的最大值为2D.f(x)在区间映2TT)上单调递减

【变式6-1]5.(多选)(2021•全国高三专题练习)关于函数f(切=4|sin(jx+=)|+

4|cos(|x+g|,有下述四个结论正确的有()

A.f(x)的一个周期为5;B.f(x)在七明上单调递增；

C..g(x)=4|sin|x|+4卜。5,|的值域与f(x)相同D.f(x)的值域为[4,4a]

【变式6-1]6.（多选）（2022•河北唐山统考三模）已知函数f⑴=8sinx-tan%,则下

列说法正确的有（）

A./O）的周期为兀B./（%）关于点（兀,。）对称

C./（久）在（0（）上的最大值为D.y=/（%）-土在]罗上的所有零点之和为6兀

【变式6-1]7.（2022•全国•高三专题练习）法国数学家傅里叶（JeanBaptisteJoseph

Fourier,1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=

Asin3xQ4,3丰0）之和，若某一乐声的数学表达式为/（%）=：sinx+：sin3久，则关于函数f（x）

44

有下列四个结论：

①/（%）的一个周期为2n;

②的最小值为-f；

③图像的一个对称中心为（90）；

④/⑶在区间（》干）内为增函数.

其中所有正确结论的编号为（）

A.①③B.①②C.②③D.①②④

题型7平移与重合问题

【例题7]（2022秋•河南南阳•高三统考期中）若将函娄好（久）=2sin（3久+呢,3>0的图像

向右平移9个周期后，与函数gGO=2cos（2无+⑴）的图像重合，则R的一个可能取值为（）

A.-B.--C.D.

3333

【变式7-1]1,（2020•内蒙古•校联考一模）已知函数/（久）=V2sin&Jx-V2costox（t（j<0）,

若y=f（x+?）的图象与y=/Q-?）的图象重合，记3的最大值为3o,函数g（x）=

COS（3°久-9的单调递增区间为

A.—+怎-Z）++（〜）

C.[---F2/CTT,----F2/CTT](kGZ)D.[----F2kli,---F2/CTT](fc€Z)

312126

【变式7-1]2.(2023•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测)将f(x)=sin(3久+

J)(3>0)的图象向左平移弥单位长度后与函数9。)=COS3X的图象重合，则3的最小值为

4/3

()

A.iB.-C.-D.-

4242

【变式7-1]3.(2022秋•山西长治・高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函

数/(%)=2sin(o>x+,)(3>0,\<p\<三)的图象过点8(0,1),且在(9,§)上单调，同时f0)的

图象向左平移兀个单位之后与原来的图象重合，当如久2£(-等，-等)且与牛叼时，/(/)=

/(%2)，则+X2)=()

A.—A/3B.—1C.1D.—2

【变式7-1】4.(2022•上海•高三专题练习)某作图软件的工作原理如下:给定6G(0,0.01),

55

对于函数y=f(x),用直线段链接各点(说八通))(--

OeOe,所得图形作为y=

“X)的图象.因而,该软件所绘y=sin(2001比)与y=sinx的图象元全重合.右其所绘y=

C0S(3X)与y=cosx的图象也重合，贝！不可能等于()

A.1999B,1001C,999D.101

题型8sinx,cosx和差积与最值

本上塾重点

sinx±cosx-^sinx-cos%之切的互相转化关系

1.Qsinx±cosx)2=1±2sinx,cosx

2.如果％eR,则由辅助角可知sin%±cosxe[-V2,V2]

[例题8]函数y=sinx+cosx—|sinx-cos%]的值域是.

【变式8-l】l.已知函数/"(x)=sin%cosx-sinx-cosxqG卜；,可若/(比)的值域为[T,l],

则。的取值范围是.

【变式8-1】2.已知函数/(%)=-|cos2x-a(sinx-cos%),且对于任意的%〜冷E(-°°,+00),

当与丰久2时都有外正3<1成立，则实数a的取值范围是()

A-[-H]

【变式8-1]3,已知xe(。㈤，”(。㈤，翳部=尚，则

A.x+y=^B.x+y=^C,x+2y=|D.2x+y=1

【变式8-1J4.若函数/(久)=sin(2x—与g(x)=cosx—sinx都在区间(a,b)(0<a<b<

兀)上单调递减，贝必-a的最大值为()

A.-B.-C.-D.-

63212

【变式8-l】5.设max{m,n}表示m,n中最大值则关于函数/'(x)=max{sinx+cosx,sinx-

cos%}的命题中，真命题的个数是()

①函数/(久)的周期T=2兀

②函数f(©的值域为[—1,或]

③函数八比)是偶函数

④函数f0)图象与直线x=2y有3个交点

A.1B.2C.3D.4

【变式8-1]6.若函数f(x)=|cos2x+3a(sinx-cosx)+(4a-l)x在卜],。]上单调递增，

则实数a的取值范围为()

A.曲小.[一lj]C.(一8,一2]U[l,+8)D.[1,+00)

【变式8-1]7.已知函娄好(久)在定义域R上的导函数为r(x),若函数y=1(为没有零点，

且/'[/(x)—2019x]=2019,当g(x)=sinx-cosx—kx在卜上与/'(x)在R上的单调性

相同时，则实数k的取值范围是()

A.(—8,—1]B.(—8,2]C.[—1,V2]D.+8)

1.(2021•天津滨海新•校联考一模)将函数/(%)=cos%的图象先向右平移*兀个单位长度,

O

再把所得函数图象的横坐标变为原来的工(3>0)倍，纵坐标不变，得到函数或久)的图象，

若函数g(x)在上没有零点，贝必的取值范围是()

A•(喝喑|］B.M

C.(0,|)ug,l］D,(0,1］

2.(2023安徽•芜湖一中校联考模拟预测)已知函娄好⑺=cos|%|-2|sin%|,以下结论正确

的是()

A.TT是f(x)的一个周期B.函数在［o,与］单调递减

C.函数f⑶的值域为［-低1］D.函数f(x)在［-2n,2n］内有6个零点

3.(2023・上海杨浦・复旦附中校考模拟预测)设关于以y的表达式F(%y)=cos2x+cos2y-

cos(xy),当x、y取遍所有实数时，F(x,y)()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

4.(2023•广西桂林•校考模拟预测)已知函数/(x)=czsinx-275cosx的一条对称轴为x=

-7，/Q1)+=0,且函数f(x)在(%1，尤2)上具有单调性，贝+%21的最小值为

Ofg)

A.如B-C-D.如

3363

5.(多选)(2023•湖南郴州校联考模拟预测)已知函数/⑺