2024-2025学年广东省广州市天河区高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市天河区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列an中，a1+a3A.−2 B.−1 C.1 D.22.若直线l1:1−ax+y+1=0，直线l2:−2x+ay−2=0，若A.−1 B.23 C.2 D.3.已知圆C1:x2+y2=9，圆CA.内含 B.外切 C.相交 D.外离4.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是(

)A.x236+y24=1 B.5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形(图①)的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1,C2,C3A.51227 B.25627 C.51296.过双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，直线l与另一条渐近线相交于点A.y=±2x B.y=±3x C.y=±7.如图，已知二面角α−l−β的大小为60∘，棱l上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=1,AC=2,BD=3，则CD=A.22 B.14 C.28.设m为正整数，数列a1,a2,⋯,a3m+2是公比不为1的等比数列，若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的3m项可被平均分为m组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列a1,a2,⋯,a3m+2是i,j−可分数列．现有下列3个命题：①数列aA.① B.①② C.①③ D.②③二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，则下列条件能推出a5=0A.a2=a8=0 B.Sn10.已知动点P在抛物线y2=16x上，过点P向x轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹为曲线C,A,B是曲线C上的两点，则(

)A.曲线C的方程为y2=4x

B.若OA⋅OB=−2，则直线AB过定点2,0

C.若直线AB过点F1,0，点A的纵坐标为1，则AF=54

D.若直线AB过点11.如图，棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1A.A1C⊥平面BDD1B1

B.AA1在AC1上的投影向量为13AC1

C.以D1为球心，半径为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.M是双曲线x24−y212=1上一点，点F1，F213.已知数列an中a1=1,an+1−a14.已知圆x2+y2−4x−4y−1=0，圆上恰有两个点到直线l:y=x+b的距离都等于1，则b四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在正方体ABCD−A1B1C(1)求证：EF⊥DA(2)求异面直线A1D与D16.(本小题12分)记Sn为等比数列an的前n项和，且(1)求数列an的通项公式an及前n项和(2)若bn=n−1n∈N∗,cn17.(本小题12分)已知圆M过A−(1)求圆M的标准方程；(2)若圆N与圆M关于直线：x−y+2=0对称，求圆N的方程；(3)若过点P−1,12的直线l与圆M相交于E,F两点，且EF=218.(本小题12分)如图，四棱锥P−ABCD中，▵PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2．(1)若点E为线段PD的中点，①证明：CE//面PAB；②求直线CE与平面PAB间的距离；(2)若点E为直线PD上的动点，当直线CE与底面ABCD所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥E−ACD的体积．19.(本小题12分)设椭圆x2a2+y24=1(a>b>0)的离心率为63，过点A0,1(1)求椭圆的方程；(2)若BC=DA，求(3)若圆心在椭圆上，半径为a2的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点O作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于E,F两点，试问OE|2参考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.A

6.C

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.9

13.2n14.215.(1)由题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1为设正方体棱长为2，则D(0,0,0),A则E(2,2,1),F1,1,2，所以EF所以EF⋅DA(2)D1B1=设异面直线A1D与D1故cosθ=|所以θ=π

16.(1)设等比数列{an}已知a3=9又已知S3=13将①代入②得：a1+a1由①得a1=9q2，代入③得：9q2(1+q)=4，因为an>0(n∈N∗)把q=3代入a1q2=9，得那么数列{an}前n项和Sn(2)已知bn=n−1，则T3Tn=0×由④ − ⑤得：Tn−2T等比数列{3k}(k=1,2,⋯,n−1)的首项为3，公比为3，项数为n−1所以−2T则Tn则数列{cn}的前n

17.(1)设圆M的方程为x2把A(−2,−2(−解得F=−4，D=0，E=0，所以圆M的方程为x2+y(2)设圆N的圆心N(a,b).因为圆N与圆M关于直线x−y+2=0对称，则直线MN与直线x−y+2=0垂直，且线段MN的中点在直线x−y+2=0上.直线x−y+2=0的斜率为1，两直线垂直斜率之积为−1，所以ba线段MN中点(a+02,b+02由(4)得b=−a，代入(5)式得：a2+a2+2=0，a+2=0所以圆N的圆心N(−2,2)，半径与圆M相同为2．则圆N的方程为(x+2)(3)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−1．此时M(0,0)到直线l的距离d=1，弦长|EF|=2当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−12=k(x+1)圆心M(0,0)到直线l的距离d=|k+因|EF|=23，弦长公式|EF|=2r2所以|k+12|展开得k2+k+1则直线l的方程为y−12=综上所得，直线l的方程为x=−1或3x−4y+5=0．

18.(1)①如图，取PA的中点F，连接EF,FB，有EF/​/AD，EF=1又BC//AD，BC=12AD所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE/​/BF，因为CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE//面PAB；②如图，取AD的中点O，连接OP,OB，因为PA=PD,∠APD=90∘，所以由BC//AD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD，四边形BCDO是正方形，有AD⊥BO,OB=1，因为PO∩BO=O，PO,BO⊂平面PBO，所以AD⊥平面PBO，因为AD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PBO，在平面PBO内作直线BO的垂线Oz，则Oz⊥平面ABCD，有Oz⊥OB,Oz⊥OD，以O坐标原点，分别以OB,OD,Oz所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为BC//AD，所以BC⊥平面PBO，因为BP⊂平面PBO，所以BC⊥BP，由PC=2，CB=1，知BP=由cos∠BOP=OP从而有P(−12,0,有PA=(设平面PAB的法向量为m=由m⋅PA=12得平面PAB的一个法向量为m=因为CE//面PAB，所以C到平面PAB的距离即为直线CE与平面PAB间的距离，又BC=(0,1,0)，所以C到平面PAB的距离d=所以CE与平面PAB间的距离为5(2)DP设DE=λCE=底面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)设直线CE与底面ABCD所成的角为θ，所以sin=当且仅当1λ=2λ，即λ=所以E到平面ABCD的距离为d=DE又S▵ACD=12×2×1=1

19.(1)椭圆x2a2离心率e=ca(c为半焦距)，且e=6由e=ca=63可得即23a2所以椭圆的方程为x2(2)过点A(0,1)且斜率为k的直线l方程为y=kx+1．令y=0，可得x=−1k，所以设C(x1,y1)，D(x化简得(1+3k由韦达定理可得x1因为BC=DA，所以(x所以−6k1+3k2=−即−6k2=−1−3(3)由(1