2024-2025学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（B卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−2y+1=0的一个方向向量是(

)A.(1,−2) B.(1,2) C.(2,−1) D.(2,1)2.已知曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a=(

)A.12 B.−12 C.23.若双曲线x2a2−y2A.y=±12x B.y=±3x4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4+aA.−81 B.81 C.50 D.615.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=a，AC=b，A.−12a+12b+c

6.已知函数f(x)=kx2−2x+lnx，f(1)=−32，若2f(2aA.(−1,12) B.(−12,1)7.抛物线y2=2px(p>0)与圆(x−p)2+y2=5p2交于A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数f(x)=ax−sin12x，若方程f(x)−x=0在(−2π,2π)上有且仅有一个实数根，则aA.(−∞,1]∪[32,+∞) B.[32,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有(

)A.与点A(−3,4,2)关于x轴对称的点的坐标为(−3,−4,−2)

B.若{a,b,c}是空间向量的一组基底，且m=λa+μc(λ,μ∈R)，则{a,b,m}也是空间向量的一组基底

C.已知a=(−1,2,0)10.已知等差数列{an}前n项和为Sn，公差为d(d≠0)，a4是a1A.a10=0 B.数列{an}是递增数列

C.S11.已知F1(−1,0)，F2(1,0)分别为椭圆C：xa2+yb2=1(a>b>0)的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为△MFA.椭圆C的离心率e=13

B.MF1⋅MF2的取值范围为[7,8)

C.若l是C在M点处的切线，过F1，F2分别作l的垂线，垂足为A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是______．13.已知函数f(x)=λsin2πx(λ>0)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=176，则λ的值为______．

14.已知函数f(x)=x3−x，点P(m,n)在第四象限内，过P(m,n)作f(x)图象的切线，有且只有两条，则m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆M过0(0,0)，A(8,0)，B(0,6)三点，直线l过点P(2,2)．

(1)求圆M的标准方程；

(2)直线l被圆M截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线l的方程及最短弦长．16.(本小题15分)

如图，在四面体P−ABC中，PA⊥面ABC，PB：PC：BC=3：2：1．

(1)求证：面PAC⊥面PBC；

(2)若PA=BC=2，AD⊥PB于D，求平面DAC和平面DBC17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax+1x2−2lnx，g(x)=x3⋅f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．

(1)讨论g(x)的单调性；18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=22，离心率e=63．

(1)求椭圆19.(本小题17分)

北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？“沈括“用刍童(长方台)法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量，经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c−a)求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，…，(a+n−1)(b+n−1)=cd的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列{an}为二阶等差数列，其通项an=n2+2n，其前n项和为Sn，数列{bn}满足bn+1=3bn+6，b1=0．

(1)求数列{(n+1)(n+3)−1}的前

参考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.B

8.A

9.AC

10.AC

11.ABD

12.10

13.1314.(−∞,−1]

15.解：(1)已知圆M过0(0,0)，A(8,0)，B(0,6)三点，

可得△ABO为以O为直角的直角三角形，

取AB中点为M，则OM=AM=BM，所以圆心M(4,3)，半径r=AB2=5，

则圆M的标准方程为(x−4)2+(y−3)2=25；

(2)当直线l垂直于MP时截得弦长最短，

直线MP斜率为3−24−2=12，则直线l的斜率为k=−2，

则直线l的方程为：y−2=−2(x−2)，即2x+y−6=0，16.解：(1)证明：在四面体P−ABC中，PA⊥面ABC，PB：PC：BC=3：2：1，

∴BC⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，

∵PA∩PC=P，∴BC⊥平面PAC，

∵BC⊂平面PBC，∴面PAC⊥面PBC；

(2)∵PA=BC=2，PB：PC：BC=3：2：1，∴AC=2，

以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于底面ABC的垂直为z轴，

建立空间直角坐标系，如图，

则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，P(0,2,2)，

设BD=λBP，则D(2−2λ,2λ,2λ)，

AD=(2−2λ,2λ−2,2λ)，PB=(2,−2,−2)，

∵AD⊥PB，∴AD⋅PB=2(2−2λ)−2(2λ−2)−2×2λ=0，

∴λ=23，D(23,43,43)，

设平面DAC的法向量为μ=(x,y,z)，

则μ⋅CA=2y=0μ⋅CD=23x+43y+43z=0，令17.解：(1)由题意g(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−2x3−2x=ax3−2x−2x3，

∴g(x)=ax3−2x2−2，则g′(x)=3ax2−4x=x(3ax−4)，

①当a≤0时，g(x)≤0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上单调递减；

②当a>0时，令g′(x)>0⇒x>43a，令g(x)<0⇒0<x<43a，

∴g(x)在(0,43a)上单调递减，在(43a,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，g(x)在(0,43a)上单调递减，在(43a,+∞)上单调递增．

(2)由f(x)≥e−ax，可得ax+1x2−2lnx≥18.解：(1)因为|F1F2|=22，

所以2c=22，

解得c=2，

因为椭圆的离心率e=63，

即ca=63，

解得a=3，

则b2=1，

故椭圆C的方程为x23+y2=1；

(2)设四边形EPFQ面积为S，

当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在，

不妨设直线PQ斜率不存在，

此时直线EF与x轴重合，

则|EF|=2a=23，直线PQ方程为x=2，

将x=2代入椭圆的方程中，

解得(2,33),(2,−33)|，

所以|PQ|=233，

则四边形EPFQ的面积S=12|PQ||EF|=2；

当直线斜率存在时，

设直线PQ的方程为x=my+2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，19.解：(1)在数列2×4，3×5，4×6，…，11×13中，a=2，b=4，c=11，d=13，

可得2×4+3×5+4×6+...+11×13=106[(2×4+13)×2+(4+2×13)×11]+106(11−2)=635，

即数列{(n+1)(n+3)]的前10项和为635，

故数列{(n+1)(n+3)−1}的前10项和为635−10=625；

(2)数列{an}的通项公式