高考数学导数讲义

导数的定义、运算和运用（一）

考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义）

【例】函数y=2/+1在闭区间［1』+Ar］内的平均变化率为

A.l+2ArB.2+ArC.3+2Ar【）.4+2最

【解析】Vf(l+Ax)=2(1+Ax)2+1=2(Ax)2+4Ax+3,f(1)=2,二该函数在区间

[1,HAx]上的平均变化率为包="+⑴=26+4==4+2Ax

©AYAr

【例】若/(%)=-3,贝|lim/(/+〃)—/(/—3〃)二()

/i->oh

A.-3B.—6C.—9D.—12

【解析】

lim/（/+〃-3〃）=］加4、/*。+〃）一/（）一3〃）二的加/（"。+〃）一〃/一3〃）

力t。h/i->o4/?，T。47?

=4/（尤0）=-12。故选D。

【练1】若/（与）=2,则lim“凡一“）—〃/）等于（）

J。2k

A.-1B.-2C.1D.-

2

【练2】若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。（）

A.错误!未找到引用源，B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用

源。I）.错误!未找到引用源。

【解析1】根据导数的定义知

lim"%一公二./（/一幻-/。））」八%）=T

1。2k2-z。-k20

【解析2】丽/（5向一加-3%）=4而很+3'-3"="&）=-12

A->0h/»->04/;J\U/

考向二：导数几何意义（在/过某点切线）

【例】曲线y=f+1在点（一1,0）处的切线方程为

A.3x4-y+3=0B.3x-y+3=OC.3x-y=0D.3x-y-3=0

【解析】•••)，'=3/,,・・%=),］一=3,由点斜式知切线方程为：y=3(x+l),即

3x-y+3=0.

【例】过点(1,-1)且与曲线)，=/-2工相切的直线方程为()

A.工一丁一2=0或5/+4、-1=0B.x-y-2=0

C.工一)，一2=0或4x+5y+l=0D.x-y+2=0

【解析】设切点为(%,为3—2%),因为)，'=3/一2,所以切线的斜率为

2

A；=y|A=Ao=3xo-2,所以切线方程为丫一(与3-2%)=(3/2-2)(工一%),又因为切

线过点(1,7),所以一1一(/3-2%)=(3/2-2)(1-%)即2/3-3/2+1=0,注意到

(1,一1)是在曲线丁二丁一？不上的，故方程2/3—3/2+1=。必有一根与=1，代入符

32

合要求，进一步整理可得2(x0-i)-3(x0-l)=0即

2(%—l)(x()2+x()+1)—3(X()—l)(x()+1)=0,也就是(x()-1)(2/2—玉)-1)=0即

(%-1)2(2/+1)=0,所以%=1或x0=—g，当X)=1时，A=3.%2-2=1,切线

1QS

方程为,一(一1)=%_1即x_y_2=0；当时，k=3xj-2=^-2=-^,

切线方程为了一(-=即5x+4y-lh0

4

【例】设直线人，，2分别是函数/U尸］"lnX，图象上点4，P2处的切线，！।

lnx,x>1,

与/2垂直相交于点P，且八，，2分别与y轴相交于点4B,则△R4B的面积的取值范围

是()

A.(0,l)B.(0,2)C.(0,+8)D.(l,+°°)

2

【解析】设耳（不，in当），片（巧，一Io与）（不妨设项＞1：0＜项＜1）,则由导数的几何意义易得切线h/

的斜率分别为用="!"，与=一■5■.由已知得%=-1不巧=1L='■•二切线A的方程分别为

玉电/

y-lDjq=—（x-%1）,切线4的方程为〉+E4=-即丁一1°冯=一百卜一"分别令

%=0得4（0,-1+ln办），5（O,1+Inxi）.又左与4的交点为p1急，1nxi+霖）,丁石＞1,

二笔身心=:|以一词・|马1=J%＜广号=1，二。＜5但5cl.故选A.

21+jq1+当

【练1】已知直线1过点（0,-1）,且与曲线），=#nx相切，则直线/的方程

为•

【练2】曲线/。）二丁+工一2的一条切线平行于直线4工一），-1=0,则除切点外切

线与曲线的另一交点坐标可以是（）

A.（1,0）B.（-2,-10）C.（-1,-4）D.（2,8）

【练3】若直线y=丘-匕是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+l）的切线，

贝姐二.

【解析1】将/（x）=xlnx求导得/'（x）=lnx+l,设切点为（玉）,为），/的方程为

y-y（）=（lnx0+l）（^-x0）,因为直线1过点（0,-1）,所以一1一y（）=（lnx（）+l）（0-不）.

乂%=x（）lnx（）,所以-l-x（）lnxo=-工0（皿/+1）,.二工0=1,%=0.所以切线方程为

y=x-1.

【解析2】设切点M/jJ,则尸（x）=3，+l,于是长切=/（6］『）=3/+1,因

为切线平行于直线41一），-1二0,所以3焉+1=4,即/=±1.则尸（1,0）或（一1,-4）,

切线方程为：），=4（1-1）或y+4=4（x+1）分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标

为（-2,-12）或（2,8）

【解析3】对函数y=lnx+2求导得），'=L,对）,=ln（x+l）求导得），'=」一,设直

xx+1

线y=^+。与曲线y=lnx+2相切于点6（3,y）,与曲线y=ln（x+1）相切于点

6（孙力），则X=ln±+2,%=皿（工2+1），由点耳（孙凹）在切线上得

3

y-(lnA;+2)=—(x-xj,由点R(巧，力)在切线上得

x\

y-ln(x,+l)=—!—(x-x2),这两条直线表示同一条直线，所以

X2+1

1_1

XXy+\11

12,解得M二一,.•.女=—=2/=lnM+2—l=l—ln2.

1,[、12苍+12x]

ln(x2+1)=InX)+—=——

%+1

考向三：常用函数导数与导数的四则运算

【例】函数y=Lm的导数是()

■1+lnx

2n2c21

A.----------7B.-----------C.-----------7D.------------

(1+lnx)2x(l+Inx)~工(l+lnx)~x(l+Inx)"

1—Inx—(l+lnx)+22

y=---------=------------------=-l+----------

1+lnx1+lnx1+lnx

?0-2-i

2

所以"(—"(而；)'=而前

x(l+lnA)2

【例】若/(X)=2M71)+/,则/(0)等于()

A.-2B.-4C.2D.0

【解析】•・•f(x)=2xf\\)+x2,Jf\x)=2f\l)+2x,・•・/r(l)=-2,••・

/\x)=2x-4,/(0)=-4

r

【练i】已知函数/•“)=」一,则r(i)=()

x-2

A.-1B.-3C.2D.-2

777T

【练2】已知函数/(x)=sinx+24(\),则/号=()

4

r4-1

【练3］设曲线），=q在点（3,2）处的切线与直线办+>，+1=0垂直，则〃等于

x-1

（）

A.2B.—C.---D.-2

22

【练4】等比数列｛%｝中,%=2,仆=4,函数/*）=总一6乂。。2）,《一/）,

则/'（0）=

6215

A..oZBn.乙Cr.Zo'Dn.?乙

【解析1】根据题意，由于函数

xx—2—x2

〃小三,小)二

【解析2］注意到/令是常数，所以r（x）=cosx+2/吟），令X号得

JJJ

/(-)=COS-+2/z(-)n/(-)=--

33332

【解析3】由y=四ny'="7-a：l）=——?_/曲线）,=2里在点（3,2）处的

工_］（x-l）~（x-1）

切线的斜率为Z=-又直线or+），+l=0的斜率为一。，由它们垂直得

一■-x（—a）=—\=>a=—2

2v）

［解析4］因为/。）=（“一4）（，一42）一（%-48）+'［，一《1）。一。2）一（兀一。8）了

而N尸（0）=（-4）（一“2）……%=（q%）4=8'=2k

考向四：导数运用:

函数图像

ABCD

5

【解析】先根据导函数f'（X）的图象得到f'（X）的取值范围，从而得到原函数的斜

率的取值范围，从而得到正确选项.由于原函数都是递减区间可知导数都小于零，故排

除A,B,C,只能选D.

【例】已知函数/（X）的定义域为[-1,4],部分对应值如下表，

f（x）的导函数y=f（x）的图象如右图所示.当1＜。＜2时，函数y=的零点

的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】根据导函数图象，知2是函数的1极小值点，函数），=/（1）的大致图象如图

所示，由于/（0）=/（3）=2,所以y=/（x）—a的零点个数为4个

【练1】定义在R上的函数“幻满足/（4）=1,/（用为/（幻的导函数，已知y=/（x）的

'则震的取值范围是（）

图象如右图所示，若两个正数风〃满足八2•十份V】

A.（-8,-3）B.（…，1）u（3,+8）ag⑶8（*）

2

6

【练3】已知函数如2-2公+2。+1的图象经过四个象限，则实数。的

取值范围是.

【解析I】由导数图像可知，(・8,0)函数减，(0,+8)函数增，f(2a+b)<\,即

a>0

/(2々+〃)</(4),即0<2〃+人<4,等价于1,如图：

2a+3<4

2a+b>0

"2表示可行域内的点到。(-2,-2)连线的斜率的取值范围kCD=3&C=L所

。+22

以取值范围为(g,3、

【解析2］当〃=0时，两函数图像为D所示，当时，由_/=3//-4办十1二0

得：或x=_L,?=依2一工+0的对称轴为x=_L当。时，由

a3a22aala3。

知B不对.当。>0时，由一>—>—知A,C正确.

a2a3a

【解析3】f'(x)=ax'+ax-2a=a(x"+x-2)=a(x+2)(x-1),显然aWO,©：若水0,则fix)

在(—8,-2),(1,+8)上单调递减，在(-2,1)上单调究增，因此若要使f(x)图像过四

7

/⑴=注1>0

个象限，需〈=>—<a<一■—；@：若a>0,则f(x)在(一8,-2),

I八516

/(-2)=—«+1<0

(1,+8)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，因此若要使f(x)图像过四个象限，需

/⑴=沁1<()

综上，a的取值范围是(-2-上).

=。£0,

/(-2)=争+1>0516

单调性极值最值零点

【例】函数y=Lx2-lnx的单调递减区间为()

2

A.(-1,1]B.(0,1]C.[l,+oo)D.(0,+oo)

【解析】根据题意，对于函数)，=4工2一inx,由于歹二工一,=三二1=1£二吆1!2

2xxx

(x>0),可知，当y'<0时，则可知0〈xG能满足题意，故可知单调减区间为(0』],

2

【例】若函数/(x)=彳詈在X=1处取极值，贝lja=.

x2+a,(r+a)、(x+l)―(厂+a)(x+1)

［解析］因为/“二一->所以广(工)=---------——△--=

X+l(X+1)

2x(x+l)-x2-a_f+2.E-4

("1『(x+l『

由题设，/'(1)=0所以，1+2—〃=0,「.4=3

00

【例偌函数_/(x)=x—/inZr+asiiu•在(一,+8)上单调递增，则a的取值范围是()

_,11

q」?，3JD.-I,

A.-1,1］B.T,53

【解析】法一(特殊值法)：不妨取《=-1,则yU)=x-gsin2x-sinx,

222

f(.r)=I—^cos2r—cosx,仰/(0)=I—1=—§v(),不具备在(一8,+8)单调

递增，排除A,B,D.故选C.

8

方法二(综合法)：•・•函数yU)=.xTsin〃+asinx在(一8,+8)单调递增，

•"(力=1-geos2x+acosx=1—1(2cos2x-l)+acosx

——^cos2x+acosx+^>0»即〃cosx2,cos2x一1在(-8,+8)恒成立.

当cosx=0时，恒有02一得〃£R：

当0<cosxW1时，得a21cosx-3.：令，=cosx,,4/)=小一景i(0』]上为增函数,

得a2/(l)=一?；

5

L-

当一iWcosxvO时，得aW]cosx—3cos3/

函数，得l)=g.综上，可得〃的取值范围是［一；，I］,故选C.

【例】已知函数凡1)=«?-3『+1,若/U)存在唯一的零点冲，且加>0,则。的取值范

围是()

A.(2,+e)B.(1,+M))C.(一力一2)D.(—m,—1)

【解析】：基本法：。=0时，不符合题意.

*时，/3=34一8,令/3=0,

2

得Xl=Q,X2=-.

若。>0,则由图象知人幻有负数零点，不符合题意.

则tf<0,由图象结3人0)=1>0知，此0寸必有痣)>0,即ax*-3x%l>0,化I筒得心>4,又KC0,所

以M-2,故选C.

速解法：若。>0,又../0；=1,人-1)=一4-2<0,

在(-1,0)处有零点，不符合题意.

44

.'.a<Q,若。=一,，则人工)二一/一3"+1

/(x)=-4N-&=0,.'.x=Q,或"=一提

此时乂一加极小值且［-*0,有三个零点，排除D.

【练1】已知/(x)=f+3/一m+1在［-2,2］为单调增函数，则实数〃2的取值范围

为()

A.tn<-3B.ni<0C.m>-24D.m>-\

［练2］若函数/(幻=12一;inx+1在其定义域内的一个子区间(〃-l,a+l)内存在极

值，则实数4的取值范围.

【练3］关于x的方程-〃=()有三个不同的实数解，则a的取值范围是

9

【练4】已知函数—Y，^(x)=x2—2«x+4,若任意X]£0.1],存在也£1,2],

使火山)2期及)，则实数”的取值范围是.

【练5】已知函数人外=/+62+叔+一下列结论中错误的是()

A.3xoeR,XAO)=0B.函数y=/U)的图象是中心对称图形

C.若处是的极小值点，则/U)在区间(一8,xo)单调递减

D.若对是危)的极值点，则/(xo)=O

【练6]如果函数/(A)=—(w—2)x2+(w—8).r+l(w>0,〃之0)在区间—,2单

22

调递减，则”？〃的最大值为

81

A.I6B.18C.25D.—

2

【解析1】依题意有/'5)=31+6%一〃30在[-2,2]恒成立，即加工3/+6广恒成

立，即"2<(3x2+6x)mh，当X=-1时，(31+6x)min=-3,故tn的取值范围是〃7<-3

【解析2]/'(X)=2x—'-二&匚匚=(2x+D(2x—D,所以函数/*)的极值点为

2x2x2x

上，又函数/(x)在其定义域内的一个子区间侬-1,。+1)内存在极值，所以

2

13

0<a-l<—<a+\,解之得1W。<一.

22

【解析3】设/(1)=/一3/,则/'(x)=3f_6x,令尸(x)>0,得x>2或x<0,

令/(工)<0,得0cx<2,・•・/*)在(0,2)上单调递减，在(一8,0),(2,+8)上单调

递增，・・・/(外在x=0取得极大值0,在x=2取得极小值-4,画出如下/*)大致的

示意图，可得，若要保证方程丁-3/—。=0有三个不同的实数解，则〃的取值范围是

(-4,0)

10

【解析4】由于/a）=i+f>o,因此函数yu）在o,i］上单调递增，

所以0,1］时，yU）min=/（0）=-1.

根据题意可知存在1,2］,使得g（x）=x2-2wc-i4^-1，

即『-2ax+5W0,即Q衿十尚能成立，令/心）=5+5，则要使在工01,2］能成

r59

立,只需使心力（x）min，又函数力（幻=］+五在1,2］上单调递减，所以力a）min=/?（2）=W，

9

故只需。2不

【解析5］：基本法：由三次函数的值域为R知，火幻=0必有解，A项正确；因为凡0

=9+加+队+。的图象可由>=1?平移得到，所以y=y（x）的图象是中心对称图形，B

项正确：若），=凡。有极值点，则其导数），=/。）必有2个零点，设为国，M3V%2），则

有/（3）=3«+2"+匕=3（工一箝）（工一工2），所以人处在（一物X。上递增，在（为，制）上递减，

在3，+8）上递增，则X2为极小值点，所以C项错误，D项正确.选C.

.「、工。/一

/~\\；

【错误解析6】由/（力单调递减得：f（x）<0,故（〃-2）x+〃一8«0在；，2上

恒成立。而（加一2）x+,z—8是一次函数，在;，2上的图像是一条线段。故只须在两

个端点处/'（g）vo,/'（2）,o即可。即

-（/n-2）+/?-8<0,|1）

<2,

2（w-2）+/?-8<0,（2）

由2x⑴+（2）得：加+〃工10。所以，K25.选C。

【错误原因】"相当且仅当帆=〃=5时取到最大值25,而当〃z=〃=5,〃?,〃不满足

条件⑴，⑵。

【正确解析6】同前面一样〃满足条件（1）,（2）。由条件（2）得：〃7工,（12—〃）。于

2

、2

是，mn<—/?（!2-/?）<—=18。当且仅当"2=3,〃=6时取到最大

22）

值18。经验证，加=3,〃=6满足条件（1）,（2）。故选8。

II

简单函数构造

【例】函数/5)的定义域为R,/(-1)=3,对任意XER,/'(x)<3,则f(x)>3x+6

的解集为()

A.(—1,1)B.(-1,+8)C.(-8,—1)D.(—8,+8)

【解析】设g(x)=/(x)—(3x+6),g'(x)=I'(x)—3vO所以g(x)为减函数,又

g(_1)=y(-l)-3=0所以根据单调性g(x)>0的解集是{杂<-1}

【例】已知函数)，=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式

/a)+VV)<0成立,若。=产/(30-3),b=(log,3)/(log/13).

C=(log3—)/(log3—).则4,〃,C的大小关系()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

l解析】设g(x)=^f(x)v/(x)+xf\x)<0/.g⑴<0/.x<0时函数g(x)递减，

函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)是偶函数二.x>o时g(x)递增，

0,3

,/log3i>|3|>|logT3|,结合图像可知c〉a〉〃

【例】已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当XH2时其导函

数/'(X)满足矿(力>2/3,若2<4<4,则()

a

A.f(2')</(3)</(log⑷B./0)</0og2a)<f(2)

afl

C./Gog.a)</(3)</(2)D./Cog2a)</(2)</(3)

12

【解析】由题意得，因为函数f(x)对定义域R内的任意x都有了(x)=/(4-x),所以

函数人力关于x=2对称，乂当XH2时其导函数f'(x)满足"'(工)〉？/'^),所以当

x>2时，所以“工)在。，虫)上单调递增：当x<2时，所

以〃力在(-62)上单调递减，因为2<々<4,所以1<132々<2,所以

2<4Tog2。<3,又4<2"<16J(log：a)=/(4-log:a)J(x)在(2,+o。)上单调递

增,所以必叫。)<〃3)</(2’)

【例】设函数/(X)在R上存在导数f\x),VX£R,有/(-X)+/(X)=/,在(0,4-00)

f\x)<x,若/(4-加)-/("2)28-4相，则实数，〃的取值范围为()

A.[-2,2]B.[2,+oo)C.[O,-Hx>)D.(—co,—2][2,+8)

【解析】设g(x)=/'(x)-因为对任意4£凡/(-力+/(力=为，

所以，8(一工)+8(工)=/(一工)一3(-工)2+/(/)-3工2=/(_工)+/(1)_/=0

所以，函数g(x)=/(x)--/为奇函数；又因为，在(0,+8)上/'(x)vx,

2

所以，当时尢>0,g'(x)=r(x)-x<0即函数g(x)=/(x)-g/在(Oy)上为

减函数，

因为函数g(x)=〃力-3/为奇函数且在R上存在导数，所以函数

g(x)=/(x)-gx?在R上为减函数

所以

1,J

^(4-/z?)-^(w)=/(4-/??)--(4-7n)--/(w)+-w2

=/(4一〃?)一/(/??)-(8-4〃?)>0所以，g(4—〃7]>g(〃?)=>4-m<m=>m>2

所以，实数〃2的取值范围为[2,+8)故选B.

【练1】若/(X)的定义域为R,尸(x)>2恒成立，/(-1)=2,贝iJ/(x)>2x+4解

集为()

A.(—1,1)B.(-1,+oo)C.(—00,-1)I).(—co,+8)

【练2】设错误!未找到引用源。是定义在R上的奇函数，且错误!未找到引用源。，当

13

x>0时，有•叶(X)：/⑴<0恒成立,则不等式//*)>()的解集是()

x2

A.(2,0)U(2,+8)B.(2,0)U(0,2)C.(«>,2)U(2,+«>)D.(~,2)U(0,2)

【练3］已知实数满足a幺-2上4=」1一c=1其中e是自然对数的底数，则

bd-1

(4—C)2+3—d)2的最小值为()

A.4B.8C.12D.18

【练4】设奇函数/(回定义在(一《o)u(o,m上，其导函数为((幻，且/(9=0,

0<x<万，r(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于x的不等式f(x)<2/(?)sin尤的解

集为.

【解析1】设F(x)=/(x)—2x—4,则尸'(％)=/'(其一2,因为/'(幻〉2恒成立，所

以尸，*)=尸(编一2:>0,即函数F*)在R上单调递增.因为/(-1)=2,所以

F(-l)=/(-l)-2(-l)-4=2+2-4=0.所以有尸(x)=/(x)—2x—4>0,即

F(x)=/(x)-2x-4>F(-l).所以x〉-l,即不等式的解集是(一1,+8),故选B.

【解析2］不等式的解集就是/(x)>0的解集，由矿⑴二八工)<0恒成立得,

x~

(§)<0，函数个为单调递减函数，/(2)=0,当x>0时，

0<xv2,/(x)>(),工>2时，/(x)<0,根据奇函数，知，当x<0时，xv—2时,

/(A)>0,故选D.

a—2e“1—c

【解析3】实数a/,c,d满足-------=——=1,:.b=a-2e\d=2-c

bd-1

因此点(。⑹在曲线y=x-2/上，点(c,d)在曲线y=2-x上，(a-cf+(〃-力的

几何意义就是曲线)，=工-2/到直线y=2-x上点的距离最小值的平方，求曲线

)，=x-2eK平行十直线)，=2-x的切线,

14

X=l-2e\令），'=得R=0,因此切点（0,-2）,切点到直线），=2-x

的距离4=1°；2—2=2桓,就是两曲线的最小距离，（a-c）2+（〃-d）2的最小值

V1+1

八8

【解析4］令g（_r）=£^.因为“X）在（-4,0）U（0,4）上为奇函数，所以可得

g（-x）="/工）、=""='3=g（工）.即在（一万,0）u（0,乃）上函数g（%）为偶

sin（-x）-sinxsinx

函数小回工叱”

sinx

当0<x<〃时f\x)sinx-f(x)cosx<0,所以当0cx<7时，

g,（由“小工<。.即在（。㈤上函数g⑴单调递墙

因为偶函数图像关于y轴对称，所以在（一匹0）上函数g（x）单调递减.

将f（x）<2y（―）sinx变形可得--<-El,即g（x）<g%"）'根据g（x）的单调

sin

6

性及奇偶性可得—工<KV工且XW0.即所求解集为（一生,0）U（工，乃）•

6666

考向五：导数实际应用题

【例】用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方

15

形，然后把四边翻转90处，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最

大？最大容积是多少？

【解析】设水箱底边长为xcm,则水箱高为力=60—^(cm).

2

水箱容积V=V(x)=x-h=60x2--(0<x<l20)(cm3).

2

VV)=120x-|x2.

令V'(x)=(),得x=0(舍)或x=80.

当x在(0420)内变化时,导数V\x)的正负如下表：

X(0,80)80(8(1120)

+0—

因此在x=80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值.

on3

将x=80代入V(x),得最大容积V=8()2x60-竺二128000(cm3).

2

【练1】一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比，已知当速度为每

小时20千米时，每小时消耗煤之价格为40元，其他费用每小时要200元，问火车行驶

的速度如何时，才能使火车从甲城开往乙城的费用最少。(己知火车的最高速度为每小

时100千米)

【练2】某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒.一个由55辆车身都为

10米的同•车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为x米/秒，根据安全

和车流的需要，相邻两车均保持(凹.一+!幻米的距离，其中。为常数且自第

632

一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒)(1)将)，表示为x的

函数；(2)求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度.

【解析1】设甲、乙之间的距离为〃千米，每小时消耗的煤的贽用与火车行驶的速度之

间的比例系数为A,火车行驶速度为x千米/小时，总费用为)，元。则

16

323

y=(Ax4-200).-=6/1ALV+—u由题意得：40=Z：.20

X'、X200

j=6/|—x2+—(0<x<100),令/(x)=0得x=10病，经检验，当

V200x)

x=IO^/2O时函数取极小值/(10^20)=-^2076/o又

/(100)=52。>/(10而)=«|沃同，当x=IOI历时函数取最小值，，车行的速

度为10痴千米/小时，火车从甲城到乙城的费用最省。

2150+10x55+(-x2+-x)(55-I)

[解析2](I)y=---------------——---------

X

77001

=——+9冰+18.[0<x<20,-<t/<l).

x2

(2)当24。工1时，y22^^-9^+18=180^+18

4x

当且仅当罕=9以，即％=楞0时取等号

即当户出^时,

y"8()扃+18

当1一士Q时，)，'=一9二70"0^+9〃<0,故)，=/(x)在(0,20]上是减函数,

24'x2

270()

故当x=20时，v=——+180。+18=153+180。

mnn20

含参导数讨论单调区间

17

【例】已知/(x)=2o¥-'-(2+a)lnx(aeR),讨论/(/)的单调区间

x

［解析］尸"）=2〃.一（2：〃八+1(ar-1)(2%-1)

x-x2

〃<0,/（外在（0,工）上单增，（-,+oo）上单减

22

a=0"（幻=（2；-1）,/（司„（l，+8）上单减

X化I2J上单增，在（2）

0<"2,/（"在（0,g卜唱,+oo）上单增，在上单减

〃=2,f(x)在(0,+co)上单增

（1/1、（\\\

a>2,/（x）在0,—和一,+co上单增，在一，一单减

【例】设。>0,讨论函数/（x）=lnx+a（l—。）―一2（1-々»的单调区间

【解析】

x—2

【例】（1）讨论函数f（x）=e'的单调性，并证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0；

x+2

pflY,（1

（2）证明：当。E［0,1）时，函数g（x）=-------；-----（x>0）有最小值.设g（x）的最小值为

JT

力⑷，求函数〃（。）的值域.

18

x-2x-24x~e

【解析】⑴证明：f(x)=evr«=er------+---------r=--------y

x+2x+2(x+2)'J(x+2)'

•・,当X€(-QO,-2)(-2,+oo)时，r(x)>0

・・・小)在(-8,-2)和(-2,+8)上单调递增

r_2

•・・Q0时，—^el>/(0)=-1A(x-2)ex+x+2>0

x—2

(er-a^x2-2x(ev-ar-tz)x(xer-2er+ov+2〃)("'+2)--ex+«

(x+2

⑵g'(x

xX

440,1)由(1)知，当x>0时，=的值域为(-1,+0C),只有一解.

•儿

使得消9=一”，飞(0,2]

当xw(Oj)时g'(x)<0,g(x)单调减;当xe(f,+oo)时g'(x)>0,g(x)单调增

碎)二邑-总

记&")=?!?，在2]时，K(/)=?^?>0，：•&(/)单调递增

1e2

・'・力(4)=A(/)G一，--・

24

【练1】已知函数尸(x)=rnin{2pvT|,x2-2at+4〃一2},

p,p£q，

其中min{〃，q}='

q，p>q・

(1)求使得等式产(/=/-2奴+4a-2成立的工的取值范围；

(2)(i)求F(x)的最小值加(a)；

(ii)求)(x)在区间。6］上的最大值M(a).

【练2】已知函数/(x)=af+(2-4)了一1联«。<0),.讨论/(x)的单调性

【练3]设集合A={x£/?|x>0},B={XGR\2x2-3(]+a)x+6a],

D=AHB

(1)求集合。(用区间表示)

(2)求函数/*)=29一3(l+a»2+6czx在D内的极值点

19

【练4】设函数/(幻=。。^2戈+(〃-1)905%+1),其中。＞0,

记|/(幻I的最大值为A.

(1)求:(x)；(2)求A；(3)证明］/'(划区2A.

【解析I】

【试题解析】(D由于a23,故

当xW1时，(x2—2ax+4a-2|-2|x—1|=x:+21a-l)(2—x)>0,

当x>1时，(x2—2<2x+4<7-2)-2|x-l|=(x-2)(x—2a).

所以，使得等式F(x)=x:-2av+4a-2成立的x的取值范围为

[2,2司.

(2)⑴设函数f=,力(工)=%2-2依+4a-2,则

/(%=〃1)=。，8("讪=8(0)=一/+4。一2,

所以，由F(x)的定义知〃7(a)=min{/(l),g(a)},即

,.[0,3<6Z<2+V2

矶4)二1.

-a2+4。-2M>2+J2

(ii)当0WxW2时，

F(x)</(x)<max{/(0),/(2)}=2=F(2),

当2Kx<6时，

F(A)<g(x)<max{g⑵,g(6)}=max{2,34-8a]=max{F⑵,F⑹}.

一，/、34-&/,3Wa<4

所以，M(〃)=《

')2,6/>4

【解析2】/'(幻=2or+(2—a)—'=2内」十(2——1,(at+])(2.-1)

XXX

当—<—=av—2时，/(x)的增区间为(—,一)»减区间为(0,—),(一,+8)

a2a2a2

当一4='=〃二一2时，/(x)在(0,+8)单