高三一轮大题15-导数（数列不等式的证明1）

一轮大题专练15—导数(数列不等式的证明1)

1.已知函数f(x)=a(cosx-1)-bbix+xsinx.

(l)若a=l,b=0,证明：/(x)在区间(0,))内存在唯一零点；

(2)若〃=0,b=7t,

(I)证明：1£(0,1)时，/(%)>0；

(II)证明：f巴里sin(£+■!•)>+1)-加2](其中几.2,且〃eN+).

证明：(1)若〃=1,。=0,则/(x)=cosx-l+xsinx,f,(x)=xcosx,

当xc(0,9时，f\x)>0,当㈤时，

.-./(x)在(0,-)上单调递胤在(工⑺上单调递减，

22

又/(0)=0,吗)>0J⑺=-2<0,

・・・/*)在区间(0,万)内存在唯一零点：

(2)若a=0,b=7r,W1!f(x)=-Trbix+xsinx,f\x)=--+.rcosx+sinx,

x

(I)/z(x)<--+tanxcosx+sinx=--+2sin.r»

XX

令^(x)=--+2sine(0.-),易知g(x)在(0.-)上单凋递增，

x22

二g(x)<g(])=。，即((x)<0，

.•J(x)在(0,§上单调递减，

・•./(%)>/(1)=-九吟+|=|(l-/72y)>0,即得证；

(H)当〃..2,〃wN+时，—+—€(0,—)»

3n2

X—+—>1+—，故sin(¥+3>sin(l+3，WO-^^sin(—+—)>-^-^sin(l+—)»

3nn3nnn3n〃n

由(I)知，XG(0.—)H;t，Asinx>TTIIVC,

2

入&+1,-..〃+1./4L〃+1.八1、.72+1

%x=-----=2,3,4,............n»------sin(—+—)>-----sin(l+—)>乃/〃----，

kn3nnnn

3.，乃1、,34.,41.,4〃+1./乃1、,n+1

/.—sin(—+—)>"/〃一，一sin(—F-)>7rln—,.......»------sin(—F—)>nln------>

23223333n3nn

以上各式相加得

3.,7t1.4.1、〃+l.41、z,3,4,〃+l、

—sin(—l—)H—sin(—I—)+....H-----sin(—I—JT(IH—FIn—F....+In-----)，

232333n3n23n

nil〃+1./41、,〃+1,即2竺_1$皿(&+')>万|7〃(〃+1)一历2],即得证.

I；Jy----sin(—+—)>兀hi

n3n2/=2"3n

2.已知函数/(x)=(x+l)3-.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程;

2

“、十、丁ln2hiJln(n-2)23/c、产、

(2)求证：----1--------1■…+

16n2

解：(1)函数/(x)=(x+\)bvc,f(I)=0»

r4-1

f\x)=l/vc+—,r⑴=2,

X

/.曲线y=/(x)&x=\处的切线方程为：y-0=2(x-l),

/.y=2(x-l)；

(2)证明:令〃(x)=(x+l)/or-2。-1),xG(0,+oo),

^ihf(x)=lnx+—-2=lnx+--l=u(x),

XX

，/、11x—1

〃(x)=-----7=——>0，

Xx-x~

：.函数〃(x)在xe(l,"Hx>)单调递增，

”(x)=u[x}>u(1)=0,

.•・函数力(x)在X£(I,4<Q)单调递增，

h(x)>h(I)=0.

，当x>1时：(x+l)/nv>2(x-1),

令x=/-2,则化为：^(/r-2)>2=J-----1

n-3n~-1n-\〃+1

加21Ini11Ml411/〃(〃2-2)211

/.--->1---,---->-----,---->-----,

136241235n2-3n2-1n-\n+1

ln2ln7/川4ln(n2-2),11132

/.—+—+----+…+­；----->1+------------>----〃-..2,neN*,

1612n~-32nn+12n

bxlbilln(n2-2)23,代、♦、

16n2-3n2

3.设函数/(x)=x2+g_2)x-Hnx(awK).

(1)若a=l,求/(x)的极值；

(2)讨论函数/(用的单调性；

(3)若〃eN*,证明：-V+W+三…+——--+

223242(〃+1)2

解：(1)，(x)的定义域是(0,七»),

当\.1(2x+l)(x-l)

当a=1时，/(x)=2x-l一一=------------,

XX

令r(x)>0,解得：x>L令r(x)<0,解得：0<xvl,

.•./3)在(0,1)递减，在(1,内)递增,

:•/(幻极小值=/⑴=0,无极大值.

(2)r(幻=2—+(a_2)=(2x+03_Da>0),

XX

①当a.O时，若r(x)>0,则X>1,若r(x)vO,则O〈X<1,

.•./3)在(0,1)递减，在。,加)递增;

②当0<-4<1即-2va<0时，

2

若>0,则0<x<-2或x>l,若广")<0,则一q<x<l,

22

.•./。)在(-3,1)递减，在(0,-当,(1,内)递增;

22

③当弋=1,即a=—2时，八幻..0恒成立，

.•./(X)在(0,+00)上单调递增:

④当'>1即aV—2时，

2

若八外>0,则Ovxvl或若/8)<0,则lev—

.•./(刈在(1,，)递减，在(0/)，(_@,+8)递增，

22

综上：当av-2时，/*)在(0,1)递增，在(1,-0)递减，在(-3，+8)递增,

22

当。=一2时，/*)在(0,+刈递增，

当一2<〃<0时，f(x)在(0,-学递增,在(g1)递减，在(1*)递增，

当a..O时，F(K)在(0,1)递减，在(1,e)递增.

(3)由(1)知f(x)=f一工_加在(0」)递减，

.•.xe(O,l)时，x1-X-hiA>f(1)=0,/.x2-x>bix>

令x=—^―，得J-％=------，

〃+1(〃+1)

n,n,〃+1刖，〃+1〃

二.-------r>tn------=-In-------，即bi------->---------

(〃+1))~〃+1nn(/2+1)-?

，心L后」，a

22232342

累力口得：///2+M—+//Z—4-......+>±+-^+三+...+——

23n223242(«+1)2

4.已知函数/0)=阮¥,g(X)=f.

(I)若不等式/(人),,ax-1对人匕(0,e>)恒成立，求实数〃的范围；

(2)若正项数列｛/｝满足4=',%=-25%)，数列(凡｝的前〃项和为S.，求证:

24(%+1)

2/">2”+1.

解：⑴•.•不等式/(戏,0¥-1对xe(0,4oo)恒成立,

a..空上1对x£(0,-KX>)恒成立，

x

设F(x)=似山■(%>0),则P(x)=_/,

xX*

令广(幻>0,解得0vx<l,令尸'(x)<0,解得x>l,

故尸(x)在(0,1)递增,在(L+oo)递减,

••/(幻,皿=尸(I)=1，

〃的取值范围是[1，+00);

(2)证明：取〃=1,由(1)可知/九工,工一1对xe(0,+co)恒成立,

则加(I+x)„x，,/g(x)=x2,a“+i=2g(%),a.=-,

/(q+1)2

2才2a

4+1=--------——=———，

凡(a”+l)，”+1

...2n+,(--|)=2,,(—-I),

a“4

二数列｛2"(,_])｝是常数列，

%

.•・2n(--1)=2(--1)=2,

44

2〃T

/.a„=——；——w(0,l),

"2,r-'+l

*2"+1

a”>/〃(1+a”)=加(1+2'"+1)='"+]=巩2"+1)一>(2'i+D，

(Textranslationfailed),

Aes">—,2超>2"+l,原结论成立.

2

5.已知函数/(x)=Inx7ax-1+1,a>0.

(I)讨论/(x)的单调性；

/“、m口/“Il〃2Inn仁rr、.、

(II)i止明：—产+—产+...+-----/<2+\/2(z〃eN).

3j34j4("+2)J〃+2

解：(i)由于/'*)=■!■--一良耳』”0,

x2\lax-\2X\ICLX-\

故/。)在［-,+OD)上单调递减.

a

(II)证明：当4=2时，/(.r)=//u-V2x-l+l.

由（I）知/（外在g,+8）上单调递减.

注意到/（1）=0,则当x>l时，恒有浓vJ2x-1-1.

11I-T/〃(1+3］.

取X=1H—(〃eN),有//；(!H—)<.1+---1,即一/〃<—^=—/»

nnVn\jn+2\JnJ〃+2

又l〃〃2lnn(\ln+2-+1)

(n+2)\t〃+27+2-

因此

瑞，号"+“门^!^-悬】“叫弓/一5+..+看-成-焉>=2”+孝-方焉-篇)<2+&

6.函数f(x)=sinx-ax+\.

(1)a=-,求/*)的单调区间；

2

(2)若/(x)..cosx在4日0,开］上恒成立，求实数4的取值范围；

(3)令函数g(x)=/(.t)+at-l，求证：g(^)+以得)+g(4)+…+g(^0…•

解：(1)a=g，/(x)=sinx-—x+1»/z(x)=cosx--»

当一3+2%乃<1<。+2%不，AwZ时，ff(x)>0»

当A+2k4<x<与+2k定,AwZ时，ff(x)<0,

所以/⑴的单调递增区间是（-2+2版•二+2版■）,ZeZ,

33

f(x)的单调递减区间是(色+2版\2+2Qr),k&Z.

33

(2)不等式恒成立等价于ax+cosx-sinx-1,,0,

力⑼”0

?

令h(x)=at+cos.r-sin.v-1,则由《力⑺,,0,可得到a,—,

7T

"9"°

•・・)，=ar+cosx-sinx-l可以看作是关于。的一次函数，单调递增,

2

/.令”(x)=—x+cosx-sinx-l,

7T

2_

对于Vq,—,Vxe[O,乃|,〃(x),奴工)恒成立，

2

只需证明(p(x)=—x+cosx-sinx-1„0即可，

兀

224

夕'(x)=----sinx-cosx=­-5/2sin(x+—),

兀7T4

1。当x€(0.—),sinx+cosx=\/2sin(x+—)e(1,x/2],

24

227i

则0'(x)=----sinx-cosx<-----1<0,p(x)在(0,一)上单调递减，又奴工)=0,

4万2

所以此时次工)<0恒成立.

2。当xe(―，幻时，”(£|=