江苏省南京市协同体七校2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

江苏省南京市协同体七校2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．在△ABC中，若a=b=2，c=23A．π3 B．5π12 C．π22．已知向量a=(−4，2)，bA．6 B．-6 C．−32 3．tan5°+tan25°+3A．−3 B．33 C．3 4．已知向量a，b满足a⋅b=15，且bA．(−65，85) B．(5．已知cos(5π12+A．13 B．−13 C．36．已知向量a，b均为单位向量，且a⊥b，向量c满足A．42 B．45 C．4+257．已知θ∈(0，π4)，且A．3−52 B．3−54 C．558．如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径，AB=5，BC=4，A．33 B．332 C．3二、多选题9．已知a，b，A．若a⋅cB．|C．|a+D．|10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，A．a=c B．b=c C．b=2c 11．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（）A．每一个直角三角形的面积为54 B．C．3sinβ−3sinα=2 D．cos(α−β)=12．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在λ，μ∈R使BM=λA．λ=−35，C．λ=−910，三、填空题13．已知锐角α，β满足sinα＝255，cosβ＝101014．已知向量a，b，c满足3a+2b+5c15．已知3cos(2α+β)+4cosβ=0，则tan(α+β)tanα=.16．如图，在梯形ABCD中，AD=DC=12AB=1且AB⊥AD，P为以A为圆心，AD为半径的1四、解答题17．已知|a|=4（1）求|3a（2）当k为何值时，(a18．已知函数f(x)=3（1）求f(x)的最小正周期；（2）若x∈(0，π419．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a（1）证明：a=2b；（2）若acosC=32b20．在△ABC中，b=23，从条件①3ccosB=b注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（1）若a=2，求△ABC的面积；（2）若△ABC为锐角三角形，求a+c的取值范围.21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为（1）求B；（2）若AC⊥BC，BC=3，角B的平分线交AC于点D，点E满足BD=22．如图所示的矩形ABCD中，E，F分别为线段（1）若E为靠近A的三等分点，F为BC的中点，且AB=xEF+2y（2）若△DEF是边长为1的正三角形.（i）令△DCF、△ADE、△FEB的面积分别为S1，S2，S3（ii）求矩形ABCD面积的最大值.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为a=b=2，c=23因为C∈(0，π)，所以故答案为：D.

【分析】利用余弦定理可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】由题设，−4m+6=0，可得m=3故答案为：D

【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出m的值.3．【答案】B【解析】【解答】由tan30°=所以tan5°+故答案为：B

【分析】由已知利用两角和的正切公式可求解出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量b=(−3，4)，且a所以向量a在向量b上的投影向量为|a故答案为：C.

【分析】根据投影向量的计算公式及向量坐标的数乘运算，即可求出向量a在向量b上的投影向量.5．【答案】C【解析】【解答】由cos(5π所以cos(π故答案为：C

【分析】先利用诱导公式可求出sin(π6．【答案】C【解析】【解答】设2a+b=e所以(c因为c⋅e=|所以(c−2a故答案为：C.

【分析】根据向量数量积的运算结合辅助角公式可求出答案.7．【答案】A【解析】【解答】由cos2θ=所以3−3tan2由θ∈(0，π4故答案为：A

【分析】利用三角函数的倍角公式，同角三角函数的基本关系式求出tan8．【答案】B【解析】【解答】由AC2=A所以题图圆的直径2r=ACsin∠ABC=27所以AD=BD2由四边形ABCD四点共圆，故∠ADC=π−∠ABC=2π所以S△ACD故答案为：B

【分析】利用余弦定理求得AC=21，由正弦定理求得BD=27，最后由共圆、三角形面积公式求出9．【答案】B,C,D【解析】【解答】A：由a⋅c=b⋅B：|a−b由于2a⋅b所以|a−bC：由|a+b|2=|D：|a故答案为：BCD

【分析】根据向量数量积的运算、利用数量及求解平面向量模和垂直，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】因为b2+c2−a2得到a2−2ac+c2=0，所以a=c故答案为：ACD.

【分析】将b=2a代入b2+c11．【答案】A,C【解析】【解答】对于A，4个直角三角形的面积之和为9−4=5，故每个直角三角形的面积为54对于BC，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得3sinβ−3cosβ=2，由于对于D，3cosα−3sinα=2，①，3sinβ−3cos4=9cosαsin故答案为：AC

【分析】4个直角三角形的面积和为5，从而可判断A；根据题意知cosa=sinβ，从而可判断B；sina=cosβ，从而可判断C；可根据图形得出3cosα−3sinα=2，3sinβ−3cos12．【答案】A,C【解析】【解答】令BD=mBC且m∈[又BC=BA+所以λ=−1+m2μ=m2，则λ∈A、C满足，B、D不满足.故答案为：AC

【分析】令BD=mBC且m∈[0，1]，利用向量平行四边形法则可得BM13．【答案】3π【解析】【解答】因为锐角α，β满足sinα＝255，cosβ＝∴cosα=1−∴cos∵α，β为锐角，∴0<α+β<π，故答案为：3π4

【分析】利用同角三角函数关系式求出cosa，sinβ，然后由余弦的两角和公式求出cos(α+β)14．【答案】π【解析】【解答】由题设3a+2b所以36+96cos⟨a又⟨a，b故答案为：π

【分析】利用向量的平方即为模的平方，再结合向量的夹角公式进行计算，可得答案.15．【答案】-7【解析】【解答】cos(2α+β)=cos[(cosβ=cos[(所以cos(2α+β)+cosβ=2cos由于3cos(2α+β)+4cosβ=8cos所以8cos故7cos(α+β)cos故答案为：-7

【分析】利用配角法，将2a+β化成(a+β)+a的形式，β化成(a+β)-a的形式，再结合三角函数的和角公式化简即可得答案.16．【答案】3−3【解析】【解答】如下图，连接PD，AP，PC，PB，则PB=所以PD⋅(若∠BAP=θ，故PD⋅(又θ∈[0，π2所以PD⋅(PB+故答案为：3−3

【分析】利用向量数量积的运算结合辅助辅助角公式可得PD⋅(PB+17．【答案】（1）解：因为|a|=4所以a⋅所以|3a（2）解：由（1）知，a⋅b=−4因为(a所以(a+2b所以16k+4−8k−8=0，解得k=1所以当k=12时，【解析】【分析】(1)利用向量的数量积求出两个向量的数量积，利用向量模的平方等于向量的平方求出|3a+b18．【答案】（1）解：∵f(x)==3∴f(x)的最小正周期为T=2π（2）解：∵x∈(0，π4)∴sin(2x+π6)∈(∴f(x)的值域为(0，【解析】【分析】(1)推导出函数fx=sin(2x+π6)−19．【答案】（1）证明：由S=12absinC所以ab=a2−2b2，则a所以a=2b，得证.（2）解：由题设及（1）结论，2bcosC=32b所以c2=a所以cosA=b【解析】【分析】(1)根据三角形面积公式及三角形内角性质可得ab=a2−2b2，再由正弦定理的边角关系即可证得结论；

20．【答案】（1）解：选①：3sinCcosB=sin由B∈(0，根据asinA=bsinB=所以A=π6或综上，C=π2，则△ABC的面积为选②：2sin所以2sinBcos由sinC>0，则cosB=12，根据asinA=bsinB=所以A=π6或综上，C=π2，则△ABC的面积为（2）解：由（1），asinA=csin所以a+c=4(sin又△ABC为锐角三角形，0<A<π20<2π3所以sin(A+π6【解析】【分析】(1)根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，利用面积公式计算即可得△ABC的面积；

(2)运用正弦定理和三角恒等变换，再根据三角函数的性质求解出a+c的取值范围.21．【答案】（1）解：由AB⋅所以2cos2B=a又B∈(0，（2）解：由题设，D为BE中点，而AC⊥BC，BC=3，B=π3，则又角B的平分线交AC于点D，则∠ABD=∠CBD=π所以CD=3，BD=DE=23，则AD=23所以△EAB为直角三角形且∠EAB为直角，故∠AEB=π而CE所以cos∠CED=CE综上，sin∠AEC==3【解析】【分析】(1)根据向量数量积的计算公式及余弦定理可得出2cos2B=a2+c2−b22ac=cos22．【答案】（1）解：由AB=AD+所以AB=2×(2结合已知：x=672y=−37（2）解：（i）由S1=12DC⋅DF由△DEF是边长为1的正三角形，而∠CDF+∠ADE=30°，∠ADE+∠AED=90°，∠FEB+∠AED=120°，令∠CDF=θ，则∠ADE=30°−θ，∠FEB=60°−θ，