浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷（含答案）

浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={−2，0，1}，A．{0，1} C．{−2，0，2．函数f(x)=sinA．x=−π8 B．x=−π4 C．3．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（）A．45° B．135° C．90° D．45°或135°4．四边形ABCD为矩形，对角线长为4，若AB=a，A．0 B．6 C．8 D．105．已知i为虚数单位，下列与i相等的是（）A．1i B．C．1+i1−i D．6．平行四边形ABCD，点E满足AC=4AE，DE=A．18 B．14 C．17．函数f(A． B．C． D．8．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°，若山高BC=1002米，则山高MNA．300米 B．360米 C．240米 D．320米二、多选题9．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是（）A．若(AB+ACB．若OA+OB+C．若AB⋅BC<0D．若OA⋅BC=0，10．下列说法正确的是（）A．在△ABC中，sinA<sinBB．将函数y=sin2x的图象向右平移π6C．复数z1，z2，则z1D．在△ABC中，若sin2A+11．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，A=π3，b=8，A．△ABC为锐角三角形 B．△ABC面积为43或C．AB长度为6 D．△ABC外接圆的面积为52π12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x+1)为偶函数，当x∈(0，1]时，A．函数f(x)的周期是4B．直线x=2023是函数f(x)的一条对称轴C．f(x)在[2022，D．f(2022)+f(2023)=1三、填空题13．函数y=sin(2ωx+π6)，(ω>0)的周期是14．已知向量a，b满足|a+b|=|a−2b|，且15．函数f(x)=a2x−12x+116．在△ABC中，已知角A=2π3，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为四、解答题17．已知向量a=(m，1)，b（1）若向量a，b能构成一组基底，求实数m的范围；（2）若c=(1，3)，且c⊥(a18．设复数z=m（1）当m为何值时，z是纯虚数；（2）若复数z在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．已知π3是函数f(x)=2a（1）求实数a的值；（2）求f(x)单调递减区间20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c−b（1）求角A的大小；（2）若a=2，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．21．锐角△ABC的三个内角是A、B、C，满足(si（1）求角A的大小及角B的取值范围；（2）若△ABC的外接圆圆心为O，且OB⋅OC=22．已知函数f(x)=ex−x在(−∞，0)（1）写出函数y=g(x)的单调区间（无需说明理由）及其最小值；（2）若直线y=b与函数y=f(x)和y=g(x)的图象共有三个不同的交点，从左到右依次记为A(x1，y1)，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵A={−2，0，1}，B=则A∪B={−2，0，1}∪{故答案为：C

【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．【答案】A【解析】【解答】对于A，因为f(−π所以x=−π8是函数对于B，因为f(−π所以x=−π4不是函数对于C，因为f(π所以x=π8不是函数对于D，因为f(π所以x=π4不是函数故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象求对称轴的方法，进而得出函数f(x)=sin3．【答案】D【解析】【解答】因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，进而得出直观图中的角A的值。4．【答案】C【解析】【解答】由题意知：|a|==2=2=4=4×16=64所以|a故答案为：C.

【分析】首先由题意得到|a|2+5．【答案】C【解析】【解答】对于A，1i对于B，(1−i)(1+i)=1−i1+i1−ii+i故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则、虚数单位的运算法则和周期性，进而找出与i相等的复数。6．【答案】A【解析】【解答】DE=又因为DE=所以λ2=1所以λ+μ=1故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理得出λ，μ的值，从而得出λ+μ的值。7．【答案】C【解析】【解答】函数的定义域为{x|x≠±12}所以函数f(因为当x>0时，ex所以当0<x<12时，f(x)当x趋近于+∞时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值f(x)趋近于+∞，故排除A选项，故答案为：C

【分析】利用已知条件结合函数的定义域、奇函数的图象的对称性、特定区间求函数的值域的方法、函数求极限的方法，从而找出函数的大致图象。8．【答案】A【解析】【解答】因为在Rt△CAB中，BC=1002，∠CAB=30°所以AC=BC在△CAM中，∠AMC=180°−∠MCA−∠MAC=45°，由正弦定理得：ACsin∠AMC=所以AM=2003在Rt△AMN中，∠MAN=60°，所以MN=AMsin故答案为：A

【分析】在相关三角形中，两次利用正弦定理，就可以求解。9．【答案】A,D【解析】【解答】由(AB+AC)⋅(AB由OA+OB+OC=0，取BC中点所以OA，OD共线，且O在线段AD上，OAOD=2由AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cos(π−B)<0，得cos(由OA⋅BC=0，OB⋅AC=0，得OA⊥BC，故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合三角形的结构特征，再结合等腰三角形的定义和钝角三角形的定义、三角形外心的定义、数量积为0两向量垂直的等价关系，进而找出结论正确的选项。10．【答案】A,D【解析】【解答】对于A，在△ABC中，因为sinA<sinB，由正弦定理BCsinA=ACsinB在△ABC中，因为BC<AC，则2RsinA<2Rsin所以在△ABC中，sinA<sinB对于B，将函数y=sin2x的图象向右平移得y=sin对于C，若z1=2+i，但是z1=2+i，z2对于D，在△ABC中，因为sina2+b则cosC=a2+b所以△ABC是钝角三角形，D符合题意.故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法、正弦型函数的图象变换、钝角三角形的定义，进而找出说法正确的选项。11．【答案】B,D【解析】【解答】由A=π3，b=8，即c2−8c−12=0，解得c=2或当c=2时，cosB=a2此时△ABC为钝角三角形，A不符合题意；当c=2时，S=1当c=6时，S=1所以△ABC面积为43或12设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R=asinA所以△ABC外接圆的面积为πR故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合锐角三角形的定义、三角形的面积公式、余弦定理求AB的长度的方法、正弦定理求三角形的外接圆的半径的方法，圆的面积公式，进而找出说法正确的选项。12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，因为函数f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(−x+1)，即f(x)的图象关于直线x=1对称，因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(x+2)=f[−(x+1)+1]=f(−x)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，A符合题意；因为f(x)关于直线x=1对称，且为奇函数，所以f(x)关于直线x=−1对称，又f(x)是周期为4的函数，所以f(x)关于直线x=3对称，因为2023=505×4+3，所以直线x=2023是函数f(x)的一条对称轴，B符合题意；由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，当x∈(0，1]时，f(x)=−x2，可得当令x∈[2，3]，则x−2∈[0，此时f(x)单调递增，因为2022=505×4+2，所以f(x)在[2022，2023]上的单调性相当于f(x)在f(2022)=f(2)=0，所以f(2022)+f(2023)=1，D符合题意.故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，再结合函数的周期性、函数的对称性、减函数的定义、函数的周期性求函数的值的方法，进而找出结论正确的选项。13．【答案】1【解析】【解答】因为函数y=sin(2ωx+π6)所以2π2ω=π，解得故答案为：1.

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出ω的值。14．【答案】1【解析】【解答】因为|a+b所以(a+b所以a在b上的投影向量是a⋅故答案为：1

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的运算法则，进而得出a→⋅b→的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出15．【答案】3【解析】【解答】令g(x)=a2x−12x因为f(−2023)=−1，所以g(因为g(−x)=a2所以g(所以g(所以f(2023)=g(2023)+1=−g(故答案为：3

【分析】令g(x)=a2x−12x+1+bsinx16．【答案】6+4【解析】【解答】AB=c，依题意AD是角A的角平分线，由三角形的面积公式得12化简得2c+2b=bc，1bAB+2AC=c+2b=2(c+2b)(≥2(3+2c当且仅当cb=2b故答案为：6+4

【分析】由三角形的面积公式得1b+117．【答案】（1）解：若向量a，b能构成一组基底，则向量a，b不共线，则m(m+1)−2≠0，解得m≠−2且m≠1；（2）解：因为c⊥(a−即m+3−2−3(m+1)=0，解得m=−1，所以a=(−1，1)则cos⟨又因为0≤⟨a，b即向量a与b的夹角为3π4【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量的基底的判断方法，再结合向量共线定理，进而得出实数m的取值范围。

（2）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出实数m的值，再结合数量积求向量夹角公式和两向量的夹角的取值范围，进而得出向量a与b的夹角大小。18．【答案】（1）解：因为z是纯虚数，所以m2−2m−3=0m（2）解：z=因为复数z在复平面内对应的点在第一象限，所以m2−2m−3>0−(所以实数m的取值范围为(−2，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。

（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再结合复数的几何意义得出共轭复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限的方法，进而得出复数z在复平面内对应的点所在的象限，从而得出实数m的取值范围。19．【答案】（1）解：f(x)=2asin由题意可得f(π3)=0，即3（2）解：由（1）得f(x)=3令π2+2kπ≤2x−π所以f(x)单调递减区间为[π【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合函数的零点求解方法，进而得出实数a的值。

（2）利用（1）得出的实数a的值得出函数的解析式，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出函数的单调递减区间。20．【答案】（1）解：因为2c−ba由正弦定理可得：2sin即(2sin2sin因为C∈(0，π)，所以所以cosA=因为A∈(0，π)，所以（2）解：由（1）得A=π则cosA=所以b2+c当且仅当b=c=2时等号成立，因为点D是边BC中点，所以2AD两边平方可得：4|则4|所以|AD|≤3中线AD长的最大值为3.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，从而由三角形内角的取值范围，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的大小。

（2）由（1）得A=π3，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合点D是边BC中点，再利用平行四边形法则，所以221．【答案】（1）解：设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，因为(si由正弦定理可得(b2+故sinA=cosA⋅sinA因为△ABC为锐角三角形，则0<B<π2π所以，角B的取值范围是(π（2）解：设△ABC的外接圆半径为R，所以|OA因为A=π6，所以又OB⋅OC=12设∠AOC=θ，则θ=2B∈(2π3，所以OA =1×1× =3因为θ∈(2π3，所以−1≤cos(θ+π所以，AO⋅(所以OA⋅(AB+【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理、同角三角函数基本关系式和锐角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用锐角三角形的取值范围和三角形内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围。

（2）设△ABC的外