重庆市九校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

重庆市九校联盟2022-2023学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知i是复数单位，求i2023A．1 B．−i C．-1 D．i2．已知sinα=45，α∈(A．725 B．2425 C．−243．已知平面向量a=(1，x)，b=A．12 B．23 C．-1 4．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：S=14[c2a2−(c2+aA．1 B．2 C．32 D．5．在△ABC中，已知角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且满足c=5，A．23 B．3 C．436．已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=2A．2 B．4 C．7 D．27．已知函数f(x)=12sin2ωx+32①函数f(x)在区间[π②函数f(x)关于直线x=π③把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且OA−2aOB−bA．22+2 B．22−2 C．二、多选题9．下列叙述中正确的是（）A．若a//bB．若a=bC．已知非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反D．对任一非零向量a，10．已知复数z=2A．复数z在复平面内对应的点在第三象限B．复数z的实部为1C．zD．复数z2的虚部为11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为A．sinAB．CAC．若c=6，则△ABC的面积是15D．若b+c=8，则△ABC外接圆半径是712．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a+b)(sinA−sinB)=c(sinC+sinB)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b+c的可能取值有（）A．21 B．24 C．27 D．36三、填空题13．在△ABC中，E是AB的中点，点F在BC上，满足BF=2FC，设AB=a，AC14．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3，则△ABC的面积为15．已知α，β是锐角，且sinα=416．（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝2，求OC的坐标为．四、解答题17．已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．18．已知函数f(x)=2cos（1）求f(x)的最小正周期和f(x)的单调递减区间；（2）当x∈[π2，19．已知向量a=(3  ，  2)（1）当(2a−b（2）当c=(−8  ，  −1)，a//(b+c20．如图，在ΔABC中，∠B=π3，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长.21．已知向量a=(cosωx−sinωx，sinωx)，b=(−cosωx−（1）求函数f(（2）若y=f(x)的图像经过点(π4，0)，求函数22．一个△ABC，它的内角A，B，（1）如果这个三角形为锐角三角形，且满足a2−b（2）若△ABC内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着△ABC的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种△ABC的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由i2023故答案为：B

【分析】利用已知条件结合虚数单位的周期性和运算法则，进而得出i20232．【答案】D【解析】【解答】由题意知，cos2α=1−2故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，进而得出cos2α3．【答案】B【解析】【解答】由题设2x=2−x，则x=2故答案为：B

【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示得出实数x的值。4．【答案】C【解析】【解答】由题意ac=2，则S△ABC故答案为：C

【分析】利用已知条件结合韦达定理得出ac的值，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积。5．【答案】C【解析】【解答】因为c=5，b=7，D为BC的中点，在△ADB中，根据余弦定理可得，cos∠ADB=|DB|在△ADC中，根据余弦定理可得，cos∠ADC=|DC|又因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0故有a220a+a2−9620a故答案为：C.

【分析】利用c=5，b=7，D为BC的中点，AD=5，结合余弦定理和∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0，故有6．【答案】A【解析】【解答】因为a，b满足|a|=3，|所以|2a=4×3+4×(−3)+4=4，所以|2a故答案为：A

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而得出|2a7．【答案】A【解析】【解答】因为函数f(x)=12sin2ωx+32cos2ωx=sin(2ωx+π因为π2<x<7π12，所以4π3令2x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得：x=将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移π3个单位长度可得到y=sin(2x+所以正确的结论序号为：①②，故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出ω的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合正弦型函数的图象判断出函数f(x)在区间[π8．【答案】B【解析】【解答】因为OA因为点A在线段BC上（不含端点），所以2a+b=1∴=当且仅当2(故答案为：B

【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和均值不等式求最值的方法，进而得出aa+2b9．【答案】C,D【解析】【解答】A：若b=0时，a//B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反，正确；D：非零向量a，则a|故答案为：CD

【分析】利用已知条件结合向量共线定理、向量的定义、平行向量的定义、单位向量的定义，进而找出叙述正确的选项。10．【答案】B,C【解析】【解答】由题意得z=2故复数z在复平面内对应的点为(1易知复数z的实部为12因为z⋅z=|z|因为z2所以复数z2的虚部为−故答案为：BC．

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义和点的坐标确定点所在的象限判断方法、复数的实部的定义、复数与共轭复数的关系、复数的乘法运算法则、复数虚部的定义，进而找出正确的选项。11．【答案】A,D【解析】【解答】设b+c=4t，c+a=5t，a+b=6t，t>0，则a=72t，b=对于A，sinA对于B，CA⋅对于C，若c=6，则t=4，a=14，b=10，所以cosC=a2所以△ABC的面积是12对于D，若b+c=8，则52t+32t=8，则t=2，则a=7所以cosC=a2所以△ABC外接圆半径为c2故答案为：AD

【分析】利用已知条件结合正弦定理、数量积求向量夹角公式、三角形的面积公式、余弦定理和同角三角函数基本关系式、正弦定理的性质，进而找出结论正确的选项。12．【答案】C,D【解析】【解答】在△ABC中，(a+b)(sinA−sinB)=c(sinC+sinB)，由正弦定理得(a+b)(a−b由余弦定理得cosA=b2+c角A的内角平分线AD的长为3，由S△BAD12即3csinπ3则4b+c=3(当且仅当cb=4b所以当c=2b=9时，4b+c取得最小值27．若4b+c=36，又1b+1因为Δ=(−45)故方程有正根，故满足要求.故答案为：CD

【分析】在△ABC中，(a+b)(sinA−sinB)=c(sinC+sinB)结合正弦定理和余弦定理以及三角形中角的取值范围，进而得出角A的值，再利用角A的内角平分线AD的长为3，由S△BAD+S△CAD=S△BAC和三角形的面积公式得出1b+1c13．【答案】−【解析】【解答】如下图示，EF=故答案为：−

【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理得出EF→14．【答案】6【解析】【解答】由余弦定理得，a2+c2−解得c1=23，c2=-23（舍），则a=2c=43，所以S故答案为：6【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。15．【答案】3【解析】【解答】由题设0<α+β<π，则sin(α+β)=所以sinβ=故答案为：3

【分析】利用已知条件结合角的取值范围得出0<α+β<π，再结合同角三角函数基本关系式得出sin(α+β)的值，再结合角之间的关系式和两角差的正弦公式，进而得出16．【答案】(【解析】【解答】由题意可设OC所以OC=因为|OC|＝2，所以3105t=2∴t=103

【分析】利用已知条件结合点C在∠AOB的平分线上，所以OC=t(OA|OA|+OB17．【答案】（1）解：若复数是纯虚数，则m(m+2)=0m2+m−2≠0，解得m=0或m=−2且m≠1，m≠−2（2）解：复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则m(m+2)>0m2+m−2<0，解得0<m<1，故m【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出m的值。

（2）利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限的方法得出实数m的取值范围。18．【答案】（1）解：f(x)=2sin所以，函数y=f(x)的最小正周期为T=2π由2x−π3=kπ (k∈Z)函数y=f(x)的对称中心为(kπ解不等式π2+2kπ≤2x−π因此，函数y=f(x)的单调递减区间为[kπ+5π（2）解：当x∈[π2，当2x−π3=3π2时，即当x=【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦函数，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再利用正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出正弦型函数的单调递减区间。

（2）利用已知条件结合x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出正弦型函数在给定区间的最小值，进而得出对应的x的值。19．【答案】（1）解：向量a=(3  ，  2)，b=(x  ，由(2a−b)⊥b，可得(2解得x=1或x=5，当x=1，则，则a+2b=(5当x=5，a+2b=(13，0)（2）解：由c=(−8，由a//(b+c)所以|a|=cos又α∈[0，π]，所以【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而结合数量积的坐标表示得出x的值，从而得出向量的坐标，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出|a+2b|的值。

（2）利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示得出x的值，从而得出向量的坐标，再结合数量积求向量的夹角公式，从而得出向量a与20．【答案】（1）解：在ΔADC中，∵cos∠ADC=17，∴sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)=（2）解：在ΔABD中，由正弦定理得：BD=在ΔABC中，由余弦定理得：A∴AC=7【解析】【分析】（1）首先求出sin∠ADC=4321．【答案】（1）解：向量a=(cosωx−sinωx，sinωx所以f=−=2sin(由直线x=π是y=f(x)所以2ωπ−π6=kπ+又ω∈(12，1)，所以所以f(x)（2）解：由(1)可知f(若y=f(x)的图像经过点(π4，0所以f(由0⩽x⩽3π5，得所以−1得−1−2故函数f(x)在区间[0，3π5【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。

（2）由(1)可知f(x)=2sin(53x−π6)+λ，若y=f(22．【答案】（1）解：由a2−b⇒即2accosB=bc+再由正弦定理，有：2所以sin因为三角形为锐角三角形，所以B=A−B，即A=2B得：a由A，B，C∈(0，π又B=π−C3，得：B∈(所以B∈故a（2）解：A