湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

学年度下学期级二月月考数学试卷命题人：吴家欣审题人：肖小权考试时间：年2月日一、单选题1.已知集合，下列选项中为的元素的是（）①②③④A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】B【解析】【分析】由集合即可直接判断；【详解】集合有两个元素：和.故选：B2.已知，若，，则是的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式求出命题、，再根据充分不必要条件定义判断可得答案.【详解】由得，解得，则，由得，则，所以若成立，则成立，但成立，但不一定成立，则是的充分不必要条件.故选：B.3.是圆第1页/共17页条步道和在弧上（不与重合），则步道长的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，设，，表达出，，化简求出，结合，得到最大值.【详解】取的中点，连接，则⊥，⊥，因为，所以，，因为，所以，因为，所以，故，故⊥，设，，则，，故，，故，因为，所以，，第2页/共17页故当，即时，取得最大值，最大值为30，故步道长的最大值为30m故选：B4.已知某一指数（其中数据M中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解.【详解】根据题意，，，两式相除可得，，所以，可得，故选:D．5.设，则的大小顺序为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将分别与进行比较即可得到结果.【详解】因为为第二象限角，所以，第3页/共17页，所以.故选：D.6.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据图象的平移变化求解析式即可.【详解】向右平移个单位长度得到，然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，所以.故选：D.7.已知函数，给出下列四个说法：①；②；③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称．其中正确说法的序号是（）A.②③B.①③C.①④D.①③④【答案】B【解析】第4页/共17页【分析】③对．由取特值，可确定④错．【详解】，所以函数的周期不为，，周期为；所以=，①对，②错；当时，，，所以在上单调递增，③对．，所以④错．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数性质的判定，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.8.已知，则m，n关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，，，则，即，即.故选：D二、多选题第5页/共17页9.若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.的最大值为C.的最大值为25D.的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得，可判断A，利用基本不等式判断BCD.【详解】对于A，因为关于的方程有两个正根，所以解得.故A正确；对于B，，故，当且仅当时取等号，即的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立，但，所以等号不能成立，故C不正确；对于D，，当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立.故正确，故选：ABD10.关于函数，下列命题中为真命题的是（）A.函数的周期为π第6页/共17页B.直线是的一条对称轴C.点是的图案的一个对称中心D.将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式先化简函数式，再结合三角函数的图象与性质即可.【详解】由，显然的周期为，所以A正确；当时，，显然，由三角函数的图象与性质可知B错误，C正确；将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象，故D正确.故选：ACD已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为第7页/共17页B.函数的图象关于直线对称C.函数图象向右平移个单位可得函数的图象D.若方程在上有两个不等实数根，，则．【答案】AB【解析】【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知，，所以，于是A正确，所以，则，将点代入得：，所以，，又，所以，所以，对于B，因为，为最小值，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故C错误；对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．故选：AB．三、填空题12.若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为__________________.【答案】【解析】第8页/共17页【分析】根据正弦函数过的点坐标可求出，再由单调性得出不等式即可解出.【详解】由题可知，且，解得，又的图象在上单调，且，可得，解得，故的取值范围为.故答案为：13.已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得.【详解】因函数为奇函数，，函数关于x＝1对称，则有，则有，变形可得，则有，即4是函数的一个周期，则，又由当时，，则，则．故答案为：．14.已知，，值为_________．【答案】##90°【解析】【分析】根据二倍角公式可得，，两式相除化简得第9页/共17页，结合，均为锐角可得结果.【详解】∵，∴，∵，∴，、两式相除得：，∴，即，∵，均为锐角，∴，∴，∴.故答案为：.四、解答题15.（1）计算：；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）2）5【解析】1）由指数、对数的运算即可求解；（2）由诱导公式得到，再结合商的关系，弦化切即可求解；1）原式．（2），所以．第10页/共17页16.已知函数.（1）求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；（2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围.【小问1详解】.所以函数的最小正周期.由，解得.所以函数的单调递减区间为.【小问2详解】由题意可知，即.因为，所以.故当，即时，取得最大值，且最大值为.所以，实数的取值范围为.第11页/共17页17.某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知（，．（1）写出的值，并求的表达式；（24个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由．【答案】（1），（2“2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好，理由见解析【解析】，再根据即可求得的表达式；（24个单位量的洗涤溶分两次漂洗后残留的最少污渍量，和用4个单位量的洗涤溶液一次性漂洗后的残留污渍量进行比较，即可得出结论.【小问1详解】依题意，．所以．又因为，所以，解得．所以．【小问2详解】设第一、二次漂洗分别使用，个单位量的洗涤溶液，其中，，，且．假设原污渍量为，．因为，所以第一次漂洗后，残留的污渍量为．因为，所以经过二次漂洗后，残留的污渍量为．第12页/共17页．因为，，所以，所以．当且仅当时，上式等号成立．所以的取值范围是．因为函数在单调递减，在单调递增，且，，，所以当时，即时，取得最大值，最大值为81．此时残留的污渍量最少，其值为．所以，用总量为4个单位量洗涤溶液，对该污渍漂洗两次，当两次漂洗使用的洗涤溶液都为2个单位量时，去污效果最好．因为，所以，用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次，残留的污渍量为．因，所以“2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好.18.已知函数为偶函数.（1）求函数的解析式；（2与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值.【答案】（1）第13页/共17页（2）2【解析】1）根据偶函数性质计算可得，满足题意即可得解析式；（2）将问题转化为方程有且只有一个大于0的解，再由基本不等式可得结果.【小问1详解】由为偶函数，有，即，，解得；经检验，时，满足，符合题意；因此函数的解析式为.【小问2详解】由题意知有且只有一个实数解,有且只有一个实数解；令，则关于的方程有且只有一个大于0的解，即关于的方程有且只有一个大于0的解则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点由函数的图象得，此公共点为，可得.19.已知函数的定义域为，满足函数是“任意漂移函数”，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”.（1）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值；第14页/共17页（2是定义在的“任意漂移函数”，的不等式；（3）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由漂移函数的定义列出方程求解即可；在，求解；（3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可；【小问1详解】函数是“存在漂移函数”，则在有解，即，化简得，令，则，即，解得【小问2详解】，设，则，得，即，所以在是单调递增函数第15页/共1