2024-2025学年高中数学试题选择性必修一（人教B版2019）第2章平面解析几何2-7-1抛物线的标准方程

2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程课后训练巩固提升1.若抛物线y=1ax2的准线方程为y=1,则a的值是(A.14 B.14 C.4解析:抛物线y=1ax2的标准方程为x2=ay,故其准线方程为y=a又抛物线的准线方程为y=1,则a4=1,解得a=4答案:D2.设椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上焦点与抛物线y=4x2的焦点相同A.x23+y24C.128x23+32y2=1 D.256x23解析:因为抛物线y=4x2的焦点为0,116,所以椭圆的上焦点为0,1又因为离心率为12,所以c所以a=18,b=a所以椭圆的方程为256x23+64y2答案:D3.若抛物线y2=2px(p≠0)的准线为圆x2+y2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程为()A.y2=16x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=4x解析:由题意知,抛物线y2=2px(p≠0)的准线为x=p2,垂直于x轴,圆x2+y2+4x=0垂直于x轴的一条切线为x=4,则p2=4,即p=8.故抛物线的方程为y2=答案:C4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆面积为9π,则p=()A.2 B.4 C.3 D.3解析:因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为9π,所以圆的半径为3.又圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=p2,所以p2+p4=答案:B5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点.若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是()A.23 B.2+3C.31 D.23或2+3解析:由题意,得Fp2,0,设Py122p,y1,Qy222p,y又y1≠y2,所以y1=y2.所以|PQ|=2|y1|=2,所以|y1|=1,所以|PF|=12p解得p=2+3或p=23.答案:D6.若抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值是1,则p=.

答案:27.已知抛物线y=ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24y2=1的两条渐近线分别交于A,B两点.若|AB|=4,则a=解析:由抛物线y=ax2(a>0),可知抛物线的准线为y=14由双曲线x24y2=1,可知渐近线为y=±因为|AB|=4,所以由双曲线的对称性,可知直线y=14a与y=12x的交点为2,-14a,将点的坐标代入y=12x,答案:18.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为162,则抛物线的方程为.

解析:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2设M(x0,y0),由|MF|=3|OF|可得,x0又因为y02=2px所以x0-p22+2即x02+px02p2解得x0=p或x0=2p(舍去).所以Mp,±2p,所以S△MFO=12×p2因为p>0,所以p=8.故抛物线的方程为y2=16x.答案:y2=16x9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线的方程和点M的坐标.解:由抛物线的定义知,焦点为F-p2,0,由题意,设点M到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即p2(9)=解得p=2.故抛物线的方程为y2=4x,将M(9,y)的坐标代入y2=4x,解得y=±6.则M(9,6)或(9,6).10.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(线段AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=p2∵|AF|+|BF|=8,∴x1+p2+x2+p2=8,即x1+x2=∵Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,∴|QA|=|QB|,即(6又y12