2024年湖南株洲某中学九年级开学考试数学试卷（含答案详解）

株洲市二中2024年九上秋季入学数学检测

满分：120分时间：120分钟

一、选择题，本题共10小题，每题3分，共30分.在每小题给出的四个选项

中，仅有一项是符合题目要求的.

1.如果零上2-C记作+2℃,那么零下3℃记作（）

A.-3℃B.3℃C.-5℃D.5℃

2.2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在

农村的义务教育经费保障机制.将“1582亿”用科学记数法表示为（）

A.158.2xl09B.15.82xlO10C.1.582x10“D.1.582xl012

3.下列运算正确的是（）

A.x3+x2=x5B.2-=JC.（3x）2=6x2D.-5-3=-2

4.菜鸡班有5位学生参加志愿服务次数为：7,7,8,10,13.则这5位学生志愿服务次数

的中位数为（）

A.7B.8C.9D.10

5.如图，直线。〃6,矩形4BCD的顶点4在直线6上，若/2=41。，则N1的度数为（）

C.49°D.59°

6.如图，一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点4则点/关于y轴的对称点是（）

C.(0,3)D.(0,-3)

7.如图，Rt4/BC中，ZC=90°,Z5=40°以点A为圆心，适当长为半径画弧，

试卷第1页，共8页

交"E,交"于点尸，再分别以点E,尸为圆心，大于海的长为半径画弧,两弧

（所在圆的半径相等）在ZBAC的内部相交于点P；画射线/尸与5c相交于点。，则ZADC

的大小为（）

C.70°D.80°

8.烷烧是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结

构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如

图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分

9.反比例函数＞的图象上有尸亿%），两点.下列正确的选项是（）

A.当/<-4时，y2<yl<0B.当一4＜t＜0时，%＜为＜0

C.当-4<i<0时，0<yl<y2D.当t＞0时，0＜乂＜%

10.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单

的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132x23,运算结

果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2

中现有数据进行推断，正确的是（）

图1图2

试卷第2页，共8页

A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“口”表示5

C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为4100。+1025

二、填空题.本题共8小题，每小题3分，共24分.

11•y/s=_____________

12.分解因式：ax-ay=.

13.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是.

-2-101234

14.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是.

15.分式方程上;的解为____.

x-2x

16.如图，在正五边形N8CDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH,连接则

ZBHC=.

CTD

17.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单

位:m）,此时这组成绩的平均数是20m,方差是s；m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m

线上，且投掷结束后这组成绩的方差是则s：s；（填或

V--一-

30m\/30m

20m20m

18.如图，在矩形纸片NBC。中，AB=y/2,AD=2,E为边4D的中点，点F在边C。上,

连接好，将SE产沿E尸翻折，点。的对应点为诩连接AD'.若BD'=2,则。尸=

试卷第3页，共8页

三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演

步骤.

19.先化简，再求值：".上+』，其中尤=3.

xx+2x

20.我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识.为了解某小区家庭用水情况，随

机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量(单位：吨)，绘制出如下未完成的统计图表.

50个家庭去年月均用水量频数分布表

组别家庭月均用水量(单位：吨)频数

A2.0</<3.47

B3.4W4.8m

C4.84/<6.2n

D6.2<?<7.66

E7.6<t<9.02

合计50

50个*庭幺年月均用水・血膨图

根据上述信息，解答下列问题:

(1)加=,"=;

(2)这50个家庭去年月均用水量的中位数落在组；

(3)若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个?

试卷第4页，共8页

21.如图，在四边形/BCD中，AB〃CD,点、E在边4Bk,_.请从“①48=44瓦)；

②AE=BE,NE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再

解决下列问题：

(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；

(2)若AD工AB,AD=S,SC=10,求线段/E的长.

22.某快递企业为提高工作效率，拟购买/、2两种型号智能机器人进行快递分拣.

相关信息如下：

信息一

A型机器人台数3型机器人台数总费用(单位：万元)

13260

32360

信息二

①)

A型机器人每台每天可

分拣快递22万件；

B型机器人每天每天可

分拣快递18万件。

LJ____________________y

(1)求4、8两种型号智能机器人的单价；

(2)现该企业准备用不超过700万元购买/、2两种型号智能机器人共10台.则该企业选择

哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

23.已知反比例函数y=：(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x20)的图象交于点/(2,a),点

3是线段。力上(不与点4重合)的一点.

试卷第5页，共8页

⑴求反比例函数的表达式；

（2）如图1,过点B作V轴的垂线/,/与>=*>0）的图象交于点。，当线段8D=3时，求点B

的坐标；

（3）如图2,将点/绕点3顺时针旋转90。得到点£,当点E恰好落在y=?kx>0）的图象上时,

求点E的坐标.

24.我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他

们决定研究数的一些“神秘”性质.

探索数的神秘性质

尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入举例论证：

素门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中13=1；23=3+5；33=7+9+11;

材任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数请你按规律写出：

之和.43=_.

规

当机为偶数10时，则等号右边

律当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即

式子中的中间两个数（即第5和

总第4个数）为」

第6个数）为一.

结

综

合

利用上面结论计算：）+23+33+…+93+103+1F.

应

用

试卷第6页，共8页

我们还发现以下规律：已知机，2,"23,且小，〃均为正整数，如果将一进行如

图所示的“分解”:

拓

展

延若加"(且加，〃均为不大于7的正整数)的分解中有

伸

奇数31,则环的值为

25.【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的

(1)①如图1,A4BC中，44=90。，贝ij△48c的三条高所在的直线交于点」

②如图2,A48C中，/A4c>90。，已知两条高BE,AD,请你仅用一把无刻度的直尺(仅

用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段)画出A/BC的第三条高.(不写面

法，保留作图痕迹).

【综合应用】

(2)如图3,在中，ZABC>ZC,4。平分N&1C,过点3作BE_L于点E.

①若ZABC=80°,ZC=30°,则ZEBD=_；

②请写出NEAD与/A8C,NC之间的数量关系」

【拓展延伸】

(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的

试卷第7页，共8页

的面积BM

面积比等于对应底边的比.如图4,M是8c上一点，则有如图5,

△/C"的面积CM

△4BC中，M是上一点BM=；3C,N是NC的中点，若三角形4BC的面积是相，请直

接写出四边形CWN的面积_.（用含巾的代数式表示）

试卷第8页，共8页

1.A

【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是

一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用

负表示.首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答.

【详解】解：：零上2七记作+2℃,

零下3匕记作-3p,

故选：A.

2.C

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.确定〃的值时，要看把原数

变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于

10时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

【详解】解:1582亿=1582x108=1.582x10”.

故选：C.

3.B

【分析】根据积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负

整数指数幕的运算方法，逐项判断即可.

【详解】解：A、x3+x2^?,故选项A不符合题意；

B、2-1=1,故选项B符合题意；

C、（3"=9/，故选项c不符合题意；

D、-5-3=-8,故选项D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，

以及负整数指数幕的运算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键.

4.B

【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果

这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数

为中位数，，是解本题的关键.

【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8,

答案第1页，共16页

...中位数为8,

故选B.

5.C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作得到

推出乙48c=/1+/2,进行求解即可.

【详解】解：：矩形/BCD,

N/BC=90。，

过点B作BE"a,

,：a//b,

：.BE//a//b,

：.Zl=NABE,N2=NCBE,

：.NABC=ZABE+ZCBE=Z1+Z2,

,//2=41。，

Zl=90o-41°=49°；

故选C.

6.A

【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是

解题关键.

先求出点A的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可.

【详解】解：令%。，则0=2x-3,

解得：％=；3，

a

即A点为（；,0）,

则点/关于y轴的对称点是.

故选：A.

7.B

答案第2页，共16页

【分析】本题主要考查基本作图一角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，

掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本

题的关键.

由直角三角形两锐角互余可求出NR4C=50。，由作图可得NR4O=25。，由三角形的外角的

性质可得NADC=65。，即可求解.

【详解】解：,•,NC=90。，Z5=40°,

ABAC=90°—NB=90°-40°=50°,

由作图知，/P平分/B/C,

ABAD=-ABAC=-x5（P=1?,

22

又/ADC=/B+/BAD,

.•/DC=40°+25°=65°,

故选：B.

8.B

【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可.

【详解】解：由图可得，

第1种如图①有4个氢原子，即2+2xl=4

第2种如图②有6个氢原子，即2+2x2=6

第3种如图③有8个氢原子，即2+2x3=8

••,，

，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2x10=22；

故选：B.

9.A

4

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数>=可知函数

x

位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出凶与％的大小.

4

【详解】解：根据反比例函数y=-,可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y

x

都是随着X的增大而减小，

反比例函数>=3的图象上有尸。,乂），。«+4,%）两点，

x

当/</+4<0,即/<一4时，0>%>%；

答案第3页，共16页

当/<0</+4,即-4<t<0时,必<0<%；

当0</</+4,即Z>0时，必>力>0；

故选：A.

10.D

【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决

本题的关键.

设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10机+〃，则mz=20,MZ=5,ny=2,nx=a,

即〃2=4〃，可确定〃=L>=2时，贝!J%=4,z=5,x=a,由题意可判断A、B选项，根据题意

可得运算结果可以表示为：1000（4a+l）+100a+25=4100a+1025,故可判断C、D选项.

【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10加+〃

如图：

036

图1图2

则由题意得:

mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,

n?7

A—=4,即加=4〃，

nz

I.当〃=2j=l时，z=2.5不是正整数，不符合题意，故舍;

当〃=l,y=2时，则加=4,z=5,x="，如图：

答案第4页，共16页

036

图1图2

，A、“20”左边的数是2x4=8,故本选项不符合题意;

B、“20”右边的“口”表示4,故本选项不符合题意;

。上面的数应为4a,如图:

467+1a25

图2

运算结果可以表示为：1000(4a+1)+100。+25=4100a+1025,

.\D选项符合题意，

当。=2时，计算的结果大于6000,故C选项不符合题意，

故选：D.

II.2

【分析】本题考查了立方根的运算法则，掌握立方根的运算法则是解答本题的关键.

根据立方根的求解法则进行计算即可.

【详解】解：我=2,

故答案为：2.

12.q(x-y)

【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看

答案第5页，共16页

是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止;

解：原式=a（x-y）；

13.x>3##3<x

【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取

大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为x23,x>2,

不等式组的解集为x23,

故答案为：x>3.

14.9

【详解】解：360+40=9,即这个多边形的边数是9.

故答案为：9.

15.x=-4

【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解.

【详解】解：-13~=2-

x-2x

3x=2（x-2）

解得：x=T

经检验x=-4是原方程的解，

故答案为：x=T.

16.81°##81度

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的外角和等知识点，熟练掌握等腰三角形

的性质，正多边形的外角和等知识点是解答本题的关键.

先求出/BCD的度数，再求出的度数，最后根据等腰三角形的性质，即可得出答案.

【详解】解：•••五边形43CDE是正五边形，

.•./BC£>=180°-（360°+5）=108°,

---NHCD=90°,

ZBCH=/BCD-ZHCD=18°,

•••BC=HC,

:.ZBHC=ZCBH=）=81°,

故答案为：81。.

答案第6页，共16页

17.>

【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键.根据方差的意义即可得到

答案.

【详解】解：设这组数据为前9个数分别为卬壬，…，8，

2

由题意可知，=—[(x1-20)-+(x2—20)+•-H-(x9-20)"],

22

s；=-t[(X1-20)+(x2-20/+-•+(%,-20)+(20-20)5

222

=^[(X1-20)+(X2-20)+--+(X9-20)]

S；<s；;

根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，

故答案为：>.

18.V3-V2##-V2+V3

【分析】如图：连接3E,延长房交A4的延长线于X,根据折叠的性质及矩形的性质，证

明也RtAEDE(ASA),进而得到△BE。'为直角三角形，设NDEF=a,贝1]

NAEH=2DEF=a,ZDED'=2a,证明为等腰三角形，求出NX,进而完成解答.

【详解】解：如图：连接5E,延长FE交区4的延长线于X,

,/矩形ABCD中AB=4i,AD=2,E为边ND的中点，,

AE=DE=\,/BAE=ZD=90°,

:将AZ）所沿好翻折，点。的对应点为。外

ED=ED'=\,ZED'F=ZD=90°,ZDEF=ZD'EF,

答案第7页，共16页

RtA/ME也RtAFDE(ASA),

：.DF=AH,

BE=dAB?+AE?=V2+1=V3，

,/BD'=2,

：.12+(A/3)2=22,即。炉+2炉=502,

为直角三角形，

设4DEF=a,贝1JN/E/Z=/£＞所=a,ZDED'=2a,

ZAEB=90°-2a,ZAHE=90°-a,

：.ZHEB=ZAHE=90°-a,

ABHE为等腰三角形，

BH=BE=5

AH=BH-AB=6-6，

:.DF=AH=y5-6.

故答案为：V3-V2.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、

勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键.

x+14

19.——，-

x3

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.先计

算乘法，再计算加法，然后把X=3代入化简后的结果，即可求解.

【详解】解：^4^--+-

xx+2x

(x+2)(x—2)x3

=----x2-----x-+-2-+x—

x-23

=----+—

XX

_X+1

=，

X

当、=3时，原式=3个+1=；4.

33

20.(1)20,15

答案第8页，共16页

⑵B

(3)648个

【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，以及用样本估计总体等知识.

(1)根据C组的扇形统计图的度数即可求出〃的值，再用50减去其他组别的频数，即可

求出m的值.

(2)根据中位数的定义即可得出答案.

(3)用样本估计总体即可.

【详解】(1)解：根据题意可知：360°x—=108°,

解得：〃=15,

.,.^=50-7-15-6-2=20,

故答案为;20,15；

(2)解：♦.•一共有50组用水量数据，

•••50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在2组.

...这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组，

故答案为：B；

(3)解：1200x^1|^=648(个)，

故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个.

21.(1)①或②，证明见解析；

(2)6

【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握

平行四边形的判定和性质是解题关键.

(1)选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；

(2)根据平行四边形的性质得出。£=3C=10,再由勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：选择①，

证明：•/ZB=ZAED,

：.DE//CB,

AB//CD,

•••四边形8cDE为平行四边形；

选择②，

答案第9页，共16页

证明：:AE=BE,AE=CD,

，CD=BE,

'：AB//CD,

，四边形3C0E为平行四边形；

（2）解：由（1）得DE=BC=1Q,

'：AD1AB,=8,

AE=4DE1-AD1=6•

22.（1）N型智能机器人的单价为80万元，8型智能机器人的单价为60万元

（2）选择购买/型智能机器人5台，购买2型智能机器人5台

【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组,

一元一次不等式的应用是解题的关键.

（1）设N型智能机器人的单价为x万元，8型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出

方程组，计算结果即可；

（2）设购买/型智能机器人。台，则购买8型智能机器人（10-。）台，先求出。的取值范

围，再得出每天分拣快递的件数=22a+18（10-a）=4a+180,当。取得最大值时，每天分拣

快递的件数最多.

【详解】（1）解：设/型智能机器人的单价为x万元，2型智能机器人的单价为y万元，

卜+3〉=260

（3x+2y=360

|x=80

解得

[y=60

答：N型智能机器人的单价为80万元，8型智能机器人的单价为60万元；

（2）解：设购买/型智能机器人。台，则购买8型智能机器人（10-。）台，

80。+60（10—<700,

・・Q«5,

•••每天分拣快递的件数=22〃+18（10-。）=40+180,

当。=5时，每天分拣快递的件数最多为4'5+180=200万件，

••・选择购买/型智能机器人5台，购买2型智能机器人5台.

答案第10页，共16页

23.（l）y=—；

x

⑵/1，3）;

⑶点E（3,4）.

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关

键.

（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；

（2）设点8（见3根），那么点。（勿+3,3冽），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点3

的坐标即可；

（3）过点8作〃了轴，过点E作于点过点A作/尸，尸女于点

F,NEHB=NBFA=90°,可得AEHBQABFA（AAS）,则设点

B（n,3n）,EH=BF=6—3n,BH=AF=2—〃,得到点矶6-2〃,4"-2）,根据反比例函数图象

上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标.

【详解】（1）解：将/（2,a）代入y=3x得。=3x2=6,

，/（2,6）,

kk

将N（2,6）代入y=々得6=；,解得左=12,

x2

，反比例函数表达式为y=上12，

X

（2）解：如图，设点3（加,3加）,那么点。（加+3,3加），

X

所以3刃（加+3）=12,

答案第11页，共16页

解得叫=1,加2=-4（舍）,

••回1,3）;

（3）解：如图，过点8作轴，过点E作尸”于点过点A作工尸,厂女于点

NHEB+ZEBH=90°,

;.NABE=9CP,BE=BA,

二ZEBH+NABF=90°,

ZBEH=ZABF,

设点、B（n,3n）,EH=BF=6-3凡BH=AF=2-n,

.,.点£（6-2凡4"一2）,

.-.（4M-2）（6-2M）=12,

3

解得4=5，%=2,

.•.点£（3,4）或（2,6）（舍）*此时点E（3,4）.

24.素材：13+15+17+19；规律总结：49,99,101；综合应用：4356；拓展延伸：64或

216

【分析】素材：设未知数，列方程求解即可;

规律总结:根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可;

综合应用:找出规律，根据规律进行计算即可求解;

拓展延伸:根据题意，验证求解.

答案第12页，共16页

【详解】解：素材：设43=(叱2)+。+(0+2)+[+4),

解得：a=15,

43=13+15+17+19,

故答案为：13+15+17+19；

规律总结：设73=(a—6)+(a—4)+(a—2)+a+(a+2)+(a+4)+(a+6),

解得：a=49,

2

当"2=10时，1。2-1=99,10+1=101,

故答案为：49,99,101；

综合应用：I3=1=I2,

13+23=1+8=9=32=(1+2)2,

13+23+33=1+8+27=36=6?=Q+2+3)?,

13+23+33+43=1+8+27+64=100=102=(1+2+3+看，

13+23+33+...+93+103+113

=(1+2+3+…+9+10+11)2,

_(1+11)x11

一2

=662

=4356

拓展延伸：当m=2时，2"一|-1=31,

解得：〃=6,

此时=26=64,

当:〃=6时，6"T-5=31,

解得n=3,

此时机”=63=216,

故答案为：64或216.

【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题

的关键.

答案第13页，共16页

9

25.（1）①A；②见解析；（2）①25°；②2NEBD=NABC-ZACB；（3）—m

20

【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；

②分别延长BE,DA,两者交于尸，连接CF交切的延长线于"，C”即为所求；

（2）①由三角形内角和定理和角平分线的定义可以得出NR4E=g/A4c=35。，再由直角

三角形的性质得=55。，即可求解；

②由三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；

（3）连接CD,由中线的性质得又制=凡的，同理：S"BN~S&CBN，设S"DN=S^CDN=a，

1、

m33333m

S.ABN=S.CBN=~，再求出SqM=.BCD=，S.ACM