2024年沪教版上海九年级数学上学期期末模拟卷（含答案解析）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷

（上海专用）（一模）

（考试时间：100分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：沪教版九年级上册。

4.难度系数:0.49o

第I卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的）

1.在下列命题中，真命题的个数有（）

①所有的等边三角形都相似；

②所有的直角三角形都相似；

③所有的菱形都相似；

④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；

⑤两个全等三角形一定相似；

⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解答】解：①所有的等边三角形都相似，说法正确，为真命题；

②所有的直角三角形都相似，说法错误，为假命题；

③所有的菱形都相似，说法错误，为假命题；

④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，说法正确，为真命题；

⑤两个全等三角形一定相似，说法正确，为真命题；

⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似，说法错误，为假命题.

真命题的个数为3,

故选：B.

2.已知：△M4Gs/kW%。2s△4生。3，如果△44G与约c2的相似比为2,△出生。?与△4d。3相

似比为4,那么△&为G与△44。3的相似比为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解答】解：2s△4鼻。3，如果△4目£与△4j。2的相似比为2,44当。2与△4名。3

相似比为4

AXBX:A2B2=2:1,A2B2:A3B3=4:1,

设4层=%,贝U4层-4%45]=8x,

/.AXBX:A3B3=8:1,

△4与G与44B3c3的相似比为8.

故选：D.

3.如图，在△ASC中，点。，£分别在ACh,DEIIBC,ZABE=ZAED,且/5=6,AC=9,

则C£的长为（）

A.9-376B.4C.5D.3c

【答案】C

【解答】解：•・•/)£//5C,

/.ZAED=ZC,

AABE=AAED,

ZABE=ZC,

•・•ZA=ZA,

・•.△ABESAACB,

.AB_AE

一~AC~~AB"

vAB=6,AC=9,

6AE

•.•—―_，

96

解得：AE=4,

:.CE=AC-AE=5.

故选：C.

4.如图，在AA8C中，点。、E分别是边5C、ZC的中点，4。和交于点G,设方=2，AE=b，

那么向量数用向量万、B表示为（）

一

C.——1a-+—1brD.—1a+—1b7

33332222

【答案】A

【解答】解：:方=5,AE=b，

JE=JA+AE=-a+b，

vAD,BE是A48C的中线，

:.G^\ABC的重心，

BG=-BE,

3

—*22-

BG=——a+-b,

33

故选：A.

5.二次函数＞="2+取的图象如图所示，当机＜、＜3时，歹随x的增大而减小，加的取值范围是（）

A.m>1B.-1<m<3C.1<m<3D.1<m<3

【答案】D

【解答】解：.••抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,

当时，y随x的增大而减小，

♦.,当加<x<3时，y随％的增大而减小，

m的取值范围是1（加<3.

故选：D.

6.如图，过矩形N8CD的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H,依次联结四个垂足，

可得到矩形设对角线NC与8。的夹角为a（0<a<90。），那么矩形EFG8与矩形ABCD面积的比

值为（）

A.sin2aB.cos2aC.tan2aD.cot2a

【答案】B

【解答】解：设矩形/BCD的对角线交于点。，如图，

四边形ABCD和四边形EFGH为矩形，

OA=OB=OC=OD,OE=OF=0G=OH,

=

-S矩形4884sAOM,S矩形EFGH=\OEF，

s

矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值=甘里

EFI/AB,

二.\OEF^\OAB,

--^=(—)2

…SWBOB-

■：BFLOA,OE=OF,

OFOE

cosa=----=-----

OBOB

矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值=cos2a.

故选：B.

AD

第n卷

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

_，心a2a+b

7.已知工=彳，则一.

b3b

【答案】I

【解答】解：

b3

a+b_2+3_5

b

故答案为：

8.C是靠近点3的黄金分割点，若N2=10c™,贝|/C=cm.（结果保留根号）

【答案】5-5

【解答】解：由于点C是线段45的黄金分割点，支撑点。是靠近点5的黄金分割点.

则AC=10x--=5^5-5cm.

2

故答案为：5V5-5.

9.已知向量关系式22+6（3-工）=0,那么向量工=（用向量2与向量3表示）.

1一

【答案】~a+b

【解答】解：・・・22+6（4—元）=6,

/.x=—a+b,

3

1一

故答案为：+b.

10.形状与开口都与抛物线＞=-2/+3x-1相同，顶点坐标是（0,-5）的抛物线对应的函数解析式

为.

【答案】y——lx1—5

【解答】解：设抛物线的解析式为"办2_5,且该抛物线的形状与开口方向和抛物线尸—2/+3%-1相同,

..6Z——2,

y=_2x**_5,

故答案为：y=-2x2-5.

11.对于一个二次函数y=a（x-"zf+左仅#0）中存在一点尸（x',y'），使得/-加=_/-左wO,则称2|x-

为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线夕=-；/+3+3“开口大小”为.

【答案】4

【解答】解：y=~^2++3=-1（x-1）2+,

23231o

解得无'-§=-2，

抛物线y=-^x2+^x+3“开口大小”为2|V-1|=2x|-2|=4,

故答案为：4.

12.如图，已知AD//3E//CF,它们依次交直线4于点/、B、C,交直线/2于点。、E、F,已知

AB:AC=3:5,Z)F=10,那么顾的长为.

【答案】4

【解答】解：VADI/BEIICF,AB:AC=3:5,

.4B_DE_3

'~AC~~DF~~5,

■：DF=IO,

.DE3

••—―，

105

DE=6,

.•衣二10—6=4.

故答案为:4.

13.如图，RtAABC中，ZC=90°,M是N2中点，MHX.BC,垂足为点X,CM与4H交于点、O,如

【解答】解：・.・NC=90。,

CM是AB边上的中线，

:.CM=-AB=6,

2

•・•MH>BC,

.•.7/是5C的中点，

/.是5c边上的中线，

v与CM交于点。，

・•.O是AA8C的重心，

.CO_2

,'CM~39

CO=-CM=A,

3

故答案为：4；

14.如图，已知梯形45CD中，AB//CD,AB=2CD,AC.BD交于点O.设方=5,AD=b,那么

向量A0可用a,b表示为.

33

【解答】解：♦.・CQ///B,

:.AO:OC=AB:DC=2,

AO=—AC9

3

过。作CE///。交45于如图:

DC

四边形ADCE为平行四边形，

/.AE=CD=-AB,AC=AD+AE,

2

—►2—►2―►2—►21-

AO=-AC=-AD+-AE=-a+-b.

33333

故答案为：—a+—b.

33

15.如图，一段东西向的限速公路7W长500米，在此公路的南面有一监测点P,从监测点尸观察，限速

公路的端点〃在监测点尸的北偏西60。方向，端点N在监测点尸的东北方向，那么监测点尸到限速公

路肱V的距离是米（结果保留根号）.

MN

P\

【答案】（250百-250）

【解答】解：如图，过点P作尸4,跖V于点4,

MAN

贝ljZPAM=ZPAN=90°,

设PA=x米，

由题意可知，ZMPA=60°,ZNPA=45°,

；.APAN是等腰直角三角形，

:.NA=PA=x^z,

vtmZMPA=—=tan60°=V3,

PA

MA=s/3PA=V3x（米），

♦:MA+NA=MN=5GG,

A/3X+x=500，

解得：x=25073-250，

即监测点P到限速公路MN的距离是(250。-250)米,

故答案为：(250250).

16.如图，在A48c中，是8c上的高，且8c=5,/。=3,矩形EFG”的顶点b、G在边3c上,

顶点E、〃分别在边和NC上，如果E8=2£F,那么即=

【解答】解：如图，AD交EH于点、N,

设边EF的长为％（。<%<3）,则AN=AD—EF=3—xf

•・•四边形EFG"是矩形，

EH/IBC,

\AEHs\ABC,

.ANEH

"~AD~^C'

♦・•EH=2EF,

EH=2x,

3-x2x

••—,

35

30

故答案为：—.

17.定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”.例如，如图①

中正方形45C。即为线段ZC的“对角线正方形”.如图②，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3fBC=4,

点尸在边45上，如果线段尸。的“对角线正方形”有两边同时落在A45C的边上，那么4尸的长是.

B

【解答】解：当线段尸。的“对角线正方形”有两边同时落在A45C的边上时，设正方形的边长为工,

■:PEIIAC,

:.ABPEsMAC,

PE_BE

~AC~^C

x4-x解得％=?12

4

12_9

:.PD=—,AD

7T-7

AP=J/D。+PD?=—

7

故答案为：—

18.如图，矩形4BCD中，AB=6,BC=9,E为边CD的中点，联结/£、BE,P为边40上一点，将

A48P沿3尸翻折，如果点/的对应点4恰好位于A48E内，那么4P的取值范围是

【解答】解：如图1,当3尸，/£时，/尸的值最小，此时/点的对应点4落在上,

:.ZABP+ZBAF=90°,

1•四边形N8CD是矩形,

，ABAD=ND=90°,即NBAF+ZEAD=90°,

/ABP=/FAP,

•・•ZBAD=ZADE=90°

KBAP^KADE,

APBAAP6

:,五F'：二3'„=2；

如图2,当8尸平分N/8E时，4P最长，此时/点的对应点4落在BE上，连接PE,

由题意可知，AP=A'P,

在RtABCE中，BC=9,EC=^CD=3),

BE=^BC2+EC2=3而，

由翻折可知AB=A'B=6,

A'E=BE-A'B=3M-6，

设/尸=x,则4P=x,PD=9-x,

在RtAPDE中，PE2=PD2+£>£2=(9-x)2+32,

在RtAPEA,中，PE2=A'P2+A'E2=x2+(3瓦-6)2,

(9—x)，+3?=x~+(3^/1()—6)2,解得x=2A/10—2，

即此时/尸=2函-2;

综上所述，当点N的对应点4恰好位于AABE内部时AP的取值范围为2<AP<2屈-2.

/八、、t“A*UU1DU

9.(10分)计算：.tF2^/(1-COS300)2+4cos45°.

sin600-tan45°

V3

【解答】解：原式=才一+2x(1-4

-)+4XT

~2"-1

=2s+2-6+20……(6分)

3V3-6

=-2--V3+2-73+272

3

=2V2-yV3...........(4分)

20.(10分)已知抛物线＞=2/+4》+1.

(1)用配方法把＞=2/+4》+1化为了=。(》+加)2+左的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点

坐标；

(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点(1,4),求平移后的抛物线的顶点坐标.

【解答】解：(1)y=2/+4x+l

=2(X2+2X+1)-2+1

=2(无+iy-1,

•••该抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-l,顶点坐标为……(5分)

(2)设平移后的抛物线解析式为y=2(x+l)2-1+左，

••・新的抛物线经过点(1,4),

4=2x2~—1+左，

解得k=-3,

•••平移后的抛物线解析式为y=2(x+厅-4,

，平移后的抛物线的顶点坐标是(T,-4)...........(5分)

21.(10分)如图，已知在A42C中，点。、£分别在边/8、AC±,且40=2,DB=4,AE=3,

EC=6.

DF

(1)求笔的值；

nC

(2)联结DC,如果诙=了，DA=b试用3、B表示向量

A

BC

【解答】解：（1）vAD=2fDB=4,AE=3,EC=6,

/.AB=6,AC=9f

.AD-2-14石_3_1

AB63AC93

.AD_AE

一~AB~~AC'

,/^ADE^AABC,

.DEAD1/八、

R丁（分）

一~BC~5

DF1

（2）由（1）知：-=-

nCJ

DE=a，

前=3G，

CB=-3a.

•/AD=2,DB=4,

BD=2DA,

DA=b，

BD=2DA-

■■CD=CB+BD=-3,a+2b...........（5分）

22.（10分）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥.某校九年

级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的

一侧选取8、C两点，在3处测得浦仓路桥顶部点N的仰角为22。，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17

米至C处，在C处测得点/的仰角为37。，在。处测得地面AD到水面斯的距离DE为1.2米（点8、C、

。在一条直线上，BDHEF,DELEF,AF±EF）,求浦仓路桥顶部/到水面的距离/尸.（精确到0.1

米）

（参考数据：sin22°»0.37,cos22°»0.93,tan22°»0.40,sin37°®0.60,cos37°»0.80,

tan37°~0.75）

浦仓路桥

【解答】解：延长2。交4尸于点G,

由题意得：BG1AF,DE=GF=3c=17米,

设CG=x米，

2G=2C+CG=(x+17)米，

在RtAACG中，ZACG=37°,

:.AG=CGtan310~0.75x(米).............(4分)

在RtAABG中，ZABG=22°,

:.AG=BG-tan22°»0,4(x+17),

.-.0.75x=0.4(x+17),

AR/口136

解得:X=],

102

AG0.75x=——(米)，

7

102

AF=AG+FG=——+1.2«15.8(:米)，

7

浦仓路桥顶部/到水面的距离/尸约为15.8米...........(6分)

23.（12分）如图，在A48c中，点。、£在边N8上，AC2=AD-AB,AC=AE,过点。作。E//CE

交边NC于点尸.

(1)求证：AACD^NABC；

(2)求证：AEEB=ABFC.

A

【解答】证明：⑴-AC2=ADAB,

.ACAD

"~AB~^4C'

又•:ACAD=ABAC,

:.AACD^\ABC；......（6分）

（2）\'DF//CE,

.DEFC

一~AE~~AC"

'：AC=AE,

DE=FC,

:.AC=AE=AB-DE,AD=AE-DE=AE-FC,

..ACAD

•~AB~^4C'

.AB-BE_AE-FC

"AB―AE-'

...AB•AE—BE•AE=AB•AE—AB•FC,

:.AE,EB=ABFC..........（6分）

24.(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线〉=〃/+&+°(。＞0)的图象经过原点。(0,0)、点/。,3〃),

此抛物线的对称轴与x轴交于点C,顶点为5.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)如果该抛物线与1轴负半轴的交点为。，且/4DC的正切值为2,求。的值；

(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点4、5分别对应新抛物线上的点E、P.联结尸4,如

果点尸在》轴上，尸4//%轴，且/ER4=NCBO,求新抛物线的表达式.

y

A

ox

【解答】解：(1)把。。0),/(1,3〃)代入＞="2+反+。，解得6=2Q,C=0,

得抛物线的解析式为丁="2+2办,

则抛物线的对称轴为直线x=T;……(3分)

(2)把＞=0代入歹=办2+2〃］，解得x=-2,x=0(点。的横坐标，舍去)，

•••点。的坐标为(-2,0),

过点4作4/_Lx轴，垂足为尸，

•/1)(-2,0),/(1,3a),

DF=3,AF=3〃，

・・・/4O。的正切值为2,

—=2,即如=2,

DF3

解得。=2；……(4分)

(3)由条件可得如图象，过点E作EG垂直于尸/的延长线，垂足为G,

点尸的坐标为(0,3a),

由新抛物线是原抛物线平移得到，且顶点8(T,-。)的对应点是点尸，

即原抛物线向右平移1个单位长度，向上平移4a个单位长度得到新抛物线,

设新抛物线的解析式为y=ax2+3a,

由点/的坐标为(1,3。),得点£的坐标为(2,7a)

/.PG=2,EG-4。,

•/ZEPA=ACBO,/EGP=/OCB=9V,

ABCO^APGE,

.CBPC

一~PG~~GE"

「•彳=；，解得q=

24a2

Q〉0,

■•Q=----,

2

；・新抛物线的解析式为了=*/+乎.....（5分）

4

25.（14分）如图①，在RtAABC中，N4CB=90°,tanZABC=-,点。在边8c的延长线上，联结

点E在线段4D上，ZEBD=ZDAC.

(1)求证：ADBAsADEC；

(2)点/在边C4的延长线上，。尸与BE的延长线交于点M(如图②).

①如果NC=2N尸，且AZJEC是以DC为腰的等腰三角形，求tan/FDC的值;

②如果DE二叵CD,EM=3,FM:DM=5:3,求/尸的长.

2

备用图

【解答】(1)证明：VAEBD=ADAC,ND=/D,

“CDsMED,

AD_CD

^D~^E

NDBA^NDEC；(3分)

(2)解：①当DC=£。时,

,,ADCD

由⑴知：互r法

AD=BD,

设CO=x,BC=3a,AC=4af贝lj4。==3Q+x,

则RtAACD中，AD=3a+xfAC=Aa,CD=x,

由勾股定理得：X2+(4q)2=(3Q+X)2,

7

x=­a,

6

7

CD——ci,

6

•：AC=2AF,

/.AF=2a,

:.C