2024年中考数学题型突破：二次函数与圆的问题（专项训练）（学生版）

类型十二二次函数与圆的问题（专题训练）

1.（2023•浙江温州・统考中考真题）如图1,为半圆。的直径，C为54延长线上一点，CD

3

切半圆于点。，BELCD,交CO延长线于点E,交半圆于点尸，已知。4=5,AC=1.如

图2,连接AF,P为线段"上一点，过点尸作BC的平行线分别交CE,BE于点M,N,

过点P作尸〃_LAB于点设尸H=x,MN=y.

CA0BHOB

图1图2

（1）求CE的长和y关于x的函数表达式.

Q）当PH<PN,且长度分别等于PH，PN,"的三条线段组成的三角形与A3CE相似时,

求。的值.

⑶延长PN交半圆。于点。，当NQ=?x-3时，求肱V的长.

2.(2023・山东烟台・统考中考真题)如图，抛物线＞=依2+法+5与x轴交于4,8两点，与y

轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线、=自-1交于点。，与x轴交

备用图

(1)求直线及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出

所有点/的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以点8为圆心，画半径为2的圆，点P为。3上一个动点，请求出PC+g/M的最小值.

3.(2023•江苏苏州・统考中考真题)如图，二次函数y=/-6x+8的图像与x轴分别交于点

（点A在点8的左侧），直线/是对称轴.点P在函数图像上，其横坐标大于4,连接PA,PB,

过点尸作尸河，/,垂足为以点M为圆心，作半径为「的圆，PT与。M相切，切点为T.

⑴求点AB的坐标；

（2）若以的切线长PT为边长的正方形的面积与APAB的面积相等，且0M不经过点

（3,2）,求长的取值范围.

4

4.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，抛物线>=-1/+6尤+4与》轴交于4（-3,0）,B两

点，与>轴交于点C.

(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标；

⑵以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得N4CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

5.(2023・四川乐山・统考中考真题)已知国,%),(%,%)是抛物G：y=f+万龙”为常数)

上的两点，当玉+%=。时，总有为=%

⑴求6的值；

2

(2)将抛物线G平移后得到抛物线C2:y=-1(x-m)+1(/77>0).

探究下列问题：

①若抛物线C1与抛物线CZ有一个交点，求m的取值范围；

②设抛物线C?与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线C2的顶点为点E,"WC外

接圆的圆心为点尸，如果对抛物线G上的任意一点尸，在抛物线C?上总存在一点。，使得

点P、。的纵坐标相等.求E尸长的取值范围.

6.(2023・四川宜宾•统考中考真题)如图，抛物线y=o?+bx+c与天轴交于点A(TO)、

3(2,0),且经过点C(-2,6).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N,射线4V、分别与抛物线的对称轴交于点尸、Q,

点。关于无轴的对称点为Q',求的面积；

(3)点M是y轴上一动点，当NAMC最大时，求加的坐标.

7.(2023・湖北恩施.统考中考真题)在平面直角坐标系wy中，0为坐标原点，已知抛物线

y=+c与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B.

⑴如图，若前0,班)，抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式，并直接写出6时X

的取值范围；

⑵在(1)的条件下，若尸为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当APBC为等边三

角形时，求点P,C的坐标；

⑶若抛物线y=-；d+bx+c经过点D®,2),E(n,2),F(l,-1),且加＜”,求正整数加,

n的值.

8.如图1,在平面直角坐标系xQy中，抛物线丁=。/+6%+。与x轴分别相交于A、B两点,

与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值:

・・・・・・

X—10123

y・・・03430・・・

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;

(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC

的最小值；

(3)如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F,AABD

的外接圆与。尸相交于点E.试问：线段跖的长是否为定值？如果是，请求出这个定值;

如果不是，请说明理由.

图1图2

9.如图，抛物线y=(x+l)(x-a)(其中a>l)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为5c的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为丽：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，已知二次函数了=加+笈+。的图象经过点C(2,-3)且与x轴交于原点及点3(8,0).

y

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线A3的表达式；

(3)判断AABO的形状，试说明理由；

(4)若点尸为。。上的动点，且。。的半径为2&，一动点E从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段转匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段依匀速运动

到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值.

11.我们把方程(x-m)2+(y-n)?=/称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例

如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)~+(y+2)2=9.在平面直角

坐标系中，OC与轴交于点A,B,且点B的坐标为(8,0),与y轴相切于点D(0,4),过

点A,B,D的抛物线的顶点为E.

(1)求。C的标准方程；

(2)试判断直线AE与。C的位置关系，并说明理由.

12.如图，抛物线y=ax?+沁经过点AL1,。)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,

点M是直线BC上一动点，过点M作MP〃y轴，交抛物线于点P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以M为圆心，MP为半径作。M,当。M与坐标轴相切时，求出(DM的半径.

13.在平面直角坐标系中，二次函数y=£x°+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0)

两点，交y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图甲，连接AC,PA,PC,若S4%c=^，求点P的坐标；

(3)如图乙，过A,B,P三点作。M,过点P作PELx轴，垂足为D,交。M于点E.点P

在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长.

14.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(-2,0),B,C三点的抛

8

物线y=ax?+bx+-(a<0)与x轴的另一个交点为D,其顶点为M,对称轴与x轴交于点E.

3

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

3

(2)已知R是抛物线上的点，使得AADR的面积是平行四边形OABC的面积的一，求点R的

坐标;

(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得NPQE=45°,

求点P的坐标.

15如图1,在平面直角坐标系中，A(-2,-l),B(3,-l),以0为圆心，0A的长为半径的半

圆。交A0的延长线于C,连接AB,BC,过0作ED//BC分别交AB和半圆0于E,D,连接0B,

CD.

(1)求证：BC是半圆0的切线;

(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；

(3)如图2,若抛物线经过点D,且顶点为E,求此抛物线的解析式；点P是此抛物线对称

轴上的一动点，以E,D,P为顶点的三角形与钻相似，问抛物线上是否存在点Q,使

得=SA°AB，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,

2

抛物线y=-jx2+Zzx+c过点B且与直线相交于另一点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一动点，当NQ4O=NSAO时，求点P的坐标；

(3)点N(〃,0)在x轴的正半轴上，点M(O,m)是y轴正半轴上的一动点,

且满足NMNC=90°.

①求m与n之间的函数关系式；

②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个?

17.将抛物线C:y=(x-2＞向下平移6个单位长度得到抛物线G，再将抛物线G向左平

移2个单位长度得到抛物线C2.

(1)直接写出抛物线G，G的解析式；

(2)如图(1),点4在抛物线G对称轴/右侧上，点3在对称轴/上，AOAB是以06为

斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；

(3)如图(2),直线＞=依(左W0,左为常数)与抛物线。2交于E，尸两点，M为线

4

段所的中点；直线y=—-x与抛物线C交于G,H两点，N为线段GH的中点.求证：

k

直线MN经过一个定点.

18.如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,-2),在x轴上任取一点M.连接AM,

分别以点A和点M为圆心，大于LAM的长为半径作弧，两弧相交于G,H两点，作直线GH,

2

过点M作x轴的垂线1交直线GH于点P.根据以上操作，完成下列问题.

探究：

(1)线段PA与PM的数量关系为,其理由为：.

(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表

格：

M的坐标・・・(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)・・・

P的坐标・・・(0,-1)(2,-2)・・・

猜想：

(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出

的曲线L,猜想曲线L的形状是.

验证：

(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式.

应用：

(5)如图3,点3(—1,6),点D为曲线L上任意一点，且N5DC<30。，求

点D的纵坐标yD的取值范围.

图1图2图3

19.如图，己知NMON=90°,OT是NMQV的平分线，A是射线O河上一点，

OA=Scm.动点P从点A出发，以1勿/s的速度沿A0水平向左作匀速运动，与此同时,

动点。从点。出发，也以lan/s的速度