2024年中考数学题型突破：函数的实际应用之利润最值问题29题（专项训练）

类型三利润最值问题（专题训练）

1.（2023・四川遂宁.统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端

午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、

乙两种粽子进行销售，经了解.每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000

元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.

（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子

个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子机个，

两种粽子全部售完时获得的利润为w元.

①求卬与相的函数关系式，并求出根的取值范围；

②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；

⑵①w与m的函数关系式为卬=-加+600卜21333；②购进甲粽子134个，乙粽子66个

才能获得最大利润，最大利润为466元

【分析】（1）设甲粽子每个的进价为龙元，则乙粽子每个的进价为（x+2）元，根据“用1000

元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可;

（2）①设购进甲粽子，“个，则乙粽子（200-⑹个，，由题意得叩=-m+600,再由甲种粽

子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得〃让2（200-m）；

②由一次函数的性质即可得出结论.

【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为（x+2）元,

,由上后10001200

由题意得：——=-

xx+2

解得：x=10,

经检验：x=10是原方程的解，且符合题意,

则x+2=12,

答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元;

（2）解：①设购进甲粽子机个，则乙粽子（200-〃。个，利润为w元,

由题意得：w=（12-10）m+（15-12）（200-m）=-m+600,

,・,甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，

m>2(200-m),

解得："亚133：,

与m的函数关系式为卬=-m+600121333；

②：-1<0,则w随机的增大而减小，”栏133；,即机的最小整数为134,

当/n=134时,w最大,最大值=-134+600=466,

则200—66,

答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的

关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不

等式.

2.某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件

按30元的价格销售，则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售价格x(单位：元)

的一次函数.

(1)求y关于x的一次函数解析式；

(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润.

【答案】(l)y=-30x+960(10<A：<32)

(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元

【分析】(1)设丁=履+6(笈N。)，把x=20,y=36。和x=30,y=60代入求出k、b的值，

从而得出答案；

(2)根据总利润=每件利润X每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数

的性质求解可得答案.

⑴解：设丁=丘+。(左力0),把x=20,y=360和x=30,y=60代入可得

J20左+6=360“，曰|左=一30

[30k+b=60'解得[b=960'

则y=-30x+960(10<x<32)；

(2)解：每月获得利润P=(-30x+960)(x-10)

=30(-x+32)(x-10)

=30(-%2+42X-320)

=-30(X-21)2+3630.

V-30<0,

...当x=21时，P有最大值，最大值为3630.

答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元.

【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意

找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数

求最值.

3.（2023・云南・统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉

鸣，闻清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康

有序发展的指导意见》精神，需要购买AB两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和8

种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和8种型号帐篷1顶，则需2800

元.

（1）求每顶A种型号帐篷和每顶3种型号帐篷的价格；

⑵若该景区需要购买43两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型

号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的g,为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型

号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？

【答案】（1）每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶8种型号帐篷的价格为1000元

⑵当A种型号帐篷为5顶时，3种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元

【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；

（2）根据购买A种型号帐篷数量不超过购买8种型号帐篷数量的g,列出一元一次不等式，

得出A种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A种型号帐篷数量的最大值时总费

用最少，从而得出答案.

【详解】（1）解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶5种型号帐篷的价格为〉元.

2x+4y=5200

根据题意列方程组为:

3x+y=2800

%=600

解得

y=1000

答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶8种型号帐篷的价格为1000元.

(2)解：设A种型号帐篷购买机顶，总费用为w元，则8种型号帐篷为(20-加)顶，

由题意得w=600m+1000(20-ni)=-400〃z+20000,

其中加4g(20-m)，得mW5,

故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为w=600x5+1000x(20-5)=18000,

答：当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准

确的等量关系及不等关系是解题的关键.

4.某服装店以每件30元的价格购进一批7恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出

300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设7恤的销售

单价提高X元.

(1)服装店希望一个月内销售该种7恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问7

恤的销售单价应提高多少元？

(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种7恤获得的利润最大？最大利

润是多少元？

【答案】(1)2元；(2)当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元

【分析】

(1)根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；

(2)设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的％的值,

从而得到答案.

【详解】

(1)由题意列方程得：(x+40-30)(300-10x)=3360

解得：xl=2,x2=18

•.•要尽可能减少库存，

，x2=18不合题意，故舍去

；.T恤的销售单价应提高2元；

(2)设利润为M元，由题意可得：

M=(x+40-30)(300-1Ox)=-l0x2+200x+3000=-10(x-10)2+4000

...当x=10时，M最大值=4000元

销售单价：40+10=50元

当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函

数的性质，从而完成求解.

5.(2023•江苏扬州•统考中考真题)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某

商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲

种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.

(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？

(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：

甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不

低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最

小费用是多少元？

【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元.

(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，最小费用为1976元

【分析】(1)设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，

得20(x+ll)+30x=2920，求解；

(2)设购机只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，设总费用为明则相？：(40m),解

得根213?故最小整数解为m=14,w=4m+1920,根据一次函数增减性，求得最小值

=4?141920=1976.

【详解】(1)解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，

得20(x+11)+30%=2920

解得，x=54,

x+11=65,

答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元.

(2)解：设购机只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，设总费用为叱

11

则加？耳(40m),解得机213§,故最小整数解为根=14,

w=0.8?65m(54-6)(40-m)=4m+1920,

4>0,则卬随m的增大而增大，

.•.加=14时,w取最小值，最小值=4x14+1920=1976.

答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小，最小费用为1976元.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等

式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键.

6.某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产

量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足

函数关系式尸24—x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.

(1)求该产品第一年的利润犷(万元)与售价x之间的函数关系式；

(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成

本)后，其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，

销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

【答案】(1)H>=-f+32x-252

(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元.

【分析】(1)由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答

案；

(2)①把w=4代入(1)的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润

乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即

可得到答案.

(1)解：由题意得：

vv=(x-8)y-60

=(x-8)(24-x)-60

=-x2+32x-252,

⑵①由(1)得：当vv=4时，

则-Y+32X-252=4,即x2-32%+256=0,

解得：芯=%=16,

即第一年的售价为每件16元，

②。第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件,

j无£16

-j-24-x?13'解得:11#x16,

■其他成本下降2元/件，

w=^x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148,

当尤=15时，利润最高，为77万元，而ll#x16,

当％=11时，w=5?134=61（万元）

当x=16时，*10?84=76（万元）

\61#w77,

所以第二年的最低利润为61万元.

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，

再利用二次函数的性质解题是关键.

7.（2023•四川内江•统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果.某

超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示:

水果种类进价（元千克）售价（元）千克）

甲a20

乙b23

该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元;购进甲种水果20千克和乙种水

果10千克需要470元.

⑴求a,b的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于

30千克，且不大于80千克.实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克

降价3元销售.求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千

克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千

迎

克降价3%元，乙种水果每千克降价机元，若要保证利润率（利润率=）不低于16%,

本金

求m的最大值.

（）

【答案】⑴"19-2x+40030<x<60

⑵v=4;（3）1.2

'”[-x+580（60<x<80）

【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可;

（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为（100-x）千

克，根据题意分两种情况：304x460和60VXW80,然后分别表示出总利润即可;

利润

（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率）不低于16%列

出不等式求解即可.

15。+5/?=305

【详解】（1）由题意列方程组为:

20。+10。=470

4=14

解得

b=19

（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为（100-%）千

克，

・••当30工光工60时，

y=（20-14）x+（23-19）（100-x）=2x+400；

当60Vx<80时，

y=（20-14）x60+（20-3-14）（x-60）+（23-19）（100-^）=-%+580；

2x+400（30<x<60）

综上所述,

-x+580（60<x<80）

（3）当30<%460时，y=2x+400,

・••当x=60时，y取最大值，止匕时>=2x60+400=520（元）,

当60〈尤W80时，y=一％+580,

...”一60+580=520（元）,

,由上可得：当％=60时，y取最大值520（元）,

520—3mx60-40m

由题意可得,>16%,

60x14+40x19

，解得mWL2.

'•tn的最大值为1.2.

【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解

题的关键是正确分析题目中的等量关系.

8.某水果店将标价为10元/斤的某种水果.经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次

降价的百分率相同.

(1)求该水果每次降价的百分率；

(2)从第二次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信

息如下表所示：

时间(天)X

销量(斤)120-x

储藏和损耗费用(元)3x2-64x+400

已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1W

x<10)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)10%；(2)y=-3x2+60x+80,第9天时销售利润最大，最大利润是377元

【解析】

【分析】

(1)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；

(2)根据题意和表格中的数据，可以求得y与x(lWx<10)之间的函数解析式，然后利

用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少.

【详解】

解：(1)设该水果每次降价的百分率为x,

10(1-x)2=8.1,

解得，xl=0.1,x2=1.9(舍去)，

答：该水果每次降价的百分率是10%;

(2)由题意可得，

y=(8.1-4.1)X(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,

.,.当x=9时,y取得最大值，此时y=377,

由上可得，y与x(lWx<10)之间的函数解析式是y=-3x2+60x+80,第9天时销售利润

最大，最大利润是377元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函

数的性质和方程的知识解答.

9.(2023・广东深圳•统考中考真题)某商场在世博会上购置A,8两种玩具，其中8玩具的

单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个8玩具与1个A玩具共花费200元.

⑴求A,8玩具的单价；

(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000

元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？

【答案】(1)42玩具的单价分别为50元、75元；(2)最多购置100个A玩具.

【分析】(1)设A玩具的单价为x元每个，则2玩具的单价为(x+25)元每个；根据“购置2

个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；

(2)设A玩具购置y个，则2玩具购置2y个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出

不等式即可得出答案.

【详解】(1)解：设A玩具的单价为x元，则8玩具的单价为(x+25)元；

由题意得：2(x+25)+x=200；

解得：x=50,

则8玩具单价为x+25=75(元)；

答：A、2玩具的单价分别为50元、75元；

(2)设A玩具购置y个，则8玩具购置2y个，

由题意可得：50y+75x2y<20000,

解得：y<100,

.,.最多购置100个A玩具.

【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键

在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系.

10.国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了

解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：

水果单价甲乙

进价(元/千克)Xx+4

售价(元/千克)2025

已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同.

(1)求工的值；

(2)若超市购进这两种水果共100千克,其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，

则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】(1)16；(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元

【分析】

(1)根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方

程，解之即可；

(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y,列出y关于m的表达式，

根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质

求出最大值.

【详解】

解：(1)由题意可知：

12001500

xx+4'

解得：x=16,

经检验：x=16是原方程的解；

(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y,

由题意可知：

y=(20-16)m+(25-16-4)(100-m)=-m+500,

:甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，

...mN3(100-m),

解得：m275,即75WmV100,

在y=-m+500中，-1V0,则y随m的增大而减小，

:.当m=75时,y最大,且为-75+500=425元，

・•・购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元.

【点睛】

本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达

式.

11.（2023・湖北荆州•统考中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,3两种文创饰品

对游客销售.已知1400元采购A种的件数是630元采购8种件数的2倍，A种的进价比8种

的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购3

种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍.

（1）求A,3饰品每件的进价分别为多少元？

（2）若采购这两种饰品只有•种情况可优惠，即■次性采购A种超过150件时，A种超过的

部分按进价打6折.设购进A种饰品x件，

①求x的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.

【答案】（1）A种饰品每件进价为10元，8种饰品每件进价为9元；（2）①120VXV210且x为

整数，②当米购A种饰品210件，2种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630兀

【分析】（1）分别设出A,8饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；

（2）①依据题意列出不等式即可；

②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值.

【详解】（1）（1）设A种饰品每件的进价为。元，则8种饰品每件的进价为（。-1）元.

由题意得：—=-^-x2,解得：。=10,

aa-1

经检验，a=10是所列方程的根，且符合题意.

A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元.

600-x>390

（2）①根据题意得:

600-x<4x

解得：120WxW210且％为整数；

②设采购A种饰品x件时的总利润为卬元.

当12OWx〈15O时，w=15x600-10^-9（600-x）,

即w=-x+3600,

.-l<0,

・••w随％的增大而减小.

.,.当x=120时，卬有最大值3480.

当150<xV210时，w=15x600-[10xl50+10x60%(x-150)]-9(600-x)

整理得：w=3x+3000,

.3>0,

随x的增大而增大.

...当x=210时，w有最大值3630.

3630>3480,

的最大值为3630,此时600-x=390.

即当米购A种饰品210件，8种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630兀.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案

问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值.

12.某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80

元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.

营养品信息表

营养成份每千克含铁42毫克

原料每千克含铁

配料表甲食材50毫克

乙食材10毫克

规格每包食材含量每包单价

/包装1千克45元

6包装0.25千克12元

(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.

①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若/的数量不低于8的数

量，则/为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400

千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大.最大总利润为2800元

【分析】

（1）设乙食材每千克进价为。元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1

千克列分式方程即可求解；

（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材>千克.根据每日用18000元购进甲、乙两种食

材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求

解；

②设A为机包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量

不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值.

【详解】

解：（1）设乙食材每千克进价为。元，则甲食材每千克进价为2a元，

Q020

由题意得-------=1,解得a=20.

2aa

经检验，a=20是所列方程的根，且符合题意.

2a=40（元）.

答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元.

（2）①设每日购进甲食材％千克，乙食材>千克.

'40x+20y=l8000f%=400

由题意得LlnV解得“八

50x+10y=42（x+y）[y=100

答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克.

②设A为机包，则8为025'=（2000-4/〃）包.

记总利润为W元，则

W=45m+12（2000-4m）-18000-2000=-3m+4000.

A的数量不低于3的数量，

/n>2000—4m,m>400.

k=-3<0,二W随机的增大而减小。

二当机=400时，W的最大值为2800元.

答：当A为400包时，总利润最大.最大总利润为2800元.

【点睛】

本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、

弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意

分式方程要检验.

13.（2023・湖南•统考中考真题）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也

在逐渐加深.“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公

司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货

价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台

甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元.

（1）该公司销售台甲型、■台乙型自行车的利润各是多少元？

（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000

元，最少需要购买甲型自行车多少台？

【答案】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150,100元；（2）最少需要购

买甲型自行车10台

【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为尤，y元，根据题意列出二

元一次方程组，解方程组即可求解；

（2）设需要购买甲型自行车。台，则购买乙型自行车（20-。）台，依题意列出不等式，解不

等式求最小整数解，即可求解.

【详解】（I）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为羽y元，根据题意得，

户龙+2y=650

[x+2y=350'

元=150

解得:

y=100

答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150,100元;

（2）设需要购买甲型自行车。台，则购买乙型自行车（20-a）台，依题意得,

500O+800（20-A）＜13000,

解得：＜2＞10,

为正整数，

二。的最小值为10,

答：最少需要购买甲型自行车10台.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组

以及不等式是解题的关键.

14.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可

售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.

(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

【分析】

(1)由月销售量=500-(销售单价-50)X10,可求解；

(2)设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润义销售的数量，可列方程，即可求

解；

(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润X销售的数

量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解.

【解析】

(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-1OX(55-50)=450千克；

(2)设每千克水果售价为x元，

由题意可得：8750=(x-40)[500-10(x-50)],

解得：xl=65,x2=75,

答：每千克水果售价为65元或75元；

(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，

由题意可得：y=(m-40)[500-10(m-50)]=-10(m-70)2+9000,

...当m=70时，y有最大值为9000元，

答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元.

15.(2023・云南・统考中考真题)蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉

鸣，闻清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康

有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和3

种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和8种型号帐篷1顶，则需2800

元.

(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；

⑵若该景区需要购买A3两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，购买A种型

号帐篷数量不超过购买3种型号帐篷数量的!，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型

号帐篷和8种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？

【答案】（1）每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶3种型号帐篷的价格为1000元；（2）

当A种型号帐篷为5顶时，8种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元.

【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；

（2）根据购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的;，列出一元一次不等式，

得出A种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A种型号帐篷数量的最大值时总费

用最少，从而得出答案.

【详解】（1）解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶8种型号帐篷的价格为y元.

2x+4y=5200

根据题意列方程组为:

3x+y=2800

x=600

解得

y=1000'

答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元.

（2）解：设A种型号帐篷购买机顶，总费用为w元，则5种型号帐篷为（20-加）顶,

由题意得w=600加+1000(20-m)=-400m+20000,

其中加工；（20-相）,得加«5,

故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为^=600x5+1000*（20-5）=18000,

答：当A种型号帐篷为5顶时，B种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准

确的等量关系及不等关系是解题的关键.

16.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）

之间的关系可以近似看作一次函数且当售价定为50元/件时，每周销售30件,

当售价定为70元/件时，每周销售10件.

（1）求A,（的值;

（2）求销售该商品每周的利润旷（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售

该商品每周可获得的最大利润.

【分析】

(1)利用待定系数法可求解析式；

(2)由销售该商品每周的利润亚=销售单价X销售量，可求函数解析式，由二次函数的性

质可求解.

【解析】

⑴由题意可得d二落二

.fk=-1

'"tb=80，

答：k=-1,b=80；

(2)：w=(x-40)y=(x-40)(-x+80)=-(x-60)2+400,

...当x=60时，w有最大值为400元，

答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元.

17.(2023・四川广安•统考中考真题)“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A3

两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱3种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种

盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.

(1)A种盐皮蛋、3种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

⑵若某公司购买A3两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比8种的数量多5箱，又不超

过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【答案】(1)A种盐皮蛋每箱价格是30元，8种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买A种盐皮

蛋18箱，8种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元

【分析】(1)设A种盐皮蛋每箱价格是x元，8种盐皮蛋每箱价格是y元，根据题意建立方

程组，解方程组即可得；

(2)设购买A种盐皮蛋加箱，则购买5种盐皮蛋(30-〃。箱，根据题意建立不等式组，解

不等式组可得加的取值范围，再结合加为正整数可得优所有可能的取值，然后根据(1)的

结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可.

【详解】(1)解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，B种盐皮蛋每箱价格是y元，

9x+6y=390

由题意得:

5x+8y=310

尤=30

解得

y=20

答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，8种盐皮蛋每箱价格是20元.

（2）解：设购买A种盐皮蛋加箱，则购买8种盐皮蛋（30-书箱，

・购买A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过8种的2倍，

m—（30—m^>5

m<2（30-,77）'

35

解得

又加为正整数，

所有可能的取值为18,19,20,

①当m=18,30-根=12时，购买总费用为30x18+20x12=780（元），

②当机=19,30-m=11时，购买总费用为30x19+20x11=790（元），

③当租=20,30-m=10时，购买总费用为30*20+20x10=800（元），

所以购买A种盐皮蛋18箱，8种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和

不等式组是解题关键.

18.在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A,3两种农作物为原料开发了一种有机产品，

A原料的单价是3原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购3原料少

100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和3原料4kg,每盒还需其他成本9元.市场调

查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10

合rm.•

（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（X是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析

式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过。元（。是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最

大利润.

【答案】（1）每盒产品的成本为30元.（2）.=一10%2+1400%—33000；（3）当时，

每天的最大利润为16000元；当60<。<70时，每天的最大利润为

（-10a2+1400。-33000）元.

【分析】

（1）设3原料单价为加元，则A原料单价为1.5加元.然后再根据“用900元收购A原料

会比用900元收购3原料少100kg”列分式方程求解即可；

(2)直接根据“总利润=单件利润X销售数量”列出解析式即可；

(3)先确定w=-lOV+MOOx-33000的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性

质求最值即可.

【详解】

解：(1)设3原料单价为m元，则A原料单价为L5加元.

解得，m=3,1.5m=4.5.

经检验，机=3是原方程的根.

，每盒产品的成本为：4.5x2+4x3+9=30(元).

答：每盒产品的成本为30元.

(2)w=(x-30)[500-10(x-60)]

=-10/+1400x-33000;

(3):抛物线1V=—10%2+i400x—33000的对称轴为w=70,开口向下

...当a»70时,a=70时有最大利润，此时w=16000,即每天的最大利润为16000元；

当60<a<70时，每天的最大利润为(-10«2+1400a—33000)元.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程

和函数解析式成为解答本题的关键.

19.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件.

(1)如图，设第x(0〈启20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中

的函数图象表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围).

(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式尸5x+40(0〈后20).在

(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润=收入-

成本)

(1)分别得出当0<xW12时和当12<xW20时，z关于x的函数解析式即可得出答案;

(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0<xW12时，可得出w关于x的

一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12<xW20时，可得出w关于x

的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值.取①②中较大的最大值即可.

【解析】

(1)由图可知,当0VxW12时,z=16,

当12<xW20时，z是关于x的一次函数，设2=1«+1?,

则f2k+b=16,

(20k+b=14,

(k=

解得：4

b=19,

I

・\z=——x+19,

4

16,(0<x<12)

；.z关于X的函数解析式为z=1

z=--x+19,(12<x<20)

4

(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元,

①当0<xW12时，w=(16-10)X(5x+40)=30x+240,

由一次函数的性质可知，当x=12时，w最大值=30X12+240=600(万元);

②当12<xW20时，

1

w=(——x+19-10)(5x+40)

4

=--x2+35x+360

4

=--(x-14)2+605,

4

・••当x=14时，w最大值=605(万元).

综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元.

20.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费

每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850

元.

说明：①汽车数量为聚藜;

②月利润=月租车费-月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的

汽车为辆时，两公司的月利润相等；

(2)求两公司月利润差的最大值；

(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(。>0)给慈善机构，如果捐款后甲公

司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的

月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.

【答案】(1)48000,37；(2)33150元；(3)50<«<150

【分析】

(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10,减去维护费用可得甲公司

的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；

(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y,同(1)可得y甲和y乙的表达

式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表

达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；

(3)根据题意得到利润差为〉=-50三+(1800一q)x+1850,得到对称轴，再根据两公司租

出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式16.5〈怨三<17.5,即可求出a

的范围.

【详解】

解：(1)[(50-10)x50+3000]xl0-200x10=480007C,

当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；

设每个公司租出的汽车为x辆，

由题意可得：［（50-x）x50+3000］x-200x=3500x-1850,

解得:x=37或x=-l（舍），

，当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；

（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y,

贝Ijy甲=［（50-x）x50+3000］x-200x,

y乙=35