2025高考数学二轮复习：函数概念与基本初等函数 专项训练【含答案】

2025高考数学二轮复习-专题02函数概念与基本初等函数-专项训练

五年考情­探规律

考点01函数概念与单调性

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024全国卷

考点1函数

概念与单调20232021全国卷2020全国卷

函数的周期性单调性与奇偶

性

性的综合应用是高考的重难

点方向，特别是新高考新题型

考点2函数

2023IIT4乙卷T5甲卷T14

周期性与奇以后，它们与抽象函数的结合

2022全国乙卷T16将是未来一个重要方向

偶性应用

2021乙卷T91T13

2022全国乙卷T8

考点3函数

2022全国甲卷T5图像的识别及应用逐渐淡化

图像应用

20231T11

函数的综合因应用作为压轴

考点4函数

2022乙T121T12IIT8题，一般会是同构，构造函

性质综合应

2021甲T12IIT8T14数比较大小，函数的综合性

用

质应用化工等

1.（2024.全国.高考I卷）已知函数〃幻=匕：2处]〈:在R上单调递增，则。的

ex+ln（x+l）,x>0

取值范围是（）

A.（-a）,O]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8）

2.（2023•全国•统考高考真题）设函数“*）=2工（…）在区间（0,1）上单调递减，贝心的取

值范围是（）

A.~,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,司

3.（2021・全国•统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

,,..4

A.y=x2+2x+4B.sinx+~~：

yr|sinx|

4

C.y=2x+22~xD.y=lnx+——

Inx

4.（2021•全国•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A./（x）=-xB.=HC./（x）=x2D,f（x）=$c

5.（202。海南•高考真题）已知函数/（x）=lg（炉-4元-5）在3,讨）上单调递增,则。的取

值范围是（）

A.（2收）B.2+8）C.（5,+8）D.[5,+»）

6.（2020•全国•统考高考真题）设函数/（无）=无3-4厕（）

A.是奇函数，且在（0,+8）单调递增B.是奇函数，且在（0,+8）单调递减

C.是偶函数，且在（0,+8）单调递增D.是偶函数，且在。+8）单调递减

考点02函数周期性与奇偶性应用

1（2024•天津高考真题）下列函数是偶函数的是（）

X22

Q—XCOSX+Xce-xsinx+4x

By=U.y=------D.y=

A,户三TT'x2+lx+1e㈤

若〃）（）为偶函数，贝心=

2（2023•全国•统考高考真题）x=x+aln|13().

A-1B.0-C-2D.1

3（2020•全国•统考高考真题）设函数/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,则4M()

A.是偶函数，且在（g,+8）单调递增B.是奇函数，且在（—,；）单调递减

C.是偶函数，且在（-co,-；）单调递增D.是奇函数，且在单调递减

4（2019・全国•高考真题）设是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调递减，则

A

B

C

D

5.（2023•全国•统考高考真题）已知/（尤）=，是偶函数，则°=（）

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

6.（2022•全国•统考高考真题）已知函数〃x）,g（x）的定义域均为R,且

f(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,

22

则£/(3()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

7.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(元)的定义域为R,且

22

/(X+y)+/(x-J)=/(x)/(y),/(I)=1,则£/(Q=()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

__1—x__

8.(2021•全国•统考高考真题)设函数/(x)=1,则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x—1)—1B.f(x—1)+1C./(犬+1)-1D.f(x+l)+l

9.（2021.全国.高考真题）设是定义域为R的奇函数，且/（1+X）=/（T）.若

二、填空题

10.（2023•全国•统考高考真题）若〃x）=（x-l）2+ax+sin［x+l为偶函数，贝心=

11.（2021•全国•统考高考真题）已知函数7'（x）=x3（a-2,-2-，）是偶函数，贝心=.

考点03函数图像应用

一、单选题

1.（2024•全国・高考甲卷文）函数〃%）=-炉+（/-1卜山在区间［-2.8,2.8］的图象大致

为（）

2.（2022•全国•统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致

图像，则该函数是（）

\1

^3-2\-1/O1V广X

A—工3+3xn—X_2%cos%c2sinx

B7=X3C.y=-z-----D.y=-——

A-1+1x2+lx2+l

3.(2022•全国•统考高考真题)函数y=(3,-在区间g5的图象大致为

()

y,

A

一匹\夕匹_2L匹x

2V/2XO

22

__jr

4.（2020・全国•统考高考真题）设函数〃x）=cos（s+：）在Hwr］的图像大致如下图,

则心）的最小正周期为（）

考点04函数性质综合应用

一、单选题

1.(2024・全国•高考II卷)设函数/(x)=a(x+l)2-l,g(x)=cosx+2%当xe(T,l)

时，曲线y=/(x)与,y=g(x)恰有一个交点，贝ij“=()

A.-1B.IC.1D.2

2.(2024■全国高考II卷)设函数/(尤)=(x+“)ln(x+6),若/(尤)20,贝【J/十〃的最小

值为()

A1

BC-D.1

-IJ2

3.（2024・北京・高考真题）已知（XQJ,（尤2,%）是函数＞=2、的图象上两个不同的点,

则（）

A-log^^工西+尤2)3+%

2B•log?

22

c-Cg2<尤]+无2D.log,“；％>X]+龙2

4.（2024・天津•高考真题）若。=4.2心,Z,=4.2°\c=log420.2,则”，b,c的大小关系

为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

5.（2024・上海•高考真题）已知函数AM的定义域为R,定义集合

M=（x0|x0eR,xe（-＜»,%0）,/（%）＜/（x0））,在使得M=的所有中，下列成立

的是（）

A.存在〃x）是偶函数B.存在在x=2处取最大值

C.存在〃尤)是严格增函数D.存在〃尤)在尸-1处取到极小值

6.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(元)的定义域为R,且

22

/(x+y)+f(x-J)=/(x)/(y),/(I)=1,则Z/(Q=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

7.(2022•全国统考高考真题)已知函数/(无),g(无)的定义域均为R,且

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f{x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,

22

则左)=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

8.（2021.全国.统考高考真题）设awO,若x=。为函数/（xhMx-aya-b）的极大

值点，贝IJ()

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a1

9.(2021•全国•高考真题)设/'(x)是定义域为R的奇函数,且"1+尤)=/(—x)若

II,则了5

)

A--jb-4D-i

10.(2021全国•统考高考真题)设函数的定义域为R,/(x+1)为奇函数,

9

/(x+2)为偶函数，当xe[l,2]时，/(x)=4+b.若〃0)+〃3)=6,贝I]/

()

B-4D-i

A-4c-7

11.(2021•全国•统考高考真题)已知函数〃元)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,

f(2x+l)为奇函数，贝IJ()

I

A.f=0B."-1)=0C./⑵=0D./(4)=0

参考答案与详细解析

五年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024全国卷

考点1函数

概念与单调20232021全国卷2020全国卷

函数的周期性单调性与奇偶

性

性的综合应用是高考的重难

点方向，特别是新高考新题型

考点2函数

2023IIT4乙卷T5甲卷T14

以后，它们与抽象函数的结合

周期性与奇

2022全国乙卷T16将是未来一个重要方向

偶性应用

2021乙卷T91T13

2022全国乙卷T8

考点3函数

2022全国甲卷T5图像的识别及应用逐渐淡化

图像应用

20231T11

函数的综合因应用作为压轴

考点4函数

2022乙T121T12IIT8题，一般会是同构，构造函

性质综合应

2021甲T12IIT8T14数比较大小，函数的综合性

用

质应用化工等

分考点•精准练

考点01函数概念与单调性

—X2—2ax-a,x<0

1.（2024•全国・高考I卷）已知函数/。）=在R上单调递增，则〃的

ex+ln(x+l),x>0

取值范围是（）

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为““在R上单调递增，且xNO时，/（x）=e*+ln（x+l）单调递增，

__

则需满足2x（-1）,解得TWaWO,

-a<e°+In1

即。的范围是[TOL

故选：B.

2.（2023•全国•统考高考真题）设函数〃耳=2'（1）在区间（0,1）上单调递减，贝IJ。的取

值范围是（）

A-9-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,^o）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=岑在R上单调递增，而函数〃x）=2#一。）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数y=x（x_a）=（x*）2-幺在区间（0,1）上单调递减，因此念1,解得a”

242

所以。的取值范围是[2,+⑹.

故选：D

3.（2021•全国统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.=lsinxl+

4

C.y=2x+22-xD.y=\nx+——

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二

定三相等”，即可得出民。不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,当且仅当%=-1时取等号，所以其最

小值为3,A不符合题意；

对于B,因为0<卜皿力41,p=向尤|+熹224=4,当且仅当血乂=2时取等号，等

S1I1X]

号取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2工>0,y=2'+22T=2工+三22/=4,当且仅当

2X

2，=2,即x=l时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,>=lnx+3,函数定义域为（0,l）U（L+°°）,而InxeR且InxwO,如当

lnx=-l,y=-5,D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意

义，再结合有关函数的性质即可解出.

4.（2021・全国•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A./（x）=-xB.=HC./（x）=x2D./（同=近

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,〃力=-工为尺上的减函数，不合题意，舍.

对于B,=为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,〃彳）=/在（-8,0）为减函数，不合题意，舍

对于D,〃x)=也为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

5.(2020•海南高考真题)已知函数/(幻=坨(色-4尤-5)在3府)上单调递增,则。的取

值范围是()

A.(2,-FW)B.[2,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【答案】D

【分析】首先求出的定义域，然后求出/(x)=lg(Y-4x-5)的单调递增区间即可.

【详解】由Y-4尤-5>0得x>5或x<T

所以〃x)的定义域为(F,-1)U(5,M)

因为y=Y-4x-5在(5,+8)上单调递增

所以于(x)=lg(V-4尤-5)在(5,+oo)上单调递增

所以

故选：D

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

6.(2020•全国统考高考真题)设函数/(x)=^-3,则f(x)()

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为｛尤|xw。｝,利用定义可得出函数/(x)

为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】因为函数〃同=3-3定义域为何户0},其关于原点对称，而

〃f）=—〃尤）,

所以函数〃彳）为奇函数.

又因为函数y=V在（0,+8）上单调递增，在（—8Q）上单调递增，

而y=}=婷在（一刃,。）上单调递减，在（0,+8）上单调递减，

所以函数〃“=三一g在（Q+S）上单调递增，在（_8,0）上单调递增.

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

考点02函数周期性与奇偶性应用

1.（2024•天津高考真题）下列函数是偶函数的是（）

【答案】B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A,设〃“=£不，函数定义域为R,但〃_1）=±匕，=则

x+122

故A错误；

2

对B,设=,函数定义域为R,

且g（-x）=cos）?：（x）=cosj+：=g（x）,则g（x）为偶函数，故B正确；

对C,设/7（X）=£=,函数定义域为{XIXHT},不关于原点对称，则网力不是偶函

数，故C错误；

对D,设研x)=sin：：4x,函数定义域为R,因为研业1,处一1)=山1,

eee

则0⑴二0(-1),则°(x)不是偶函数，故D错误.

故选：B.

2.(2023•全国•统考高考真题)若〃尤)=(x+a)ln||m为偶函数，贝心=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为/(x)为偶函数，则/(I)=/(-I),(1+a)In1=(-1+A)In3,解得。=0,

当。=0时，=(2x-l)(2x+l)>0,解得或彳<_]

-

乙4IL乙乙

则其定义域为“ID；或关于原点对称.

〃T)=(T)ln|^^=(T)ln||^=(T)ln|||^)=xln||^=〃x),

—XI-r1LX—1yZA~r1JNX十J.

故此时/(X)为偶函数.

故选：B.

3.(2020,全国统考高考真题)设函数/(x)=ln|2元+l|-ln|2x-l|,则4M()

A.是偶函数，且在g,+8)单调递增B.是奇函数，且在f单调递减

C.是偶函数，且在(F,-g)单调递增D.是奇函数，且在(e,-g)单调递减

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义可判断出〃x)为奇函数，排除AC；当时，利

用函数单调性的性质可判断出〃尤）单调递增，排除B；当无€［8,-£|时，利用复合函

数单调性可判断出“X）单调递减，从而得到结果.

【详解】由〃力=词2了+1|-1川2工-1|得〃%）定义域为卜|-±；1,关于坐标原点对

称,

X/(--^)=ln|l-2x|-In|-2x-l|=In|2x-l|-ln|2x+l|=-/(%),

\/（%）为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/("=皿2]+1)—ln(l—2x),

Qy=ln(2x+1)在上单调递增，y=In（1-2%）在上单调递减,

上单调递增，排除B；

—8,一；j时，/(x)=In(-2x-1)-In(1-2x)=In亚Lln(l+

当xe

2x-lI

_双-［上单调递减，"〃）=ln〃在定义域内单调递增,

•.-A=l+—S

2x-l

-co,-；］上单调递减，D正确.

根据复合函数单调性可知：〃x）在

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原

点对称的前提下，根据〃-x）与〃x）的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据

自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

4.（2019•全国•高考真题）设是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调递减，则

A.

7

f^iog3^>fk3j>/M

B.

【答案】C

【解析】由已知函数为偶函数，把转化为同一个单调区

间上，再比较大小.

【详解】•・"(X)是R的偶函数，・・・/(log3g=〃1幅4).

_2_3_2_3

-i

log34>log33=1,1=2°>2>2^,.--log34>2二〉，

又/(力在(0,+8)单调递减，

(_2\(_3\

/(log34)</炉<f2技，

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同

一区间的取值.

5.(2023•全国•统考高考真题)已知f(x)=4是偶函数，贝心=()

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为=*为偶函数，则

枚-

（~%）exeg"]

=0,

e-ie-a¥-le^-l

又因为X不恒为0,可得e"—e(“-=0,即倍=e("心,

则x=(a-l)x,即l=a-1,解得a=2.

故选：D.

6.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(无)超(尤)的定义域均为R,且

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,

22

则£/优)=()

A=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到/(X)+/(X-2)=-2,从而得到

/(3)+/(5)+...+/(21)=-10,/(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根据条件得到了⑵

的值，再由题意得到g(3)=6从而得到/(1)的值即可求解.

【详解】因为＞=g(尤)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即g(尤+2)=7+/(*-2),

因为〃x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(X)+[7+/(X—2)]=5,即/(%)+/(%-2)=-2,

所以"3)+”5)+…+”21)=(-2)x5=-10,

/（4）+/（6）+...+/（22）=（-2）x5=-10.

因为/(x)+g(2-x)=5,所以〃0)+g(2)=5,即"0)=1,所以〃2)=-2—〃0)=-3.

因为g(x)—/(%-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因为/(尤)+g(2-x)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以＞=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为/(x)+g(x+2)=5,所以/⑴=5-g⑶=-1.

所以

22

27伏)=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)+—+〃21)]+[〃4)+〃6)+—+"22)]=-1-3-10-10=-24

k=l

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进

行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.

7.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,且

22

/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,则£/(幻=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为6,求出函数一个周期中

的/⑴,〃2),…,〃6)的值,即可解出.

【详解】[方法一]:赋值加性质

因为〃x+y)+f(x—y)=f(x)〃y),令Iy=o可得,2/(1)=/(1)/(0),所以

"0)=2,令x=0可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即/(y)"(-y),所以函数f(x)为偶函

数,令y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=〃x+l),

从而可知/(x+2)=-/(尤一1),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=/(x-4),即

f(x)=f(x+6),所以函数/(X)的一个周期为6.因为〃2)=〃1)一〃0)=1-2=—1,

〃3)=〃2)—〃1)=—1一1=一2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=./(-1)=/(1)=1,

/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/(1)+〃2)+…+*6)=0,由于22除以6余4,

22

所以£〃4)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=一3.故选：A.

k=\

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由/(^+y)+/(x-y)=/(%)/(y),联想到余弦函数和差化积公式

cos(%+y)+cos-y)=2cosxcosy,可设/(%)=acosa)x,则由方法一中/(0)=2,/⑴=1

］7C

知a=2,acosa)=l,解得coso=-,取0=—,

所以=2cos?x,则

7171\.7171

/(x+y)+/(x-y)=2cos1X+§yJ+2cos—x--y=4cosyxcos^=/(x)/(j),所

33

以“x)=2cos《x符合条件，因此了⑴的周期，=丁=6,40)=2,41)=1,且

33

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以2>(左)=〃1)+/⑵+/⑶+"4)=1-1一2-1=一3.故选：A.

k=\

8.(2。21,全国・统考高考真题)设函数小)=公，则下列函数中为奇函数的是()

A./(^-1)-1B./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

【答案】B

【详解】由题意可得/(x)=j』=-I+4，

1+x1+x

对于A,〃x-l)-l=4-2不是奇函数；

X

对于B,7尤-1)+1=4是奇函数；

X

对于c,/(x+l)-l=^--2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

x+2

对于D,〃尤+1)+1=官，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B

9.(2021.全国.高考真题)设“力是定义域为R的奇函数，且"1+尤)=〃r)若

【答案】C

二、填空题

10.(2023•全国•统考高考真题)若〃耳=(》-以+办+$指口+，为偶函数，贝心=

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到=从而求得a=2,再检验即可得解.

71

【详解】因为y=〃x)=(尤-1『+6a+sinx+—=(x-1『+QX+COS%为偶函数，定义域为

R,

则Tia=+1]——1]=2兀，故a=2,

此时/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+1+COSX,

所以/(-x)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R,故/(%)为偶函数，

所以a=2.

故答案为：2.

11.(2021.全国.统考高考真题)已知函数〃X)=尤332。2-，)是偶函数，贝IJ"=.

【答案】1

【分析】利用偶函数的定义可求参数。的值.

【详解】因为〃力=尤3,2-2一”故〃一句=一/(。.2-2)

因为〃尤)为偶函数，故〃—x)="x),

时x3(a-2X-2T)=-x3(a-2-x-2X),整理得到(a-1)(2，+2T)=0,

故a=l,故答案为：1

考点03函数图像应用

二、单选题

1.(2024•全国・高考甲卷文)函数”彳)=-/+@-6-，卜山在区间[-2.8,2.8]的图象大致

为（）

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

【详解］/(-x)=+卜-*-e")sin(-x)=+(e*—ef)sinx=/(X),

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

又〃1)=T+-->0

2e’

故可排除D.

故选：B.

2.（2022•全国•统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致

图像，则该函数是（）

-x3+3xDx3-x2%cos%r2sinx

A.y=B.尸上Ic.”FT

x2+1D.丁=口

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设=则/⑴=0,故排除B;

、67/、2xcosx

…=FF，当xe呜时，0<cosx<l,

所以〃（A爷等（目“故排除c

设g（x）=黑，则g（3）=1F>0,故排除D.故选：A.

3.（2022・全国•统考高考真题）函数y=（3工-3r）cosx在区间-封的图象大致为

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令/(x)=(3*_3_)cosx,xe［一

则/(-.X)=(3-1-3l)cos(-x)=-(31-3-1)cosX=-/(%),

所以为奇函数，排除BD；

又当xjo,?时，3x-3->0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.故选：A.

___-TT

4.(2020.全国.统考高考真题)设函数〃x)=cos(s+。在［-府］的图像大致如下图,

6

则的最小正周期为()

又「q，oj是函数“X）图象与X轴负半轴的第一个交点,

所以-¥g+£=-彳，解得：0=3

9622

_2"_2万_4万

所以函数“X）的最小正周期为=1=丁=丁故选：C

2

考点04函数性质综合应用

二、单选题

1.(2024・全国•高考II卷)设函数/(%)=4a+1)2-1,g(x)=cosx+2ax,当xe(-l,l)

时，曲线y=/(x)与,y=g(x)恰有一个交点，贝心=()

A.-1B.C.1D.2

【答案】D

【分析】解法一：令b（x）=ox2+a-LG（x）=cosx,分析可知曲线y=尸（无）与y=G（x）恰

有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检

验即可；解法二：令网尤）=/（x）-g（x）,尤可知可x）为偶函数，根据偶函数的

对称性可知火力的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令『(x)=g(x),即。(x+l)2-l=cosx+2aX,可得ax2+。-1=cosx,

令F（x）=ac2+a-l,G（x）=cos龙,

原题意等价于当尤e（-1,1）时，曲线y=尸（x）与y=G（x）恰有一个交点,

注意到尸（x）,GG）均为偶函数，可知该交点只能在），轴上，

可得F（0）=G（0）,即a—1=1,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2f+l-cosx=0

因为则2X220,1-COSXN0,当且仅当尤=0时，等号成立,

可得2炉+l-cosxNO,当且仅当尤=0时，等号成立，

则方程2炉+1-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线V=尸(尤)与y=G。)恰有一个交

点，

所以a=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：-v/z(x)=/(x)-g(j：)=ax2+n-1-cosx,xe(-1,1),

原题意等价于h{x}有且仅有一个零点，

因为九(一元)=a(—x)2+a—l-cos(-x)=av2+a—1—cosx=/z(x),

则/i(x)为偶函数,

根据偶函数的对称性可知火力的零点只能为0,

即/?(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,贝/z(x)=2尤2+l—cosx,xe(—1,1),

又因为2/20,1-cosxNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得〃(无)20,当且仅当x=0时，等号成立，

即力(少有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；故选：D.

2.(2024,全国高考II卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+6),若〃尤)20,则/+/的最小

值为()

【答案】C

【分析】解法一：由题意可知：/⑺的定义域为(-瓦+⑹，分类讨论-。与-6,1-6的大

小关系，结合符号分析判断，即可得b=a+l,代入可得最值；解法二：根据对数函数

的性质分析ln(x+6)的符号，进而可得的符号，即可得人=。+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知："X)的定义域为(-4+8),

令x+“=0解得尤=一。;令ln(x+Z?)=O解得x=l—。；

若—-8，当时，可知x+a>0,ln(x+》)<0,

此时/(x)<0,不合题意;

若一匕当xe(-a/一Z?)时，可知x+a>0,ln(x+Z7)<0,

此时F(x)<0,不合题意；

若一a=l-6,当xe(-6,l—Z?)时，可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时/(x)>0；

当xe[l—"+功时，可知x+aN0,ln(x+6)20,此时/(x)20；

可知若-。=1-6,符合题意；

若一”>1一5,当工«1—6,—4)时，可知x+a(O,ln(尤+6》0,

此时F(x)vO,不合题意；

综上所述：-。=1-6,即6=a+l,

则4+〃=/+(a+l)2=2「+!]+工2工，当且仅当a=-《,b=:时，等号成立，

'，(2)2222

所以^+廿的最小值为g；

解法二：由题意可知：/⑴的定义域为(-4+8),

令％+a=0解得]。；令ln(x+Z?)=0解得犬=1—；

贝U当工£（—女1一人）时，ln（x+Z?）<0,故x+a<0,所以1一〃+々<0；

X£（l—仇+。）时，ln（x+Z?）>0,故工+1^0,所以1一人+々之0；

故1-人+。=0,贝1|/+62=/+（〃+1）2=2（。+!1+1>|,

当且仅当°=一提6=；时，等号成立，

所以的最小值为!.故选：C.

3.（2024•北京・高考真题）已知（网,％）,优,%）是函数y=2'的图象上两个不同的点,

则（）

A.log2^±A<A±^B.log2^±A>^±^

-22-22

1

C.log2»；%<x1+x2D.log2，；%>X1+x2

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断

CD即可.

【详解】由题意不妨设玉<%,因为函数y=2*是增函数，所以0<2'，<2*2,即

°<%<%,

X

7I-LI-----y.I再+出

对于选项AB：可得'+'>也3？*2=2,即