2025高考数学二轮复习：极化恒等式、等和线、奔驰定理 专项训练【含答案】

微专题20极化恒等式、等和线、奔驰定理

［考情分析］利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，

特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点

共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁.奔驰定理对于利用平面向

量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基

石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度

较大.

思维导图•

平面向量的加、减、数乘运算一-利用等和（高）线求基底系数和的值

数量积一极-利用等和（高）线求基底系数和的最值（范围）

化

恒

共线向量定理一迹:常见—利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题

极化恒等式一f后识等

式题型—利用极化恒等式求数量积的定值

等和线一、-利用极化恒等式求数量积的最值（范围）

等

奔驰定理一和-利用极化恒等式求参数或其他问题

线

、

数形结合一奔-----L建系时设点的坐标不恰当

必备驰

基底法---定事皆——数形结合时转化的函数不知是什么

解法理’一运用定理不恰当

坐标法一

典型例题

考点一极化恒等式

极化恒等式：«­Z>=-［（a+6）2—-6）2］.

4

⑴几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与

“差对角线"平方差的」.

4

⑵若。是平行四边形尸河0N对角线的交点，贝!I：

①局屈=（（|两2—丽2）（平行四边形模式）；

②或•的=|历产一）曲2（三角形模式）.

【典例1】（1）（2023・洛阳模拟）如图，在平行四边形/BCD中，48=1,AD=2,点、E,F,G,

〃分别是BC,CD,/D边上的中点，则庠・昂+而•应等于（）

\/

AEB

333

AA-3B.--C.-D.

2244

答案A

m.

解析取///的中点则EF-FG=EF-EH=EO2—Ofp=]-02=2,GHHE=GHGF=

4

GO2-6H2=\-

——►一一a

因此EF・FG+GHHE=N

2

（2）（2023•葫芦岛模拟）如图，在四边形中，I元1=4,BA-BC=\2,£为/C的中点.砺=

2ED,则D/3C的值为（）

A.0B.12C.2D.6

答案A

解析\AC\=4,£为NC的中点,

\AE\=\CE\=2,

根据极化恒等式可得的•就=1就卜一|威卜=|读^-4二⑵

\BE\=4,

•・』法三序=2,

.•而灰=I茄2一向2=4—4=0.

跟踪训练1（1）（2023•南京模拟）如图，已知跖N是△ABC边3c上的两个三等分点，若3c

=6,AM-AN=4,则和就=

答案-4

解析取的中点£,由向量数量积的极化恒等式，得孤//方=成2―1而2=崩2—1乂4

44

=症一1=4,

：.AE2=5,：.AB-AC=AE2--BC2=5-^X36=-4.

44

(2)在△ABC中，AC=2BC=6,N/C2为钝角，M,N是边48上的两个动点，且〃N=2,

若诙•丽的最小值为3,贝！|cos//C3=.

农安2-2,口0

口木9

解析取线段MN的中点P,连接CP,过C作CO_L/8于。，如图，PM=-MN=\,

2

由向量数量积的极化恒等式，得由•由一痂2=成2—1,

因为灰•成的最小值为3,则|币|的最小值为2,因此CO=2,

rcii

在RtZ\4OC中，cosZOCA=-=-,

CA3

所以sinNOC4=姬，

3

ca?

在RtABOC中，cos/OC5="=当

CB3

所以sin/0C3=火，

3

所以cosCB=cos(ZOCA+ZOCB)

=cosZOC4cosZOCZ?—sinZOC4sinZOC5

_2~2V10

9-

考点二等和（高）线定理

等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若5>=义由+〃宓（九

〃GR）,则2+〃=1,由△0/2与△OHB'相似，必存在一个常数匕发6R,使得PF'=

kOP,则0P.'^kOP=k^OA+knOB,又^xOA+yOB(x,yGR),；.x+y=&+勿=

k；反之也成立.

(2)平面内一组基底为，协及任一向量。户',~OP'=/1①+〃无(九〃GR),

若点P在直线上或在平行于的直线上，则4+〃=网定值)；反之也成立，我们把直线

AB以及与直线平行的直线称为等和(高)线.

①当等和线恰为直线时，左=1；

②当等和线在O点和直线之间时，左e(o,i)；

③当直线在。点和等和线之间时，左G(l,+°°);

④当等和线过。点时，左=0;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值k互为相反数；

⑥定值人的变化与等和线到。点的距离成正比.

【典例2](1)(2023•泉州模拟)在正六边形48co所中，尸是4CDE内(包括边界)的动点，设亦

=族+庭(a,/GR),贝！|a+£的取值范围是.

答案[3,4]

解析如图，直线3尸为左=1的等和线，当P在△(7£)£内时，直线EC是最近的等和线，过

D点的等和线是最远的,

~ANAPI

所以a+SeL4M'4A[=[3,4].

(2)在扇形0/8中，ZAOB=60°,C为N5上的一个动点，若灰则3x+y的

取值范围是.

答案[1,3]

解析取点。使得历=；甚，OC=xOA+yOB=3xOD+yOB,作一系列与平行的直线与

圆弧相交(图略)，当点C与点3重合时，3x+y取得最小值1,当点C与点/重合时，3x+y

取得最大值3,故3x+y的取值范围是[1,3].

跟踪训练2(1)如图，四边形0N8C是边长为1的正方形，点。在CM的延长线上，且/£(

=1,点尸是△BCD(含边界)内的动点，设办=2次?+〃励，贝版+〃的最大值为

OAD

答案-

2

解析当点尸位于2点时，2+〃取得最大值，过点3作GH〃DC,分别交。C,OD的延长

线于G,H,

则0P=xOG+yO//,且x+y=l,

■:△GCBsfOD,

COOD2

⑵已知点C为扇形NOB的43上任意一点，且N/O3=,，若无〃协（九〃GR）,

贝以+〃的取值范围是（）

A.[-2,2]B.（1,啦]

C.[1,物D.[1,2]

答案D

解析方法一（等和线定理）

设%+〃=左，

当。位于/或2时，A,B,C三点共线，

所以k=2.-\-fi=1；

当C运动到N8的中点时，上=4+〃=2,

.•/+蚱[1,2].

方法二（常规方法）

设半径为1,由已知可设03为x轴的正半轴，。为坐标原点，建立平面直角坐标系（图略）,

其中/I22J,B（1,O）,C（cose,sin（9）,/BOC=（^3J,

有灰7=/l/+〃为（九1MdR）,

f-1回

即(cos6,sin。)=从22J+//(l,0),

-^A+/z=cos0,

整理得；Q

*L=sin8,

12

_2sin3

解得sin0

cos0~\

71

2sin3,八।sin80,

则——十COS“十一L3sin6+cose=2sinl6j,BG

易得

考点三奔驰定理

定理：如图，已知P为△/BC内一点，贝！I有SMBC•苏+S^HC•协・1=0.

【典例3】⑴（2023•宜春模拟）设。为△N8C内部的一点，且a+2协+3沆=0,则△/。。

的面积与△BOC的面积之比为（）

35

A.-B.-C.2D.3

23

答案C

解析方法一

根据奔驰定理可知S^BOC:S^AOC:S^AOB^l：2：3.

方法二延长03至方，使03'=202,

延长。。至C',使。C'=3。。，则渔+。夕‘+OC」=0,

二。是C的重心，:.S“oc，=S®0C，，

S^AOC—~S/^AOC',S^BOC~~S^B'OC,

S^AOC:SABOC=21.

⑵若点M是△/BC所在平面内的一点，且满足3京一看一左=0,则与△NBC的面

积之比为（）

A.1：2B.1：3

C.1：4D.2：5

答案B

解析方法一将3AM-AB~AC=Q变形可得疝+施+庆=0,

根据奔驰定理可知S^BCM:S^ACM:S^ABM=111,

则S"BM:S^ABC=1-3.

方法二如图，。为8c边的中点，则4D=；(4B+/C),

因为3AM-AB-AC^,

所以3疝=冠+就=2应)，所以京

3

所以SAABM=“BD—:SfBe.

跟踪训练3(1)(2023•武汉模拟)点。是△48C内一点，且满足3ft4+4(9S+5(9C=0,则丛”

S/^ABC

的值为()

A=3B.4-C.5-D.~1

57123

答案C

解析方法一根据奔驰定理及3a+4亦+5女=0可知，品BOC：品加c：品4OB=3：4：5,

所以红年=_5_=£.

S^ABC3+4+512

方法二由3易+4为+5女=0,得3易+4为=一，女，

777

设一即3a+&无=而，

777

可知4,B,。三点共线，且次，历反向共线，如图所示，

ADB

的5司5S^OB司5

故——=--------==---

loci7'|丽|12'SMBC\a)\12，

(2)(2023・济南模拟)已知点/,B,C,尸在同一平面内，PQ=^A,QR=-QB,淳=；危，则

S^ABC:SdBC等于()

C.24：5D.29：6

答案B

解析由。氏=；。2可得PR—PQ=；(P2—尸。)，

~►1­►0—►1—►0—►

整理可得尸尺=；尸8+$

由RP=：RC可得RP=：(PC-PR),整理可得尸R=一产,

所以一1元'=］而+?为，整理得4万+6筋+9无=0,

239

由奔驰定理可得S»BC:品咏=(4+6+9)：4=19：4.

［总结提升］

1.极化恒等式的适用范围

(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.

(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向

量的数量积问题.

2.等和(高)线定理的适用范围

主要解决平面向量系数和与差的问题.

3.奔驰定理的使用范围

对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系.但

如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案.

热点突破

I.在△N3C中，M是8C的中点，AM=3,BC=10,则益♦就■等于()

A.32B.-32C.16D.-16

答案D

解析由题设，|同=3,|而|=10,

由极化恒等式可得，

A-BA--A>■C=^1X（4|-/盟►2-|—5►C|2）=1^X（36-100）=-16.

2.（2023•昆明模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之

一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔断，图

乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形NBCDEFGH的边长为2仍，M是

正八边形/BCD所G”边上任意一点，则疝•施的最大值为（）

A.30+4仍B.28+8也

C.26+16也D.24+16/

答案D

解析如图，取48的中点。，连接MO,BE,OE,

分别过点C,。作的垂线，垂足分别为1,J,

由极化恒等式可得起4•施=该?2一①2=流2—2,

当点M与点产或点£重合时，I历I取得最大值，

易得四边形CD/Z为矩形，△5C7,△£>£/为等腰直角三角形，则〃=2也，

BI=EJ=2,则8£=4+2/，8。=他，

血2的最大值为3。2+5£2=（/）2+（4+2/）2=26+16/，

所以疝•施的最大值为24+16他.

3.如图所示，在△48C中，D,尸分别是/£/C的中点，AF与CD交于点。，设卷=°,AC

=b,向量历=觞+〃"贝版+〃的值为（）

A

D,

124

A.-B.-C.1D.-

333

答案B

解析如图，5C是值为1的等和线，过。作5C的平行线,

、.\AO[

设4+〃=鼠则k=_.

\AM\

殴=

由题设知O为△45C的重心,2

\AM\3

4.设。为△ZHC所在平面内一点，满足2晶一7a一3次=0,则的面积与△50。

的面积的比值为（）

Q1O

A.6B.-C.UD.4

37

答案D

解析方法一根据奔驰定理的推论可得如生=1237二31=1

S4ABe4

方法二不妨设晶1=2为，OBi=-lOB,OCi=~3OC,如图所示,

根据题意得。41+。51+。。1=0,

即点。是△415C1的重心，所以SOAB=SOAC=SOBC=鼠

又因为$OBC-OB,OC_1SCUB_OAOB__1S勿。_QA•OC_1

sORC―051。©―21's―04051—14,S~OAvOcC

C<D|L]COAA4|C/j

为口么品。5。=二左，S/^OAB=~~k,S^OAC=~k,

S»BC=S△OAB+SAOAC—SAOBC

4

故△NBC的面积与△3OC的面积的比值为2L=4.

-k

21

5.（2023・南昌模拟）已知。是△48C内一点，且5+宓+定=0,点”在△。2。内（不含边

界），若西=济+〃左，贝!U+2〃的取值范围是（）

L5]

A.l2jB.（1,2）

c,[?0D.t1]

答案B

解析因为。是△/BC内一点，且为+而+沆=0,

所以O为△48。的重心，

M在△O8C内（不含边界），且当点M与。重合时，2+2〃最小，此时施=入法+4就=

21一1一

-X^^~AB+~AC,

333

所以%=；,/z=j,即/l+2〃=l；

当点M与C重合时，4+2〃最大，此时

AM=AC,

所以2=0,“=1,即%+2〃=2.

因为/在△O3C内且不含边界，

所以取开区间，即4+2〃6（1,2）.

6.如图，已知。是△43C的垂心，且茂+2而+3女=0,△BOC,AAOC,△/。8的面积

分别记为Si,S2,Si,则tan/A4c：tanZABC：tanZACB等于（）

A.1：2：3B.1：2：4

C.2：3：4D.2：3：6

答案A

解析。是△NBC的垂心，延长CO,BO,/O分别交边AC,5C于点尸，M,N,如图,

则CP工AB,BMLAC,AN上BC,ZBOP=ZBAC,ZAOP/ABC,

eIISiBPOPtan/BOPtanZBAC

因此黄=丁=-----------=---------,

&APOPtanZAOPtanZABC

同理Si=tan/84C

S3tanXACB

于是得tanZBAC:tanZABC:tanZACB=Si:S2:*,

又为4+2宓+3友=0,

即。c=—WOB,

33

由“奔驰定理”有S1•宓+S2•而+S3•女=0,

则女=一必也・由，

S3S3

而渔与而不共线，有必=1殳=2,

S33s33

即Si：S2：S3=l：2：3,

所以tanABAC：tanAABC:tan/NCB=1：2：3.

7.（多选）如图，尸为△48C内任意一点，角4B,C的对边分别为a,b,c,则总有优美等

式品取•届+超阳c•访+5人*讫=0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下

命题中，正确的有（

A.若尸是△/2C的重心，则有底+协+反1=（）

B.若a•百+6•丽+c•工=0,则尸是△/8C的内心

C.若成=/+；就，则SgBc:S^PAC:品以B=2：2：1

肛一//pel

2J-PC=0

4t

答案ABD

解析对于A,若夕是△/BC的重心，则品咏=品碇=%眄

代入SyBC•法+&HC•译+品曲•由=0,得法+两+旅=0,正确；

对于B,设点尸到边3C,AC,AB的距离分别为/“，I”,加，

———1—►1—►1—►

由S^PBCPA-\-S^PACPB+S^PAB-PC—0行，^xihvPA-\-^bhrPB-\-^:hyPC=d,

即ahiPA+bhi-^+chiPC^Q,

与已知条件。•百+6•丽+c•无=0比较知，加=42=加，

则P是△/8C的内心，正确；

―►1­►0―►1—►―►0—►―►―►―►―►

对于C,AP=^AB+^4C=^PB-PA）+^PC~PA）,即2PA+PB+2PC=0,

与S^PBC-PA+S^C-PB+S^B-PC^比较得到，SAPBC:S^PAC:S△以B=2：1：2,错误；

对于D,尸是△N8C的外心，且乙4=三，则N3PC=Z,设三角形外接圆半径为R,

42

[11XAPcl

22

所以SAPBC="2,SAE4c=-RsmZAPC,5A^=^sinl2J,

222

tp兀―

代人奔驰定理即可得到屈!+sin//PC•丽+sin12'JPC=0,正确.

8.（2023•长沙模拟）在△/BC中，。是3c边上的中点，且崩=步5,AF=2A£,ABAC^h,

FBFC^-