2025高考数学二轮复习：集合与常用逻辑用语 专项训练【附答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第一讲-集合与常用逻辑用语-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

L高考对集合的考查，重点是2022•新高考□卷，

集合间的基本运算，主要考查1

集合的交、并、补运算，常与2023•新高考□卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的运算

次不等式解法、分式不等式解2024•新高考□卷，

法、指数、对数不等式解法结1

合.2022•新高考口卷，

2.高考对常用逻辑用语的考查1

重点关注如下两点：2023•新高考□卷，

根据集合的包含关系求参数

（1）集合与充分必要条件相2

结合问题的解题方法；2023•新高考□卷，

充分必要条件的判定

（2）全称命题与存在命题的7

否定和以全称命题与存在命题全称、存在量词命题真假的2024•新高考口卷，

为条件，求参数的范围问题.判断2

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑

用语在新高考口卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考

“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合

和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不

等式、函数的定义域、值域的联系。预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

三：试题精讲

1.(2024新高考口卷-I)已知集合4=何一5</<5},2={_3,-1,0,2,3},则AB=

()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{一3,—1,0}D.{—1,0,2}

2.(2024新高考口卷-2)已知命题p：VxeR,|X+1|>1；命题q：3x>0,x3=x,则

()

A.。和q都是真命题B.力和q都是真命题

C.。和r7都是真命题D.力和r都是真命题

高考真题练

1.（2022新高考口卷T）若集合M=｛x]«<4｝,N=｛x|3xNl｝,则McN=（）

A.1x|0<x<2}C.{x|3<x<16}

2.(2023新高考口卷,1)已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={x-—尤yn。},则McN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.(2022新高考□卷T)已知集合&={-1,1,2,4},8={刈龙-1区1},则AB=()

A.{-1,2}B.U,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.(2023新高考□卷2)设集合A={O「a},B={l,a-2,2a-2},若AgB,贝"=

().

2

A.2B.1C.-D.-1

5.（2023新高考口卷—7）记S“为数列｛%｝的前〃项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙:

｛、｝为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

知识点总结

一、元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学

对象外，还可以是其他对象.

2、集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该

集合中的元素.

（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能

重复出现.

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作aeA）和不属于（记作a^A）两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合3中

的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集,记作A=3

（或5"），读作"A包含于3”（或“3包含A”）.

（2）真子集：对于两个集合A与3,若4=3,且存在但。走4,则集合A是

集合6的真子集，记作AUB（或3£A）.读作“A真包含于3”或“3真包含A”•

（3）相等：对于两个集合A与3，如果A[3，同时3=A，那么集合A与3相等，

记作A=3・

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的交集，

记作Ac3,即AcB={x|xeA且xe8}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的并集，

记作即AuB={x|尤eA或xeB}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C^A,即

CuA={x\x&U,且Y任A）.

四、集合的运算性质

（1）AA=A>Ai|0=0，AB=BA，AnBcA，AcB=B.

（2）AA=A>A0=A>AB=BA，A=B=AuB.

（3）A©4）=0,A（CVA）=U，CU（CUA）=A.

（4）Ar^B=A<^>A<JB=BA^B'^BcAc%8=0

【集合常用结论】

（1）若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2".1个，非空子集有

2"_]个，非空真子集有才_2个.

（2）空集是任何集合a的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)AaBoAB=A<^AB=B<^>CVBcCVA.

(4)Q(AB)=(QA)(QB),Q(AB)=(CVA)(QB).

五、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若夕,则q”为真(记作0=“)，则p是4的充分条件；同时4是p的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若q且q=>0,则p是q的必要不充分条件；

(3)若且qnp,则P是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若q且44P>则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

六、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M

中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记为“VreM,p(x)”，读作“对任意x属于

M,有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题

“存在M中的一个飞,使p(x0)成立"可用符号简记为0cMp(%)”，读作“存在〃中

元素飞,使双毛)成立,’(存在量词命题也叫存在性命题).

七、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p：VxeAf,p(x)的否定为上eM,~^P(x0).

(2)存在量词命题p:3x0wM,p(Xg)的否定—p为VxeMrXX)♦

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用逻辑用语常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x')},B={x\q(x')}.

(1)若AqB,则p是q的充分条件(0=4),q是p的必要条件；若则p是

q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p=>4且"&p;

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小台大”.

(2)若则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与夕互为充要条件.

名校模拟练

一、单选题

1.(2024•河南•三模)命题“天>0,尤2+了_1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-l<0

C.3.r<0,x2+x-1>0D.<0,x2+x-1<0

2.(2024•湖南长沙三模)已知集合〃=同工,,2}川=3m<1},则McN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024•河北衡水三模)已知集合4={1,2,3,4,5},B=L|-1<Ig(x-l)<贝

A()

A.<x<5B.{2,3,4}C.{2,3}D.x|<x<3

4.(2024•陕西•三模)已知集合4={3-14X42},3={尤|-彳2+3*>。},则()

A.RB.(0,2]D.[-1,3)

5.(2024•安徽•三模)已知集合&=卜|一5＜尤＜1},B={x\x＞-2},则图中所示的阴影部

分的集合可以表示为()

A.{x|-2<^<B.1.x|-2<x<

C.{x|-5<x<-2}D.{x|-5Wx<-2}

6.（2024•湖南长沙三模）已知直线/:依-y+叵=0,圆。工+产之，则“左＜1”是

“直线/上存在点P,使点P在圆。内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2024•湖北荆州三模）已知集合&={乂2了-/40},B=其中R是实数集，集

合C=（—8,1],则3cC=（）

A.(-»,O]B.(0,1]C.(-8,0)D.(0,1)

8.（2024・北京•三模）已知集合4={无®＜1},若“eA,则〃可能是（)

1

A.B.1C.2D.3

e

9.（2024•河北衡水三模）已知函数/（x）=（2'+机sBsinx,则“疗=1”是，函数"刈是

奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

10.（2024•内蒙古•三模）设a,a是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且

a方=/则“机///”是“租//£且加〃的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

11.（2024•北京•三模）已知A={Hk>g2（尤一1）<1},8=国尤-3|>2},则AB=（）

A.空集B.{x|xW3或x>5}

C.{尤|尤<3或x>5且xwl}D.以上都不对

12.（2024•四川三模）已知集合4={0,3,5},B={x|x（x-2）=0）,则AB=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024•重庆•三模）已知集合4={龙©叫尤2一元一2<0},8={y|y=2',尤eA},贝lj

14.（2024•北京•三模）"_ABC为锐角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2024・上海・三模）设集合4={l,a,b},集合

Bt\t=xy+^-,x,y&A,x^y\,对于集合3有下列两个结论：口存在a和6,使得集合

3中恰有5个元素；□存在。和6,使得集合3中恰有4个元素.则下列判断正确的是

()

A.□□都正确B.m都错误C.□错误，□正确D.□正确，口错误

二、多选题

16.（2024•江西南昌•三模）下列结论正确的是（）

A.若{Xx+3>0}c{x|x—a<0}=0,则。的取值范围是a<—3

B.若{x|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,则°的取值范围是aW—3

C.若{x|x+3>0}3小-a<0}=R,则。的取值范围是。2-3

D.若{x|x+3>02{Hx-a<0}=R,贝!J0的取值范围是a>—3

17.（2024•辽宁・三模）已知max{占,％,',当}表示%,马,…,无,这〃个数中最大的数.能说

明命题”Va,6,c,deR,max{a,b}+max{c,d}\max{a,/?,G4}“是假命题的对应的一组

整数a,b,c,［值的选项有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,—1,—2,-3D.5,3,0,—1

18.（2024•重庆•三模）命题“存在%>0,使得痛2+2%_I>O”为真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.m>-2B.m>-\C.m>QD.m>\

19.（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）已知“涉>0,则使得“°>人”成立的一个充分条件可

以是（）

A.—<7-B.\a-2\>\b-2\C.a2b-ab2>a—b

ab

D.皿/+1)>in(/+1)

20.(2024•安徽安庆三模)已知集合4=卜€小2-2工-8<0},集合

m

B={x|y>3,meR,xeR),若Ac3有且仅有3个不同元素，则实数优的值可以为

()

A.0B.1C.2D.3

三、填空题

21.(2024•湖南长沙•三模)已知集合4={1,2,4},B={a,a2},若=贝！J

22.(2024・上海,三模)已知集合A={0,1,2},B={x|x3-3x<1},则4B=

23.(2024・湖南衡阳三模)已知集合4={卅+1},集合8={%m|/_犬_2<0},若

B,贝.

x-3

24.（2024•湖南邵阳•三模）A=xeNIlog2(x-3)<2j,40,贝U

AB=.

25.（2024•安徽•三模）已知集合4={42,-1},2=b|y=/,xeA},若AuB的所有元素

之和为12,则实数4=.

26.（2024•山东聊城•三模）已知集合A={1,5,/},3={1,3+2°},且=则实数。

的值为.

27.（2024•重庆•三模）已知集合4={无卜2-5x+6=。},B={x|-l<x<5,xeN},则满足

AcC3的集合C的个数为.

28.（2024•天津•三模）己知全集。={尤eN*|xV7},集合A={1,2,3津},集合

B={XGZ||X|<5},则@A)B=,A<JB=.

29.(2024•山东泰安三模)已知集合A三B={x|log2%>a),若

BU&A）,则a的取值范围是,

30.（2024•宁夏银川•三模）已知命题曲关于x的方程*-6+4=0有实根；命题q：

关于x的函数＞=1%（2/+办+3）在［3,y）上单调递增，若〉或q”是真命题，》且q

是假命题，则实数。的取值范围是

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对集合的考查，重点是2022•新高考□卷，

集合间的基本运算，主要考查1

集合的交、并、补运算，常与2023•新高考口卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的运算

次不等式解法、分式不等式解2024•新高考□卷，

法、指数、对数不等式解法结1

合.2022•新高考□卷，

2.高考对常用逻辑用语的考查1

重点关注如下两点：2023•新高考口卷，

根据集合的包含关系求参数

（1）集合与充分必要条件相2

结合问题的解题方法；2023•新高考□卷，

充分必要条件的判定

（2）全称命题与存在命题的7

否定和以全称命题与存在命题全称、存在量词命题真假的2024•新高考□卷，

为条件，求参数的范围问题.判断2

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑

用语在新高考口卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考

“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合

和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不

等式、函数的定义域、值域的联系。预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

三：试题精讲

1.（2024新高考口卷•：!）已知集合4=何一5<尤3<5},8={-3,-1,0,2,3},则AB=

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3-1,0)D.{-1,0,2)

【答案】A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A=-妙＜无＜狗},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈将＜2,

从而A3={-1,0}.

故选：A.

2.(2024新高考□卷2)已知命题p：VxeR,|^+1|＞1；命题q：*＞0,x3=^,则

()

A.0和q都是真命题B.力和q都是真命题

c.p和r都是真命题D.力和r都是真命题

【答案】B

【分析】对于两个命题而言，可分别取尸-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性

相反即可得解.

【详解】对于P而言，取x=-1,则有|无+1]=。＜1,故〃是假命题，力是真命题，

对于4而言，取x=l,则有彳3=]3=]=尤，故q是真命题，F是假命题，

综上，力和q都是真命题.

故选：B.

高考真题练

1.(2022新高考口卷T)若集合M={x]«＜4},N={x|3xNl},则VcN=()

A.{x|0Vx<2}B.<x<21C.{x|3Vx<16}D.

【答案】D

【分析】求出集合M，N后可求McN.

【详解】M={x104x<16},N={xIx2；},故McN=HW尤<16,,

故选：D

2.(2023新高考□卷T)已知集合/={-2,-1,0,1,2},N={x—_龙_62。},则McN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N=1卜2-尤-620}=(y,-2]63,+。)，而河={-2,-1,0,1,2},

所以AfcN={—2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,—1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式》2_》_620,只有-2使不

等式成立，所以McN={-2}.

故选：C.

3.(2022新高考□卷-1)已知集合4={-1」,2,4},8=付尤-1区1},则AB=()

A.{-1,2}B.{L2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合8后可求AcB.

【详解】［方法一］:直接法

因为3={尤|04无42},故AB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

尤=-1代入集合3={小-1目},可得2V1,不满足，排除A、D；

x=4代入集合8=卜卜-1曰},可得3<1,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

4.(2023新高考□卷2)设集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若AgB,则"

().

2

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【分析】根据包含关系分2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为4=8,则有：

若a—2=0,解得。=2,此时A={0,-2},B={l,0,2}f不符合题意；

若2a-2=0,解得a=l,此时A={0,-l},B={l,-l,0},符合题意；

综上所述：a=l.

故选：B.

5.(2023新高考口卷-7)记S”为数列｛%｝的前”项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙:

｛己4为等差数列，则()

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与

第n项的关系推理判断作答.，

【详解】方法L甲：｛%｝为等差数列，设其首项为外,公差为d,

n(n-l),Sn-1,ddS,

贝Se=net]H-----------d,—n=qH-------d—n+a,,〃+1区=4

n2n2212n+1n2

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即鼠].二31M电为常数,设为人

n｛n+\)

两式相减得：〃,="+1--1)%-，即巴+[-a,=2f,对〃=1也成立,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛%｝的首项外,公差为d,即

c,n(n-l)

S“=叫+--—d,

则之=q+———d=—n+a1――,因此｛鸟4为等差数列，即甲是乙的充分条件;

n222n

反之，乙：｛T为等差数列，即--==D,i=Sj+(〃-l)£),

nn+1nn

即Sn=nS]+n(n-1)D,Sn_x=(n-1闵+(n-1)(〃-2)Z),

当〃22时，上两式相减得：=4+25-1)0,当〃=1时，上式成立，

于是％=。1+2(几-1)，又4+「册=4+2〃。-[%+2(〃-1)。]=2。为常数，

因此｛为｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

知识点总结

一、元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学

对象外，还可以是其他对象.

2、集合元素的特征

(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该

集合中的元素.

(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能

重复出现.

(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于(记作acA)和不属于(记作aeA)两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合3中

的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作A=3

（或3?A），读作“A包含于3”（或“3包含A”）.

（2）真子集：对于两个集合A与台，若4=3，且存在OeB，但少任4，则集合A是

集合3的真子集，记作AU8（或.读作“A真包含于3"或'3真包含A”•

（3）相等：对于两个集合A与3,如果AuB，同时3=A，那么集合A与3相等，

记作4=3•

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的交集，

记作Ac3,即AcB={x|xeA且xe8}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的并集，

记作即AuB={x|xeA或xeB}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集。中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C〃A,即

CuA={x\x&U,^x^A\.

四、集合的运算性质

⑴AA=A>A\|0=0，AB=BA，Ac3=A，AnBcB.

（2）AA=A，A0=A.A.B=BA，AcAuB-B^AuB-

（3）A（QA）=0,A,（C0A）=U，C[/（CUA）=A.

⑷AcZ?=AoAu3=Z?o疫Ac%2=0

【集合常用结论】

（1）若有限集A中有"个元素，则A的子集有十个，真子集有2"一1个，非空子集有

2"一1个，非空真子集有2"—2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）A18oAB=AoAB=B^CUB^CUA.

（4）Q（AB）=（QA）（GB）,Cu（AB）=（QA）（CVB）.

五、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则二'为真（记作0=4）,则p是q的充分条件；同时q是p的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

（1）若/?=><7且44p,则p是q的充分不必要条件；

（2）若q且4n/?,则p是q的必要不充分条件；

（3）若°=4且q=则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；

（4）若4且44P>则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

六、全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对”

中的任意一个无，有p（尤）成立“可用符号简记为“VxeMMCx）”,读作”对任意尤属于

M,有p（x）成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号，汨”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题

“存在M中的一个飞,使p(x0)成立"可用符号简记为“现(尤0)”，读作“存在M中

元素与，使以%)成立"(存在量词命题也叫存在性命题).

七、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:VxeAf,p(x)的否定r?为A。eM,~^P(x0).

(2)存在量词命题p:3x0eM,pC%)的否定为VxeA/,-ip(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用逻辑用语常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},B={x\q(x)}.

(1)若4=8,则p是夕的充分条件(0=>q),q是p的必要条件；若4尉，则p是

q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p=q且夕乙p;

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小二大”.

(2)若8=4,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

名校模拟练

一、单选题

1.(2024・河南•三模)命题“玉>0,f的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.V%>0,x2+x-1<0

C.3X<0,X2+X-1>0D.<0,%2+x-1<0

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，

即命题“土:>0,/+x-1>0”的否定为“Vx>0,尤2+x-140

故选：B.

2.(2024・湖南长沙•三模)已知集合〃={刈乂,,2}1=口|111%<1},则McN=(

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N,根据交集运算求解即可.

【详解】因为“=[—2,2],N=(O,e),

所以MN=(O,2].

故选：D.

3.(2024•河北衡水•三模)已知集合A={1,2,3,4,5},B-1<Ig(x-l)<,贝|

AB=()

A.卜B.{2,3,4}C.{2,3}D.|x|j^<x<3

【答案】B

【分析】求得2=卜44》〈何+11,可求AcB.

【详解】2=[x]-lWlg(无一=尤4而+”,

又4={1,2,3,4,5},故AB={2,3,4},

故选：B.

4.（2024•陕西•三模）已知集合4=何一14彳42},3=3-/+3%>（）},则473=（）

A.RB.（0,2]C.[-1,0）D.[-1,3）

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合8,再根据集合并集定义计算即可.

【详解】由7+3x>0,解得0<x<3,所以集合3={刈0<无<3},

所以Au3={x|-lWx<3},所以AuB=[-l,3）.

故选：D.

5.（2024・安徽•三模）已知集合4={+5Vx41},B={x\x>-2],则图中所示的阴影部

分的集合可以表示为（）

A.{尤卜2WxWl}B.{x|-2<xWl}

C.^x|—5<x<—2j.D.{x|-5Wx<-2}

【答案】C

【分析】图中所示的阴影部分的集合为A,结合集合的运算即可得解.

【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为々BCA,

JfOA=1x|-5<x<l},8={x[x>-2},则48={目尤4-2},

＜^BnA={x|-5＜x＜-2）,

故所求集合为何-5W尤〈-2}.

故选：C.

6.（2024・湖南长沙•三模）已知直线/:依-丁+以=0,圆O:Y+y2=i,贝广左＜「，是

“直线/上存在点尸，使点尸在圆。内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由直线与圆相交可求得-1（左＜1,则通过判断-1＜左＜1与左＜1的关系可得答

案.

【详解】由直线/上存在点P,使点尸在圆。内，得直线/与圆。相交，即^^＜1,

VeTi

解得-1＜左＜1,即h（—U）,

因为上＜1不一定能得至!|-1＜左＜1,而-1〈人＜1可推出左＜1,

所以“左＜1”是“直线/上存在点P,使点P在圆。内”的必要不充分条件.

故选：B

7.（2024•湖北荆州三模）已知集合4=卜|2万/叫,B=^A,其中R是实数集，集

合C=（—8,1],则3cC=（）

A.（-M,O]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.

【详解】由2x-f〈o可得xvo或x>2,则B="A={x[0<x<2},

又。=（一力/，故BcC=（O,l].

故选：B.

8.（2024•北京•三模）已知集合4=卜％<1},若则。可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解对数不等式化简集合A,进而求出。的取值集合即得.

【详解】由In尤<1,得0<x<e,则4={犬|0<》<6},^A={尤|尤V。或Ne},

由。任4,得aeaA,显然选项ABC不满足，D满足.

故选：D

9.（2024•河北衡水•三模）已知函数/■（x）=（2'+租々fsinx,贝广加？=1”是“函数了⑴是

奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由函数/⑴是奇函数，可求得相=1,可得结论.

【详解】若函数是奇函数，

则f（x）+f（~x）=（2*+m-2f）sinx—（2-”+〃?-2"）sinx=（1—附（2*—卜inx=0恒成立，即

m=l,

而疗=1,得加=±1.

故“m2=1”是“函数Ax）是奇函数”的必要不充分条件.

故选:B.

10.(2024•内蒙古•三模)设a,夕是两个不同的平面，相，/是两条不同的直线，且

a4=/则///”是“血/尸且血/a”的()

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件

的判定方法，即可求解.

【详解】当机/〃时，加可能在。内或者夕内，故不能推出加〃£且〃M/口，所以充分性

不成立；

当〃?//£且加〃e时，设存在直线〃ua,na(3,且“//〃?，

因为，”〃£,所以〃〃力，根据直线与平面平行的性质定理，可知九〃/,

所以m///,即必要性成立，故“〃?///"是“加/£且的必要不充分条件.

故选：C.

11.(2024・北京•三模)已知A={x|log2(尤-1)41},8=卜卜-3|>2},则AB=()

A.空集B.{x|xV3或x>5}

C.{x|x43或%>5且xwl}D.以上者B不对

【答案】A

【分析】先求出集合A,2,再由交集的定义求解即可.

【详解】A={^|log2(x-l)<log22|=(x|0<x-l<2)=1x[l<x<3),

8={尤以-3>2或*-3<-2}={小<1或%>5},

所以Ac3=0.

故选:A

12.(2024・四川•三模)已知集合人={0,3,5},3={尤k"一2)=0},贝AB=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】将集合8化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.

【详解】由题意5={X|MX-2)=0}={0,2},所以AB={0,3,5}{0,2}={0}.

故选：B.

13.(2024・重庆・三模)已知集合4=1©用尤2-尤一2c0},2={y|y=2*,xe4},贝Ij

AB-()

A.(T,4)B.%)C,削D.Q,2]

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根据指数函数单调性求解值域得集合B,然

后利用交集运算求解即可.

【详解】A=^XGR|X2-X-2<0^=^XGR|(X-2)(X+1)<O|=|XGR|-1<X<2|=(-1,2),

贝！I8=y=2",xe(一1,2)}=卜I；<y<4：=g,4),

所以A3=\，2).

故选：D

14.(2024•北京•三模)"ABC为锐角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可

得解.

【详解】充分性：

因为一ABC为锐角三角形，

所以A+8>],即

所以sinA>sin[]-B]=cosB,

同理可得sin3>cosC,sinC>cosA,

故充分性得证；

必要性：

因为sinA>cos3,所以sin4>5如仁-2),

因为0<3<兀，所以苫-3苦，

若A*,则A+B>5，

若4甘，则A>»，所以A+吟,

综上，A+B>5，

同理3+C>5，A+C>5，

所以一ABC为锐角三角形，

必要性得证，

综上所述，为充分必要条件.

故选：C.

15.(2024・上海•三模)设集合4={1,。,可，集合

3孙+对于集合3有下列两个结论：□存在。和6,使得集合

3中恰有5个元素；□存在a和6,使得集合3中恰有4个元素.则下列判断正确的是

()

A.□□都正确B.口；口都错误C.口错误，□正确D.□正确，□错误

【答案】A

【分析】由题意可知2a<2b,ciH—<bT—<abH—<ab-\—,对于□举例分析判断即可,

abba

2a=b+—

b

对于口，若，贝!Jb+；=2指，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理

2,ab

2b=ab+—

b

可确定出从而可进行判断.

【详解】当x=Ly=。时,t=xy+—=a+a=2a,

x

当％=1,y=b时，t=xy+—=b+b=2b,

x

当%=a,y=1时*t=xy=—,

fxa

yb

当X—Ci^y—1),t=xyH—=abH—,

xa

当％=",y=1时，t=xy+-=b+-,

xb

“7y,a

x—b,y=cit=xyH—=ab—,

fxb

因\<a<b,以2a<2b,a4—<bT—<ab-\—vub4—,

abba

当a=3/=6时，2a=3,2Z7=2A/3,a+—=—+—=—,b+—=y/3+~^==,

2a236bJ33

"+河6+洒*"+泻百+泻=25

所以B=有5个元素，所以□正确，

C71

2cl—U/、2

若b,贝!|46=1+口，得6+：=2痣，

2b=ab+%I口b

、b

i〔I

令/(%)=%+——2Vx(x>l),贝!|fr(x)=1一一--%2(x>l),

xx

1