2025高考数学二轮复习：空间向量与空间角 专项训练【含答案】

第3讲空间向量与空间角

［考情分析］以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问

题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的

形式出现，难度中等.

考点一异面直线所成的角

【核心提炼】

设异面直线/,冽的方向向量分别为〃=(Q1,bl,ci),b=(Q2,岳，C2),异面直线/与冽的夹

角为"

则⑴。」仇；

(2)cos^=|cos〈a,b)|=I—।

laiz+b也+cg|

［q彳+房+$y质+附+eg

例1(1)如图，已知圆柱5。2的轴截面4SC。是边长为2的正方形，石为下底面圆周上一点,

满足靛=2端，则异面直线AE与BOi所成角的余弦值为()

101010

答案B

解析方法一如图，连接£。2并延长，交底面圆于点尸，连接尸Oi,FB,易知/£〃3尸且

AE=BF,

所以/用Oi为异面直线/E与2。1所成的角或其补角.

因为BE=2AE,则//。宙=60。，

所以△4BO2为正三角形，故AE=BF=1.

由圆柱的性质知OiFuOiBuylBa+OC=、Is,

所以在等腰△BFOi中，cosN尸301=追=*.

01510

方法二以/为原点，AB,/D所在直线分别为y轴、z轴，过点/的48的垂线所在直线为

H1ol

X轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),5(0,2,0),01(0,1,2),双2'2'J,

所以荔=仔?Q而=(0,—1,2),

所以异面直线AE与BOi所成角的余弦值为

一一懑行|T\l5

|cos<AE,BOx)|==—冬=9.

|函西IXm二

故选B.

(2)(2023•吉安模拟)在正方体N3C。一/131cLDi中，E,b分别为Z8,BC的中点，G为线段

Bid上的动点，则异面直线NG与所所成角的最大值为()

A.-B.-C.-D.―

64312

答案C

解析以。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，设正方体棱长为2,则G(a,a,2),ad[0,2],

Zf

因为E,F分别为AB,3c的中点,

则N(2,0,0),£(2,1,0),尸(1,2,0),

故前=(0一2,a,2),£F=(-1,1,O),

匹一

设两异面直线的夹角为a,其中aeflo'2」，

届.前21

故cosa|泉前济|Y(a—2)2+°2+4义也1A+3,

因为ae[0，2],则当a=0或a=2时，cosa取得最小值，最小值为1，

2

「0回

又因为y=cosa在I'2」上单调递减，则a的最大值为;.

规律方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意两异面直线所成角的范围是即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的

余弦值的绝对值.

跟踪演练1(1)如图，在直三棱柱48C—481G中，AAi=AC=AB=2,BC=2也,。为小5

的中点，£为N0的中点，/为3。的中点，则异面直线与/月所成角的余弦值为()

答案B

解析在直三棱柱ABC-A^Ci中，

AAi=AC=AB=2,5c=2也，

所以BPACLAB,

又/4_L,平面NBC,AB,/CU平面/8C,所以/4_LNC,AAxLAB,

如图，以/为坐标原点，AB,AC,44i所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则/(0,0,0),3(2,0,0),C1(O,2,2),。(1,0,2),°'”,"1,1,1),

所以崩=(1,1,1),EBI-D

所以如…一一尸”加期唬「M、加

即异面直线BE与AF所成角的余弦值为迤.

39

（2）（2023•石嘴山模拟）在正四面体48C。中，M,N分别为NC,AD的中点，则异面直线

CN所成角的余弦值为（）

A-3B4C5D6

答案D

解析方法一取NN的中点E,连接ME,BE,则ME〃CN,所以或其补角就是异

面直线CN所成的角.

设/8=4,

处BM=CN=2\/3,ME=①

BE^AB*2+AE2-1AB-AEcos60°=V13,

COS/BME=ME2+B"—BE

2MEMB

3+12-13=1

2X3X236

方法二不妨设正四面体45C。的棱长为2,以｛8，CB,而｝为基底，则前=说一无=

-CA-CB,&=-(CA+CD)f

22

小一一]\-CA2+-CACD-CBCA-CBCD\

则的小CN=R22J

2

-X22--X22XCOS60,01_1

=-xU2>2,

2

又说=|西=血

三

设异面直线CN所成的角为仇oelfo'2J,

__碗•西1

所以cos8=|cos〈BM,CN)\=一—=一，

\BM\\CN\6

所以异面直线CN所成角的余弦值为1.

考点二直线与平面所成的角

【核心提炼】

设直线/的方向向量为4,平面1的法向量为n,直线/与平面。所成的角为。，

则⑴OG/0’-2J;(2)sin0=|cos{a,n>尸叵网

例2(2022•全国甲卷)在四棱锥尸一45CD中，底面/BCD,CD//AB,AD=DC=CB

1,AB=2,DP=e

(1)证明：BDLPA-,

(2)求尸。与平面PAB所成角的正弦值.

⑴证明在四边形ABCO中，作。于点E,CFL48于点尸，如图.

因为CD〃/8,AD=CD=CB=\,AB=2,

所以四边形/BCD为等腰梯形，

所以AE=BF=~,

2

故DE=^,

2

BD=\]DE2+BE2=^3,

所以/£>2+3£)2=/82,

所以

因为PD_L平面/BCD,8DU平面N3CD,

所以PD_LAD,

又PDC4D=D,PD,ADU平面H。，

所以5D_L平面PAD.

又因为E4U平面PAD,

所以BDLPA.

(2)解由(1)知，DA,DB,。尸两两垂直,

如图，以D为原点，DA,DB,。尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),/(1,0,0),

5(0,^3,0),尸(0,0,3),

则寿=(—1,0,他),

族=(0,—3,3),

5P=(O,O,E

设平面E48的法向量为〃=(x,y,z),

nAP=0,

则有._

nBP=0,

可取〃=(3,1,1),

—3y+3z=0,

则|cos{n,DP)

所以尸。与平面PAB所成角的正弦值为处.

5

易错提醒(1)线面角。与直线的方向向量〃和平面的法向量n所成的角〈〃，〃〉的关系是〈〃,

n)+9=四或〈〃，n)—8=匹,所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.

22

(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.

跟踪演练2(2023•海口模拟)如图，在四棱锥尸一中，AB//CD,ABLAD,平面弘Q_L

平面PCD.

p

c

(1)证明：平面刃O_L平面N8CZ>；

(2)若/D=2/8=2,PB=y/2,PD=七，BC与平面尸CO所成的角为0,求sin0的最大值.

⑴证明过点/作/8，尸。于X,

因为平面E4O_L平面尸C。，平面E1DC平面尸CO=PD,所以4ff_L平面尸C。，

又CDU平面PCD,所以CD±AH,

由AB〃CD,ABLAD,可知CD_L4。，

而AH,ADU平面刃。，

所以CD，平面PAD,

因为CDU平面48CD,

所以平面己4。_1平面48CD

(2)解方法一由(1)知，CD,平面E1D,

因为X4U平面E4。，所以cr>J_E4,

久AB〃CD,所以N8_L为，

所以E4=7PB2—4B2=1,PA2+AD2=PD2=5,所以B4_L/D,

所以N5,AD,4P两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系，则8(1,0,0),尸(0,0,1),。(0,2,0),

设C(m,2,0)(m>0),

设平面PCD的法向量为〃=(xo,y0,zo),所以〃_L的，〃，诙,

用)=(0,2,-1),反=(私0,0),

nPD=0,

即.一

"灰=0,

得.2yo「o—0,令泗=i,得”=(0,1,2),

ttixo=0,

5C=(m-1,2,0),

曲

______2______

所以一

sin6=2,

\BCM^(W-1)+4XA/5

显然，当机=1时，砺二1尸+4取得最小值,

综上，当CO=1时，sin。的最大值为券.

方法二设点2到平面尸CD的距离为d,

因为48〃C。，CDu平雷PCD,■平面PCD,

所以N5〃平面PC。，所以点N到平面PCD的距离也为d,

由(1)知，CO_L平面E4。，所以CD_LE4,

XAB//CD,所以4B_LX4,

所以PA=\JPB2~AB2=1,

所以B42+/£)2=pD2=5,所以

由(1)知，平面尸CO,

缶z才MTPA-AD2A/5

所以d=AH---------

PD5

由sin。=旦="-』-,在四边形4BCD中，当BC_LCD时，BC取最小值,

BC5BC

此时四边形N2CD为矩形，BC=2,

所以sin。的最大值为"><]=也.

525

考点三平面与平面的夹角

【核心提炼】

设平面％少的法向量分别为“，匕平面a与平面夕的夹角为。，

则2」；

MM

(2)cos9=|cos〈〃，，〉|=---.

MM

例3(2023・新高考全国I)如图，在正四棱柱45CQ—4山C01中，AB=2,44=4.点也,

&,Ci,。2分别在棱441,BBi,CCi,上，4也=1,BBZ=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2c2〃4汨2；

⑵点尸在棱上，当二面角尸一山。2—02为150。时，求82P.

⑴证明以C为坐标原点，CD,CB,CG所在直线分别为X,小z轴建立空间直角坐标系,

如图，

则C(0,0,0),C2(0,0,3),历(0,2,2),。2(2,0,2),4(2,2,1),

.•.阳=(0,-2,1),

而=(0,—2,1),

：.~B^C1//A^D2,

又32c2,/汨2不在同一条直线上，

2c2〃A2Di.

⑵解设尸(0,2,4(0W4W4),

则证=(—2,—2,2),PC2=(0,—2,3—储，证=(-2,0,1)，

设平面弘2。2的法向量为〃=(x,y,z),

nPCi=_2y+(3—A)z=0,

令z=2,得y=3—九x=A—1,

n=(A—1,3—九2),

设平面42cm2的法向量为胆=(。，b,c),

2c2=—2a—26+2c=0,

则._

2c2=—2a+c=0,

令a—1,得6=1,c—2,

=6

+1)2+(3—%)2

=|cos150°|=m，

化简可得,7―皿+3=0,

解得2=1或%=3,

...尸(0,2,3)或尸(0,2,1),

:.B2P=1.

0匹

易错提醒平面与平面夹角的取值范围是L'2」，两向量夹角的取值范围是［0,无］,两平面的

夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补.

跟踪演练3(2023•新高考全国II改编)如图，三棱锥/—3。中，DA=DB=DC,BDLCD,

NADB=NADC=6Q°,£为的中点.

⑴证明：BCLDA；

⑵点F满足酝=扇，求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值.

⑴证明如图，连接/£,DE,

因为£为3C的中点，DB=DC,

所以D£_LBC,

因为D4=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

所以△NCD与ZXABD均为等边三角形，

所以NC=/8,从而/£_L3C,

又AECDE=E,AE,DEU平面4DE,

所以2C_L平面4DE,而4DU平面4DE,

所以BCLDA.

（2）解不妨设D4=DB=DC=2,

因为AD_LCD,

所以BC=2也,DE=AE=yj2.

所以AE2+01^=4=AD2,

所以

又AELBC,DECBC=E,DE,3CU平面3处

所以NE_L平面BCD

以£为原点，ED,EB,瓦4所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则。（也，0,0）,4（0,0,啦）,B（0,也,0）,£（0,0,0）,

设平面48。与平面4BF的法向量分别为“1=（x1,yi,z\）,"2=（x2,8，z2）,

平面AB。与平面48尸夹角为仇而蠢=（0,啦,―也）,

因为屋=属=（一/，0,也），

所以砥一也,o,a

则成=（一也0,0）.

nrDA=0,

由,_

"1/5=0,

m[—也xi+也zi=0,

仲rr

tv2ji—^2zi=o,

令Xl=l,得yi=l,Z\=l,

所以ni=（l,l,l）.

wAB=0,

由._

ni-AF=09

—啦Z2=0,

得‘r

.一A/2X2=0,

则X2=0,令N2=l,得Z2=l,

所以"2=（0,1,1）,

所以|cos0=（^=1T

|m||w2|弋3X^23

从而sin6=J

3

所以平面48。与平面48尸夹角的正弦值为火.

3

专题强化练

1.(2023•榆林统考)如图，在四棱锥尸一中，平面力D_L底面/BCD,AB//CD,ZDAB

=60°,PALPD,且R4=PD=电,AB=2CD=2.

(1)证明：ADLPB.

⑵求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.

⑴证明取4D的中点G,连接AD,BG,PG.

因为P4=PD=Mi,所以4D_LPG.

又PA_LPD,所以40=2.

又48=2,ZBAD^60°,

所以△48。为正三角形，所以NOL8G.

因为PGA8G=G,PG,5GU平面尸5G,

所以NO_L平面P8G.

火PBU平面PBG,所以

(2)解以G为坐标原点，豆,诵，诵的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系，

设平面P8C的法向量为/n=(x,y,z),

令y=\(3,得MI=(一1，他，3).

由题可知，平面E4D的一个法向量为“=(0,1,0).

设平面PAD和平面PBC的夹角为0,

mi,a\m-n\3A/39

\m\\n\N1313

所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为如.

13

2.(2023•锦州模拟)如图一，△48。是等边三角形，CO为N8边上的高线，D,£分别是C4,

C3边上的点，AD=BE=-AC=2；如图二,将△[£>£沿DE翻折，使点C到点P的位置,

3

PO=3.

C

图一图二

(1)求证：OPJ_平面/BED；

(2)求平面8尸£与平面庄户夹角的正弦值.

(1)证明因为△N3C为等边三角形，

AD=BE=~AC,DE//AB,

3

C。为48边上的高线，故DELOF,DELPF,

又OFCPF=F,OF,PFU平面R9P,

所以。E_L平面尸OP.

因为OPU平面FOP,所以DELOP.

在△尸OP中，OF=\[i,OP=3,PF=2®

所以。产+。产=尸尸2,故。尸_LOR而D£U平面/BED,OFU平面4BED,OFCDE=F,

故。尸_L平面ABED.

(2)解分别以。*，宓，办的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,3),5(0,3,0),现3,2,0),下(3,0,0),

则透=M，2,-3),BE=(^3,-1,0),

£F=(0,-2,0).

设平面BPE的法向量为“i=(xi,yi,zi),

平面PE尸的法向量为"2=(X2，及，Z2),

—3zi=0,

则._

mBE-yl3x\—yi—0,

"丁PE=3xz+2yz—3Z2=0,

且._

nrEF=-2yi=Q,

取Xl=l,X2=3，

得到平面的一个法向量"I=(1，3,黄),平面尸£F的一个法向量“2=(3，0，1),

设平面BPE与平面尸石尸的夹角为仇

mill冽2也_勺3

贝UC0S。一...一「一I-,

M\n2\寸7X2寸7

所以sincos2^=^y^.

所以平面8PE与平面PE尸夹角的正弦值为域.

7

3.(2023・济宁模拟)如图，在四棱台/5C。一4山C01中，底面/8C。为平行四边形，平面

1jr

ABiC_L平面/BCD,DDi=DA=AiBi=LiB=2,/BAD/

23

(1)证明：DA〃平面/SC；

(2)若BiA=BC,求直线BG与平面ABC所成角的正弦值.

⑴证明连接3。交/C于点。，连接。Si,BD,

如图所示，

由题意得，四边形/BCD与四边形/由1GD1相似且都为平行四边形,

7T

且=/B4D=",OD〃B、Di,

3

所以8£>2=/82+/。2—2/8./£)COSN8/Z)=12,BD=2^>,即。。=与。=3,

2

B\D\—A\Bx-\-A\D\一1A\B\A\D\cos^B\A\0\—3,B\D\=3，

所以OD=BQi,

所以四边形021AD为平行四边形，

所以OB\〃DD\,

义DDE平面481C,021U平面48C,

所以〃平面/8C

⑵解因为314=81。,。为/C的中点，

所以OBi±AC,

又平面48C_L平面/BCD,平面/3CC平面/3CD=/C,OBC平面/8C,

所以03」平面/8CO,

又OBi〃DDi,所以DA_L平面/BCD,

在△48。中，40=1/2=2,

2

ZBAD=~,BD=20

3

则AD2+BD2^AB2,所以ADLBD,

如图，以。为原点，DA,DB,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

贝1/(2,0,0),51(。，02),C(-2,200),

3(0,200),Ci(-U3,2),

所以前i=(—l，—3,2),］石=(—2,43,2),

AC=(-4,2M0),

设平面/SC的法向量为〃=(x,y9z),

n'AB\=—2X+A/3J+2Z=0,

则有

n'AC=-4x+2\j3y=09

取工=3，则y=2,z=0,所以〃=（市，2,0）,

则|cos(BCi,n)

4.如图，在RtZUOB中，ZAOB^~,/。=4,30