2024新人教版七年级数学上册专项复习：线段与动点角的旋转

2024新人教版七年级数学上册线段与动点角的旋转专项复习练习题

【例1】（2024七年级•全国•竞赛）如图，4B分别是数轴上的两点，点C为线段A8上任意一点，点M为47的

中点，点N为8c的中点，若点48表示的数分别为a,b,那么MN=.

AMCNB

a0bx

【变式1-1］（23-24七年级•广东广州•期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、8表示的数分别为-3、

1,若BC=2,贝IMC等于（）

A.6B.2C.3或5D.2或6

【变式1-2］（23-24七年级•天津和平•期末）已知线段AB=a,CD=b,线段CD在直线4B上运动（4在

B的左侧，C在。的左侧）.

________II_________

AB

⑴若a、b满足（a-12）2+（b—6尸=0

①当。点与8点重合时，AC=；

②M、N分别是AC,BD的中点，当BC=4时，求MN的长；

（2）当线段CD运动到。点距离B点一个单位长度时，若有一点P在。点右侧且位于线段48的延长线上，

试求PA+PB-PC-PD的值.

【变式1-3］（23-24七年级•福建福州•期末）已知线段42和线段CD在同一直线上，线段AB（A在左，B在

右）的长为。，长度小于48的线段CD（。在左，C在右）在直线A8上移动，M为AC的中点，N为BD的中

点，线段MN的长为6,则线段CD的长为—（用a,6的式子表示）.

【例2】（23-24七年级•广东佛山•阶段练习）如图，点C、。是线段48上两点，M、N分别是线段4。、BC的

中点，给出下列结论：①若AD=BM,贝ijAB=3BD；②AC=BD-,贝MM=BN；③4C-BD=2（MC-DN）；

其中正确的有（请填写序号）

AMCDNB

I_______________________________I_______________I________________I_______I_______________________I

【变式2-1］（23-24七年级•安徽宣城•期末）点A、B、C在同一条数轴上，点A、8表示的数分别是1、-

3,若AB=Z4C,则点C表示的数是（）

A.3或-1B.9或-7C.0或-2D.3或-7

【变式2-2］（23-24七年级•浙江宁波•期末）如图，48,C为直线I上从左到右的三个点，AB=2BC,动点M、N

分别从力、B两点同时出发，向右运动，点M的速度是点N的速度的3倍.在运动过程中，若要知道MN的长,

则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（）

-------1J1-----------/

ABC

A.AMB.BNC.BMD.CM

【变式2-31（23-24七年级•湖北武汉•期末）已知48=24,DE=10,点C为线段的三等分点（BC>AC）,

点4在点B左侧，点。在点E左侧.

II____LL1

ADCEB

图1

♦A1

ACB

备用图1

IA1

ACB

善用图2

⑴若线段DE在线段48上运动.

①如图1,当点C为线段DE的中点时，BE=_；（直接写出结果）

②M为线段4B上一点，且BM=2BE,CE+DM=^AE,求线段CE的长；

（2）若线段OE在射线B力上运动，且2AD+CE=BD,求线段CD的长.

【例3】（23-24七年级•吉林•期末）如图，点A,B,C在数轴上表示的数分别是一3,3和1.动点尸，Q

两同时出发，动点尸从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A-8玲A往返运动，回到点A停止运动；动点

。从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CfB向终点8匀速运动.设点尸的运动时间为f（s）.

（1）当点P到达点B时，求点。所表示的数是多少；

（2）当V0.5时，求线段P。的长；

（3）当点P从点A向点8运动时，线段的长为（用含f的式子表示）；

（4）在整个运动过程中，当尸，。两点到点C的距离相等时，直接写出/的值.

-4-^-2-161254*

【变式3-1］（23-24七年级•吉林白山・期末）如图，直线I上有4B,C三点，AB=8cm.直线I上有两个动

点、P,Q,点P从点4出发，以|cm/s的速度沿AB方向运动，同时点Q从点B出发，［cm/s的速度沿8c方向运

动，设运动时间为t秒.

APBQC

⑴当t为多少秒时，点B是线段尸。的中点？

（2）运动过程中，当t为多少秒时，点P和点Q重合？

⑶若点P运动至点Q右侧，则t为多少秒时，线段PQ与线段2Q的长度相等？

【变式3-2］（23-24七年级•浙江杭州•期中）已知数轴上A,8两点对应数分别为-2和4,尸为数轴上一动

点，对应数为万.

AB

-------1-----------------1-------A

-24

⑴若P为线段2B的三等分点，求尸点对应的数.

⑵数轴上是否存在点P,使P点到A点、8点距离之和为10?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

⑶若点A、点2和点P（点尸在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分

和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等.

【变式3-3］（23-24七年级•吉林长春,阶段练习）如图，已知点4、B在数轴上分别对应-12和15,点。为原

点，点P从点4出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度

的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒（t>0）.

AB

---------------1--------------------------------1--------------------------------------------1——>

-12。15

⑴线段48的长度为；

（2）动点Q在数轴上表示的数为；（用含t的代数式表示）

⑶当点P、Q两点之间的距离为3时，求t的值：

⑷当点P,0,Q中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出t的值.

【例4】（23-24七年级•辽宁葫芦岛,期末）2023年6月30日，兴城西站正式投入使用，方便了广大市民的

出行，下图是从北京站始发，途径兴城西站，开往沈阳南站的。21次列车的部分列车时刻表，请你仔细观

察，完成下列问题：

站名到时发时停留

1兴城西

17:4017:466分

，凌海南

18:1818:202分

i盘锦18:4718:492分

海城西

119:1219:3018分

，鞍山西

19:4219:442分

|辽阳

19:5619:582分

ABCD

1111A

0

⑴兴城西站和海城西站之间的车票一共有种；

（2）如图所示，小明用数轴上的点A,B,C,D分别表示兴城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中

原点表示盘锦站，若点A表示的数为-7,点。表示的数为5；

①当点8是线段4。的三等分点（点B离点A较近），点C在线段BD上时，己知求线段的

长度；

②如果将D21次列车看作数轴上的一点P,动点P从A点出发，向x轴正方向匀速运动，若点M是线段0P的

中点，且DM=3,求点尸所表示的数.

【变式4-1］（23-24七年级•河南周口•阶段练习）综合与实践

已知数轴上A、8两点所表示的数分别为-3和9.

----------i---------1------------------------------1——►

A0B

图1

A0~MP-N-B~^

图2

PMA0~N

图3

⑴观察发现：

直接写出线段力B=.

（2）情境探究：

情境①：当点尸为线段4B的中点时，且/为P4的中点，N为PB的中点，请你借助直尺在图1中画出相应

的图形，并写出线段MN=；

情境②：当点尸为线段上的一个动点时，如图2,且M为P4的中点，N为P8的中点，试通过计算判断

MN的长度是否发生变化？

⑶迁移类比：

当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3,且M为P4的中点，N为PB的中点，直接写出线段MN的

长.

【变式4-2］（23-24七年级•河南南阳•期末）如图，在数轴上，点4表示的数是-4,点8表示的数是8,P是

数轴上的一动点.

-48

⑴线段力B的长是；

(2)如果点P在线段4B上，点M是线段4P的中点，点N是线段PB的中点.求MN的长；

⑶若点C在点4右侧且与点4之间的距离是3,当点P满足PC=2PB时，请直接写出在数轴上点P表示的数.

【变式4-3](23-24七年级•福建福州・期末)如图，线段4B=24,动点P从A出发，以每秒2个单位长

度的速度沿射线4B运动，M为4P的中点.点尸的运动时间为尤秒.

I11J

AMPB

A，

AB

备用图

⑴若x=5时，求的长；

(2)当尸在线段4B上运动时，2BM-PB是定值吗？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；

⑶当尸在射线力B上运动时，N为8P的中点，求MN的长度.

【例5】(23-24七年级•湖北孝感•期末)如图，已知点A、B、C是直线/上的三个点，线段AB=8厘米.

(1)若A8=2BC,求线段AC的长度；

(2)若点C是线段的中点，点P、。是直线/上的两个动点，点尸的速度为1厘米/秒，点。的速度为

2厘米/秒.点P、。分别从点C、8同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段尸。的长为5厘来？

AB1

【变式5-1](23-24七年级•黑龙江佳木斯•期末)如图，直线/上有A、8两点，AB=18cm,O是线段AB

上的一点，0A=208.

(1)0A-cm,0B=cm.

(2)若动点P,。分别从点A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s,点。的速度为lcm/s.设运

动时间为fs,当点P与点。重合时，P,。两点停止运动.当t为何值时，2。尸-O0=3cm?

111

-----A----------------O---------B------/

【变式5-2](23-24七年级•江苏宿迁•阶段练习)如图1,已知线段2E=48cm,点B、C、D在线段4D上，

且=1:2:1:2.

*£)I)

BD

图I1112

(1)BC=.cm,CDcm；

⑵已知动点M从点4出发，以2cm/s的速度沿4—B—C—D-E向点E运动；同时动点N从点E出发，以lcm/s

的速度沿E-。-C-B-4向点4运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点4,运动停止;

设运动的时间为t.

①求t为何值，线段MN的长为12cm；

②如图2,现将线段4E折成一个长方形48CD（点4、E重合），请问：是否存在某一时刻，以点4、B、M、N

为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不存在，请说

明理由.

【变式5-3］（23-24七年级•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，直线/上有4B两点，AB=12cm,点。是线段4B上

的一点，。4=20B

OB

{1}OA=.cm,OB=cm；

（2）若点C是线段4B上一点，且满足4C=C0+CB,求C。的长;

⑶若动点P,Q分别从a,B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s,点Q的速度为lcm/s.设运动时间为

ts,当点P与点Q重合时，P,Q两点停止运动.

①当t为何值时，2OP—OQ=4；

②当点P经过点。时，动点M从点。出发，以3cm/s的速度也向右运动.当点M追上点Q后立即返回，以3cm/s

的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P,Q停止时,

点M也停止运动.在此过程中，点M行驶的总路程是多少？

【例6】（23-24七年级•湖北荆州•期末）如图1,直线与CD相交于点。，^BOD=50°,OE平分NBOD,

乙EOF=55°,OG^-^-AAOF.

⑴图中与NBOE互补的角是.

⑵求NDOG的度数;

⑶如图2,若射线OM从射线OF的位置出发，绕点。以每秒10。的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为，秒

时，OD,OM,OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你直接写出旋转时间t

的值.（旋转过程中NDOM,NGOM,NDOG都只考虑小于180。的角）

【变式6-1］（23-24七年级•福建泉州・期末）如图,/.AOC=110°,B是射线。4的反向延长线上的一点.现

将射线。4绕点。顺时针旋转至与射线0B重合为止,若射线CM旋转的速度为每秒10。，旋转时间为ts,则当

射线。儿射线。B,射线。C分别构成两个相等的角（重合除外）时，f的值是

【变式6-2］（23-24七年级•浙江绍兴■期末）定义:从一个角（小于180。）的顶点出发，在角的内部引两条

射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的点那么这两条射线所构成的角叫做这个角的"三分角".如

图1所示，若贝是乙4。8的“三分角”.

⑴如图1,已知乙4。。=70°,乙COB=50°,NCOD是乙40B的"三分角"，求NCOD的度数.

⑵如图2,已知乙4OB=60。,0。是乙4OB的平分线，射线。C从。4出发，绕点。以3。/秒的速度按顺时针方

向旋转，设旋转时间为/秒，当NC。。是乙2。8的"三分角”时，求f的值.

【变式6-3］（23-24七年级•河北沧州,期中）如图1,已知射线。C在〃0B的内部，若乙40B,AAOC^^BOC

三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线。C是乙40B的奇妙线.

⑴一个角的平分线这个角的奇妙线；（填"是"或"不是"）

（2）如图2,乙MPN=60°.

①若射线PQ是NMPN的奇妙线，贝吐QPN的度数为；

②若射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3。的速度绕点P按逆时针方向旋转，当NFPN首次等于180。时停止

旋转，设旋转的时间为t（s）.当t为何值时，射线PM是NFPN的奇妙线？

【例7】（23-24七年级•四川成都•期末）如图所示，。4。8,。（；是以直线EF上一点。为端点的三条射线，

且乙/。4=20°,UOB=60°,ZBOC=10°.以点。为端点作射线。P,OQ分别与射线。尸,OC重合，射线OP从

OF处开始绕点。逆时针匀速旋转，转速为甘/s,射线。Q从0C处开始绕点。顺时针匀速旋转（射线0Q旋转

至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为/秒.（旋转速度=旋转角度+旋转时间）

⑴当射线。P平分乙40C时，求射线0P旋转的时间.

（2）当射线0Q的转速为4。/印=21s时，求NPOQ的值.

⑶若射线。Q的转速为3。小，

①当射线0Q和射线0P重合时，求NCOQ的值.

②当NPOQ=70。时，求射线0P旋转的时间.

【变式7-1］（23-24七年级•湖北武汉•期末）已知：如图1,^AOB=30°,ZSOC=|zXOC.

（1）求N/10C的度数；

（2汝口图2,若射线OP在41OC内部，作。M平分N&OP,ON平分乙COP,NMON的度数是多少？

⑶如图3,若射线OP从。4开始绕点。以每秒旋转10。的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点。以每

秒旋转6。的速度逆时针旋转；其中射线。P到达。C后立即改变运动方向，以相同速度绕点。顺时针旋转，当

射线。Q到达OC时，射线OP,OQ同时停止运动.设旋转的时间为t秒，当NPOQ=10。，试求t的值。

【变式7-2]（23-24七年级•江苏无锡•期末）如图，若N40B=20°,AAOC=90°,乙4OD=120°,射线。B绕

点。以每秒10。逆时针旋转，射线。C绕点。以每秒5。顺时针旋转，射线。。绕点。每秒15。顺时针旋转，三

条射线同时旋转，当一条射线与直线04重合时，三条射线同时停止运动，运动一秒时，其中一条射线是

另外两条射线夹角的角平分线.

【变式7-3]（23-24七年级,浙江宁波,期末）如图，。是直线4B上一点，射线。C绕点。顺时针旋转，从。4出

发，每秒旋转10。，射线。。绕点。逆时针旋转，以相同的速度从。B出发，射线。C与。。同时旋转，设旋转的

时间为t秒，当。C旋转到与。。重合时，OC、。。都停止运动.

♦

~B

⑴猜想：Z40C+^AOD=°,并说明理由；

（2）已知射线0E始终平分NB。。，射线OF在NC。。内，且满足N8。。与NEOF互余.

①当£=3秒时，乙EOF=°；

②在运动过程中，试探究ABOF与NCOF之间有怎样的数量关系，并说明理由.

【例8】（23-24七年级・河南信阳•期末）将一副直角三角板按图1所示摆放在直线AD1.（直角三角板。BC

直角三角板MON,NOBC=90。,NBOC=45。,NM0N=90。,NMN。=30。），保持板OBC不动，将三角板

MON绕点。以每秒：8。的速度顺时针方向旋转t秒.

图I图2图3备用图

（1）如图2,当t=秒时，0M平分乙40C；

（2）继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想NNOC与乙4OM有怎样的数

量关系，并说明理由；（数量关系中不能含O

⑶直线4D的位置不变，在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点0以每秒2。的速度顺

时针旋转，当。M旋转至射线0。上时，两个三角板停止运动.当f为多少时，/.MOC=10°?

【变式8-1］（23-24七年级•河北石家庄•期末）如图1,将一副直角三角板摆放在直线4D上（直角三角板OBC

和直角三角板M0N）,乙OBC=LM0N=90°,ABOC=45°,AMNO=30°,保持三角板OBC不动，将三

角板M0N绕点。以每秒10。的速度顺时针旋转（如图2）,旋转时间为f（0<t<9）秒.

计算当。M平分N80C时，求f的值；

判断判断NM0C与NN。。的数量关系，并说明理由；

操作若在三角板M0N开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点。以每秒5。的速度顺时针旋转，当三角板

M0N停止时，三角板OBC也停止，直接写出在旋转过程中，NM0C与NNOD的数量关系.

【变式8-2］（23-24七年级•山东烟台•期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福

山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合.已知一副三角板重合的顶点

记为点。，作射线OE平分0AOC,射线。尸平分aeon,来研究一下45。三角板不动，30。三角板绕重合的顶

点。旋转时，回£。下的度数如何变化.

【A组研究】

在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点。），此时刻。2=45。，回。。。=30。将三角板

OCD绕点、O转动.

（1）如图①，当射线。8与OC重合时，贝帼E。尸的度数为；

（2）如图②，将团C。。绕着点。顺时针旋转，设NBOC=a,SE。尸的度数是否发生变化？如果不变，请

根据图②求出aEOF的度数；如果变化，请简单说明理由.

【B组研究】

在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合（图中点。），此时0AOB=9O。,

aCOD=30°,将三角板OCD绕点O转动.

（3）如图③，当三角板08摆放在三角板AOB内部时，则的度数为；

（4）如图④，当三角板0C。转动到三角板A03外部，设&8。。=夕，SE。尸的度数是否发生变化？如果不

变，请根据图④求出SEOF的度数；如果变化，请简单说明理由.

图④

【变式8-3］（23-24七年级•江西景德镇,期末）点。在直线力B上，过点。任意作射线0C,将一块直角三角尺

⑵将三角尺绕点。顺时针旋转，当。E平分NBOC时，如图2,猜想NAOC与ABOF有何数量关系，写出它们

的关系等式，并说明理由.

⑶三角尺在旋转过程中，当。E在NBOC内部，且NBOC=60。时，如图3,猜想NBOF与NCOE有何数量关系,

并求出它们的等量关系式.

⑷三角尺在旋转过程中，当0E在射线上时，作。。平分NBOC,0G平分NCOF.求NDOG的度数.

参考答案

【例1】（2024七年级•全国・竞赛）如图，4B分别是数轴上的两点，点C为线段48上任意一点，点M为AC的

中点，点N为BC的中点，若点4B表示的数分别为a,6,那么MN=.

AiM111C1N1BA

a0bx

【答案】等

【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键.

由中点的定义可得：MC^^AC.CN^\BC,再根据数轴上表示的数确定4B,然后再根据线段的和差及等量

代换即可解答.

【详解】解：回点M为2C的中点，点N为8c的中点，

^\MC=-AC,CN=-BC,

22

团点4B表示的数分别为a,b,

比48=b-a

SMW=MC+CN=-AC+-CB=-（^AC+CB）=-AB=—.

222',22

故答案为：

【变式1-1］（23-24七年级•广东广州・期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点48表示的数分别为-3、

1,若BC=2,贝IMC等于（）

A.6B.2C.3或5D.2或6

【答案】D

【分析】此题画图时会出现两种情况，即点C在线段力B上，点C在线段4B的延长线上，再计算即可.

【详解】解：回点A、B表示的数分别为—3、1,

EL4B=4.

第一种情况：C在线段4B的延长线上，如图，

0BC=2,

EL4C=4+2=6；

ABC

―I----------1----------A----------1----------1------------1------------i---------1-----------4---------1--1->

-5-4-3-2-1012345

第二种情况：C在线段4B上，如图，AC=4-2=2.

ACB

—।—।—«—।—1—।—«—।—।—।—।—>

-5-4-3-2-1012345

故选：D.

【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键.

【变式1-2](23-24七年级•天津和平・期末)已知线段AB=a,CD=b,线段CD在直线上运动(4在

B的左侧，。在。的左侧).

________II_________

AB

⑴若a、b满足(a-12)2+(h-6)2=0

①当。点与B点重合时，AC=；

②M、N分别是AC.BD的中点，当8C=4时，求MN的长；

(2)当线段CD运动到。点距离B点一个单位长度时，若有一点P在。点右侧且位于线段4B的延长线上，

试求PA+PB-PC-PD的值.

【答案】(1)①4C=6；②MN=9；

(2)8或4

【分析】(1)①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出。，6得值；②本题考查了线

段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况；

(2)本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况.

【详解】(1)解：(a—12尸+(6—6)2=0,

a—12=0,b—6=0,

•••a=12,b=6,

①当。点与B点重合时，

•••AC=AB-CD=6；

②如下图1,

-AMBCND

图1

-A-MC-BND

图2•••M.N分别为线段AC,BD的中点，

AM=^AC=|xQ4B+BC)=|x(12+4)=8,DN=^BD=j(CO+BC)=|X(6+4)=5,

■.MNAD-AM-DN=12+6+4-8-5=9；

如上图2,•••M.N分别为线段AC,B。的中点，

AM=1AC=|X(4B-BC)=|X(12-4)=4,DN=|BD=|(C£>-BC)=|X(6-4)=1,

・•・MN=-AM—ON=12+6—4-4-1=9；

（2）如下图，

______।।।।______[

ACBDP

由题意得：

■：PA=AB+BP=12+BP,PC=CD-BD+BP=6-1+BP=S+BP,PD=BP-BD=BP-1,

PA+PB-PC-PD=12+BP+BP-BP-5-BP+1=8-,

如下图，

]_______________I______________________I________I_______________I

ACDBP

■■■PA=AB+BP=12+BP,PC=CD+BD+BP=6+1+BP=7+BP,PD=BP+BD=BP+1,

PA+PB-PC-PD12+BP+BP-BP-7-BP-1=4.

【变式1-3]（23-24七年级•福建福州•期末）已知线段4B和线段CD在同一直线上，线段AB（A在左，8在

右）的长为。，长度小于AB的线段CD（。在左，C在右）在直线48上移动，M为4C的中点，N为BD的中

点，线段MN的长为6,则线段CD的长为—（用a,6的式子表示）.

【答案】a-2b/-2b+a

【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段CD的长度即可.

【详解】解：回M为4c的中点，N为BD的中点，

11

EIMA=MC=-AC,BN=DN=-BD.

22

团线段4B和线段CD在同一直线上，

线段力B（A在左，3在右）的长为a,

长度小于AB的线段CD（。在左，C在右）在直线上移动，

团分以下5种情况说明：

①当DC在4B左侧时，如图1,

DCMANB

图1

MN=DN-DM

1

=-BD-{DC+CM}

11

^-BD-DC--AC

22

即2MN=8D-2DC-/C,

2MN=BD-DC-AC-DC,

・•・2MN=AB-DC,

・•.CD=AB-2MN=a-2b；

②当点。与点A重合时，如图2,

D

1111i

AMCNB

图2

MN=MC+CN

1

=-AC+(DN-DC)

11

=-AC+-AB-DC

22

即2MN=AC+4B-2DC

2MN=DC+AB-2DC

•••2MN=AB-DC,

・•.CD=AB-2MN=a-2b；

③当DC在48内部时，如图3,

~4~DM_CAFB

图3

MN=MC+CN

1

=-AC+(BC-BN)

11

=-AC--BD+BC

即2MN=AC-BD+2BC

2MN=AC+BC-BD+BC

・•・2MN=AB-DC,

CD=AB-2MN=a-2b；

④当点。在点5右侧时，

同理可得：CD=a—2b；

⑤当DC在右侧时，

同理可得：CD=a—2b；

综上所述：线段CD的长为a-2b.

故答案为：a-26.

【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用.

【例2】（23-24七年级•广东佛山•阶段练习）如图，点C、。是线段4B上两点，M、N分别是线段4。、BC的

中点，给出下列结论：①若4。=BM,则力B=3BD-,@AC=BD；贝l|2M=BN；（3）AC-BD=2（MC-DN）；

其中正确的有（请填写序号）

AMCDNB

I_______________________________I_______________1________________I_______I_______________________I

【答案】①②③

【分析】由4D=BM可得4。=MD+BD,再由线段的中点4。=2BD,即可判断①；可得AC+CD=CD+

BD,再由线段的中点

可判断②；由"-BD=AD-BC结合线段的中点可判断③.

【详解】解：AD=BM,

•••AD=MD+BD,

•••M是线段4D的中点，

MD=-AD,

2

1

・•・AD=-AD+BD,

2

AD=2BD,

AD+BD=2BD+BD,

即=3BD,

故①正确；

•••AC=BD,

•**AC+CD=CD+BD,

AD=BC,

•；M、N分别是线段4。、BC的中点，

：.AM=-AD,

2

BN=-BC,

2

AM=BN,

故②正确；

■-M,N分别是线段AD、BC的中点，

AD=2MD,

BC=2CN,

■■■AC-BD=AD-BC,

：.AC-BD

=2MD-2CN

=2(MC+CD)-2(DN+CD)

=2(MC-DN),

故③正确；

故答案：①②③.

【点睛】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中

点进行等量转换是解题的关键.

【变式2-1](23-24七年级•安徽宣城•期末)点A、B、C在同一条数轴上，点A、8表示的数分别是1、-

3,若AB=2AC,则点C表示的数是()

A.3或-1B.9或-7C.0或-2D.3或-7

【答案】A

【分析】由已知可得AB=4,分点C在A左边和点C在A右边两种情况来解答.

【详解】解:AB=1-(-3)=4,

当C在A左边时，

0AB=2AC,

0AC=2,

此时点C表示的数为1-2=-1；

当点C在A右边时，此时点C表示的数为1+2=3,

故选：A.

【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离；本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解

决类似的问题时，要防止漏解.

【变式2-2]（23-24七年级•浙江宁波•期末）如图，48,C为直线I上从左到右的三个点，4B=2BC,动点N

分别从4B两点同时出发，向右运动，点M的速度是点N的速度的3倍.在运动过程中，若要知道MN的长,

则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（）

A.AMB.BNC.BMD.CM

【答案】D

【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设BC=a,BN=b,贝！JAB=2a,AM=3b,可求出MN=

\2a-2b\,BM=\2a-b\,CM=\3a-3b\,进而得出MN=|CM,即可得出答案.

【详解】解：设BC=a,则AB=2a,

团动点N分别从4、8两点同时出发，向右运动，点M的速度是点N的速度的3倍，

EL4M=3BN,

设BN=b,贝ijAM=3b,

BMN=\AB+BN-AM\=\2a+b-3b\=\2a-2b\,BM=\2a-b\

CM=\AB+BC-AM\=|3a-3b\,

2

SMN=-CM,

3

故选：D.

【变式2-3]（23-24七年级•湖北武汉・期末）已知48=24,DE=10,点C为线段4B的三等分点（BC>AC）,

点4在点B左侧，点。在点E左侧.

ADCEB

图1

ACB

备用图1

i

着用图2

⑴若线段DE在线段4B上运动.

①如图1,当点C为线段DE的中点时，BE=_；（直接写出结果）

②M为线段48上一点，且BM=2BE,CE+DM^^AE,求线段CE的长;

（2）若线段DE在射线B力上运动，且24。+CE=BD,求线段CD的长.

【答案】（D①11;②线段CE的长为4或g；

(2)线段CD的长为|或21.

【分析】(1)①利用三等分点的定义求出AC、BC,利用中点定义求出CE,再根据线段的和差关系即可求

出BE；②分当点。、M在点C的右侧和点D在点C的右侧，点M在点C的左侧两种情况，画出图形解答即可求

解；

(2)分当线段DE在线段4B上、点。在B4的延长线上，点E在线段4B上和线段DE在线段B4的延长线上三种

情况画出图形解答即可求解；

本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分

类讨论思想进行解答是解题的关键.

【详解】(1)解:①如图1,回点C为线段力B的三等分点(BC>AC),

1122

团4c=-AB=-x24=8,BC=-AB=-x24=16,

3333

回点C为线段DE的中点，

^\CE=-DE=-xlO=5,

22

回

BE=BC-CE=16-5=llf

故答案为：11；

②如图，当点。、M在点C的右侧时，

ACDMEB

设BE=%,贝ijBE=ME=%,BM=2%,CE=16-x,DM=10-%,AE=24-x,

^\CE+DM=-AE,

2

i

团16—x+10—x=-(24—x),

解得X=g，

团BE=—,

3

^\CE=BC-BE=16--=—；

33

如图，当点。在点C的右侧，点M在点C的左侧时，

4CW)~CDEB

设BE=x,贝lj8E=ME=;c,BM=2x,CE=16-x,DMx-10,4E=24—尤,

^iCE+DM=-AE,

2

i

团16—x+x-10=-(24—%),

解得％=12,

团BE=12,

团CE=BC-BE=16-12=4；

回线段CE的长为4或g；

(2)解：如图，当线段DE在线段4B上时，

Ill11

ADCEB

设贝l|CD=8—x,BD=24—K,

0C£=10-(8-x)=2+x,

^2AD+CE=BD,

02x+2+x—24—x,

解得x=y，

BCD=8—％=8—❷=三；

22

如图，当点D在BA的延长线上，点E在线段上时，

A」1」■!

DAECB

设4。=%,则CD=8+%,BD=24+%,

团CE=8+x-lO=x-2,

团2ZD+CE=BD,

02%+x—2=24+x,

解得x=13>10,不合，舍去；

如图，当线段DE在线段B4的延长线上时，

!■II.4J

DEACB

设AE=x,贝ijAD=10+%,BD=10+%+24=34+%,CE=8+x,

必1。+CE=BD,

回2(10+%)+8+%=34+%,

解得％=3,

团CD=10+3+8=21；

综上，线段CD的长为|或21.

【例3】(23-24七年级•吉林•期末)如图，点A,B,C在数轴上表示的数分别是一3,3和1.动点P,Q

两同时出发，动点尸从点A出发，以每秒6个单位的速度沿A玲2玲A往返运动，回到点A停止运动；动点

。从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C玲8向终点8匀速运动.设点尸的运动时间为f(s).

(1)当点P到达点8时，求点。所表示的数是多少；

(2)当V0.5时，求线段尸。的长；

(3)当点P从点A向点8运动时，线段尸。的长为(用含f的式子表示)；

(4)在整个运动过程中，当尸，。两点到点C的距离相等时，直接写出t的值.

ACB

-4-^-2-16I254*

【答案】(1)2；(2)1.5;(3)4-5t或5t-4；(4)：或g或或|

【分析】。)先计算出点尸到达点8时运动的时间，再计算出点。相同时间内运动的路程，进而可得答案;

(2)利用路程=速度x时间，分别计算出当f=0.5时点P、0运动的路程，即AP和C。的长，再根据

一AP计算即可；

(3)分点P、Q重合前与重合后两种情况，画出图形，根据PQ=AQ-AP(重合前)与尸。=AP—AQ(重合

后)列式化简即可；

(4)分点P从点A向点8运动和点尸从点8向点A运动时两种情况，每种情况再分点P、。在点C异侧和

点C同侧，用含/的代数式分别表示出CP和CQ,即可列出方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：(1)[3—(—3)]+6=1,1x1+1=2,所以点Q所表示的数是2；

(2)当片0.5时，4P=6x0.5=3,C2=lx0.5=0.5,所以尸Q=AQ—4P=AC+CQ—AP=4+0.5—3=L5；

(3)在点P从点A向点8运动时，若点尸、。重合，则6t=t+4,解得：t=g；

当OWtW：时，如图1,PQ=2Q-4P=4+t—6t=4—5。

APCQ«

-4-3-2-10I234

图1

当g<tW1时，如图2,PQ=AP-AC-CQ=6t-4-t=5t-4.

dWQr»

-A-3-2-101234

图2

故答案为：4—