2025高考数学二轮复习：数列（四大考向） 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十三讲-数列(四大考向)-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对数列的考查，重点是2024•新高考□卷，

12

(1)数列自身内部问题的综

等差、等比数列基本量的计2023•新高考□卷，

合考杳

算20

如数列的递推公式、等差、等

2022•新高考□卷，

比数列的性质、通项公式及前

17

n项和公式、数列求和等；

等比数列的证明、数列结合2024•新高考□卷，

(2)构造新数列求通项、求解析几何19

和累乘法求通项公式、裂项相2022•新高考□卷，

消法求和17

如“归纳、累加、累乘，分

组、错位相减、倒序相加、裂

项、并项求和”等方法的应用

与创新；

(3)综合性问题

2023•新高考口卷，

含奇偶项的分组求和

如与不等式、函数等其他知识18

的交汇问题，与数列有关的数

学文化问题及与实际生活相关

的应用问题以及结构不良问

题。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了数列的新定义问题，后续专题会介绍。口卷考查了

等差数列基本量的计算，体现在填空第一题中，难度较易。大题中考查了等比数列的

证明，但是是结合双曲线考查的，难度较难。

数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，既通过归纳、类比、递推等方法

的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项

和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑恩维、运算求解能力。从近三年的高

考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、

逻辑思维能力等。重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重

视对通性通法的培养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面。

(1)对数列的概念及表示法的理解和应用；

(2)等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前n项和公式中基本量的运算或

者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深人剖析其特征，利用其

规律进行恰当变形与转化求解数列的问题；

(3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；

(4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项

和；

(5)数列与不等式、解析几何、函数导数等知识的交汇问题；

(6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养考

生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实

际生活相关的数列的应用问题；

(7)结构不良试题、举例问题等创新题型。

预计2025年高考还是主要考查数列基本量的计算和数列与其他知识交汇的问题，例如

数列和不等式等。

三：试题精讲

一、解答题

1.(2024新高考□卷T9)已知双曲线点出5,4)在C上，%为常

数，0＜左＜1.按照如下方式依次构造点£("=2,3,…)，过作斜率为左的直线与C的

左支交于点2一，令匕为2-关于＞轴的对称点，记匕的坐标为(%%).

(1)若次=求马,丫2；

(2)证明：数歹(J｛%-％｝是公比为短的等比数列；

高考真题练

一、填空题

1.(2024新高考口卷T2)记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，若生+%=7,

3%+%=5,贝(]Si。=.

二、解答题

1.(2022新高考口卷-17)记5.为数列｛%｝的前〃项和，已知是公差为g的

等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

111c

(2)证明：一+—+-+—<2.

axa2an

2

2.(2023新高考□卷20)设等差数列｛%｝的公差为d,且d>l.令"七匕,记

an

S,,T,分别为数列｛a„｝,｛b„｝的前”项和.

(1)若羽=3%+%，S3+4=21,求｛%｝的通项公式；

(2)若也｝为等差数列，且S99-&=99,求d.

3.(2022新高考□卷T7)已知｛%｝为等差数列，也.｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

⑴证明:%=4;

⑵求集合｛印为=%+q,14mW500｝中元素个数.

4.(2023新高考口卷T8)已知｛%｝为等差数列，2=|："一6:2数，记S“，1分别为

为偶数

数列｛叫，也｝的前〃项和，$4=32,n=16.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)证明:当〃>5时，Tn>S„.

知识点总结

一、等差数列的有关概念

1、等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么

这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义

表达式为a.-a“T=d(常数)｛neN*,n>2).

2、等差中项

若三个数a,A,6成等差数列，则A叫做。与6的等差中项，且有A=".

2

二、等差数列的有关公式

1、等差数列的通项公式

如果等差数列｛为｝的首项为公差为d,那么它的通项公式是a“=4+(w-l)d.

2、等差数列的前,项和公式

设等差数列｛见｝的公差为人其前〃项和="(卬;为).

三、等差数列的常用性质

已知｛%｝为等差数列，d为公差,5,为该数列的前〃项和.

1、通项公式的推广：an=am+（n-m）d（n,meN*）.

2、在等差数列｛〃〃｝中，当帆+〃=〃+4时，〃加+〃〃=%,+%（加，n,p,qsN"）.

特别地，若加+〃=2/，贝（J。机+。〃=2q（加，n,teN*）.

3、%,ak+m9以+2根，…仍是等差数歹U，公差为ind（k,msN*1.

4、S〃，Sz〃一Sn,邑〃一S?",…也成等差数列，公差为n2d.

5、若｛4｝,电｝是等差数列，则｛p4+效/也是等差数列.

6、若｛4｝是等差数列，贝!|｛1｝也成等差数列，其首项与｛%｝首项相同，公差是｛4｝公

n

差的L

2

s

7、右项数为偶数2〃，贝！J$2”=+%〃）=几（。〃+a〃+i）；S偶一S奇=〃d；—=——.

a

S偶n+\

8、若项数为奇数2〃—1,则S21=（2〃-l）a〃；S奇一S偶二。〃；-.

一S偶"T

9、在等差数列｛对｝中，若%>0,d<0,则满足°八的项数加使得S“取得最大值

S储若q<0,d>0,则满足卜“'°八的项数加使得S“取得最小值s,“.

1+旧0

四、等差数列的前n项和公式与函数的关系

S.="|/+（4-"I）*数列｛%｝是等差数列口篦二41+加（43为常数）.

五、等差数列的前n项和的最值

公差d>0=｛%｝为递增等差数列，S,有最小值；

公差d<0o｛a“｝为递减等差数列，S,,有最大值;

公差d=0o｛q｝为常数歹U.

特别地

若则s.有最大值（所有正项或非负项之和）；

[a<0

若[“心。，则S“有最小值（所有负项或非正项之和）.

[d>0"

六、其他衍生等差数列.

1、若已知等差数列｛4｝,公差为d,前”项和为S“，则:

口等间距抽取4+2,,为等差数列，公差为以.

□等长度截取黑，星-黑，工”-邑心为等差数列，公差为加2d.

□算术平均值工，与，邑，为等差数列，公差为

1232

七、等比数列的有关概念

1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为

零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表

zK»定义的表达式为""+1=g.

a„

2、等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

即G是。与b的等比中项口。，G,b成等比数列口62=的.

八、等比数列的有关公式

1、等比数列的通项公式

设等比数列｛%｝的首项为4,公比为4（4*0）,则它的通项公式

a==<?•q"（c=幺）（％，4W0）.

q

推广形式：a=a-q"-m

2、等比数列的前n项和公式

nax（q-1）

等比数列｛%｝的公比为虱7。0）,其前〃项和为S"=<〃（1一]〃）%—a〃q

—；-----=~i-----（E）

Ii-qT-q

九、等比数列的性质

1、等比中项的推广

若m+"=p+q时，则％%="凡，特别地，当根+〃=2。时，％为=4.

2、□设｛%｝为等比数列，则仅凡｝（%为非零常数），｛㈤｝,｛或｝仍为等比数列.

□设｛4｝与｛b“｝为等比数列，则｛%b,｝也为等比数列.

3、等比数列｛〃“｝的单调性（等比数列的单调性由首项％与公比q决定）.

当fa/>或0[[a,o<y0l时，｛4｝为递增数列;

｛a>0fl<0

当"]”<1叱>1时…｝为递减数列■

4、其他衍生等比数列.

若已知等比数列｛七｝,公比为力前"项和为S",则：

□等间距抽取

"p，^p+t，ap+2t，%+（〃-），为等比数列，公比为

□等长度截取

Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,为等比数列，公比为〃（当4=-1时，2不为偶数）.

十、求数列的通项公式

1、观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而

根据规律写出此数列的一个通项.

2、公式法:

若已知数列的前〃项和S”与4的关系，求数列｛4｝的通项a“可用公式

,(〃=1)

构造两式作差求解.

S.-Sfg)

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为

一”，即1和a.合为一个表达，(要先分"=1和〃"两种情况分别进行运算，然后验证

能否统一).

3、累加法：

形如4+1=%+〃")型的递推数列(其中/(")是关于“的函数)可构造:

%-%-2=/("2)

<

。2-4=/(I)

将上述吗个式子两边分别相加，可得：«„=/(n—1)+/(/I—2)+.../(2)+/(I)+(71,(«2)

□若/(“)是关于”的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

□若/(")是关于”的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

□若/(“)是关于”的二次函数，累加后可分组求和；

□若/(")是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

4、累乘法：

形如。x=4"(")：&包=/(")型的递推数列(其中/(“)是关于”的函数)可构造:

\an7

%—1

a.

a=/（"2）

,an-2

^=/（l）

将上述〃4个式子两边分别相乘，可得：«„=—

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

5、构造数列法：

（一）形如/+]=〃/+4（其中均为常数且0*0）型的递推式：

（1）若P=1时，数列｛4｝为等差数列；

（2）若g=0时,数列｛4｝为等比数列；

（3）若0片1且”0时，数列｛4｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比

数列来求.方法有如下两种：

法一：设a,,*[+X=+4）,展开移项整理得/I=w,+（〃-1）几，与题设

a=pa+4比较系数（待定系数法）得4=Q,（?w0）=>a-\———=p（a“H———）

n+lnp-1n+ip-1p-1

n%+'一=p（%|+」_）,即1“+'一]构成以为首项，以，为公比的等

p-1p-1Ip_]Jp-1

比数列.再利用等比数列的通项公式求出卜"+六]的通项整理可得4.

法二：由an+1=pan+q^an=pan_x+冢几之2）两式相减并整理得也一%=p,即｛an+l-an｝

an-an-l

构成以g-4为首项，以夕为公比的等比数列.求出｛%+1-4｝的通项再转化为类型口

（累加法）便可求出明

（二）形如q+1=pa〃+/（几）（pW1）型的递推式:

(1)当/(")为一次函数类型(即等差数列)时：

an+An+B=p\an_x+A(n-1)+B]?通过待定系数法确定A、笈的值，转化成以

q+A+8为首项，以父=,"!为公比的等比数列｛%+A〃+B｝,再利用等比数列的

通项公式求出｛«„+A”+B]的通项整理可得

H-*一、数列求和

1、公式法

(1)等差数列｛处｝的前〃项和s.=幽詈1=叫+^p]

nax,q=1

(2)等比数列｛.“｝的前”项和S“=4(1-/)

11-4

(3)一些常见的数列的前"项和：

n1n

□Z左=1+2+3++n=-n(n+1)；22女=2+4+6+.+2n=n(n+1)

k=l2k=l

□Z(2I)=l+3+5++(2n-l)=n2；

k=l

ni

=l2+22+32+-+H2=-n(n+l)(2n+l)；

k=\6

U^k3=l3+23+33++M3=[W(W+1)]2

k=l2

2、几种数列求和的常用方法

(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成

的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

(2)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵

消，从而求得前〃项和.

(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之

积构成的，那么求这个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

（5）倒序相加法：如果一个数列｛%｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一

个常数，那么求这个数列的前几项和即可用倒序相加法求解.

【数列常用结论】

1、数列的递推公式

（1）若数列｛%｝的前〃项和为S“，通项公式为则%=户'"=1*

[S"-Su,n>2,n&N

注意：根据S,求知时，不要忽视对”=1的验证.

（2）在数列｛6｝中，若叫最大,贝心认一，若见最小，则卜.

2、等差数列

（1）等差数列｛4｝中，若an=m，册手n,m,neN*）,则金+,=0.

（2）等差数列｛凡｝中，若Sn=m,Sm=n（mw〃,m,〃£N*）,则黑+,=一（根+〃）.

（3）等差数列｛/｝中,若S〃=Sm（m手n,m,nsN*）,则S%+〃=0.

（4）若｛%｝与｛b,J为等差数列，且前〃项和为量与7“，则$

bmT2m-1

3、等比数列

（1）右m+n=p+q=2k（m,n,p,q,keN*）f则°加,-%'"q-W.

（2）若｛4｝,｛2｝（项数相同）是等比数列,则｛也｝（XN。），｛工｝,｛*｝,

an

｛%也｝,｛组｝仍是等比数列.

bn

（3）在等比数列｛q｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即

an,an+k'<7“+3k…为

等比数列，公比为

（4）公比不为一1的等比数列｛4｝的前〃项和为邑,则邑，S2n-S„,邑,,-邑“仍成等

比数列，其公比为力.

（5）｛%｝为等比数列，若则7；,Z,a,成等比数列.

（6）当好0,#1时，s〃=左一左,（左WO）是｛q｝成等比数列的充要条件，此时

上二江.

1-（?

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等.特别地，若项数为奇数

时，还等于中间

项的平方.

（8）若｛凡｝为正项等比数列，贝1」｛1*。4｝9>03*1）为等差数列.

（9）若｛%｝为等差数列，则｛c-｝（c>O,c*D为等比数列•

（10）若｛q｝既是等差数列又是等比数列o｛«„）是非零常数列.

4、数列求和

（1）裂项技巧

同等差型

1_1__1_

(1)

n(n+1)nn+1

111

(2)■)

n(n+k)knn+k

-一-J_)

(3)

4H2—122n—l2n+l

□根式型

1

(1)y/n+1-y/n

y/n+1+y/n

(2)——-_广=；Qn+k-G)

y/n+k+ylnk

(3)「」「一^」(，2九+1-/2〃-1)

{2n-\+j2"+i2

口指数型

一、2"(2),+1-1)-(2"-1)11

(2"+1-1)(2"-1)(2"+1-1)(2"-1)2"-12"+1-1

名校模拟练

一、单选题

1.（2024•江西九江•三模）已知等差数列｛%｝的公差为或0）,为是&与1的等比中

项，则§=（）

a

A.--B.--C.-D.-

2525

2.（2024•天津滨海新•三模）已知数列｛%｝为各项不为零的等差数列，S“为数列｛4｝的

前九项和，4Sn=an-an+i,则做的值为（）

A.4B.8C.12D.16

3.（2024•天津北辰•三模）已知在等比数列｛%｝中，4殁=12&,等差数列也｝的前〃项

和为S“，且2%=%,则S?=（）

A.60B.54C.42D.36

4.（2024•新疆喀什•三模）已知等差数列｛%｝满足的+%+/=15,记｛%｝的前九项和为

S“，则Sg=（）

A.18B.24C.27D.45

5.（2024•陕西西安•三模）已知S”是等比数列｛%｝的前”项和，％+%+%=2,

。2+。5+=4,贝［jSg=()

A.12B.14C.16D.18

6.(2024・广东汕头•三模)已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为S“，g=3,%,=2%+1,

若S“+%+i=100,贝!)〃=()

A.8B.9C.10D.11

7.（2024•浙江•三模）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，“%。24=0”是

“凡=54047f（“<4047,”eN*）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.(2023•天津和平•三模)已知数列｛4｝满足％=1,。用=2a“+l(〃eN*),S“是数列

｛%｝的前〃项和，则Sg=()

A.29-10B.2。-11C.2lo-lOD.*-11

9.（2024•陕西西安•三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中

第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2

层有3个球；…；第”堆有"层共S“个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3

20

层有6个球，.…已知$2。=1540,则（）

n=l

A.2290B.2540C.2650D.2870

10.（2024•河北张家口•三模）已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，且满足

an+1,”为奇数

«1=1，。"+1>则每00=（）

2%,w为偶数

515050

A.3x251-156B.3X2-103C.3x2-156D.3x2-103

11.（2024•浙江绍兴•三模）设。4%<出<<a„<al00<1,已知N3a“（lW〃<99）,

若侬*｛%+1-。“｝2〃2恒成立，则加的取值范围为（）

A.m<—B.m<—

93

C.m<—D.m<—

39

二、多选题

12.（2024•江西•三模）已知数列｛%｝满足卬=1,.=2%+1,则（）

A.数列｛%｝是等比数列B.数列｛1暇（%+1）｝是等差数列

C.数列｛q｝的前"项和为2向-〃-2D.%。能被3整除

13.（2024・湖南益阳•三模）已知｛4｝是等比数列，S,是其前〃项和，满足

%=2弓+的，则下列说法正确的有（）

A.若｛4｝是正项数列，则｛4｝是单调递增数列

B.S,,邑“-5,,昆，-邑“一定是等比数列

C.若存在M>0,使⑷对V〃eN+都成立，贝IJ｛UI｝是等差数列

T

D.若且q=上，„=^-a2an,贝！J〃=7时T,取最小值

14.（2024・山东济宁•三模）已知数列｛%｝的前"项和为S",且满足2s“=3用-3,数列

Ti

他,｝的前〃项和为T,，且满足乙=：b“+l,则下列说法中正确的是（）

n2

A.4=34B.数列｛%｝是等比数列

io19

C.数列出｝是等差数列D.若a=3,则=而

15.（2024•山西吕梁•三模）已知等差数列｛4｝的首项为外,公差为d,前”项和为S,,

若耳。〈SgVSg,则下列说法正确的是（）

A.当〃=8,S“最大

B.使得S“<0成立的最小自然数〃=18

C.%+%|>|%0+&|

D.中最小项为反

a

[nJ%。

三、填空题

16.（2024・湖北荆州•三模）若实数0,x,y,6成等差数列，仇成等比数列，则

2o

b------------.

17.（2024•山东青岛•三模）已知等差数列｛%｝的公差1片0,首项4=；,应是0与

做的等比中项，记S“为数列｛4｝的前〃项和，则邑。=

18.（2024•湖南邵阳•三模）已知数列｛%｝与均为等差数列（"©N*），且〃2=1，则

〃2024_•

19.（2024•宁夏银川•三模）设为S”等差数列｛4｝的前几项和，已知&、邑、S,成等比

数列，邑=2%+2,当6a,「凡取得最大值时，n=

20.（2024•上海浦东新•三模）已知数列｛q｝为等比数列，生=8,…则

8

名4=.

i=l

21.（2024•上海闵行•三模）设S0是等比数列｛.“｝的前〃项和，若邑=4,

s

〃4+%+〃6=8,贝.

d6

22.（2024・四川•三模）在数列｛4｝中，已知（〃+2”用=叫，则数列｛%｝的前

2024项和邑⑼=.

23.（2024•浙江绍兴•三模）记1为正项数列｛4｝的前〃项积，已知<=47,则

an1

四、解答题

24.（2024•新疆喀什三模）已知数列也｝的首项q=3,且满足%=2%-1（〃wN*）.

⑴求证：数列｛%-1｝为等比数列；

⑵记2=1限（%-1）,求数列］的前〃项和S,,,并证明

25.（2024•四川自贡三模）已知数列｛q｝的前项和为%且

（1）证明：数列｛q｝为等差数列；

⑵若。5，%，%成等比数列，求S“的最大值.

26.（2024・浙江绍兴•三模）已知数列｛0｝的前〃项和为S“，且q=2,S=-^-a,

nn+2n+l

设4*

n

⑴求证：数列也｝为等比数列；

(2)求数列⑸｝的前"项和。.

27.(2024・新疆•三模)若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列

是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1,3,27,729,........已

知数列｛%｝是一个二阶等比数列，％=1,%=4,%=64.

(1)求｛%｝的通项公式；

〃+2

⑵设b"=二I-----------,求数列圾｝的前”项和.

(%)"Jogz%

28.(2024•重庆九龙坡•三模)已知S,是等差数列｛4｝的前"项和，S5=O11=20,数列

也｝是公比大于1的等比数列，且6=%,瓦一瓦=12.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

s

⑵设的=方,求使C"取得最大值时«的值.

29.(2024・湖南长沙三模)若各项均为正数的数列匕｝满足c,c.+2-乙=必。用

(〃eN*内为常数)，则称仁｝为“比差等数列”.已知｛%｝为“比差等数列“，且

515c-

4=而，3〃4=2%.

(1)求｛%｝的通项公式;

a九为奇数

⑵设2=|为伸断，求数列也｝的前“项和S”

+1,“为偶数

30.(2024•陕西三模)数列｛4｝的前"项的最大值记为M”，即%=max何,％,…,〃”｝；

前〃项的最小值记为加“，即7%=min｛qM2,…吗｝,令P"=M,，-m,,并将数列｛2,｝称为

｛凡｝的“生成数列”.

⑴设数列e｝的“生成数列”为｛%｝,求证：%=%;

(2)若a„=2"-3n,求其生成数列仇｝的前〃项和.

31.(2024•江苏宿迁三模)在数列｛4｝中，《,=2,q,+%=32("eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)已知数列｛bn｝满足4犷4143=谟;

□求证：数列也｝是等差数列；

□若%=3,设数列c”=4”的前〃项和为T“，求证：7；<14.

Un

32.(2024•天津滨海新•三模)已知等差数列｛%｝的前”项和为5"，％=5,5=63,数

列也｝是公比大于1的等比数列，且々+%+4=14,仿她=64.

(1)求｛%｝，｛2｝的通项公式；

(2)数列｛%｝,也“｝的所有项按照“当〃为奇数时，口放在。“的前面；当〃为偶数时，a„

放在切的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列忙,｝：瓦,1,电，b2,b3,

%，。4，…，求数列匕｝的前7项和北及前4〃+3项和配+3；

（3）是否存在数列｛4｝,满足等式£（4-2）4+『=2日-〃-2成立，若存在，求出数列

«=1

｛4｝的通项公式，若不存在，请说明理由.

33.（2024•黑龙江三模）如果〃项有穷数列｛%｝满足％=%,电=%,…，%=4，

即4=加+1[=1,2,■■,»）,则称有穷数列｛%｝为“对称数列”.

⑴设数列出｝是项数为7的“对称数列”，其中伉也&也成等差数列，且仇=3也=5,

依次写出数列也｝的每一项；

（2）设数列｛%｝是项数为2bl（keN*且无22）的“对称数列”，且满足院+「以=2,记Sn

为数列｛c“｝的前”项和.

□若。，…，4构成单调递增数列，且Q=2023.当上为何值时，邑取得最大值?

□若/=2024,且=2024,求％的最小值

参考答案与详细解析

：考情分析

命题解读考向考查统计

等差、等比数列基本量的计2024•新高考□卷，

L高考对数列的考查，重点是算12

2023•新高考口卷，

(1)数列自身内部问题的综

20

合考杳

2022•新高考口卷，

如数列的递推公式、等差、等

17

比数列的性质、通项公式及前

等比数列的证明、数列结合2024•新高考口卷，

n项和公式、数列求和等；

解析几何19

(2)构造新数列求通项、求累乘法求通项公式、裂项相2022•新高考口卷，

和消法求和17

如“归纳、累加、累乘，分

组、错位相减、倒序相加、裂

项、并项求和”等方法的应用

与创新；

(3)综合性问题2023•新高考□卷，

含奇偶项的分组求和

18

如与不等式、函数等其他知识

的交汇问题，与数列有关的数

学文化问题及与实际生活相关

的应用问题以及结构不良问

题。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷考查了数列的新定义问题，后续专题会介绍。口卷考查了

等差数列基本量的计算，体现在填空第一题中，难度较易。大题中考查了等比数列的

证明，但是是结合双曲线考查的，难度较难。

数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，既通过归纳、类比、递推等方法

的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项

和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑恩维、运算求解能力。从近三年的高

考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、

逻辑思维能力等。重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重

视对通性通法的培养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面。

（1）对数列的概念及表示法的理解和应用；

（2）等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前n项和公式中基本量的运算或

者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深人剖析其特征，利用其

规律进行恰当变形与转化求解数列的问题；

（3）会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；

（4）通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项

和；

（5）数列与不等式、解析几何、函数导数等知识的交汇问题；

（6）关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养考

生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实

际生活相关的数列的应用问题；

（7）结构不良试题、举例问题等创新题型。

预计2025年高考还是主要考查数列基本量的计算和数列与其他知识交汇的问题，例如

数列和不等式等。

三：试题精讲

一、解答题

1.（2024新高考□卷T9）已知双曲线C：x2-y2=〃?Gw＞0）,点爪5,4）在C上，上为常

数，0〈人＜1.按照如下方式依次构造点弓（"=2,3,...）,过匕-作斜率为左的直线与C的

左支交于点。〃一，令匕为Ga关于＞轴的对称点，记匕的坐标为（乙,％）.

（1）若A=1,求/,丫2;

（2）证明：数歹U｛尤,-％｝是公比为学的等比数列；

【答案】⑴%=3,%=。

（2）证明见解析

【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出6的坐标即可;

（2）根据等比数列的定义即可验证结论;

【详解】（1）

由已知有m=5?-不=9,故C的方程为1-^=9.

当左=”时，过田5,4）且斜率为J的直线为〉=卓，与Y-y2=9联立得到

z/2

解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于片的交点为2（-3,0）,该点显然在C的左

支上.

故£（3,0）,从而无2=3,%=。.

（2）由于过月（五,%）且斜率为左的直线为＞=左（尤-％）+%,与尤2-丁=9联立，得到

方程尤2-他（尤-%）+为『=9.

展开即得（1一二卜2-2耳%-近-质“）2-9=0,由于只（X”,％）已经是直线

y=Mx—%）+%和尤2-丁=9的公共点，故方程必有一根苫=%.

2%（%何,）

从而根据韦达定理，另一根x=,相应的

1-E1-k2

y.+k2y“-2kx”

1-k2

dkyd%"y,+Ey“-2kx”

所以该直线与C的不同于p„的交点为Q,而注意到。“

nl-k21-k2

一（%何）-9

的横坐标亦可通过韦达定理表示为,故。,一定在C的左支上.

'%+北龙“一2份“%+/%―2履“

所以

1-k21-k2

X"+k，「2ky,%+42%-2%,

这就得到无用y+\=

l-k2n\-k-

x.+Ex—ky,y»+k2%-2kx“

所以无用

1-k2l-k2

x”+Ex“+20%+k2y”+2ky*_1+02+2%1+k

l-k2l-k2l-k2l-k

再由片-弁=9,就知道占-y产0,所以数列｛七-%｝是公比为当的等比数列.

L-K

高考真题练

一、填空题

1.（2024新高考口卷T2）记S,为等差数列｛4｝的前〃项和，若生+4=7,

3a2+%=5,则I。=.

【答案】95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出知心再利用等差数列的求和公式

节即可得到答案.

ci,+2d+a+3d=7[d——4

【详解】因为数列。“为等差数列，则由题意得，「解得；2，

+d）+q+4d=5[d=3

贝(J，。=10q+^—d=10x(-4)+45x3=95.

故答案为:95.

二、解答题

1.（2022新高考□卷T7）记S.为数列｛氏｝的前〃项和，已知是公差为g的

等差数列.

（1）求｛叫的通项公式；

111c

（2）证明：一+—++一<2.

axa2an

【答案】（1）。“=」^

（2）见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得屋=1+1（九-1）=审，得到

《=（"+：””,利用和与项的关系得到当〃22时，6=S“-5“_=若叵-e?T,

进而得：9=三1，利用累乘法求得见=雪工，检验对于〃=1也成立，得到｛4｝

an-\2

的通项公式为=岑5；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到‘+'++’=2（1-二],进而证得.

a｝a2an\n+1）

L

【详解】⑴口4Tns,=a,=1,D|=1,

又□],，是公差为;的等差数列，

Sn11/1、〃+2(n+2\an

JJJ

□当心2时，S._i=^—/

〃++

□a-SS-

"nT33

〃

出3

X一-X

一

a

«12

341/\

〃

〃+±()

1XXXXX\+1/

-±一--

1-2-21-2

n〃-1

显然对于〃=1也成立，

□｛4｝的通项公式4=当辿;

11

□—+—+

2

2.（2023新高考□卷20）设等差数列｛%｝的公差为d,且d>l.令d=与三，记

S”,Tn分别为数列｛%｝,｛或｝的前n项和.

（1）若3电=3%+%，S3+7；=21,求｛%｝的通项公式；

（2）若也｝为等差数列，且Sg9-G=99,求d.

【答案】（1）%=3〃

【分析】（I）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;

（2）由电｝为等差数列得出生="或q=2d,再由等差数列的性质可得4。-％=1，分

类讨论即可得解.

【详解】（1）34=3。1+。3，.•.3d=q+2d,解得4=d,

/.S3—3a2=3(%+d)=6d,

又=b}+b7+b,=—++卫^=—,

3123d2d3dd

,9

S3+岂=6dH—=21,

d

即2d2_7d+3=0,解得d=3或d=g(舍去),

/.=q+(〃-1)•d=3〃.

（2）电｝为等差数列,

12212

2b2=4+4,即一=--1---,

%%生

6（5-小热T即〃：-3〃/+2屋=0,解得…或廿2d,

d>l,--->0,

又%-％=99,由等差数列性质知，99%。-99%=99,即％。-&=1，

•'-a50__­=1,即4一%o—2550=0,解得。50=51或。50=-50（舍去）

〃50

当。1=2"时，为0=q+49d=512=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解；

当％=d时，%o=4+49d=5Od=51,解得』=|^.

综上,心

3.（2022新高考□卷T7）已知｛4｝为等差数列，｛〃｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

(1)证明：%=伉；

(2)求集合｛k\bk=am+a],l<m<500｝中元素个数.

【答案】(1)证明见解析；

(2)9.

【分析】(1)设数列｛4“｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

(2)根据题意化简可得加=2皿，即可解出.

【详解】(1)设数列｛叫的公差为(所以，〔跖-(q+3：),即可解得，

4=4=弓，所以原命题得证.

(2)由(1)知，瓦=%=g,所以4=<2,“+4]o4x2'Tnq+e-Dd+q,即

2i=2m,亦即机=2"2中,500],解得2JW10,所以满足等式的解％=2,3,4,,10,

故集合仅14=%+阳1WWV500｝中的元素个数为10-2+1=9.

4.(2023新高考口卷T8)已知｛%｝为等差数列，2=[："一6二篦数，记%T.分别为

[2a”〃为偶数

数列｛。“｝，也,｝的前〃项和，邑=32,T3=16.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)证明:当〃>5时，Tn>Sn.

【答案】⑴%=2九+3；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设等差数列｛。“｝的公差为d,用q，d表示S“及r.，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出S“，bn,再分奇偶结合分组求和法求出r.，并与

S.作差比较作答；方法2,利用（1）的结论求出S“，bn,再分奇偶借助等差数列前n

项和公式求出r”，并与S“作差比较作答.

%-6,〃=214可，

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,而4=

2an,n=2k

贝[]4=q_6,b2=2a2=2q+2d,b3=a3-6=2d-69

S4=4-a,+6d=32

于是Z=4%+4dT2=16'解得％=5,d=2,—