2025高考数学二轮复习：椭圆（四大考向） 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第十五讲-椭圆（四大考向）-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考口卷，

L高考对椭圆的考查，重点是椭圆的定义和弦长

16

（）椭圆的定义、几何图

12023•新高考□卷，

形、标准方程。椭圆的离心率

5

（2）椭圆的简单几何性质2022•新高考□卷，

（范围、对称性、顶点、离心16

率）。直线与椭圆的应用

2023•新高考□卷，

（3）直线和椭圆的位置关系5

及综合应用。2024•新高考□卷，

椭圆的轨迹方程

5

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。口卷考查了

椭圆的轨迹方程求法，难度较易。椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定

义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是

高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。预计2025年高考还

是主要考查椭圆的定义和离心率。

三：试题精讲

一、单选题

1.（2024新高考□卷-5）已知曲线C：x2+y2=16（y>0）,从C上任意一点P向x轴

作垂线段PP,P为垂足，则线段PP'的中点/的轨迹方程为（）

2222

A.工+匕=1(y>。)B.—+—=1(y>0)

164168

22

C.-^+―=1(y>0)D.匕+土=1(y>0)

164168

高考真题练

一、单选题

22

1.（2023新高考口卷6）设椭圆6：=+/=13>1）。：二+丁=1的离心率分别为

a4

，，4.若/=&，，贝!］。二（）

A.2，B.V2c.V3D.76

2.（2023新高考口卷6）已知椭圆C:：+;/=i的左、右焦点分别为6，F2,直线

y=x+7"与C交于4,8两点，若△《AB面积是△BAB面积的2倍，则冽=（）.

A.-B.立C.一变D.--

3333

二、填空题

22

3.（2022新高考□卷T6）已知椭圆C：T+盘=l（a>6>0）,。的上顶点为4两个焦

点为K,F2,离心率为过匕且垂直于A工的直线与c交于。，E两点，|DE|=6,

则NADE的周长是.

22

4.（2022新高考□卷T6）已知直线/与椭圆一+三=1在第一象限交于4,3两点，/与

63

X轴，了轴分别交于N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2退，贝|/的方程

为.

知识点总结

一、椭圆的定义

平面内与两个定点与，鸟的距离之和等于常数2a（2〃>|百耳|）的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语

言表示为:｛尸||尸耳|+1尸"|=2a（2a>|月月|=2c>0）｝

注意：当24=2c时，点的轨迹是线段;

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

、椭圆的方程、图形与性质

焦点的位

焦点在X轴上焦点在y轴上

置

*

3

图形4kOXA1

22202

标准方程下方=1（»>0）%2（a>b>0）

统一方程mx2+ny2=l（m>0,n>0,mn）

\x=acos6AW,/、\x=acos0、r./、

参数方程7.八，。为参数（。£[0,2加）7.为参数（6c[0,2扪）

[y=bsmu[y=bsmO

第一定义到两定点百心的距离之和等于常数2a,^\MFt\+\MF2\=2a（2°>|百耳|）

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A],0）、A25,0）A/。,-”）、A2（0,6i）

顶点

B/0,询、B2（O,fe）B"-"0）、B2（&,0）

轴长长轴长=2a,短轴长=26长轴长=2a,短轴长=2万

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（-G。）、玛（c,0）片（0,-。）、❷（O,c）

X=±e

准线方程

C

点和椭圆>1外一外

芯_+近工+5,=10点(%,%)在椭圆<

=10点(%,%)在椭圆.上上

a2b2ab

的关系<1内[<1内

+^^=1((%,%)为切点)，亭+=1（（%,%）为切点）

abab

切线方程对于过椭圆上一点（尤0,%）的切线方程，只需将椭圆方程中f换为x°x,V换

为为y可得

切点弦所

在的直线笄+誓=1（点（无0,%）在椭圆外）理+等=1（点5,%）在椭圆外）

abab

方程

2h2一

□cos6=——1,4”=/耳母；，(8为短轴的端点)

1

n<-nh2tJc|%l,焦点在X轴上

□S.=—rnsva6=btan—=<,、_=ZEPF)

A呻PFF22y1223|%],焦点在肉上t'1?27

［当。点在长轴端点时，（化）min=b2

□<

当P点在短轴端点时，（?；G）max=〃2

焦点三角形中一般要用到的关系是

[\MFl\+\MF2|=2a(2a>2c)

<S^=^\PFx\\PF2\smAFlPF^

22

||KB|=|PF^+\PF21-213||PF1|cosqPF?

左焦半径：\MF^=a+ex0上焦半径：\MFl\=a-ey0

焦半径

又焦半径：\MF]=a-ex0下焦半径：\MF^=a+ey0

焦半径最大值“+c,最小值a-c

h2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2匕（最短的过焦点的弦）

a

设直线与椭圆的两个交点为A（Xi，y）,B（x2,y2）,kAB=k,

贝!!弦长AB\=JI+左2,_91=JI+k2J（玉+9）2-4菁X2

弦长公式

+%）2_4y%='1+左2各

Vk\a\

（其中。是消y后关于%的一元二次方程的%2的系数，A是判别式）

【椭圆常用结论】

1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长

小2及

79——•

a

□椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个

端点.

□椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为4-c.

2、椭圆的切线

22

诩圆,方13小。）上一点P5,%）处的切线方程是小等f

22

□过椭圆1+2=1（°>6>0）外一点尸（%,%）,所引两条切线的切点弦方程是

ab

生绒一].

H+〃一1'

22

□椭圆二+与=1(a>b>0)与直线Av+3y+C=0相切的条件是A2a2+长片=02.

ab

名校模拟练

一、单选题

丫22

1.（2024・湖北荆州三模）已知椭圆C：/+匕=1的一个焦点为（0,2）,则上的值为

8k

（）

A.4B.8C.10D.12

222

2.（2024•山东烟台三模）若椭圆上+2_=1与椭圆无2+与=1（/>>1）的离心率相同,

43

则实数b的值为（）

A,空]

cD

3-5-i

22

3.（2024•江西九江•三模）已知椭圆C:，+多=1（〃>"0）的左右焦点分别为耳，工，过

ab

片且倾斜角为3的直线交C于第一象限内一点A.若线段钻的中点在y轴上,A4耳工的

O

面积为26,则。的方程为（）

222

AX21oXJ

A.1-y=1B.----1=1

332

C.—+^=1D.—+^=1

9396

4.（2024•河南•三模）已知椭圆C:，+*=1（Q>A>0）的右焦点为尸，短轴长为2百，

点M在椭圆上，若IMF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）

A.3B.4C.1D.2

22

5.（2024•浙江绍兴三模）已知直线、=区（人0）与椭圆C：二+2=1（°>6>0）交于

ab

A,8两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的左焦点耳，若甯川=2闺同，则椭圆C的离

率

是

、D

5在5

ACD

.B.4-3-9-

22

6.（2024•江西鹰潭•三模）已知椭圆C:\+%=l（a>6>0）的左、右焦点分别为

耳,下2,倾斜角为45。且过原点的直线/交椭圆于两点.若WW|=|耳区设椭圆的离

心率为e,则e?=（）

A.72-1B.2-72

C.73-1D.3-73

7.（2024•天津河西•三模）已知耳，B是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公

共点，且/片尸耳=],若椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为e?,则e；+e；的最小值

为（）

A.3+73B.C.D.4

22

22

8.（2024•四川•三模）已知椭圆C：L+A=i3>o）：的左、右焦点分别为月,工，点尸是

4b-

椭圆上一点，若居的内心为连接尸加并延长交x轴于点Q,且

\PM\^y/3\QM\,则椭圆的短轴长为（）

A.2B.2后C.2A/3D.平

22

9.（2024・广东汕头•三模）已知椭圆C：工+二=1的两个焦点分别为月，F2,P是C

1612

上任意一点，则下列不正确的是（）

A.C的离心率为gB.|P叫的最小值为2

C.附卜|尸阊的最大值为16D.可能存在点P,使得/4至=65。

22

10.（2024•河北衡水•模拟预测）已知椭圆C:0+当=l（a＞6＞0）的左右焦点分别为

ab

F、,F＞过&向圆尤,+好=：〃引切线交椭圆于点p,。为坐标原点，若10P卜。闾，贝!j椭

圆的离心率为（）

A.|B.正C.@D.|

2233

22

11.（2024•浙江•三模）已知椭圆「2+廿=地”＞。）的左、右焦点分别为匕，B，

过尸?的直线/与椭圆「相交于/、B两点,与了轴相交于点c.连接尸C,F{A.若。

为坐标原点，片C,与A,S^OF2=2S^AFIF2,则椭圆r的离心率为（）

A.叵D

57o--W

二、多选题

22

12.（2024•河南开封•三模）椭圆C:^—+当=1（根＞0）的焦点为％F,上顶点为

m+1m2

jr

A,直线M与C的另一个交点为8,若/耳4月=1，则（）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为26

C.c的离心率为gD.AAB鸟的周长为8

2

13.（2024•全国•模拟预测）已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c的椭圆C,

点A是椭圆。与其长轴的一个交点，点8是椭圆。与其短轴的一个交点，点月和乙为

其焦点，AB1BF,.点尸在椭圆。上，若/区尸片=三，贝IJ（）

A.a,b,c成等差数列

B.a,b,c成等比数列

C.椭圆C的离心率e=6+l

D.42月的面积不小于尸月月的面积

22

14.（2024•河南•三模）已知椭圆+斗=1（〃＞。＞0）经过点尸（0,1）,且离心率为

—.记。在尸处的切线为/,平行于。尸的直线/'与。交于4B两点,则（）

2

22

A.C的方程上+匕=1

42

B.直线OP与/的斜率之积为-1

C.直线。尸，/与坐标轴围成的三角形是等腰三角形

D.直线为，心与坐标轴围成的三角形是等腰三角形

22

15.（2024•全国•二模）已知圆O：Y+y2=3经过椭圆c：[+三=1（a＞8＞0）的

ab

两个焦点百，F],且尸为圆。与椭圆C在第一象限内的公共点，且△尸片B的面积为

1,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的离心率为3D.点P的坐标为

22

16.（2024•江西南昌•三模）将椭圆G：「+与=1（。＞匕＞。）上所有的点绕原点旋转

ab

角，得到椭圆C2的方程：x2+y2-xy=6,则下列说法中正确的是（）

A.。=2石B.椭圆C2的离心率为更

3

C（2,2）是椭圆的一个焦点D.:

4

22

17.（2024•江西宜春•三模）设椭圆C：二+==1的左、右焦点分别为耳，F,坐标

842

原点为。若椭圆。上存在一点P,使得|OP|=",则下列说法正确的有（）

3

A.cos“%=gB.PFlPF2=5

C.△月尸弱的面积为2D.△耳尸鸟的内切圆半径为四-1

三、填空题

18.（2024・上海•三模）已知椭圆。的焦点耳、工都在x轴上，尸为椭圆C上一点，

△尸久居的周长为6,且「国，闺周，俨闾成等差数列，则椭圆C的标准方程

为.

22

19.（2024•四川攀枝花•三模）已知椭圆C:，+[=l（a>6>0）的左、右焦点分别为

ab

4F2,点M,N在c上，且FF2=3MN,F\M1F?N,则椭圆C的离心率为.

22

20.（2024•山西•三模）已知椭圆C:=+A=l（a>b>0）的左、右焦点分别为G，B，若

C上存在一点尸，使线段尸月的中垂线过点则c的离心率的最小值是.

21.（2024・陕西咸阳•三模）已知椭圆C:三+反=1的左、右焦点分别为月、F2,M为

54

椭圆C上任意一点，尸为曲线E：/+y=6x-4y+12=0上任意一点，则|心|+|成|的

最小值为.

2

22.（2024•湖南长沙•三模）已知椭圆匕+/=1,尸为椭圆上任意一点，过点P分别作

9

与直线4：y=3x和/z：y=-3尤平行的直线，分别交4，（交于N两点，则|肱v|的最

大值为.

22

23.（2024・重庆•三模）已知椭圆5+2=1（°>6>0）的左右焦点为月,工，若椭圆上存

ab

在不在无轴上的两点43满足片A+片3=片用，且sin/耳48=2sin/月48,则椭圆离

心率e的取值范围为

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考口卷，

1.高考对椭圆的考查，重点是椭圆的定义和弦长

16

（）椭圆的定义、几何图

12023•新高考口卷,

形、标准方程。椭圆的离心率

5

（2）椭圆的简单几何性质2022•新高考□卷，

（范围、对称性、顶点、离心16

率）。直线与椭圆的应用

2023•新高考口卷，

（3）直线和椭圆的位置关系5

及综合应用。2024•新高考□卷，

椭圆的轨迹方程

5

—：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。口卷考查了

椭圆的轨迹方程求法，难度较易。椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定

义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是

高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。预计2025年高考还

是主要考查椭圆的定义和离心率。

三：试题精讲

一、单选题

1.（2024新高考□卷6）已知曲线C：x2+y2=l6（y>0）,从C上任意一点P向x轴

作垂线段PP，P为垂足，则线段尸产’的中点/的轨迹方程为（）

2222

A.工+匕=1(y>0)B.土+匕=1(y>0)

164168

22

C.“）D.二+土=1(y>0)

。卜168

【答案】A

【分析】设点M(x，y),由题意，根据中点的坐标表示可得P(x，2y),代入圆的方程即可

求解.

【详解】设点M(x,y),贝(］七(羽为\尸(x,0),

因为M为尸尸'的中点，所以%=2%即P(x,2y),

又尸在圆好+/=16(丫>0)上，

所以x2+4yi=16(y>0),即/+=1(>>。)，

164

即点加的轨迹方程为I+二=l(y>0).

164

故选：A

高考真题练

一、单选题

22

1.(2023新高考口卷5)设椭圆G：，+y2=l(a>DC：二+y=1的离心率分别为

a4

。1，。2.若。2=，则〃=()

A.孚B.72C.V3D.76

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由02=6中得e；=3e：,因此=l=3x。，而“>1,所以。=空.

故选：A

2.(2023新高考口卷6)已知椭圆C:：+y2=i的左、右焦点分别为6，F2,直线

y=x+w与C交于4,B两点,若△々AB面积是△gAB面积的2倍，贝1［加=().

A.-B.立C.一变D.--

3333

【答案】C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用△＞（）,求出〃?范围，再根据三角形面积

比得到关于加的方程，解出即可.

y=x+m

【详解】将直线y=x+机与椭圆联立冗2「消去y可得4f+6盛+34—3=0,

一+y=1

[3'

因为直线与椭圆相交于AB点，贝！JA=36l-4x4（3疗-3）＞0,解得-2＜相＜2,

设片到AB的距离4,耳到AB距离4,易知片（-72,0）,f；（72,0）,

[3.1,_I-A/2+m\|\/2+m\

ziy4=9d?=

|-V2+m|

解得根=一4或一3五（舍去）,

_FXAB_6_I+川_2

sF'ABI夜+.I\42+m\

F

故选：C.

二、填空题

22

3.（2022新高考□卷T6）已知椭圆C:♦+多=l（a＞6＞0）,C的上顶点为/,两个焦

ab

点为4,F2,离心率为3.过耳且垂直于A工的直线与c交于。，E两点，1。&=6,

则VADE的周长是.

【答案】13

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为?+5=1，即3/+4y272c2=0,根据离心

率得到直线AF2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线上

的方程：x=^y-c,代入椭圆方程犷+分-2c2=0,整理化简得到：

13y2-6,cy-9c2=0,利用弦长公式求得c=[,得。=2°=7，根据对称性将VADE

o4

的周长转化为△月止的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.

【详解】□椭圆的离心率为e=9r=J1,La=2c,Ob2=a2-c2=3c2,□椭圆的方程为

a2

22

券+5=1,即3f+4y2-12c2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为巴，如图所示，口

TT

AF2=a,OF2=C,a=2c,nZAF2O=—,口△△百耳为正三角形，「过£且垂直于A外的

直线与C交于D,E两点，DE为线段人工的垂直平分线，口直线DE的斜率为正，斜

3

率倒数为6，直线DE的方程：X=A-C,代入椭圆方程才+4尸-12/=0,整理化简

得到：13y2-6百cy-9c2=0,

判另！I式△=(6&『+4X13X9C2=62X16XC2,

口|DE|=“+(若了|xf|=2x----=2x6x4x——=6

1313

133013

c=—,Q—2。=—

84

□DE为线段A8的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=EF2,口忆包圮的周长等

于△居OE的周长，利用椭圆的定义得到△入OE周长为

\DF2\+\EF2|+|D£|=|DF21+|EF2%|£＞耳卜|博|=|n耳|+|DF2\+\EFl\+\EF2\=2a+2a=4a=13.

故答案为：13.

4.（2022新高考口卷T6）已知直线/与椭圆1+?=1在第一象限交于48两点，/与

63

X轴，>轴分别交于跖N两点，且|MA|=|A®|,|MN|=2g,贝卜的方程

为.

【答案】x+-2^2=0

【分析】令AB的中点为E,设A（x”X）,8（x2,%），利用点差法得到脸•唠=-：，

设直线河:y二区+根,k<09m>0,求出M、N的坐标，再根据|ACV|求出左、m,即

可得解；

【详解】［方法一］:弦中点问题：点差法

令AB的中点为E,设AQ,%）,3（%,%）,利用点差法得到%=-；，

设直线AB\y=kx+m,左<0,m>0,求出M、N的坐标，

再根据|MN|求出3〃J即可得解;

解：令A3的中点为E,因为|阿=|A®|,所以

2222

设A（玉5（%2，%），贝［1*+*=1，今+^~=1，

6363

所以立_立+支._五=0,即（―一%2）（%+々）।（必+必）（1一%）=0

663363

能亲得=［，即％设直线相-+"J<0,m>0,

所以

令％=0得'=根，令）=0得工=,即M5,1,A^（0,m）,

k（一。

所以"hr5,

m

即"W-，解得』日或女当（舍去），

2k

又|脑V|=26，即[MN]=5m)=2A/3,解得m=2或相=一2(舍去),

所以直线A3:y=-区+2,即x+yf2y-2^/2=0；

2

故答案为：x+y[ly-2\/2=0

［方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点E既为线段A5的中点又是线段MN的中点,

设A（石,%），8%2，为），设直线题:y=kx+m9k<Q9m>0,

则<-亍,0卜N(0,m),E《《，因为|MN|=2。所以3=6

乙K乙）

y=kx+m

联立直线AB与椭圆方程得Jy2消掉y得(1+2*谬+4加+2疗-6=0

—+—=1

163

222

其中△二(4mA;)-4(1+2k)(2m-6)>0,xi+x2=--—9

"B中点E的横坐标『-公，又母，=-母=-爱

口无<0,m〉0,「仁卓又|o©=J(一1y+.)2=6,解得m=2

所以直线AB:y=-冬+2,即x+yp2y—2^/2=0

知识点总结

一、椭圆的定义

平面内与两个定点耳，鸟的距离之和等于常数2a(2°>|百耳|)的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语

言表示为：{P||尸用+1%|=2a(2a>|耳8|=2c>0)}

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段;

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

统一方程

[x=acosO公小心,、[x=acosO、i公出心/、

参数方程,八，。为参数（。£[0,2加）,八/为参数（匹[0,2加）

[y=Z?sm6[y=bsin。

第一定义到两定点耳、8的距离之和等于常数2a,^\MFl\+\MF2\=2a（2a>|百耳|）

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<b^-a<y<a

A/-。,。)、A2(t2,0)A"。,-”)、A2(0,«)

顶点

B](O,询、B2(O,Z?)B2(Z7,0)

轴长长轴长=2a,短轴长=26长轴长=2Q,短轴长=26

对称性关于无轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（-%0）、F2（C,0）耳(0,-c)、K(o,c)

焦距耳阊=2c(c2=a2-b2)

展j/11(°<e<D

离心率e=r\

准线方程

c

点和椭圆>1一外>1外

+西.

=10点(%,%)在椭圆<上=lo点(%,%)在椭圆W上

a2b2a1b2

的关系<1内<1内

”+誓=1((%,%)为切点)聋+H9）为切点）

ab

切线方程对于过椭圆上一点（x。,%）的切线方程，只需将椭圆方程中Y换为x°x,/换

为为y可得

切点弦所

号+至=1（点5,%）在椭圆外）荐+浮=i（点（%,为）在椭圆外）

abab

在的直线

（其中a是消y后关于尤的一元二次方程的x2的系数，A是判别式）

【椭圆常用结论】

1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长

为”.

a

□椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个

端点.

□椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为。-c.

2、椭圆的切线

22

□椭圆j+斗=1（。>6>0）上一点尸（毛，％）处的切线方程是岑+岑=1；

abab

22

□过椭圆二+1=1（a>b>0）外一点尸（不，％）,所引两条切线的切点弦方程是

ab

"+从

22

□椭圆:+当=1（。>5>0）与直线Ax+By+C=O相切的条件是A2a。+笈〃=，.

ab

名校模拟练

一、单选题

22

1.（2024•湖北荆州•三模）已知椭圆C：二+匕=1的一个焦点为（0,2）,则上的值为

8k

（）

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.

【详解】由题意得，<?=4,a2=k9b2=89所以上=4+8=12.

故选：D.

222

2.（2024•山东烟台•三模）若椭圆L+2L=1与椭圆/+2=1"〉i）的离心率相同,

43b~

则实数6的值为（）

A.垣B.-C.2D.-

3324

【答案】A

【分析】由离心率相等列出关于6的方程求解即可.

222

【详解】若椭圆一+3=1与椭圆/+与=1（6>1）的离心率相同，

43b2

则与2解得匕=在>1满足题意.

4b23

故选：A.

22

3.（2024•江西九江•三模）已知椭圆C:「+2=l（a>6>0）的左右焦点分别为斗匕过

ab

jr

片且倾斜角为7的直线交C于第一象限内一点A.若线段做的中点在y轴上,AA尸区的

0

面积为2石,则C的方程为（）

A.—+y2=lB.-------1-------=1

332

尤―t“'I

CD.

9396

【答案】D

【分析】根据题意得到RtAFtF2,ZAF1F2=:，设|但』，其它边全部用t表示，运

6

用面积为2班构造方程求出t.再用椭圆定义求出a,进而求出c,b即可.

【详解】如图，。为线段下田的中点,5为线段时的中点,.〔OBA工，又轴,

AF2J-x轴.

在Rt的工中，NAF匹=2,设|伤1=/,则|A耳|=2t,闺凡卜前巴的面积为2省,

6

22

2

2c=闺囚=y/3t=2yj3,c=y/3,b="一c?=6,则C的方程为土+匕=1.

故选：D.

Fi。

22

4.（2024•河南•三模）已知椭圆。邑+今=1（°>6>0）的右焦点为F,短轴长为26,

点M在椭圆上，若1河尸1的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）

【答案】D

【分析】利用椭圆的几何性质得到关于a，。的方程组，解之即可得解.

【详解】依题意，椭圆短轴长为2/，得b=6,贝!|/-°2=〃=3,

又也尸1的最大值是最小值的3倍，即a+c=3（0-c）,

所以a=2c,所以。=2,c=l,则其焦距为2c=2.

故选：D

22

5.（2024•浙江绍兴三模）已知直线〉="（人0）与椭圆C：1r+}=ig>b>o）交于

A,B两点，以线段A3为直径的圆过椭圆的左焦点%若优⑷=2闺用，则椭圆C的离

心率是（）

C,昱

【答案】C

【分析】由题意可得四边形AEBF,为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将闺A+14目

分别用。和c表示，即可得离心率.

【详解】取右焦点F?,连接AB、BF2,由月在以线段AB为直径的圆上，

故4月，团"结合对称性可知四边形用为矩形，有|A阊=|3

^OA=OB=OFl=c,又由⑷=2闺同，

由闺才+闺砰=（2。）2,则闺A|=竽c,帆目=孚’,

由椭圆定义可得|耳4|+|钻卜2a,

故国4|+闺同=手0+^c=?c=2a,

c275

则”丁还一号.

故选：c.

22

6.（2024•江西鹰潭三模）已知椭圆C:1y+}=1（°＞人＞0）的左、右焦点分别为

片，尸2,倾斜角为45°且过原点的直线/交椭圆于M,N两点.若村亚|=|耳心|,设椭圆的离

心率为e,则e?=（）

A.亚一1B.2-72

c.V3-1D.3-V3

【答案】B

【分析】根据题意|MN|=山闾=2c,得到四边形的闻工为矩形，由直线/过原点且倾

斜角为45。，在一〃。月和AMO片中，利用余弦定理计算得国,闾，结合椭圆的定

义2°=|MK|+|M段,求得离心率，进而计算出e2.

【详解】如图所示，

因为|孙|=国司=2c,且。分别为MN和片B的中点，|OM|=|C闾=|ON|=|(叫=c,所

以四边形N不因为矩形，

又直线/过原点且倾斜角为45°,即NMOg=45°,ZMOFt=135°,且MO工为等腰三角

形，

所以，在火欢