2025高考数学二轮复习：证明性、探究性问题 专项训练【含答案】

微专题42证明性、探究性问题

［考情分析］圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，证明性、探索性问题是常见的热

点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.

■思维导图

—证明数量关系问题

圆锥曲线的方程一

一证明位置关系问题

直线方程一必备一常见

证一探究常数型问题

弦长公式一知识明题型

性一探究存在性问题

根与系数的关系一、

探—探究直线问题

索

证明一般方法是“设而不求”,消去参数,性

问-忽略直线斜率不存在的情况

达到证明的目的题

必备常见

一一忽略基本不等式等号成立的条件

解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”,解法误区

将不确定性问题明朗化—忽略参数的范围

典型例题

考点一圆锥曲线的证明性问题

【典例1］(2023・新高考全国I)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点O'J

的距离，记动点尸的轨迹为取

⑴求少的方程；

(2)已知矩形/BCD有三个顶点在火上，证明：矩形/BCD的周长大于3韵.

⑴解设尸(x,>),

则小尸《十卜3,

两边同时平方化简得y=x2+(,

故Wxy=x2+^.

⑵证明方法一设矩形的三个顶点力KJ,加KJ,理+j在，上，且

a<b<c,

易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0,

贝I左®左8C=-1,a-\-b<b-\-c,

尻+U

令kAB=___4________=a+b=m<0

b-a

同理令kBc=b+c=n>。,且mn=­l,

则m=~~,

n

设矩形周长为C,由对称性不妨设|利2|川,

kBC-kAB=c-a=n—m=n+L,

n

易知l+n2>0.

J+x]2(l+x2),x>0,f(x)=2^+^2[2X-x],

则令4)=

令/(x)=0,解得x=?,

当【。为时，f(x)<0,此时於)单调递减,

当」…

时，f(x)>0,此时｛x)单调递增,

则正)“/日千

故-C^Am=亚，即CN3g

2V42

当C=3市时，n=^^,m——也，

2

与当(6—a)\1+加2=(6—a'jy/l+n2,

即机=〃时等号成立，矛盾，故得证.

方法二不妨设/,B,。在沙上，且A4LZX4,

依题意可设力层+1,

易知直线A4,£>/的斜率均存在且不为0,

则设A4,D4的斜率分别为左和一，由对称性，不妨设因W1,

k

直线AB的方程为y=k(x—。)+层+；,

y=N+；,

则联立’1

y=k(x-a)-\~a2-\~一,

[4

22=

得x—kx~\~ka—a0f

/=乃一4(ka—a2)=(k-2tz)2>0,则左W2Q,

贝1||45|=、/1+妁左一23,

同理阳=；i71l：+2q,

\AB\+\AD\=A/1~\~k21k—2a|-j1+"，'左十2“|

Nil—2a|+Ik虫”.卜+曰

令左2=冽，则冽£(0,l],

设义冽)=也吐岂=加2+3冽+，+3,

mm

(2ot1)(ot+1)2

则，(OT)=2OT+3—^=~,

m2m2

令/O)=o,解得冽=:

当冽f0,n2j时，f(m)<0,此时大加)单调递减，

当加+8)时，/(加)>0,此时八m)单调递增，

则1A冽)min=/D=个，

所以|45|+|442苧，

但A/1+妁左―2a|+1+±132M+LI],

源终取等号时V不一致，

此处取等号的条件为左=1,与

故+\AD\>^~^-.

故矩形48co的周长大于3®

方法三为了计算方便，我们将抛物线向下移动:个单位长度得抛物线少'：y=/,

矩形48CD变换为矩形HB'CD',

则问题等价于矩形/'B'CD'的周长大于33.

设炉«0,"),A'(Z1,/?),C'(Z2,d),根据对称性不妨设foNO.

则kA'B'=tl~\-to,kB'C=tl~\~to,

由于4，B'LB'C,

则(九+to)(t2~\~to)——1.

由于B'I=A/1+(九+/o)2优]一旬,\B'C'I=1to)2\t2~to\,且£0介于九，/2之间,

则B'\+\B'

令攵+^=tan8,

介+%=-cot0,MM

贝U/2=tan0—to,t\=—cot6一九，从而

\A'5'I+1/C'\=cot20(2Zo+cot3)+A/1+tan20(tan0—2to),

sin31cos0_2Zo(cossin0)^sin3^+cos30

故B'\+\BfCf\=2t

Qcos2^sin?。sin0cos0sin20cos20

〜fo,5-],

①当。el4」时,

*心+“/喂!”=%尚2

--——=2意产出.

sin9cos0

(71或

②当U,aj时,

由于力4O«2,

从而一cot0一，o4（）vtan9—to.

cot8,Jan9

从而~~一<^o<',

22

又砧20,

故。

2/o(cos8—sin8)।siiPe+cosS。

由此|4'B'\+\BrC'|=

sin9cos0sin20cos2^

sin仇cossin6)(sin9cos0.sin3^+cos3^

>"zI~~

sin2^cos3^sin2^cos2^

1।cos02

cos0sin20sin20sin2^-2cos20

2

(1—cos2^)(1—cos20-2cos20

当且仅当cos。=也时等号成立,

3

故⑷B'|+|3/C|>^,

故矩形周长大于33.

跟踪训练1

=2x+4他与双曲线C仅有一个公共点.

(1)求双曲线。的方程；

(2)设双曲线C的左顶点为/,直线/2平行于/”且交双曲线C于N两点，求证：丛AMN

的垂心在双曲线C上.

(1)解因为双曲线C的离心率为也，所以‘燮=2,即/=尻，

CT

所以双曲线C的方程为N—产=层，

联立直线/i与双曲线C的方程X4"3消去y得(2工+43)2=4,

12_,2=Q2,

即(3x)2+]6(3X)+标+48=0,

因为人与双曲线C仅有一个公共点，

所以/=162—4(。2+48)=0,

解得出=16,

故双曲线C的方程为止一好=1.

1616

⑵证明设b：y=2x+加(加W4他)，M(xi,ji),Ng四，

y=2x-\-m,

则M,N满足

炉-y2=]6,

消去〉得3x2+4mx+m2+16=0,

匕匕2,4mm2+16

所以为十X2=----,X\X2=--------------

33

如图所示，过4引的垂线交C于另一点〃,

即连接MH,

则直线4H的方程为>=一4一2.

2

70

代入^2=16得3x2—8x—80=0,即x=-4(舍去)或x=^-.

所以点〃为

_3(2xi+冽)(2x2+加)+16(2/2+冽)

所以kA#MH=

(3xi—20)3+4)

3+4)

_12阳％2+6加。1+)2)+32%2+3加2+16m

3%I%2+12(XI+%2)-32x2-80

_4(m2+16)-8m2+3m2+16m+32x2

m2~h16-16m—32x2-80

_—m2+16m+32x2+64_

m2—16m—32X2--64

所以MH_L4N,故H为LAMN的垂心,得证.

考点二圆锥曲线的探究性问题

【典例2】(2023•石家庄模拟)已知椭圆C：[+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为E，F2,焦

距为23，过B的直线m与椭圆C相交于4,5两点，且△NB仍的周长为8.

⑴求椭圆。的方程；

⑵若过点G(l,0)的动直线〃与椭圆C相交于MN两点，直线/的方程为x=4.过点m作MPL

于点P,过点N作NQ，/于点。.记△GPQ,丛GPM,△GQV的面积分别为S,与，$2.问是

否存在实数人使得力S=0成立？若存在，请求出力的值；若不存在，请说明理由.

解⑴设椭圆。的焦距为2c,贝12c=23,所以c=3,

由椭圆的定义可得△ZB尸2的周长为+M/2|+|B歹2|=|4成+|5R|+|4B|+Bb2|=4Q=8,

所以q=2,所以62=4一”=22一（■）2=],

所以椭圆c的方程为:+产=1.

（2）存在.由题意可知，直线〃的斜率不为0,其方程可设为％=小+1,

设M(xi,yi)9N(X2,闻，则尸(4,yi),。(4,㈤,

x=my-\-1,

联立X+产1,

U

可得(加2+4)y+2机》一3=o,J=4m2+12(m2+4)=16(m2+3)>0,

由根与系数的关系可得力+冲=一篇,小户

2

因为S=^PQ\\4-1)=|[yi-y2\=^](y\+yi)-4yiy2

&='NQ|•欣|=|(4—X2)・阳=1[4—(myi+1)],如=；(3—叼2)•卜21,

所以$S2=；（3一切i）（3一切2＞历方|=；[9—3冽（yi+»2）+冽2PU2]bU2|

4加2+3

m2+4

37m2+3

故近日=冲匕=1,即2屈屈一5=0,

S6A/m2+32

m2+4

所以存在实数2=2,使得小/^^一S=0成立.

跟踪训练2（2023•日照模拟）已知抛物线C：N=2处^＞0）的焦点为尸，E为。上的动点，EQ

垂直于动直线＞=『《）,垂足为。，当AE。9为等边三角形时，其面积为43.

（1）求C的方程；

(2)设。为原点，过点E的直线/与C相切，且与椭圆［+(=1交于4,3两点，直线。。与

48交于点试问是否存在/,使得=若存在，求f的值；若不存在，请说明理由.

解(口•.•△E0F为等边三角形时，其面积为43，

...，£QFsin；=43，解得|£。=4,

根据|£咒|=|£。|和抛物线的定义可知，。落在准线上，即＞=:=—§

设准线和y轴交点为77,易证/上不。=:,

于是尸Q|cos^=2=\FH\=p,

・・.C的方程为x2=4y.

(2)假设存在3使得14M=WM，则〃为线段45的中点，

设4^(x00),依题意得。(刈，。，则koQ—~y

%0

由可得,=|,

切线/的斜率々=4o,

2

卜i+12yi+yA

设4a1,6),5(X2,及)，线段45的中点认2'2J,

3=1,

42

142

可得上”+五二弟=0,

42

,(11+%2)(%1-X2)|(yi+y2)(yi—X2)=0

…412

整理可得l1,

Xi~X2Xl+%22

即k「koM=—‘,••~xo'koM=~~9

222

可得koM=1~又koQ—koM~~^

xoxo

...当/=—1时，ko=koM=--,此时O,M,。三点共线，满足M为N8的中点，

QX0

综上，存在f,使得=此时f的值为一1.

[总结提升]

证明性问题主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质

的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元

素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，

则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.注意：当

结论或条件不唯一时，要分类讨论.

班县突邀

22

1.（2023•湖南师大附中模拟）如图，椭圆C：[+匕=1（°>2）,圆。：x2+y2=a2+4,椭圆C

a14

的左、右焦点分别为E,Fi.

⑴过椭圆上一点尸和原点。作直线/交圆。于〃，N两点,若|尸尸1卜『7囹=6,求的

值；

⑵过圆。上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线互相垂直.

⑴解设P（xo,次），由于1PBi+|PB|=2Q司尸产iF+|尸产2|2+2厂人|•甲歹2|=4层，

而|尸产尸/2|=6,

则（xo+c）2+M+（x（）—c）2+yg+12=4a2,

所以xi=2a2—c2—6=a2—2（其中a2—c2=4）,

所以|尸闾"川=（。闾一1。尸1）（。川+1。尸1）=1。盟2一0尸|2=层+4—（端+附

=层+4—（a2-2）=6.

⑵证明设R（m,n）,则加2+/=Q2+4,即几2—4=层一冽2,

设过点尺的圆。的切线斜率都存在时的方程为》=左。一⑼+/加/层），代入椭圆方程得

4x2+层卢（X—⑼2+/+2k（x—m）n]—4a2=0,

整理得（4+序左2.2-2ka2（km—ri）x+a2（km—n）2—4a2=0,

2

则A=4a4吩（km—n）—4（4+Q2左2）.[层（左机—几）2_4/]__0,

即（而一〃）2一/左2-4=0=>（加2一Q2）女2一2冽〃左+层一4=0,

“2--A

kl,后是上述关于左的方程的两个根，则发如=*「=-1,

m2~a2

即两条切线的斜率都存在时，有两条切线互相垂直；

而当过R的切线斜率不存在时，易知R点的坐标为(±°,±2),

此时显然两条切线互相垂直，

综上，过圆。上任意点R引椭圆C的两条切线，则两条切线互相垂直.

2.(2023•聊城模拟)已知双曲线C：三一M=l(a>0,6>0)的右焦点为凡一条渐近线的倾斜角

a1b1

为60。，且C上的点到尸的距离的最小值为1.

(1)求。的方程；

(2)设点。(0,0),M(0,2),动直线/：>=履+加与C的右支相交于不同两点/,B,且NN而=

NBFM,过点。作”为垂足，证明：动点〃在定圆上，并求该圆的方程.

⑴解设尸(c,0),

则由已知得•

c—a=1,

c2=a2+b2,

解得。=1,b=Mc=2,

所以。的方程为好一芷=1.

3

(2)证明由(1)得网2,0),前=(—2,2),

8(x2,

设/(xi,yi),y2)9则■物=(%L2,斐),FB=(X2~2,yi),

于是2)2+j?=A/(XI—2)2+3x?—3=2xi—1,

同理|丽1=2x2—1,

由ZAFM=ZBFM,

得cosZAFM=cosZBFM,

FAFMFBFM

即=,

前的

-2(X2—

0n—2(xi—2)+2yi2)+2j2

2xi—l2x2~1

则(左一l)xi+m+2(左一1)%2+冽+2

2xi—12x2―1

整理得(2加+左+3)(»一&)=0,

因为xi#X2,所以2加+左+3=0,

所以I的方程可化为y=k~^--,

2

因此/过定点4'一力，3=?

又因为。77，/,垂足为X,所以动点〃在以ON为直径的圆上，

该圆的方程为卜02+1+力2=5

O

3.(2023・保定模拟)如图，双曲线的中心在原点，焦距为2由，左、右顶点分别为4B,曲

线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为1的椭圆，设尸在第一象限且在双

2

曲线上，直线交椭圆于另一点直线/尸与椭圆交于另一点N.

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；

⑵设血W与x轴交于点T,是否存在点P使得白=4xK其中白，xr分别为点P,7的横坐标)?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解(1)由已知可设双曲线方程为三一二=1,椭圆方程为£+£=i,

bza'bz

pz2+/>2=7,

*=4,

2

W-Z)=l今

2

Ia—2b=39

所以双曲线方程为V—M=l,

43

椭圆方程为芷+丁=1.

43

(2)方法一设尸(孙QM(xi,yi),N(X2,歹2),^4(—2,0),5(2,0),

y2t

P,A,N三点共线,

制+2