2025高考数学二轮复习第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）【含答案】

2025高考数学考二轮复习章节综合

第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数〃彳）=加+_?一2的零点所在区间是（）

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

3.已知函数〃尤）=王三，则下列说法不正确的是（）

A.函数单调递增B.函数〃尤）值域为（0,2）

C.函数“X）的图象关于（0,1）对称D.函数的图象关于（U）对称

4.函数〃同二七81"^^的部分图象大致为（）•

A.

C.

5.若函数/（尤）=卜2-（加一2）x+l］在上单调，则实数机的取值范围为（）

113B.Q

A.-,l,1

2

35

C--1D.-1,2i

.2'2

4x-44

6.已知函数〃尤）="是R上的单调函数,则实数。的取值范围是

3

logfl(4x)-l,x>-

)

A.(0,1)B.(1,司C.(1,V3)D.。，3）

则

7.已知a=ln3,b1,c="()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

8,已知函数f（x）,g（x）的定义域均为R,/（x+l）是奇函数，且

f(l-x)+g(x)=Zf(x)+g(x-3)=2,则()

2020

A.f(x)为奇函数B.g⑺为奇函数C.£/(^)=40D.Zg㈤=40

k=lk=\

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知2"=5"=10,则下列关系正确的是（）

A.ea~b>1B.a+b<ab

C.a+4b<9D.J+l]+(>+2)>8

10.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且满足/(x)-g(2f»=4,

g(x)+/Xx-4)=6,g(3-x)+g(l+x)=。，贝()

A.f(%)-F(x—2)=—2B.g(x)的图象关于点(3,0)对称

60

C.g⑵=0D.^/(«)=-1620

n=l

11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在R

m光星王理数

上的函数。（司=「誓:诋二.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、

是有理数

处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（）

A.D（x+y）<D（x）+D（y）

B.。（力的图象关于>轴对称

C.2（%）=0（。（力）的图象关于了轴对称

D.存在一个正三角形，其顶点均在。（尤）的图象上

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.若/（幻=1。83（33，+3*）+（*+4）2是偶函数，则实数。=

13.已知函数〃彳）=坨优+依+1）在区间（f,-2）上单调递减，则。的取值范围

为.

1

14.已知黑函数若〃2a),则a的取值范围是.

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15

分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：n?)与时间”单位：月)之

间的关系，通过观察建立了函数模型SG)=3(eZ,左＞0,。＞0,且awl).已知第一个月

该植物的生长面积为1m2,第三个月该植物的生长面积为4m2.

⑴求证：若5,)6亿)=(5(幻)2,贝也+/3=2々；

⑵若该植物的生长面积达到100n?以上，则至少要经过多少个月？

16.已知指数函数的图象过点g

(1)求的解析式；

⑵若函数g(x)=〃2x)-时(x-l)+l,且在区间(-L+8)上有两个零点，求加的取值范

围.

17.已知函数/(x)=log[(尤+1)+logj_(x_])，g(x)=x2_ar+6(aeR)

22

(1)求函数的定义域.

⑵判断函数“X)的奇偶性，并说明理由.

⑶对不等式㈤恒成立，求实数"的取值范围.

18.已知函数对于任意实数x,”R恒有/(x+y)=〃x)+〃y),且当x>0时,

/(x)>0,又〃1)=1.

(1)判断“X)的奇偶性并证明；

⑵求〃力在区间［<4］的最小值；

⑶解关于x的不等式：/(^2)-2/(x)>/(ax)-2.

19.已知函数y=『(x),若对于其定义域。中任意给定的实数x,都有

/(月+/［卜0,就称函数y=〃x)满足性质尸•

(1)已知〃x)=2x+l,判断y=/(x)是否满足性质尸，并说明理由；

⑵若y=〃x)满足性质？，且定义域为(。，讨).

①已知x«O,l)时，〃耳=。3工-［,求函数"X)的解析式并指出方程/(x)=255是

否有正整数解？请说明理由；

②若外力在(0,1)上单调递增，判定并证明外力在+8)上的单调

参考答案与详细解析

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1.函数/(尤)=1标+尤2-2的零点所在区间是()

【答案】C

【分析】由零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数“X）的定义域为（。,+8）,又/（x）=1+2x>0,易知函数“尤）在

（0,+8）上单调递增,

又/■（l）T（）"（0）=ln夜=gln2：o,所以在"）内存在一个零点％，使“x0）=0.

故选：C.

11_1

2.已知工=1113,丫=1085万,2=62,贝I」（）

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.

【详解】依题意，x=ln3>l,y=log5<log；A/5=,而z=e2=力>:且z<1,

52Ye2

所以V<z<x.

故选：D

3.已知函数=则下列说法不正确的是（）

A.函数单调递增B.函数〃x）值域为（0,2）

C.函数〃尤）的图象关于（0,1）对称D.函数〃尤）的图象关于（U）对称

【答案】C

【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式

的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，

/（2-X）与〃X）的关系,即可判断CD.

2x+2-2

【详解】〃x）=2——--

2%-1+12^+12X-1+1

2

函数y=2--,t=2x-l+l,则％>1,

t

又内层函数r=2，T+l在R上单调递增，外层函数y=2-。在(1,+⑹上单调递增,

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；

22

因为产+1>1,所以°〈产工<2,则0<2-不不<2,

所以函数/(*)的值域为(0,2),故B正确;

所以函数/(x)关于点(1,1)对称，故C错误，D正确.

故选：C.

,+2的部分图象大致为()

4.函数

【答案】A

【分析】由"力的定义域排除B；由“力是奇函数排除C；由卜。排除D,从而

得出答案.

【详解】由e*-e、0,得"0,则〃尤)的定义域是但"0},排除B；

x2+--sin2x

由

/W=2

x2+--sin2x

得〃r)=2=一〃％)'

所以函数/（"是奇函数，排除C；

2

1.2兀

4---sm—

241L

>0,排除D.

兀7U兀n、

eIe1-l

、7

故选：A.

5.若函数/（尤）=]x2-(m-2)x+l|^上单调，则实数，〃的取值范围为（）

11B-9

A-2^1

c.3D.,23

2'124

【答案】c

【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.

【详解】令g（x）=x2_（M—2）x+l,

m-21Pm-21[m-21fm-21

1nil小22。_」22。-12勺2。或-12小。2’

解得34加〈:或一工Wm,

22

即实数m得取值范围为[3,|].

故选：C.

6.已知函数/(元)=4尤-443是R上的单调函数，则实数。的取值范围是

loga(4x)-l,x>-

()

A.(0,1)B.(1,向C.(1,V3)D.(1,3)

【答案】B

【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出

关于。的不等式，即可求解.

【详解】根据题意，当尤4：时，=-一二=二生，可得“力在‘上递增，

I14x-4x-1I」

1/3

-------,xV一

要使得函数〃X)=4尤-443是R上的单调函数，

logfl(4x)-l,x>-

则满足"1,^1Og44Xlj-1--7^-：,解可得1<aw出，

、74x---4

4

所以实数。的取值范围为(1,百］.

故选：B.

7.已知。=ln3,6=3，c=e03，贝IJ()

4

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】构造函数〃x)=e-x-1,由的单调性和最值可证明c>。，再构造

g(x)=liu—1,由g(x)的单调性和最值可证明a<6,即可得出答案.

【详解】令〃尤)=廿一尤一1,则〃x)=e'-L

当x«T,O)时，r(x)<0,“X)单调递减,

当xe(O,+8)时，/(x)>0,〃尤)单调递增，

贝IJF(x)2/(0)=0,^c=e03>l+0.3=1.3>1.

令g(无)=ln%一'，则g，(x)=U=J^.

exeex

当xe(e,+8)时，g<x)<0,g(x)单调递减，

则g⑶<g(e)=O,即ln3<；<.=:.

故a<b<c.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比

较大小,构造函数/(x)=e'-x-l,和g(x)=lnx-；即可得出答案.

8.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,〃x+l)是奇函数，且

/(1一x)+g(x)=2,〃x)+g(x-3)=2,则()

2020

A.〃尤)为奇函数B.g(x)为奇函数㈤=40D.£gW)=40

k=lk=l

【答案】D

【分析】A选项，根据已知条件推出〃x)是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为

4的周期函数，/(-尤)=/(尤)，故A错误；C选项，推出/'⑴=0,43)=0,

20

/(2)+/(4)=0,从而求出»•㈤=5"⑴+"2)+〃3)+〃4)]=0;B选项，由

k=\

f(l)=0得g(o)=2,故B错误；D选项,计算出g⑵=2,g⑴+g⑶=4,故

g(0)+g(l)+g(2)+g(3)=8,结合函数的周期得到答案.

【详解】A选项,因为f(x)+g(x—3)=2,所以〃龙+3)+g(x)=2,

X/(l-x)+g(x)=2,则有〃x+3)=/(l-x),

因为〃X+1)是奇函数，所以/(x+l)=-

可得〃x+3)=—〃x+l),即有J(x+2)=-/(x)与f(x+4)T(x+2),

即〃x+4)=〃x),

所以是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数.

因为—〃—x)=〃x+2)且〃x+2)=-/(%).所以〃一x)=〃x),

所以〃尤)为偶函数故A错误，

C选项，由〃x+1)是奇函数，则"1)=0,

因为〃x+2)=_〃x),所以"3)=0,

X/(x+l)=-/(l-^),是周期为4的周期函数，

故〃2)+/(4)=/(2)+〃0)=0,

20

所以㈤=5[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)]=0,所以C错误；

i=\

B选项，由/(1)=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函数,所以B错误；

D选项，因为〃龙+3)+g("=2,所以g(2)=2—,(5)=2—〃1)=2,

g(l)+g(3)=[2-/(4)]+[2-/(6)]=4-[/(4)+/(2)]=4.

所以g(O)+g(l)+g(2)+g⑶=8,

20

所以㈤=5[g(。)+g⑴+g⑵+g(3)]=40,所以D选项正确

k=l

故选：D

【点睛】设函数y=〃x),xeR,o>0,ab.

⑴若/(x+a)=〃x—。)，则函数〃x)的周期为2a；

(2)若〃尤+a)=-/(x),则函数/(x)的周期为2a；

(3)若/(x+a)=-肃，则函数的周期为2a；

若f(x+a\=-^―

右'J/W则函数〃元)的周期为2a；

⑸若/(x+a)=〃x+»,则函数〃x)的周期为卜一耳；

(6)若函数/(X)的图象关于直线尤=。与x=b对称,则函数〃x)的周期为；

(7)若函数〃x)的图象既关于点(。,0)对称，又关于点仅,0)对称,则函数〃x)的周

期为2…；

(8)若函数〃x)的图象既关于直线x=。对称，又关于点(80)对称，则函数"%)的周

期为4性一4；

(9)若函数〃x)是偶函数，且其图象关于直线彳=。对称，则的周期为2a；

(10)若函数〃x)是奇函数，且其图象关于直线x对称，则〃尤)的周期为4a.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)

9.已知2。=5"=10,则下列关系正确的是()

A.ea-b>1B.a+b<ab

D,g+1)+g+2)>8

C.a+4〃v9

【答案】AD

【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各

选项.

【详解】因为2"=5〃=10,

所以。=10821。=1+10825=工,6=1085：10=1+10852=工，

lg57g2

对A选项,>0,所以ei>e°=l,故A正确；

lg2lg5Ig5-lg2

Ig5+lg2-l_IglO-l

对B选项,a+b-ab=-------1-----------

lg2lg5lg2lg5Ig5-lg2Ig5-lg2

所以=故B选项不正确；

对C选项，因为。*>。，-+-=lg2+lg5=l,

所以a+4匕=(。+4匕)［，+：)=竺+；+522^^|+5=9,

而。。2万，故上述不等式等号不成立，则〃+4/?>9,故C不正确；

对D选项，［工+1］+(g+2)=(lg2+1)2+(lg5+2)2=(lg2+1)2+(1-lg2+2)2

=2lg22-41g2+10=2(lg2-1)2+8>8D正确.

故选：AD

10.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且满足/(x)-g(2-x)=4,

g(x)+/(x-4)=6,g(3-元)+g(l+x)=0,贝Ij()

A./(x)-/(x-2)=-2B.g(x)的图象关于点(3,0)对称

C.g(2)=0£/伽）=一1620

【答案】AC

【分析】由g(3-x)+g(l+x)=。得出y=g(无)的图象关于点(2,0)对称，由

gO)+y(x-4)=6和y(x)-g(2-x)=4得出yo)-y(x-2)=-2可判断A;由

g(x+4)+y(x)=6和/(x)-g(2-x)=4可判断B；根据g(x)的定义域均为R和图象关于

点(2,0)对称可判断C；记a“=〃2〃T，bn=f(2n),„eN*,结合选项A知数列｛q｝

和数列｛4｝均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.

【详解】g(3-x)+g(l+x)=0,

,y=g(无)的图象关于点(2,。)对称，即g(2-x)=-g(x+2),

对于A,g(x)+/(x-4)=6,g(x+2)+/(x-2)=6①,

/(x)-g(2-x)=4,y(x)+g(x+2)=4②，

②-①得/6)-/。-2)=-2,故A正确；

对于B,g(x)+/(x-4)=6,g(^+4)+/(%)=6@,

/(x)_g(2_x)=4④，

③-④得g(x+4)+g(2-尤)=2,g(x)的图象关于点(3,1)对称，故B错误；

对于C,g(x)的定义域为R且图象关于点(2,0)对称，g(2)=0,故C正确；

对于D,g(x)的定义域为R且图象关于点(3,1)对称，g(3)=l,

由②知，当x=l时，/(D+g(3)=4,/(1)=3,

当尤=0时，f(0)+g(2)=4,/(0)=4,

/(x)-/(x-2)^.-2,f(2)-f(O)=-2,f(2)=2,

记见=〃2"一1),bn=f(2ri),neN*,

由选项A知，数列｛%｝是以3为首项，以-2为公差的等差数列，

数列｛2｝是以2为首项，以-2为公差的等差数列,

an=3+(〃一1)(—2)=—2〃+5,Z>„=2+(H-1)(-2)=-2H+4,

锣3oso30x(3-55)30x(2-56)必3g

­■•£/(«)=£«„+£2=-------------+-------?------=-1590,故D错庆.

〃=1〃=1n=l乙乙

故选：AC.

11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在R

上的函数=后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、

[1,尤是有理数

处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有()

A.Z)(x+y)<r)(x)+Z)(y)

B.£>(x)的图象关于y轴对称

C.的图象关于V轴对称

D.存在一个正三角形，其顶点均在。(力的图象上

【答案】BCD

【分析】特殊值代入验证A,D；利用偶函数定义判断B,C.

【详解】对于A,当x=®,y=-夜时，r>(x+y)=£>(O)=l,

£>(72)+£>(-72)=0+0=0,D(x+y)>D(x)+D(.y),故A错误；

对于B,因为O(x)的定义域为R,关于原点对称，

若t是无理数，贝IJx是无理数，所以。(T)=0,D(x)=0；

若r是有理数，贝心是有理数，所以。(-力=1,D(x)=l；

所以。(-x)=Z)(x),

故。(X)是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；

对于C,由B可知,D（-x）=E»（x）,所以2（—力=。（。（—力）=。（。（力）=4以）,

故2（x）=D（O（x））是偶函数，图象关于＞轴对称，C正确；

对于D,设彳-亭,。[C（O,1）,

则|筋|=恒。=忸。，所以..ABC是等边三角形，

又因为"-£]=。，«g[=°，。（0）=1，所以—ABC的顶点均在O（x）的图象上，

D正确.

故选：BCD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.若/•（尤）=1083（33，+3工）+（》+々）2是偶函数，则实数“=.

【答案】-1

【分析】因为外力=1嗝（3"+3*）+（%+°）2是偶函数,所以/（D"（-D,据此即可求解,

注意检验.

【详解】因为〃尤）=1鸣"+3*）+。+°）2是偶函数，定义域为R,

2

所W/（l）=/（-D,所以logs（27+3）+（1+a）?=log3（^+1）+（-l+a）,

所以log3（30xg）=-4a,所以a=—l,此时/'（尤）=1。83（33，+3，）+（》一1）2,

3t22

f（-x）=log3（3-+3-）+（-x-l）=log3（^^）+（尤+I）

=log3F+3*）+（无一I?=/⑴满足题意.

故答案为：7

13.已知函数/(尤)=坨(/+6+1)在区间(ro,-2)上单调递减，则a的取值范围

为.

【答案】

【分析】将"%)=坨(/+6+1)可看作由y=lg〃,a=x2+ar+l复合而成，根据复合函数

的单调性，列出不等式，即可求得答案.

【详解】设〃=/+6+1,则/(x)=lg，+ar+l)可看作由丁=回,〃=/+6+1复合而

成，

由于y=ig”在(0,+°°)上单调递增，

故要使得函数"X)=lg(丁+办+1)在区间(F,-2)上单调递减，

需满足u>0在区间(口,-2)上恒成立，且&=/+分+1在区间(e,-2)上单调递减，

a入

—2-2勺

故2,解得。弓，

(-2)2+(-2)fz+l>0

故a的取值范围为(-甩|],

故答案为：(-°°$

1

14.已知鬲函数若/(aT)<〃8-2a),则。的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】根据题意得到募函数〃x)的定义域和单调性，得到不等式〃a-1)<〃8-2a)

的等价不等式组，即可求解.

【详解】由鬲函数"》)=估产=/==，，

⑺郑X

可得函数“X）的定义域为©+◎,且是递减函数，

。—1>8—2〃

因为/（。-1）</（8-2a）,可得<a-l>0,解得3<a<4,

8—2Q>0

即实数。的取值范围为（3,4）.

故答案为：（3,4）

四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15

分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S（单位：n?）与时间/（单位：月）之

间的关系，通过观察建立了函数模型S（t）=切'（reZ,%>0,a>0,且。*1）.已知第一个月

该植物的生长面积为1m2,第三个月该植物的生长面积为4m2.

⑴求证：若5,）6（切=（5（。）1贝也+与=2马；

⑵若该植物的生长面积达到100nf以上，则至少要经过多少个月？

【答案】（1）证明见解析

（2）8个月

【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；

（2）根据题意可得2一>100,求解指数不等式即可.

【详解】⑴证明：“"々:]—二

\S（3\=Ka=4小

i，[a=2

.S（Z）=1x2（=2^'.

由S&}S&)=(S&))2，得>T.25=2吁2,.,"]+4=24.

(2)令S(r)=2'T>100,又teZ,S(7)=64<100,5(8)=128>100,

■■.r>8,即至少需要经过8个月.

16.已知指数函数十)的图象过点.

⑴求〃元)的解析式；

⑵若函数g(x)=〃2x)-时+且在区间(-1,+s)上有两个零点，求机的取值范

围.

【分析】⑴设〃力=优(a>0,且"I),根据函数过点白丁〉代入求出参数。

的值，即可得解；

(2)首先求出g(x)的解析式，令:'J，y(0,2),令y=/_2加+1,^(0,2),则

问题转化为y=/-2〃"+l在re(0,2)上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式

组，解得即可.

【详解】⑴由题意，设〃力=优(a>0,且awl),

/(%)的图象过点,

故函数“X)的解析式/(X)=I

(2):g(x)=/(2x)-〃矿(x—l)+l,

2x

g")=II-2mi1+1,

令f=d,因为所以fe(O,2),

y--2mt+1,tG(0,2),

函数g(x)=(；]j+1在(T,e)上有两个零点，等价于y=r-2力贯+1在

re(0,2)上有两个零点,

02-2mx0+l>0l>0

22-2mx2+l>05

m<—j,5

则A=(-2w)2-4xlxl>0即4,解得1<加<:，

m2>1

八-2m_

0<--------<20<m<2

2

故实数m的取值范围为

17.已知函数/3=电(彳+])+1町(*_])赭3=*2_次+6(4€1<)

22

⑴求函数“X)的定义域.

⑵判断函数“X)的奇偶性，并说明理由.

⑶对"e[点+8),%e[1,2],不等式，a)vg(xj恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(1)(1,H

(2)函数”力为非奇非偶函数，理由见解析；

【分析】⑴根据函数g(元)的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；

(2)根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；

(3)根据题意，转化为了(尤)sVg(x)„w根据函数的单调性，求得

/(初皿=-1得到Vxe[l,2],x2-tu+720,

7711

法一：转化为Vxe[l,2],a4x+^,令〃(x)=x+7求得〃(x)1nhi=5，即可求解；

法二：分■|N2,结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】(1)解：由函数〃x)T°gMx+l)+logl(xT)有意义，则满足尸|>:

221X-1〉0

解得X>1,所以函数“X)的定义域为(1,+⑹,

(2)解：因为〃x)的定义域为。,也)，不关于原点对称，

所以函数“X)为非奇非偶函数.

(3)解：由“对[后+句,马可-2,4],不等式/㈤vg⑸恒成立”，

可得了(尤)maxVg(x)min,

2

当X2g时，/(x)=log工(X+1)+log,(x-l)=logi(x-1)

222

由/(X)在[后+8)上单调递减,/Wmax=/(A/3)=-1,

根据题意得，对Vxe[l,2],d-依+720

7

法一：可转化为V尤e[l,2],a4x+—,

X

7711

令M尤)=x+，，由Mx)在［1,2］上单调递减得，可得/1(初皿=〃(2)=2+：=1,

x22

实数。的取值范围为，应:.

法二:设函数g(x)=Y-=+7,

①当羡22,即“24时，g(x)在［1,2］上单调递减，

可得g(x焉=8出=1。一2”3—1,解得则；

②当■|W1,即aV2时，g(x)在［1,2］上单调递增，

可得g(xUn=g⑴=7-心-1,解得a<8,贝心<2；

③当1</<2,即2<a<4时，g(x)在［L2］先减后增，

可得g(x)mM=(万)2-ax,+72-1,解得-4>笈WaW4^/^,所以2<a<4,

综上，实数。的取值范围为，.

18.已知函数/⑺对于任意实数恒有=〃尤)+/(>),且当天>0时,

/(x)>0,又“1)=1.

⑴判断“X)的奇偶性并证明；

⑵求“X)在区间［T,4］的最小值；

⑶解关于x的不等式：/(ax2)-2/(x)>/(ar)-2.

【答案】(l)〃x)为奇函数，证明见解析

(2)T

⑶答案见解析

【分析】(1)令无=y=o得"0)=0,再令y=r,结合奇偶性定义可证；

⑵先证明单调性，利用单调性求解即可；

⑶先化为了(加+2)>〃2工+依)，再利用单调性转化为苏-(a+2)x+2>0,最后根据

含参二次不等式的分类讨论求解即可.

【详解】⑴〃x)为奇函数，理由如下：

函数“X)的定义域为R,关于原点对称，

令x=>=0得”0)=2”0),解得〃0)=0,

令y=-X得"力+〃—X)="0)=0所以“T)=—/(X)对任意尤eR恒成立，所以〃无)

为奇函数，

(2)任取药，尤2w(T»,+°°),且再<々，则X2-X］>0.因为当天>0时，/(x)>0,所以

/(%2-%1)>0,

•/'(%)-〃%)=/(%)+/(-%)=/(々-石)>。，即/㈤<•/1(%),所以“X)在R上单调

递增，

所以“X)在区间［-4,4］的最小值为〃T),

因为"1)=1,令x=y=l得〃2)=〃1)+/⑴=2,

令X=2,y=2得y(4)=/(2+2)=/(2)+/(2)=2+2=4,

〃x)在区间［T4］的最小值为人工焉=/(T)=—"4)=T,

⑶由70-2〃X)>〃词-2

由"2)=2得/'(加)+/'⑵=y(a?+2)>“2x+or),

由〃元)在R上单调递增得加+2>2x+ox整理得加一S+2