2025高考数学二轮复习学案：创新定义题型（含解析）

2025高考数学考二轮专题复习-第二十讲-创新定义题型-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对创新定义的考查，是2024•新高考口卷，

解析几何创新问题

新高考改革出现的题型，一般11

难度较大。2024年九省联考

出现了概率的新定义问题，而2024•新高考□卷，

数列新定义

2025年新高考中出现了解析19

几何、数列的新定义问题。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考□卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法

及性质。口卷虽然未考查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次

独特的创新。新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给

出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供

的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问

题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分

析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。预计2025年高考还是主

要考查数列、函数的新定义问题。

三：试题精讲

一、多选题

1.（2024新高考口卷T1）造型上可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.

已知C过坐标原点。且C上的点满足横坐标大于-2,到点F（2,0）的距离与到定直线

x=am<0）的距离之积为4,则（）

B.点(20,0)在C上

c.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点（%,为）在C上时,

4

-Z

x0+2

二、解答题

2.（2024新高考□卷49）设加为正整数，数列4,出，…,％布是公差不为0的等差数

列，若从中删去两项为和后剩余的4根项可被平均分为机组，且每组的4个数

都能构成等差数列，则称数列％，/，…，6+2是。）-可分数列.

⑴写出所有的（"），l<i<j<6,使数列%”，…，4是（力）-可分数歹U;

（2）当机23时，证明：数列49,…，4M是（2,13）-可分数列;

（3）从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和加</）,记数列4”,…,%,“+2是（力）-可分数

列的概率为证明：匕二.

O

知识点总结

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然

后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于

对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说

“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息

的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息

理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及

什么情况下可以使用书上的概念.

名校模拟练

一、解答题

1.（2024・北京•三模）给定正整数”22,设数列6M2,…4是12的一个排列,对

ze{1,2,.玉表示以为为首项的递增子列的最大长度，%表示以为为首项的递减子

列的最大长度.

⑴若"=4,1=1,a2=4,a3=2,a4=3,求4和为I

22

（2）求证：Vze{l,2,...,n-1},（x;-y,.）+（x;+1-y;+l）0；

⑶求之上-刃的最小值.

1=1

2.（2024・河南•三模）已知数列{%}的前〃项和为S“，若存在常数>0）,使得

4%>S用对任意„eN,都成立，则称数歹U{%}具有性质尸（㈤.

⑴若数列｛叫为等差数列，且53=-9同=-25,求证：数列｛4｝具有性质次3)；

(2)设数列｛4｝的各项均为正数，且同｝具有性质PW.

□若数列｛4｝是公比为q的等比数列，且2=4,求q的值；

□求义的最小值.

3.(2024•河北保定•三模)在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，

不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数6,若存在整数上使得

b=ka,则称。整除A已知Dq为不同的两个素数，数列伍“｝是公差为。的等差整数

数列，么为q除%所得的余数，S”为数列｛"｝的前"项和.

(1)若%=1,P=3,4=2,求$2024；

(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列

｛"｝的前q项中任意两项均不相同；

(3)证明：S^+l为完全平方数.

4.(2024•海南・二模)设数列A:%,的,%…M"("23,〃eN*),如果/中各项按一定顺序

进行一个排列，就得到一个有序数组「3也也，…,勿).若有序数组「他也也，…,6“)

满足标-用＜血-%](米｛1,2,3,，〃-2｝)恒成立，则称「:(伪也也，…,£)为〃阶减距数

组；若有序数组「伯也&，…%)满足以2-%|(m｛1,2,3,，〃-2｝)恒成立,则称

r：3也也，…抱,)为n阶非减距数组.

(1)已知数列A：-L3,2,-3,请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组;

(2)设「3也也，…,々)是数列4：1，3,5,...,2〃-1(〃24,〃€4)的一个有序数组，若

「:色也也，…也)为〃阶非减距数组，且「：色也，…也t)为n-1阶非减距数组，请直接

写出4个满足上述条件的有序数组「；

(3)已知等比数列A：。,%，生，(心3)的公比为q,证明：当夕>。时，

「：(41，%,外,为〃阶非减距数组.

5.(2024•江西九江•三模)已知数列｛%｝共有〃工22)项，且%wZ,若满足

|a„+1-a„|<l(l<n<m-1),则称｛%｝为“约束数列”.记“约束数列”｛〃“｝的所有项的和为

S.,.

(1)当用=5时，写出所有满足q=%=1，$5=6的“约束数列”；

(2)当加=2000,q=25时，设『:a2000=2024;q:“约束数歹〃｛«„｝为等差数列.请判断P是

的什么条件，并说明理由；

⑶当4=1,心=。［〈心晟，丘N+］时，求|黑|的最大值.

6.(2024•山东青岛•三模)在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的

顶点到直线/的距离之和相等，则称/为多边形的一条“等线”，已知0为坐标原点，双

22

曲线Ej-2=1("。力>。)的左、右焦点分别为耳耳，£的离心率为2,点尸为E右支

上一动点，直线加与曲线E相切于点尸，且与E的渐近线交于AB两点，当轴

时，直线丁=1为△尸内耳的等线.

(1)求E的方程；

⑵若y=是四边形AFtBF2的等线，求四边形AF,BF2的面积;

⑶设OG=：OP,点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线”为小耳工的等线

7.(2024•浙江•三模)在平面直角坐标系中，如果将函数y=/(尤)的图象绕坐标原点逆

时针旋转必0<会后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称“X)为旋转函

数”.

⑴判断函数y=Qx是否为吟旋转函数”，并说明理由；

0

⑵已知函数"X)=In(2x+1)(x>0)是“a旋转函数"，求tan戊的最大值；

…丫2JT…

⑶若函数g(x)=Mx-l)eX-xlnx-彳是T旋转函数”，求机的取值范围.

8.(2024•上海三模)设f>0,函数y=/(x)的定义域为R.若对满足的任意

占、9,均有/小)-/(三)>»,则称函数y=/(x)具有“PQ)性质

(1)在下述条件下，分别判断函数y=/(M是否具有尸⑵性质，并说明理由；

3

□f(x)=—x；□/(x)=10sin2x；

(2)已知/(尤)=改3,且函数y=/(x)具有尸(1)性质，求实数。的取值范围；

(3)证明："函数y=/(x)-x为增函数”是“对任意”0,函数了=/(尤)均具有尸⑺性质”的

充要条件.

9.(2024•新疆喀什•三模)已知定义域为R的函数满足：对于任意的xeR,都有

/(x+2兀)=/⑺+〃2兀)，则称函数〃x)具有性质尸.

⑴判断函数g")=x,//(x)=sinx是否具有性质尸；(直接写出结论)

35TT

(2)已知函数〃x)=sin(&x+e)i-<(p<-,|同<5),判断是否存在。，夕，使函数

〃x)具有性质尸？若存在，求出。，。的值；若不存在，说明理由；

⑶设函数〃x)具有性质P,且在区间［0,2可上的值域为2M.函数

g(x)=sin(/(x)),满足g(x+2?r)=g(x),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求

证：/(2兀)=2兀.

10.(2024•贵州六盘水•三模)若函数在国上有定义，且对于任意不同的

占,々e［a,6］,都有|〃士)-/'(无2)|<上|西-尤,则称“X)为年,川上的“人类函数”

⑴若〃力=建,判断是否为判2］上的“4类函数”;

71

⑵若〃x)=gln尤+(°+1)尤+(为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

(3)若“X)为。2］上的“2类函数"且『⑴"⑵，证明:%,马«1,2］,

!/(%,)-/(%,)|<i.

11.(2024•江西南昌三模)给定数列MJ,若对任意加，〃eN*且〃件〃，4+4是

｛4｝中的项，则称｛&｝为“〃数列设数列｛g｝的前"项和为

⑴若s.="+”,试判断数列｛%｝是否为也数列”,并说明理由；

⑵设｛a.｝既是等差数列又是“〃数列”，且4=6,%eN*,%>6,求公差4的所有可

能值；

(3)设｛%｝是等差数列,且对任意“eN*,C是｛%｝中的项,求证：｛七｝是“〃数列”.

12.(2024•黑龙江三模)如果〃项有穷数列｛%｝满足%=%,%=­，...，%=%，

即。，=%如«=1,2,，叫,则称有穷数列｛%｝为“对称数列”.

(1)设数列色｝是项数为7的“对称数列”，其中仇也也也成等差数列，且么=3,&=5,

依次写出数列也,｝的每一项；

(2)设数列匕｝是项数为2k-1(丘N*且％22)的“对称数列”，且满足除+i-c”|=2,记S.

为数列｛%｝的前"项和.

□若“…,Q构成单调递增数列，且纥=2023.当％为何值时，邑一取得最大值？

匚若G=2024,且邑i=2024,求上的最小值.

13.(2024•安徽•三模)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若数列｛。“｝满足：

匚数列｛为｝为有穷数列；

□数列｛?｝为递增数列；

□\/k>2,左eN*,mp,qeN,，使得%=3+%；

则称数列｛4｝具有“和性质”.

(1)已知S.=«2+n(l<n<100),求数列｛4｝的通项公式，并判断数列｛4｝是否具有“和性

质”；(判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论)

(2)若首项为1的数列｛%｝具有“和性质”.

qJ_I

(□)比较%与3产的大小关系，并说明理由；

(匚)若数列｛《,｝的末项为36,求S“的最小值.

14.（2024•湖北荆州•三模）对于数列｛%｝,如果存在一个正整数机，使得对任意

都有成立，那么就把这样的一类数列｛七｝称作周期为加的周期数

列，，"的最小值称作数列｛玉｝的最小正周期，简称周期.

2,〃=1

⑴判断数列%=sinmr和％=，3,〃=2是否为周期数列，如果是，写出该数列

、％T-%.2+L/23

的周期，如果不是，说明理由.

（2）设（1）中数列｛%｝前〃项和为S",试问是否存在。，4,使对任意“eN*,都有

p4（-!）".&<q成立，若存在，求出。，4的取值范围，若不存在，说明理由.

n

—1,Z?2=a

（3）若数列｛叫和也｝满足b„=an+l%,且二=媪（心L,eN），是否存在非零常数

b

。，使得｛。,｝是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明

理由.

15.（2024•安徽芜湖•三模）若数列｛4｝的各项均为正数，且对任意的相邻三项

“T，%aM,都满足<a；,则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项

*%0M,都满足%+aM<24则称该数列为“凸数列”.

⑴已知正项数列｛%｝是一个“凸数列"，且为=e。，，（其中e为自然常数，〃eN*）,证

明：数列｛如是一个“对数性凸数列”，且有的。4%%;

⑵若关于x的函数/（尤）=々+4%+丛2+》/有三个零点，其中々>0（i=l,2,3,4）.证明:

数列仿也也也是一个“对数性凸数列”:

(3)设正项数列旬,《，，%是一个“对数性凸数列”，求证:

16.(2024・湖南•二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x="+l表示

过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点

处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴若圆Ci：尤?+丁=1是直线族mx+ny=1(/72,〃eR)的包络曲线，求〃5满足的关系式；

⑵若点P(M，%)不在直线族：Q(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aeR)的任意一条直线上，求

%的取值范围和直线族。的包络曲线E;

⑶在(2)的条件下，过曲线E上AB两点作曲线E的切线44,其交点为尸.已知点

C(0,l),若A,3,C三点不共线，探究/PC4=/PCB是否成立？请说明理由.

17.(2024•江苏南通•二模)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆八

W+A=l(a>b>。)的离心率为亚，直线/与广相切，与圆。：/+丁=3片相交于

a'b-3

A,8两点.当/垂直于x轴时，|A8|=2几.

(1)求「的方程；

(2)对于给定的点集N,若/中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小

距离的最大值存在，则记此最大值为或M,N).

(口)若X,N分别为线段与圆。上任意一点，尸为圆。上一点，当的面积

最大时，求"(MN)；

(匚)若d(M,N),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为"(MN).已知"(X』)，

H(y,z),〃(x,z)均存在，证明："(x,z)+H(y,z)'H(x,y).

18.（2024•新疆乌鲁木齐•二模）在平面直角坐标系X8中，重新定义两点

A&，%），3区％）之间的"距离"为|明=Z-司+1%-%|，我们把到两定点

耳（-c,O）,月（c,O）（c>0）的“距离”之和为常数2a（a>c）的点的轨迹叫“椭圆”.

⑴求“椭圆”的方程；

（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

⑶设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过

F?作直线交C于M,N两点，AAW的外心为Q,求证：直线。。与MN的斜率之积为

定值.

19.（2024•江西新余•二模）通过研究，已知对任意平面向量AB=（x,y）,把钻绕其起点

A沿逆时针方向旋转。角得到向量AP=（xcos6-ysine,xsine+ycose）,叫做把点B绕点A

逆时针方向旋转。角得到点P,

⑴已知平面内点川-石,2宕），点8（括，-2宕），把点3绕点/逆时针旋转3得到点

P,求点尸的坐标：

⑵已知二次方程Y+V一孙=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆

5+/=i（〃>b>o）绕原点o逆时针旋转:所得的斜椭圆C,

（1）求斜椭圆C的离心率；

（口）过点。作与两坐标轴都不平行的直线4交斜椭圆c于点〃、N,过原点

V21

。作直线4与直线4垂直，直线4交斜椭圆C于点G、H,判断阿+诵是否为定

值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

20.(2024•河南新乡•二模)定义：若函数〃x)图象上恰好存在相异的两点尸，。满足

曲线y=在尸和Q处的切线重合，则称尸，Q为曲线y=/(x)的“双重切点”，直线

PQ为曲线y=/⑺的“双重切线”.

⑴直线y=2x是否为曲线〃%)=三+工的“双重切线”，请说明理由；

X

e"—-xW0

(2)已知函数g⑴=彳e'_'求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；

Inx,x>0,

(3)已知函数/i(x)=sinx,直线尸Q为曲线y=/i(x)的“双重切线”，记直线尸。的斜率所有

匕15

可能的取值为K，k2,kn,若勺勺。=3,4,5,…,〃)，证明：/<—.

“2凸

21.(2024・上海长宁•二模)设函数y=〃x)的定义域为。，若存在实数左，使得对于任

意xeD,都有则称函数y=/(x)有上界，实数上的最小值为函数y=/(x)的

上确界；记集合以={/(同y在区间(0,+8)上是严格增函数};

2

⑴求函数y=——-(2<x<6)的上确界；

x-1

32

(2)^f(A:)=x—hx+2xlnxeMx,求/z的最大值；

⑶设函数y=/(x)一定义域为(o,+8)；若且y=/(x)有上界，求证:

〃力<0,且存在函数y=/(",它的上确界为0

参考答案与详细解析

:考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对创新定义的考查，是2024•新高考口卷，

解析几何创新问题

新高考改革出现的题型，一般11

难度较大。2024年九省联考

出现了概率的新定义问题，而2024•新高考口卷，

数列新定义

2025年新高考中出现了解析19

几何、数列的新定义问题。

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考□卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法

及性质。口卷虽然未考查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次

独特的创新。新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给

出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供

的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问

题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分

析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。预计2025年高考还是主

要考查数列、函数的新定义问题。

三：试题精讲

一、多选题

1.(2024新高考口卷•“)造型上可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.

已知C过坐标原点。且C上的点满足横坐标大于-2,到点/(2,0)的距离与到定直线

尤=。(0<0)的距离之积为4,则()

A.a=—2B.点(20,0)在C上

c.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(%,%)在C上时，

X。+2

【答案】ABD

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求。，故可判断A的正误，结合曲线方程

可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质

可判断D的正误.

【详解】对于A：设曲线上的动点P(x,y),则x>-2且J(x-2)2+y2x|x-4=4,

因为曲线过坐标原点，故J(O-2)2+。2乂［0一4=4,解得。=-2,故A正确.

X

对于B：又曲线方程为J(-2)2+/x|x+2|=4,而x>—2,

故d(x-2)2+/x(1+2)=4.

当x=2"y=0时，J(2a一2yx仅应+2)=8-4=4,

故（20,0）在曲线上，故B正确.

216/3

对于c由曲线的方程可得y=而广（）,取

641—641645256-245八

贝ntUIy2=--------9而-------1=—-=------------>0,故此时y2>i,

49449449449x4

故c在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故c错误.

对于D：当点（%,%）在曲线上时，由C的分析可得）=（尤一国一2）2M（尤；2）2，

44

故—7^74为-（;二7，故D正确.

人CI"乙人I乙

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后

结合不等式的性质等来处理.

二、解答题

2.（2024新高考□卷T9）设加为正整数，数列4,外，…，4M是公差不为0的等差数

列，若从中删去两项外和生«<，）后剩余的4"7项可被平均分为，〃组，且每组的4个数

都能构成等差数列，则称数列49,…ME是。）-可分数列.

⑴写出所有的（V）,1</<J<6,使数列出,是（V）-可分数列;

⑵当加23时，证明：数列％,4M是（2/3）-可分数列；

（3）从1,2,...,4加+2中一次任取两个数i和正<J）,记数列％小是（V）-可分数

列的概率为证明：2>[

O

【答案】⑴（1,2）,（1,6）,（5,6）

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）直接根据（，,/）-可分数列的定义即可；

（2）根据（〃）-可分数列的定义即可验证结论；

（3）证明使得原数列是（。）-可分数列的（盯）至少有（加+1）2-机个，再使用概率的定

义.

【详解】（D首先，我们设数列4,出，…，〃4m+2的公差为d,则dwO.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是

等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形1仕=12…,4m+2）,

得到新数列4=左化=12…,4/九+2）,然后对4,列,…,4M进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设劣=左（左=12…,4m+2）,此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从123,4,5,6中取出两个数i和/«</）,使得剩下四个数是

等差数列.

那么剩下四个数只可能是L2,3,4,或2,3,4,5,^3,4,5,6.

所以所有可能的J）就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于从数列L2,…,4相+2中取出2和13后，剩余的4机个数可以分为以下两个部

分，共机组，使得每组成等差数列：

I（1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组；

□{15,16,17,18},{19,20,21,22),...,{4m-l,4m,4m+l,4m+2),共机一3组.

(如果利-3=0,则忽略.)

故数列1,2,…,4利+2是(2,13)-可分数列.

(3)定义集合A={4介+1%=0,1,2,...,;*={1,5,9,13,...,4〃?+1},

B+2|A;=0,1,2,..={2,6,10,14,4m+2}.

下面证明，对14i</44根+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列1,2,...,4m+2一定是(i,力-可分数列：

命题1:ieA,jeB或，A；

命题2：j—i^=3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果，eAjeB,且J-没3.

此时设，=钠+1,」=4履+2,匕e{0,1,2,

则由，</可知4%+1<4e+2,即期-%>-；,故%22匕.

此时，由于从数列12…,4根+2中取出；的+1和/=4%+2后，

剩余的4〃?个数可以分为以下三个部分，共机组，使得每组成等差数列：

□{1,2,3,4},{5,6,7,8},{钠-3,钠一2,然一1,4匕},共勺组；

□

{4%+2,4匕+3,4匕+4,4匕+5},{4(+6,4K+7,4匕+8,4K+9},…,{4修—2,4k2—1,4k4k?+1}

,共上2-K组；

□

{4左2+3,4左2+4,4&+5,4左2+6},{4左？+7,4k2+8,4左？+9,4质+1。}，…,{4加一1,Arn,4m+1,4机+2}

,共利-七组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

故此时数列1，2,...,4加+2是（/,力-可分数列.

第二种情况：如果ieBjeA,且

此时设i=4《+2,j=4k2+l,e{0,1,2,

则由》</可知4勺+2<4%+l,即网-《>：,故h>&.

由于故（4七+1）-（4匕+2）工3,从而右-左产1,这就意味着心-勺22.

此时，由于从数列12…,4机+2中取出，=4尤+2和j=4e+l后，剩余的4m个数可以分

为以下四个部分，共加组，使得每组成等差数列：

□{1,2,3,4},{5,6,7,8},.一{他-3,4?一2,4匕一1,4左},共/组;

]{4左+1,3匕+片+1,2匕+2网+1,1+3k2+1},

{3匕+%+2,2匕+2k2+2,%+3k+2,4左之+2},2.组；

I]全体{4《+°,3匕+&+夕,2匕+2e+p,匕+3七+p},其中p=3,4,左，共k2一k「2

组；

□

{4左2+3,4^+4,4匕+5,4匕+6},{4七+7,4七+8,4e+9,4e+101,[4m-1,4m,4m+1,4m+21

,共m—k]组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

这里对口和□进行一下解释：将口中的每一组作为一个横排，排成一个包含履-尢-2个

行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数:

{4匕+3,4匕+4,…,3%]+&}，{3左]+&+3,3《+k,+4,…,2《+2A2},

{2匕+2b+3,2K+2b+3,…，匕+3k。},{匕+3幺+3,々+3k?+4,…,4人2}.

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍

{4匕+1,4匕+2,...,4左2+2}中除开五个集合{4匕+1,4々+2},{3匕+&+1,3尤+七+2},

{2々+2&+1,2匕+2&+2},怅+3&+1,《+3&+2},{4&+1,4&+2}中的十个元素以外

的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的4勺+2和4%+1以外，剩余的八个数恰好就是口中出现

的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列L2,…,4相+2是（1,/）-可分数列.

至此，我们证明了：对加+2,如果前述命题1和命题2同时成立，则数列

1,2,…,4相+2一定是亿力-可分数列.

然后我们来考虑这样的（丐）的个数.

首先，由于AcZ?=0,A和B各有〃2+1个元素，故满足命题1的亿力总共有（加+行

个；

而如果J—=3,假设iwAJwB,则可设『=4左+1,j=4k2+2,代入得

（的+2）-（4匕+1）=3.

但这导致矛盾，所以

设力=4匕+2,j=4后+1,^,^6{0,1,2,贝！|（的+1）-（4勺+2）=3,即右一勺=1.

所以可能的化，切恰好就是（。/），（1，2）,…对应的（盯）分别是

（2,5）,（6,9）,...,（4〃?-2,4帆+1）,总共加个.

所以这（加+1）2个满足命题1的8/）中，不满足命题2的恰好有，"个.

这就得到同时满足命题1和命题2的（仃）的个数为（"7+1）27”.

当我们从1,2,…,4帆+2中一次任取两个数i和j（i<J）时，总的选取方式的个数等于

①芈M=（2机+1）（4加+1）.

而根据之前的结论，使得数列4，〃2,…，〃4m+2是（旬）-可分数列的（仃）至少有（加+1）2-m

个.

所以数列％,42,…，44利+2是（V）-可分数列的概率pm一定满足

（m+l）2-mm2+m+lm2+m+^:1.

p2--------------=--------------->------------=----------------——

（2m+l）（4/?z+l）（2，〃+1）（4%+1）（2加+l）（4〃z+2）2（2/n+l）（2m+l）8

这就证明了结论.

知识点总结

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然

后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于

对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说

“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息

的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息

理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及

什么情况下可以使用书上的概念.

名校模拟练

一、解答题

1.(2024•北京•三模)给定正整数九22,设数列是L2,的一个排列，对

ze{1,2,为表示以为为首项的递增子列的最大长度，%表示以为为首项的递减子

列的最大长度.

(1)若"=4,%=1,%=4,%=2,4=3,求£］和为;

22

(2)求证：Vze{l,2,...,n-1},(x;-y;)+(x;+1-y;+.)0；

⑶求之上7』的最小值.

Z=1

【答案】(1)%=3,%=2

⑵证明见解析

⑶当"为偶数时，£上-%|的最小值是g当〃为奇数时，£上-刃的最小值是一.

z=i2z=i2

【分析】(D直接根据定义求解；

(2)分情况讨论证明尤，-X丰xM-yM,故可推知x,-％和xM-yM不能同时为零，进

而得到结论；

(3)对"的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.

【详解】(D以%为首项的最长递增子列是4,以外为首项的最长递减子列是

"2，"3"2，"4.

所以%=3,%=2.

(2)对…,〃-1},由于q,a?,…,a,,是1,2,…〃的'个排列，故%丰。升].

若4<4包,则每个以厢为首项的递增子列都可以在前面加一个生,

得到一个以4为首项的更长的递增子列，所以%>玉包；

而每个以。，为首项的递减子列都不包含aM,且a,<aM,

故可将%替换为%,得到一个长度相同的递减子列，所以Y.

这意味着％->/4-％+1；

若q>《+i,同理有%>%+1，%4%,故%-y<玉+1-%+1.

总之有玉-%*玉+1-,从而玉-R和xM-yM不能同时为零，

故(%-%『+(%+—％+1)2片0.

(3)根据小问2的证明过程知%-%和%+1-》+i不能同时为零，故

|%-刈+卜+1-％+1|21.

情况一：当”为偶数时，设〃=2左，则一方面有

E\xi-y.\=Z(L.i-%tI+L-%I”£1=左=g；

i=\z=li=\'

另一方面，考虑这样一个数列卬，电，…，。"：卜一二""I,i=

[a2i=k+i

则对i=l,2,…也有『二;J：,归;J：L

[x2i=k-i+\[y2i=k-i+l

故此时自占-引=ELT-%.1|=2?=4=S.

i=li=li=l'

结合以上两方面，知的最小值是g.

i=l2

情况二：当“为奇数时，设〃=2m-1,则一方面有

_n、一|乎一!„_1

X、一引n£|尤「y|=£（民,_|-%）+层-£1=加一1=—；

i=\z=lz=lz=lL

ax=m

另一方面，考虑这样一个数列q,a2,...,an；<a2i=m+i,i=l,1.

a2i+l=m-i

xi=myx=m

则对，机-有｛，

=1,2,...,1,x2i=m-i<y2i=m-i+l.

x2i+i=m-i

_n坐一!.一!„_1

故此时£历-引=£岛-%|=£1=加-1=1厂.

z=lz=lz=lL

结合以上两方面，知力归-％|的最小值是”.

i=i2

综上，当〃为偶数时，的最小值是M当〃为奇数时，的最小值是

i=l2Z=1

n-1

F，

【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不

小于（或不大于）某个数M,再说明该表达式在某种情况下能取到加，就得到了最小

（或最大）值是M,这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到

M的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大

胆猜测、高观点等，去猜出M的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎

逻辑，“如何想到M的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便

是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，

大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直

接算出“，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.

2.（2024・河南•三模）已知数列｛4｝的前”项和为S“，若存在常数>0）,使得

>S用对任意“eN,都成立，则称数歹U｛4｝具有性质P(㈤.

(1)若数列｛%｝为等差数列，且53=-9出=-25,求证：数列｛%｝具有性质产⑶；

(2)设数列｛4｝的各项均为正数，且｛4｝具有性质PW.

匚若数列｛“"｝是公比为4的等比数列，且九=4,求4的值；

匚求2的最小值.

【答案】⑴证明见解析；

(2)口4=2；□%的最小值为4.

【分析】(1)根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前〃项和，

再利用定义判断即得.

(2)匚根据给定条件，可得也上5…再按4=1,q"探讨，当4W1时，

又按0<4<1，4=2,4>1且/2讨论得解；□由定义皿心力?，消去

i-q

“用结合基本不等式得沪44红，再迭代得(:尸〉/借助正项数列建立不等式

求解即可.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,由53=-9,怎=-25,得

3%+3d——9,5〃]+10d——25,

解得6=-1,〃=一2,贝1!%=-1+(〃-1)(-2)=-2〃+1,5“=(11+D"=_"2,

于是3an-Sn+1=3(—2"+1)+(〃+=("一2尸20,即3*S„+i,

所以数列｛玛｝具有性质P(3).

(2)□由数列｛4｝具有性质P(4),得4a“NS向，又等比数列｛%｝的公比为彘

若g=l,则4%2("+l)q,解得〃M3,与“为任意正整数相矛盾；

当4Hl时，,而。“>0,整理得4/一匕?一,

i-q1-q

若0<q<l,贝！)4"一匕£^,解得〃<l+logg—^,与”为任意正整数相矛盾；

若“1,则0i(q-2)2W1,当q=2时，广、-2)241恒成立，满足题意；

当0>1且/2时，”-七日号，解得〃<1+10与a号，与”为任意正整数相矛

盾；

所以4=2.

册+

由Aan>S〃+1,得21之Sn+2,即之(S〃+i-S〃)之S〃+2,

S4s

因此碍》凋,+122河口，即受『十，

%+14

2ciC

由数列｛4｝各项均为正数，得s“<Sw从而1<(1产,，即(1尸>丈，

若0</<4,则“<1+1呜支,与〃为任意正整数相矛盾，

4S2

因此当X24时，。广匕D区恒成立，符合题意，

4s2

所以彳的最小值为4.

【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和S“直接用公式

S”=叩心处理问题，漏掉对4片1的讨论.

1-q

3.(2024•河北保定•三模)在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外,

不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数。和整数6,若存在整数上使得

b=ka,则称。整除A已知°,q为不同的两个素数，数列｛““｝是公差为。的等差整数

数列，或为q除。“所得的余数，S”为数列仍“｝的前"项和.

⑴若4=1,。=3,4=2,求$2024；

(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列

｛勿｝的前q项中任意两项均不相同；

(3)证明：Sgg+l为完全平方数.

【答案】(1)1012；

(2)证明见解析；

⑶证明见解析.

【分析】(1)求出数列的通项，进而求出也,｝的通项公式，再借助分组求和即得.

(2)利用反证法，结合整除及素数的性质导出矛盾即可得证.

(3)利用(2)的信息，求出邑，再利用或的定义可得我即可求和得证.

【详解】(D依题意，an=3n-29当n为奇数时，。“为奇数，当n为偶数时，明为

偶数，

-°Lp,[1,“为奇数

而4=2,m因此2%“为偶数，

所以S2024=1012x1+1012x0=1012.

(2)假设存在々=bj9/,ye(l,2,,q},i^j9

依题意，at=kq+bt,%=切+勺，k,leZ,

^ai-aj=(i-j)p=(k-l)q,因此q整除(i-j)p,

因为p,q为不同的素数，故q不整除p,

又因为0N|」/区4-1<4,故q不整除(i-j),

与q整除0-力。矛盾，故假设错误，

所以数列{2}的前q项中任意两项均不相同.

(3)由(2)得么e{0』,2,,q-l},且数列{么}的前q项中任意两项均不相同，

所以邑=0+1+2+.,+q-1=吟』，

b

设4=%⑼+n(勺eZ),则an+q={kn+p)q+bn,故bn+q=bn,

所以5防+1=8邑+1=4q(q-1)+1=(2^-1)2为完全平方数.

【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须

根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是

反证法.所谓矛盾主要指：□与已知条件矛盾；□与假设矛盾；口与定义、公理、定理

矛盾；□与公认的简单事实矛盾；□自相矛盾.

4.(2024・海南•二模)设数列4:%,外,阻，…，凡("23,〃eN*),如果/中各项按一定顺序

进行一个排列，就得到一个有序数组r：色也也，…，2).若有序数组r：色也也，…也)

满足h-阴<血-Ge{1,2,3,，〃-2})恒成立，则称r：(4也也，…也)为”阶减距数

组；若有序数组「俗也也，…也)满足|2-4用“-%|(*{1，2,3,，〃-2})恒成立,则称

r：色也也，…，2)为"阶非减距数组.

(1)已知数列4：-1,3,2,-3,请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组;

(2)设「3也也，…,々)是数列4：1，3,5,...,2〃-1(〃24,〃€4)的一个有序数组，若

「:色也也，…也)为〃阶非减距数组，且「：色也，…也t)为n-1阶非减距数组，请直接

写出4个满足上述条件的有序数组「；

(3)已知等比数列A：%,%，生，…，。”(心3)的公比为q,证明：当4>0时,

a”)为n阶非减距数组.

【答案】⑴[1：(-1,2,3,-3),口:(2,-1,-3,3),r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3-1).

(2)(2H-1,2?z-3,2n-5,,5,3,l),(2n-l,2n-3,2n-5,,5,1,3)

(1,3,5,,2M-5,2n-3,2n-l,),(l,3,5,,2n-5,2〃一1,2〃一3,).

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据题中〃阶减距数组的定义，写出4阶减距数组，只需要保证有序数

组r：伍也也也)中，肉-4<肉-可和肉-勾-勾恒成立即可,分别令4为数列A

中的每一个值即可得出结果；

(2)根据题干中〃阶非减距数组的定义，只需要保证有序数组「屹也也，…抱,)中，

满足性「引诽「%|(他{1,2,3,,〃-2})和有序数组r：色也也,)中，满足

|%-4闫%-%|(矣{1,2,3,,〃-3})恒成立即可.

(3)利用分析法进行逐步反向递推，最后得证.

【详解】⑴4阶减距数组有：ri：(-l,2,3,-3),r2：(2,-1,-3,3),

r3:(3,-1,-3,2),r4:(-3,2,3,-1).

(2)满足条件的有序数组r：

(2n—l,2n—3,2n—5,,5,3,1),(2n-1,2n—3,2n—5,,5,1,3)

（1,3,5,,2n-5,2n-3,2n-l,）,（l,3,5,,2zz