2025高考数学过关检测《函数与导数》专项训练（含解析）

2025高考数学考二轮专题过关检测1-函数与导数-专项训练

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设函数<x)=*，则下列函数中为奇函数的是()

A<B<x-D+l

C痴+1)-1D<x+1)+1

2.已知函数兀0满足人x)y-x),当x>0时段)=3'+2工,则不等式人x-2)<13的解集为()

A.(-oo,0)U(4,+oo)

B.(0,4)

C.(0,2)

D.(-oo,0)U(2,+oo)

3.函数尸(3"3")cosx在区间《，号上的大致图象为()

\.十

Ol\_OiKx

4.设人工)是R上的奇函数且满足於-l)=/(x+l),当04W1时段)=5x(l-x),则火-2

020.6)=()

从A—25口B—10JC-5-D-5-

5.设函数加)在区间D上的导函数为1aw)在区间D上的导函数为g(x).若在区间D

上,g(x)<0恒成立，则称函数人x)在区间D上为“凸函数”.已知实数m是常数次-

3

等-3Y,若对满足HW1的任何一个实数冽,函数外)在区间(生与上都为“凸函数”，则b-a

的最大值为()

A.4B.3C.2D.1

1

6.若加)=西*，则()

A/(log3^>X2i>Aln2)

8/(唾3；)决112)次2高

CX24)>/(ln2)>/(log3i)

D加12)次2今文叫)

7.(2024•新高考〃,6)设函数｛x)=a(x+l)2-l,g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当工£(-1,1)时，曲线

>处)与>=g(x)恰有一个交点，则。=()

8.已知函数〃)=ln(2x+l),g(x)=2加x+%右/(x)Wg(x)恒成上，则头数m的取值范围是

()

AS。B.(O,i]

C.[-,+oo)D.[e,+co)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.已知函数寅x-xlnx+x2.。是函数/（x）的极值点，则以下几个结论正确的是（）

11

A.O<xo<-B.xo>一

ee

C人xo)+2%o<0D4工0)+2xo>0

12X-X3,X>0,

当工£上+8）时〃）的值域为（-00,16],则t的值可能为

-4x,x<0,

A.-3B.-lC.lD.3

11.(2023•新高考/,11)已知函数人x)的定义域为R<xy)=力(》)+%希),则()

A人0)=0

Bg)=0

C^x)是偶函数

D.x=0为人x)的极小值点

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.若函数人x)=e%ax2+l在区间［1,2］上单调递减，则实数。的取值范围是.

13.设sj是两个不相等的正数，且s+sln/=t+Hns,则s+t-st的取值范围为.

14.已知函数人x)的定义域D为(-8,0)U(0,+8)危)在区间(-8,0)上单调递减，且对任意的

xgGO,都有“V1X2)=/(X1)MX2)-1,若对任意的xC(l,+co),不等式/(axMlnjOMD-l恒成

立，则实数。的取值范围是

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明'证明过程或演算

步骤.

15.(13分)(2024・九省联考)已知函数{x)=lnx+/+ax+2在点(2{2))处的切线与直线

2x+3y=0垂直.

⑴求a;

(2)求危)的单调区间和极值.

16.(15分)已知/(x)=(lnx)2+2x-ae：

(1)当<2=0时，求函数/(X)的导函数/(X)的最大值;

(2)若/(x)有两个极值点，求实数。的取值范围.

17.(15分)已知函数八、)=(%+加)炉.

(1)若段)在区间(-00,1］内单调递减,求实数m的取值范围；

(2)当m=0时，若对任意的xG(0,+oo),”xln(nx)W/(2x)恒成立，求实数n的取值范围.

18.(17分)已知函数/Cx)=eeax(aGR).

⑴讨论函数的单调性；

⑵当a=2时,求函数g(x)=/(x)-cosx在区间(T，+oo)内的零点个数.

19.(17分)(2024・广西4月模拟)定义:若函数人》)图象上恰好存在相异的两点P,Q满足曲

线y=/(x)在尸和。处的切线重合，则称尸,0为曲线>yx)的“双重切点”，直线尸。为曲线

y=/(x)的“双重切线”

5

%-2

⑴直线了-2是否为曲线/(x)=|x-2x+21nx的“双重切线”，请说明理由;

v0,

(2)已知函数g(x)=,J一八’求曲线尸g(x)的“双重切线”的方程.

6--,%>0,

X

参考答案与详细解析

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.B解析函数“x尸*专故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).

将该函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函

数解析式为g(x)/x-l)+l,其图象关于坐标原点对称，即为奇函数.故选B.

2.B解析依题意知兀0为偶函数，其图象关于y轴对称，当xNO时段)=3工+2工单调递增，

且｛2)=13,所以不等式｛的<13的解集为(-2,2).

将外)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后可得/(x-2)的图象，故不等式--2)<13的解

集为(0,4).

3.A解析令人幻=(3*-3/05中G

贝I代x)=(3f)cos(-x)=-(3"-3")cos尸兆)，

所以外)为奇函数，排除BD;

又当xC(()9时,323">0,cosx>0,所以人x)>0,排除C.

4.D解析对任意的xGR«t-l)=/(x+l),即/(x)=/(x+2),所以外)是以2为周期的周期函

数，

.次-2020.6)=/(-0.6),又_/(x)为R上的奇函数，且当时式x)=5x(l-x),因此人-2

020.6)=/(-0,6)=次0.6)=-5x0.6x(l-0.6)=-|.

4RR2

5.A解析：m)喙-等-3比.：&)或-券6,

・：g(X)=A：2-加x-6.

令/?(⑼=-加x+f-6,贝|当-1WmW1时也⑼<0恒成立.

「'『-I)…无：一6<0,；2y2.

l/i(l)=-x+X2-6<0,

.：函数人x)在区间(-2,2)上为“凸函数”,

•：b-a的最大值为2-(-2)=4.

6.C解析因为八女)=日//@),所以於)是区上的偶函数，因此7(log3；)=/(log34).

因为Iog34>log33=l=2°>|>2'2>0,l=lne>ln2>lnVe=1.

所以log34>ln2>2'l>0.

当关£(0,+与时〃冷=高券<0,

(DTD)

所以兀0在区间(0,+oo)内单调递减，

所以

故选C.

7.D解析令/(x)=g(x),则cosx=a(xL+\y\.

令//(X—COSX-QC+D+I.

因为〃(x)为偶函数，且力(X)有唯一零点,所以有力(0)=0,即COS0-4(。2+1)+1=0,所以4=2.故

选D.

8.C解析函数於)=山(2X+1)/>，£(X)=2加工+加/)Wg(x)恒成立，

即ln(2x+l)W2/nx+加恒成立，

即相>嗤尹在X>,时恒成立，

令f=2x+l>0,即加2,在1>0时恒成立，

即m^(-)(t>0).

\t，max

设g(O=%>o)Mg")W

令g")=0得片e,则£(0,e)时,g")>0,g«)单调递增;fe(e,+s)时,g")<0,g«)单调递减.

所以t=e时，函数g(f)=乎(f>0)取得最大值g(e)=*=工,即(乎)=工,所以加2士故选C.

tee\t'maxee

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.AD解析：J(x)=x]nx+x2(x>0),

•WO=ln%+1+2x.

:%)是函数")的极值点，

.：/Xxo)=0,即Inxo+1+2配=0.

又/(5)=|>0户。&)--0°,

•：0〈祀e〈一，

.：A正确,B不正确；

・：«ro)+2xo=xolnxo+%衣+2xo=xo(lnxo+xo+2)=-xo(xo-l)>O;即C不正确;D正确.

10.ABC解析由题意，函数幻尸°，当x20时,函数人x)=12x4,则/(x)=12-

3f=-3(x+2)(x-2),当0<x<2时/(x)>0,当x>2时/(x)<0,所以函数兀c)在区间(0,2)内单调

递增,在区间(2,+8)内单调递减,所以当x=2时,函数加)取得最大值，最大值为人2)=12x2-

23=16,所以当x>0时於)6(-8,16].当x<0时,函数｛x)=-4x单调递减，令人x)=16,即-

©=16,解得尸-4,所以当刀口-4,0)时段)6(0,16],当x©(-叫-4)时«06(16,+电).因为当x

e也+8)时，函数9)的值域为(一吗16],所以E[一4,2].

结合选项J的值可能为-3,-1,1.故选ABC.

11.ABC解析对于选项A,令许。沙力网尸。,所以A正确；

对于选项B,令x=l产1g*1)=12>1)+12状1)=贽1),解得41)=0,所以B正确；

对于选项C,令x=-l,y=-l5/K-l)x(一l)]=(一l)2x/(一l)+Gl)2x/(一l)=W一l),解得y(一l)=0；再令x=-

2

l,y=x^/[(■l)xx]=xxRl)+(一l)2x/(x)5/^x)=/(x),所以C正确；

对于选项D,用特值法，函数/(x)=0,为常数函数，且满足加7)=)祖%)+》沁),而常数函数没

有极值点，所以D错误.故选ABC.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

4

12.[y,+oo)解析/(x)=2e2x-2ax,由于兀v)在区间[1,2]上单调递减，所以e2x-tzx^0在区间

[1,2]上恒成立，即0已?在区间[1,2]上恒成立.

令力(x)=F，xe[l,2],则〃(x)=2箸>0,因此〃(x)在区间[1,2]上单调递增，所以

44

/z(X)max=〃(2)=1■，故实数a的取值范围是已,+8).

13.(1,+oo)解析由已知s+slnf=t+〃ns,可得”广一，设人x)=—(x>0),则

/(X尸等，当xG(0,l)时〃x)>0,函数人x)单调递增;

当xC(l,+oo)时/(x)<0,函数4)单调递减.画出函数“r)的大致图象如图所示.

由题意知心)=/(。,所以s,t为方程加)=加的两个不同的解,不妨设s>t,则0<7<l<s,故s+t-

i4.(-oo,-i)u(p+oo)解析令％i=X2=i,有1)-1,得次1)=1,

令X1=X2=-1,得｛1)="2)-1,则｛-1)=1,

令XI=X(X£Z)),X2=-1,有人-工)=/3)t/(-1)-1,得次-")=/3),

又函数加0的定义域。为(-8,0)u(o,+8)关于原点对称，所以见0是偶函数.

因为火X)在区间(-8,0)上单调递减,所以加)在区间(0,+00)上单调递增.

不等式人办)次1口工)次1)-1可化为/(ax)Mlnx),

则有外时)次|lnx|).

因为函数次x)在区间(0,+oo)上单调递增，

所以|亦

又x>l,所以同x>lnx,即IM>等.

设〃(%)=等(%>1),则|M>〃(%)max,〃。)=4学

故当x£(l,e)时/3>0,砥0单调递增，当x£(e,+oo)时”(x)vO,砥0单调递减,

所以〃(x)W〃(e)=，，所以⑷>，,所以Q>|或a〈T，即实数a的取值范围为(依广3口百十功.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

[>1Q

15.角翠(1*(%)=1+2工+4,贝!]八2)=]+2x2+a=a+a

由题意可得g+〃)x(-|)=-l,解得Q=-3.

(2)由(1)可知y(x)=lnX+X2-3X+2.

贝”(X)W+2X-3=空箸1=(2*丘1%>0,

所以当Ocxg时〃x)>0,当:<x<l时/(x)<0,当x>l时/(x)>0,

所以人x)的单调递增区间为(09,(l,+oo”(x)的单调递减区间为G，l),

故於)有极大值心=吗+(沪3q+2=1-ln2,有极小值义l)=ln1+12-3^1+2=0.

16.解(1)当a=0时〃)=(lnx)2+2x,

所以八》)=誓+2.

设g(x)=r(x),则g。尸号a

令g'(x)=°,得％=已

当x£(0⑹时g(x)>0,g(x)单调递增；

当工£(。,+8)时£。)〈()£(%)单调递减.

所以/Xx)max=g(X)max=g(e)=|+2.

⑵由于人》)=等+2文以若加)有两个极值点，则/(x)有两个变号零点，即尸型竽2有两个

实数根，令函数"(x)=4黑2问题转化为曲线y=/z(x)与直线了=。有两个不同的交点.

似X尸的学警2在区间(0,1)内”(x)>O,/z(x)单调递增，在区间(1,+切)内〃(x)<0,〃(x)单调

递减,

所以打(X)max=〃(l)=|.

又因为当％趋近于0时,〃(%)趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时,〃(%)趋近于0,所以实数。

的取值范围是(0$.

17.解(1)因为｛x)=(x+加)值所以/(x)=(x+m+l)ex.

由题意可得八X)W0在区间(-8,1］内恒成立，即X+机+1W0在区间(-8,1］内恒成立，可得

mW-x-T对于x£(-oo,U恒成立，所以冽W(-X-l)min=2所以实数冽的取值范围是(-8,-2］.

(2)当m=0时，由〃xln(〃x)W/(2x),得2胧2"三〃xln(〃x).

2X

由题意可知2>0,〃>0,所以有?p一-lnx-ln〃三0对于任意的x£(0,+oo)恒成立.

设h(x)=^e2x-lnx-ln%x>0,〃>0,则〃«)=卜2r因为函数y=e2V和>=-：在区间(0,+oo)内均单

调递增，所以函数〃'(x)在区间(0,+8)内单调递增.

当不―0时,秋工)<0;

当x一+oo时,/z(x)>0.故存在x()£(0,+oo),使得hr(xo)=-e2x°——=0,BP-e2x°=—.

TlXQTl2%o

当工£(0,祀)时,力(%)〈0,当xe(xo,+oo)时,所以/z(x)在区间(O/o)内单调递减,在区间

(X0,+00)内单调递增，

=2x

故h(x)mmh(xo)=-e°-lnxo-lnn=--\nxo-lnn^O对xo£(0,+°o)恒成立，又由与之工。—

Tl2%QTl

工=0,得77=4xoe2x0,

x0

所以h(xo)=--2xo-21n%o-21n220对xo£(0,+co)恒成立.因为函数y=--2x和y=-21nx在

2%o2,x

区间(0,+oo)内单调递减，所以函数〃。0)在区间(0,+8)内单调递减.因为配三时,〃(配)=0,所

以为()£(0勺.令p(x)=4xe2"(x>0)视/7,(x)=4e2x+8xe2x=4e2j;(l+2x)>0.

2%

所以函数〃=4x0eo在区间(0月内单调递增，所以0<及<2e,即实数〃的取值范围是(0,20

18.解(1)/(%)=於-晒其定义域为R/(x)=ex-«.

当时/(x)>0,所以人x)在R上单调递增；

当a>0时，令/(%)>0得x>lna,令/(x)v0得x<lna.

所以在区间(-°°Jn〃)内单调递减，在区间(In〃,+oo)内单调递增.

综上所述，当Q/0时人》)在R上单调递增;当<7>0时於)在区间(-co,In〃)内单调递减，在区

间(In+00)内单调递增.

(2)(方法一)由已知得g(x)=e*-2x-cosx,xR(-］,+oo),则g〈x)=e，+sinx-2.

①当%W(T，O)时，因为g<x)=e-l)+(sinx-l)〈O,所以g(x)在区间(-/0)内单调递减，所以

g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在区间G©)内无零点；

②当》引0,自时，因为gQ)单调递增，且g@=-l<O,gg=4-1>0,所以存在加6(0,茨使

g〈xo)=O,所以当工£(0,祀)时£。)〈0,当x£(xo，T)时,g(x)>0,所以g(x)在区间［0,祀)内单调递

减,在区间(xo卓内单调递增，且g(0)=0,所以g(xo)<O,又因为g(3=e%>0,所以

8(回>8(］)<°，所以g(x)在区间时》内存在一个零点，所以g(x)在区间［0,；］上有两个零点；

③当xeg+oo)时,g'(x)=eX+sinx-2>e5-3>0,

所以g(X)在区间(a+8)内单调递增，

因为gg)>a所以g(x)在区间(1，+°°)内无零点.

综上所述,g(x)在区间(T，+8)内的零点个数为2.

(方法二)由已知得g(x)=e*-2x-cosxQG(-1,+oo),则g<x)=e*+sinx-2.

①当xG(-扣)时，因为g{x)=(e*-l)+(sinx-l)〈O,所以g(x)在区间(-a0)内单调递减，所以

g(x)>g(O)=O,所以g(x)在区间(£,0)内无零点；

②当xC[0,+oo)时，令s(x)=g<x),则sQ)=e，+cosx>0,所以g1x)在区间[0,+s)内单调递增,

又因为g'(O)=-l〈OgSTeE+sinn-2=e7t-2>0,

所以电£(0,兀)使g'(xo)=O,

当^^(Oio)时,g'(x)vo,当%0