2025高考数学考过关检测 数列 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题过关检测3数列专项训练

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.（2024・九省联考）记等差数列｛斯｝的前n项和为S.,①+劭=602=17,则Si6=（）

A.120B.140C.160D.180

2.已知等比数列｛an｝的各项均为正数，且“3=9,则

10g3。1+10g3«2+10g3Q3+10g3G4+log3«5=（）

A.|B.|C.10D.15

3.（2024•辽宁沈阳统考一模）已知有100个半径互不相等的同心圆,其中最小圆的半径为

1,在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2,则这100个圆中最大圆的

半径是（）

A.8B.9C.10D.100

4.我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载埴在《律学新说》中提出十二平均律,即是现

代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c键到下一个5键的8个白键与5个黑键（如

图），从左至右依次为:5#m#。,蟀,&#断#咕4的音频恰成一个公比为1短的等比数列的

原理，也即高音ci的频率正好是中音c的2倍.已知标准音a的频率为440Hz,则频率为

220或Hz的音名是（）

A.dB.f

C.eD.#d

5.已知数列｛an｝的前n项和S"",设数列｛高力的前n项和为则办的值为（

A19-38「20-40

6.一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市，它因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,

由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…，该数列从第5项开

始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（）

A.39B.45C.48D.51

7.在1到100的整数中,除去所有可以表示为2"（〃CN*）的整数，则其余整数的和是（）

A.3928B.4024C.4920D.4924

8.已知函数次"）=『广勺且则。1+放+。3+…+。100等于（）

（-71。,n为偶数，

A.OB.100

C.-100D.10200

二'选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛诙｝的前n项和为S",公差d=l.若ai+3%=S7,则下列结论一定正确的是

（）

A.%=1的最小值为邑

CS=S6D&存在最大值

10.已知数列｛斯｝是等差数列淇前30项和为390Ml=5力"=2也对于数列｛劣｝,｛6“｝,下列选

项正确的是（）

A.bio=8b5B.｛b“｝是等比数列

D。3+。5+。7_209

C.6ZlZ?30=105

。2+。4+。6193

11.对于数列｛斯｝，若存在正数M使得对一切正整数”，都有则称数列｛为｝是有界

的.若这样的正数”不存在，则称数列｛念｝是无界的.记数列｛斯｝的前n项和为下列结

论正确的是（）

A.若斯=；,则数列｛斯｝是无界的

B.若斯=（?"sin〃,则数列｛S"｝是有界的

C若（=（/）",则数列｛S”｝是有界的

D.若。“=2+，则数列｛*｝是有界的

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分

12.记S„为等差数列｛a„｝的前n项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.

13.已知数列｛斯｝满足m=1,即+1。”=2"(〃CN*),若S,,为数列｛a„｝的前"项和，则S2

024=-

14.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格

为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格

的图形，它们的面积之和Si=240dn?,对折?次共可以得到5dmxl2dm,10dm><6dm,20

dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和$2=180dn?,以此类推.则对折4次共可以得

n

到不同规格图形的种数为;如果对折"次，那么XSk=dm2

k=l

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)记S,为数列｛%｝的前n项和.已知等+"=2飙+1.

(1)证明:｛斯｝是等差数列；

⑵若。4,。7,。9成等比数列，求Sn的最小值.

16.(15分)已知数列｛飙｝是正项等比数歹U,满足俏是2口3a2的等差中项皿=16.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)若儿=(-l)"log2a2”+1,求数列出｝的前n项和Tn.

17.（15分）已知数列｛处｝的首项。1=1,且满足4〃+0=2〃+\记儿=欧沱i+d/^N*.

（1）证明:｛儿｝是等比数列；

⑵记Cn=-7~黑厂3，证明:数列｛，”｝的前〃项和S悬

3n+1-3）（。7rJ）乙

18.（17分）某市为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，计划用若干年更换1万辆燃油

型公交车，每更换一辆新车,淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年

年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投

入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.

（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数网〃）；

（2）若该市计划用7年的时间完成全部更换，求。的最小值.

19.（17分）（2024・湖南岳阳二模）已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°,

接下来的两项是2。,再接下来的三项是2。,2122,依此类推.设该数列的前n项和为规

定:若三加©N*,使得S“=2P（pCN）,则称m为该数列的“佳幕数

⑴将该数列的“佳幕数”从小到大排列，直接写出前4个“佳基数”;

⑵试判断50是不是“佳幕数”，并说明理由;

⑶①求满足心1000的最小的“佳幕数”如

②证明:该数列的“佳幕数”有无数个.

专题过关检测三数列答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.C解析因为。3+劭=2。5=6,所以。5=3,所以。5+。12=3+17=20,

所以516=迫号*=8(。5+。12)=160.

故选C.

2.C解析因为等比数列｛斯｝的各项均为正数，且的=9,所以

Iog3ai+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=log3(ai«2a3a4a5)=log3(a3)=1°g3(95)=log3(310)=10.

3.C解析设这100个圆的半径从小到大依次为n/2,…，loo,则由题知，疗=1,每相邻的两

个圆中,小圆的切线被大圆截得的弦长都为2,有瑞+i—瑶=1(”=1,2,…,99),则｛瑞｝是首项

为1,公差为1的等差数列,〃=1,2,…,100,所以啜)0=10(),得.0=10.故选C.

4.D解析因为a的音频是数列的第10项,440=220鱼X25=220^x(2五)，所以频

率为220应Hz是该数列的第4项，其音名是#d.

22

5.C解析当n=l时,ai=Si=l;当”22,an=Sn-Sn-i=n-(n-l)=2n-l.Wai=l也符合

a”=24_l,所以斯=2〃_].所以—--=---------=-(―-----^―),所以7^,=-(1--+-—

5v,V

anan+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+Y233

-+•••+------上尸」一,所以720=^^=

52n-l2n+l72V2n+l72n+l‘2x20+141

6.D解析设该数列为｛斯｝，依题意，可知。5,。6,…成等差数列，且公差为2,05=5.设塔群共

有〃层，则1+3+3+5+5(〃-4)+竺等2x2=108,解得”=12.故最下面三层的塔数之和为

QIO+QII+QI2=3QII=3X(5+2X6)=51.

7.D解析由2"6[1,100],”6^1*,可得〃=123,4,5,6,所以

21+22+23+24+25+26=^^=126.X1+2+3+…+100=出过曾=5050,所以在1至U100的

1-22

整数中，除去所有可以表示为2"(“6N*)的整数，其余整数的和为5050-126=4924.

8.B解析由已知得当n为奇数时，斯当n为偶数时,即=-

H2+(n+l)2=2n+l.

所以幻+念+/+…+aioo=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2x50=100.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.AC解析由已知得ai+3(〃i+4xl)=7ai+g^xl,解得凶=-3.

对于选项A/?5=-3+4xl=l,故A正确.

对于选项B,Q〃=-3+1=〃-4,因为。1=-3<0,。2=-2<0,。3=-1<0,。4=0,。5=1>0,所以S〃的最小

值为S3或故B错误.

对于选项C,S6-Sl=〃2+〃3+〃4+〃5+〃6=5〃4,又因为〃4=0,所以S6-Sl=0,即S1=S6,故C正确.

对于选项D,因为£=-3〃+竽=?，所以义无最大值，故D错误.

10.BD解析设｛斯｝的公差为d,

由已知得30'5+江箸=390,

解得喈

.”,16n+129

・・Q“=Ql+(〃-l)d=-------.

a

2n+lad

：5=2n+l-^n=2y

.:记2an

故数列｛儿｝是等比数列,B选项正确.

••・5〃=5噜=出3,

.:等=(2")5=2*23,.沏()邦区,A选项错误.

21

:7/30=41+29d=5+16=21,•:。也0=5x2>105,C选项错误.

:'i+3"5+3x募=枭5-+4"5+4噜=209.。3+。5+。73a5黑，D选项

29。2+。4+。63a4。4

正确.

11.BC解析对于Aj“|=|汨<1恒成立,

.:存在正数X=l,使得|编WX恒成立,

•:数列｛劭｝是有界的,A错误.

对于B,二iWsin后铲sin"<(1)",

.：S=m+a2+…+斯<1+(1)2+…+(]”=2口：?

2

S„=ai+a2+-+a„>-[|+(|)+-+(i)"]=-l+(i)">-l,

.:存在正数M=l,使得|S“|WM恒成立，

.：数列｛S.｝是有界的,B正确.

对于C,:%“=(/)",.：当〃为偶数时,S,=0;当n为奇数时$=-L

.：国氏1,.：存在正数加=1,使得|5"区屈恒成立,.：数列｛5〃｝是有界的。正确.

对于=吃<--—-=2(------—),

'九24n2(2n-l)(2n+l)v2n-l2n+l/?

・：£=2/1+蠢+/+・.・+^W2〃+2(l-+$亳-熹)=2〃+2(1-

上=2〃+篇=2(〃—+l).

易知缶在[1,+8)上单调递增，

・：〃」一£[2,+OO).

2n+lL3?7

.：不存在正数M使得5|WM恒成立，.：数列｛S"｝是无界的,D错误.故选BC.

三'填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.2解析由2^3=352+6可得2(〃1+〃2+。3)=3(41+42)+6,所以243=41+42+6,

即2(Qi+24=2〃i+d+6,解得d=2.

13.3X21012-3解析因为ai=l,即+1斯=2〃,所以当〃=1时，有a2al=2,解得z=2,且

。〃+2斯+1=2〃+1,所以久拦'=2.

所以当〃为奇数时,斯=1义2三=2~;

n-2n

当n为偶数时，斯=2x24=22.

所以1〃。)。。〃)

SzoZdUQl+QZ_----Hz024=(1+3^----023+(2+4^---------^2024=--1---Z----F

^^2=30。£3♦

1-2

14.5240(3-为圣)解析对折3次共可以得到dmxl2dm,5dmx6dm,10dmx3dm,20

dmx|dm四种规格的图形，面积之和S3=4x30=120dm2;

江m

对折4次共可以得到mdmx12dm2x6dm,5dm><3dm,10dmx-dm,20dmx-dm五种规

4

格的图形S=5xl5=75dm2;

可以归纳对折n次可得〃+1种规格的图形5=("1)皆dnR

则1S产S+S2+…+*=240(套+襄+,+…+*).

k二l

记7ln=2+3+2+…+山①

忙21十22十232n，

2,3,,n,n+1

则/=齐+/+…+亓+丽・②

①与②式相减，得*7“=翔技+蠢+套+…+联一露=|一景1.

故北=3-穿

n

故£S左=2403=240

k=lG芳)

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(1)证明由也+〃=2斯+1,

得2S〃+〃2=2。储+〃①，

所以2*+I+(〃+1)2=2Q“+I(〃+1)+(〃+1)②，

②-①，得2。“+1+2〃+1=2恁+i(〃+1)-2。〃〃+1,

化简得an+\-an=l.

所以数列｛斯｝是公差为1的等差数列.

(2)解由(1)知数列｛斯｝的公差为1.

由=44。％得(〃1+6)2=(m+3)3+8),解得a\—12.

所以S.=-12"+史罗=Q箸=1(»-y)2-^,

所以当»=12或13时5取得最小值，且最小值为-78.

16.解⑴设正项等比数列｛以｝的公比为狗>0).

2

因为。3是2a1,3。2的等差中项，所以2a3=2。1+3色即20d=24]+3°1%因为小刈,所以2q-

3q-2=0,解得q=2或《=t(舍去).

所以°4=。"=841=16,解得<71=2.

所以a“=2x2""=2".

(2)由(1)可知侬+1=22"+1,

所以儿=(-1)"log2a23+1=(-1)"log222*+i=(-1)”(2〃+1),

所以T„=(-1)1X3+(-1)2X5+(-1)3X7+-+(-1)"(2«+1),

-r„=(-l)2x3+(-l)3x5+(-l)4x7+-+(-l)n+1-(2H+l),

所以27；,=-3+2[(-l)2+(-l)3+-+(-l)n]-(-l),,+1(27j+l)=-3+2xi±|^+(-l)n(2H+l)=-3+l-(-l)n-

1+(-l)"(2/i+l)=-2+(2〃+2)(-1)",

所以7k=(n+l)(-l)H-l.

17.证明⑴因为所以。2"+2。2"+1=2"'+为2"+1。2"=2"'+1,所以的"+2=2.

a2n

2n+12

因为a2n+iain=2,amain-1=2",

所以％±1=2.

a2n-l

因为bn=a2n-l+a2n,

因为匕x+l_、21+1+/21+2_2a271-1+2。2._2

如a2n-i~^a2na2n-i^'a2n

又因为当n=l时,〃2。1=4/1=1,所以。2=4,所以仇=。1+。2=5,

所以｛儿｝是以5为首项,2为公比的等比数列.

b_5乂2-口_1

⑵由⑴可得d=5x2炉因为n

侬九-n

(bn+1-3)(Zjn-3)-(5*2H-3)(5'21-3)-5*21-35x2-3‘

所以&=©一$)+(.

淅)-淅)=5一B<W

18.解(1)设厩,儿分别为第〃年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意,

数列｛斯｝是首项为128,公比为1+50%=|的等比数歹[,数列»“｝是首项为400,公差为。的

等差数列.

128X[M|)：

所以数列｛源｝