2025高考数学考过关检测2 三角函数与解三角形 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题过关检测2-三角函数与解三角形-专项训练

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知角。的终边经过点若e=T，则a=（）

A.V6B]C,-V6D，4

2.（2024・九省联考）已知0G（牛,兀）,tan28=-4tan（e+，,贝）

133

A，7B，7C.lD弓

3.在A/BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,且C=60°,a+26=8,sin/=6sinB4lJ

c=（）

A.A/35B.V31C.6D.5

()

A.yB.1C.-V3D.V3

5.已知sinQ-a)=1+cosa,贝Usin(2a+,)=()

A.[7B.4-J^3C等4V3D.7

6.某消毒装备的设计如图所示，尸0为路面43为消毒设备的高,8C为喷杆

ABC=^,C处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角/OCEq已知/8=2乃C=l,则消毒水喷洒

PADEQ

A.5V2-5B.5V2

C.竽D.5V3

7.在MBC中,“tan/tanB>l”是“A/BC为钝角三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.函数7(x)=2sin(x+》+cos2x的最大值为()

4

A.1+V2B.等C.2V2D.3

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在A48c中，角48,c所对的边分别为她,c,且(a+b)：(a+c)；(6+c)=9.-10；11,则下列

结论正确的是()

A.sinA/sinB/sinC=4•5/6

B.A43C是钝角三角形

C.AABC的最大内角是最小内角的2倍

10.(2024・广西南宁模拟)已知函数作)=Bsin2(ux+cos2cox(co>0)的零点依次构成一个公

差为方的等差数列，把函数段)的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,

则()

A.g(x)在区间咛为上单调递增

B.点6,0)是函数g(x)图象的一个对称中心

4

C.g(x)是奇函数

D.g(x)在区间生争上的值域为［0,2］

11.关于/(x)=sinx，cos2x的说法正确的为()

A.Vx£Rj/(-x)次r)=0

B.m*0,使得加+7)=/(%)

C〃)在定义域内有偶数个零点

D.Vx£Rj/(兀-x)次r)=0

三'填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知cos(a+弓)=-苧，贝Usin2a=.

13.(2023•新高考/,15)已知函数麻尸coss-l(O>0)在区间［0,2兀］上有且仅有3个零点，则

co的取值范围是.

14.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心0处设立一个水文监测中

心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据

更加准确，在半圆弧上的点3以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足

4c=90°.四边形。4cB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设

则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为m2.

北

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.（13分）（2023•新高考/,17）已知在A/BC中〃+3=3。,25也（4-0=5由区

⑴求sin/;

（2）设A8=5,求AB边上的高.

16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，点E(2cosx,l)及等，竽sin[0,勺,点D是线

段EF上靠近点F的三等分点，且次幻=荏-0D+3.

(1)求函数加)的最小值；

⑵在A/BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,cKA)=6,b=14ABC的面积为£求a的值.

17.(15分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大

健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图H-8-Cd为某区的一条健康

步道么区/C为线段，我是以BC为直径的半圆/3=2百km,/C=4km,ZBAC=^.

6

(1)求诧的长度;

(2)为满足市民健康生活需要,提升城市品质，改善人居环境,现计划新建健康步道

C(B,D在AC两侧)淇中AD,CD为线段.若求新建的健康步道A-D-C的路程最

多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少千米？

18.（17分）（2024•江西九师联盟）如图，在△4BC中4B=3C=2Q为MBC外一

点）D=2CD=4,记NBAD=a,/BCD=°.

(1)求2cos«-cos'的值；

(2)若MBD的面积为Sx^BCD的面积为S2,求非+S会的最大值.

19.(17分)(2024•河南周口模拟)已知。为坐标原点，对于函数｛x)=〃sinx+bcosx,称向量

前=5力)为函数加)的相伴特征向量,同时称函数人x)为向量3标的相伴函数.

(1)设函数g(x)=sin(x+苦-sin(岑-x),试求g(x)的相伴特征向量。而；

(2)记向量而=(1,遮)的相伴函数为大x),求当心)=£且xG(fW)时,sinx的值；

(3)已知点/(-2,3*(2,6),讨=(-百,1)为函数贴)=侬皿呐的相伴特征向量,如)=g-款

请问在了=例＞)的图象上是否存在一点P,使得91前?若存在，求出点P的坐标;若不存

在,请说明理由.

参考答案与详细解析

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.C解析由题意，角©的终边经过点尸（鱼⑷，可得Q尸|=Vf不定（O为坐标原点），又由

e=T，根据三角函数的定义，可得cos（q）=岛=a且”0,解得«=-V6.

2.A解析因为。e（乎m）,tan26=-4tan（e+：）,

2tan02

所以-4（tan8：i）,所以_40@110+l）=2tan0,

l-tan20

所以（2tan6+l）（tan。+2）=0,所以tan0=-2或tan0=--.

因为。©格兀），所以tan所以tan0=-^.

4Z

1

圻唧14-sin20_sin20+cos20+2sin0cos0_tan20+l+2tan0_4+I-I_1

2cos20+sin202cos20+2sin0cos02+2tan62+（-1）4

故选A.

3.B解析因为sin/=6sin8,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=l,因为C=60°，所以

c2=a2+b2-2abcos。，即M=62+12_2x6xlx,解得c=同.

4.D解析由题中函数｛x）=Zsin（Gx+9）（/＞。,①＞。,则〈三）的部分图象知4=2,"=等-

243

271c

丁3匹

所以7=4兀=空,所以口="

3Z

又/（亨）=2sin（Txg+0）=2,可得3xg+9=2E+B«GZ,解得9=2E+例GZ.

：10|＜忘.：0=》

,：/（x）=2sinGx+g.

故偌)=2sin©x=+力2si吗=V3.

5.D解析由sin(--cr)=-+cos。可得sin--cosa-cos--sina=-+cosa,

\6J3663'

遮.

•--1cosa--smoc=1"+,cosa,

223,

•五.,11

,—2sma+2-cosa=3—,

•:sin(a+£H

.：sin(2a+^=sin^+(2a+；)]=cos(2a+^=l-2sin2^a+/)=(.

6.C解析在ACDE中,设定点C到底边DE的距离为九则〃=2+Lsin（等q）=|，

又SA3=»>£7z=[Z>C£siW，即5Z）E=gCZ>CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-

2CD-CEc嘴=CD2+CE2-CD-CEN2CDCE-CDCE=CD-CE,当且仅当CD=CE时,等号成

2

立，故DE^CD-CE,^5DE=ga>CE,所以手。旦则。打三苧，故DE的最小值为

5V3

3•

7.D解析因为tanZtanB>1,所以1,因为0<4<兀,0<5<兀，所以sin^sin5>0,cos

Acos8>0,故A,B同为锐角，

因为sinZsinB>cosAcosB,

所以cosAcos5-sinZsin3vO,即cos（/+B）vO,

所以]vz+5v兀，因此0<。</所以aZBC是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满

足.反之，若△43。是钝角三角形，也推不出“tan/tan3〉l”,故必要性不成立,所以为既不充

分也不必要条件.

8.B解析因为/（x）=2sin（%+：）+cos2x,

所以/（x）=2sin（%+：）+sin[2（%+E）]=2sin（x+：）+2sin（%+：）cos（%+；）.

令0=x+-,g(0)=2sin9+2sin9cos0=2sin9+sin29,

4

则g'(8)=2cos9+2cos20=2(2COS20-1)+2cos0=4cos20+2cos仇2,

令g1e)=o,得cose=-i或cos当-iWcosew：时,ge)wo；当[〈cosewi时,g<e)2o,所

以当0斗宇+2防1,-；+2防1]收2)时£8)单调递减;当0G[-^+2hr,^+2hi](^eZ)

时,g(e)单调递增，所以当。=>2碗伏6Z)时,g(0)取得最大值，此时sin0=y,

所以加)max=2X畀2X枭；竽.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ACD解析因为(a+6)；(a+c)；0+c)=9.TO.T1,所以可设

a+b=9x,a+c=10x,6+c=l1x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinZ/sinB/sin

C=a:b.c=4/5；6,所以A中结论正确；

由以上解答可知。边最大，所以三角形中角C最大，

又cos。=粤兰=(叫+产)：(6以=1>0所以C为锐角，所以B中结论错误；

2ab2x4xx5x8

由以上解答可知a边最小，所以三角形中角/最小，

-7,c2+b2-a2(6X)24-(5X)2-(4X)23

XcosA=-------=-------------=

2cQ2x6xx5x4

所以cos2A=2COS2^4-1=-,^f以cos24=cosC.

8

由三角形中角C最大且角C为锐角可得2/e(0,7t),CG(0，m，

所以2/=C,所以C中结论正确；

由正弦定理，得2火=会(火为"BC外接圆半径)，

又sinC=Vl-cos2C=亚

8

所以2火=提，解得火=”,所以D中结论正确.

J-V/7

~8~

10.AB解析因为/(x)=V3sin2cox+cos28x,所以/(x)=2(jsin2cwx+|cos

2a>x)=2sin(2t9x+^).

因为函数“x)=Hsin2C9X+COS2COX的零点依次构成一个公差为1的等差数列,

所以;f=*所以口=1,所以/(x)=2sin(2x+£).

22326

因为把函数於)的图象沿X轴向右平移5个单位长度，得到函数g(X)的图象，所以

g(x)=2sin[2(x])+勺=2sin(2x1)=-2cos2x,所以g(x)为偶函数，故C错误；

对于A,当堂时,2x6生4因为y=cosx在区间碎两上单调递减，所以g(x)在区间

[%总上单调递增，故A正确；

42

对于D,因为xG?,岂所以2x6邑与，所以cos2xG口，勺，所以g(x)C[-l,2],故D错误.

633SZ

故选AB.

11.BD解析对于A,当W时/(q)-尼)=sin(-以cos.呜cos*-乎x(4)一-

0—亨W。,故A错误.

对于B,因为y(x+27i)=sin(27i+x)cos[2(x+27i)]=sinxcos2x,所以37=2兀？0,使得火工+7)=/(%)，

故B正确.

对于C,因为/(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sinxcos2x=:/(x),^f以fix)为奇函数，

因为x=0在定义域内，所以大0)=0,故仆)有奇数个零点，故C错误.

对于D3/(7i-x):/(x)=sin(7i-x)cos[2(7i-x)]-sinxcos2x=sinxcos2x-sinxcos2x=0,故D正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

1*cosa-sin。)=当即cosa-sin

两边平方可得1-sin2a=*故sin2a=《.

13.[2,3)解析由题意可知，要使函数/(x)=cos①X-1(G>0)在区间[0,2兀]上有且仅有3个

零点，即函数万8$Gx(①>0)的图象在区间[0,2兀]上有且仅有3个最高点，设〉=cos

GX(G>0)的最小正周期为T,画出函数y=cosGX(G>0)的大致图象，如图.

要满足题意，需要2TW271V3T,即?VT='WTI,解得2WG<3.

33

14.(10000V5+25000)解析在△0/3中，

："ZAOB=0,OB=1OOm,04=200m,

.：AB2=OB2+OA2-2OB-OA-COSZAOB,

即JS=lOOV5-4cos0,

=2

；.S四边形OACBS^OAB~^S^ABC=^OA-05-sin6+^-AB,

于是S四边形Q4C8=10()2(sin0-2cos6+§=10()2[逐sin(9-9)+|](其中tan夕=2),

所以当sin(仇e)=1时,S四边形。4cB取最大值10000(V5+1)=10000V5+25000,即“直接监

测覆盖区域''面积的最大值为(10000遥+25000)m2.

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.解(1)(方法一)由题意知N+3=3C,

TTqIT

,•*/4+S+C—7t,•*C=-^A+5——.

由得(

2sin(4-C)=sin5,2sin74-4-)=sin(-4-^)=sin[7i-(y4+-4)]=sin(^4+-4),

・：2(sin^cos--cos24sin-)=sin^cos-+cos^sin-.

v44744

・：2(sinA-cos4)=sinZ+cosA.

•:sin/=3cos4

由sin2^+COS224=1,#sin2A=-^.

:Ne(0,兀),・：sinZ

（方法二）：N+B=3+5+。=兀,

・：C=,B=3C-A.

4，

:■2sin(4C)=sinB,

3TC

・：2sin/cosC-2cos4sinC=sin(--A),

・：2sin4cosC-2cosZsinC=sin-cosZ-cos—sinA.

44

代入数据，得V^sinA-近cos/=jcosZ+?sinA.

整理得/sinA=^^cos/,.：tanA=3.

9/0<A<TI,/.sinA=—^~.

⑵过点。作的垂线，垂足为点。，则CD为边上的高.

“3同

由正弦定理得名二胃，故"竽罟=3讴

sinCsmAsinC

~2

:一/=等，由⑴知/G（0,$,

・/Vio

..cosZ=—.

10

..八.3TI八.3TC.3TI..y/2VTo,V23V102Vs

,・smn=sin(Z--Z)=sm—cosZ-cos-smZ=-X-----1----X------=—.

v47442102105

/.CD=BCsinB=3求x手=6.

综上5A8边上的高为6.

16.解(1)0E=(2cosx,1),0F=(^,^sin2x-1),%e[0,J.

丁点。是线段EF上靠近点尸的三等分点,

•:前=赤,

/.OD-'0E=2(0F-'0D\

/•OD=~0E+弓OF=|(2cos^J)+|~^sin2x-1)=(cosx,V3sin2x),

JOE•0□=2cos2x+V3sin2x=V3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+-)+1,

6

.".j[x)=OE-OD+3=2sin(2x+-)+4.

由xG[0,)得2x+合ET，

.：当2x+-==即x=E时於)取得最小值，且最小值为2sin—+4=3.

6626

⑵由⑴及儿4)=6,得25皿2/+》+4=6,入山(2/+3=1,由/6(0,口,得24+盟邑？].

66z666

62'6

由S"Bc=；bcsinZ=：xlx°x；=4,可得°=百，

2224

在AABC中,由余弦定理得。2=/+。2_26℃054=1+3-2x1xV3xJ=1,・：Q=1.

17.解(1)在△Z3C中，由余弦定理，可得

BC=y/AC2+AB2-2ACABcos^BAC=J16+12-2X4X2A/3Xy=2,

所以前的长为号*/2=兀,即左的长度为兀km.

⑵记4D=Q,CD="则在△/CD中，由余弦定理可得a2+b2-2abcos^=16,BPa2+b2-ab=16^

而(〃+6)2=16+3仍W16+3(等)L

所以％+6>W16,所以〃+6W8,当且仅当a=b=4时，等号成立.所以新建健康步道ADC

的最长路程为8km.

故新建的健康步道/-O-C的路程最多可比原有健康步道/-3-C的路程增加(8-兀-

2V3)km.

18.解⑴在MBD中，由余弦定理，得BD2=/32+4D2-248.4Dcosa=20-16cosa,

在4BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC-CDCOS£=8-8COS£,所以20-16cosa=8-

8cos夕，所以8(2cos«-cos夕)=12,所以2cosa-cos夕=3

(2)由题意知S1=~^B-ADsinZBAD=4sina,S2=^BC'CDsmXBCD=2sin0,

所以S/+S2=16sin2a+4sin2^=16(1-cos2a)+4(1-cos2^)=20-16cos2a-4cos2)ff.

由(1)知2cosa-cos4=|,