2025高考数学一轮复习：二项式定理

第03讲二项式定理

（13类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

两个二项式乘积展开式的系

2022年新I卷，第13题,5分无

数问题

2020年全国甲卷（理），

求指定项的二项式系数无

第8题,5分

2020年全国丙卷（理），

求指定项的系数无

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解

2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解

3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算

4.会三项式、乘积式的相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数

或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习

12•考点梳理

知识点1二项式定理

知识点2二项式系数的性质

核心知识点

知识点3二项式系数和

考点1求二项展开式的第k®

考点2求指定项的二项式系数

二项式定理考点3二项式系数和

考点4二项式系数的增成性和最值

考点5求指定项的系数

考点6由项的系数确定叁数

考点7有理项(含常数项)、无理项及其系数

核心考点

考点8二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和

考点9三项展开式的系数问题

考点10两个二项式乘积展开式的系数问题

考点11求系数最大(小)的项

考点12整除和余数问题

考点13杨辉三角

知识讲解

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a+b)n=+Cla^b4---H----HC%"(”eN*)；

(2)通项公式：Tk+i=Cd"bk,它表示第k+1项；

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数为C9,C1，…，a.I

若二项展开式的通项为Tr+i=g(r)./，)&=0,l,2,…，n),g⑺W0,则有以下常见结论：

(1)7/⑺=00。+1是常数项.

(2北(厂)是非负整数00+1是整式项.

(3)〃⑺是负整数04+1是分式项.

(4)以厂)是整数今。+1是有理项.

注1.二项式的通项易误认为是第左项，实质上是第左+1项.

注2.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所

有部分，包含符号，二项式系数仅指C£(/=0,l,…，n).

2.二项式系数的性质

性质内容

对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C：=CL

2

〃+1

当％二项式系数逐渐增大；

增减性

当上＞代7时，二项式系数逐渐减小

当"是偶数时，中间一项（第胃+1项）的二项式系数最大，最大值为

当”是奇数时，中间两项（第F+1项和第审+1项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，

最大值

n-1n+1

最大值为c?或

3.二项式系数和

m+切”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C°+Ci+CH-+CH-+C=2".

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即cHcHd+-=cHcHd

I_r\n-1

考点一、求二项展开式的第左项

典例引领

1.（2024•浙江绍兴•二模）-2xj的展开式的第四项为.

【答案】-160

【分析】写出二项式的通项公式，代值计算4即得.

【详解】g-2:|6的展开式的通项为j(一24=(—1)'2晨针-6/=0,1,,6,

令r=3,得K=(-1)323C^°=-8X6X5X4=-160.

3x2x1

故答案为：-160.

即时性测

1.（2024•陕西宝鸡•一模）卜-：）6展开式中的第四项为（）

A.160x3B.一160/C.240D.-240

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项公式求解.

【详解】3-；：展开式的通项公式为心=c（/）6Y（-2）w（-2yc；/a,

3

所以看=(—2)3C#2-3*3=(_8)x20x3=-160x3,

故选：B

2.（2023・北京•校考模拟预测）在的二项展开式中，第四项为

【答案】-32/5

【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.

的二项展开式中，第四项为方=盘

故答案为：_32%一万

考点二、求指定项的二项式系数

典例引领

1.（2024•辽宁•模拟预测）二项式［+展开式的第3项的二项式系数是.

【答案】28

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得（包=［gj令厂=2即可求解.

【详解】由题意知，［+£［展开式的通项公式为

令厂=2,得C；=28,即二项式（x+g］展开式的第3项的二项式系数是28.

故答案为：28

2.（2024•上海・三模）若心+工］的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中4的系数为

【答案】6

【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得C；=C：,可求得〃=6,可求斗项的系数.

X

【详解】J的展开式为心=&复一寒，=&或1一汽厂=0,1,1,〃，

因为二项展开式中第3项与第5项的系数相等，

所以C：=C；,所以“=6,

令6-2r=T,解得r=5,

所以该展开式中的与系数为C：=6.

4

故答案为：6.

即0举测

1.(2024・全国•模拟预测-的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为

【答案】15

【分析】由题意先求出力=6,再求出［/-V：的展开式的通项公式，令3r-6=0代入即可得出答案.

【详解】因为的展开式中第2项的二项式系数为6,所以C；=6,〃=6,

(g-Y；的展开式的通项公式为4M=qQjr.(-x2)r=(-iyc；x3r-6,

令3-6=0,得厂=2,故展开式中的常数项为C；x(-l)2=15.

故答案为：15.

2.(2024・江苏无锡•模拟预测)在g+切”的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与

第11项的二项式系数之和，则〃=()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【分析】由题意可得：c：+c：=c：+c：°,结合组合数的性质C：T+C：=C3，C；=C；^分析求解.

【详解】由题意可得：c：+c：=C+c；°,贝gc'=c匕，

可得力+1=14,所以"=13.

故选：D.

考点三、二项式系数和

典例引领

1.(2024•浙江•三模)若展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为.

【答案】280

【分析】先由二项式系数和为128,求出〃，再求出展开式的通项，令7一/1,即可得出答案.

【详解】展开式的二项式系数之和为2"=128,解得：〃=7,

5

所以12彳一十］展开式的通项为：(M=a(2x广［一：］=C>27T(-l)'『j,

3

令7-y=l,解得：r=4,

所以展开式中x的系数为：C)23(-1)4=35x8=280.

故答案为：280.

2.(2024•四川攀枝花•三模)若(1-2x)"(weN*)的展开式中丁的系数为-80,则展开式中所有项的二项式系

数之和为(以数字作答)

【答案】32

【分析】直接利用二项式的展开式求出结果.

【详解】根据(1-2x)"(〃eN*)的展开式的通项公式为Tr+l=C；.(-2y.y，

当厂=3时，-C>23=_80,解得〃=5；

故所有项的二项式系数之和为2$=32.

故答案为：32.

即照测

1.(2024•广东东莞・模拟预测)已知卜-彳］的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则\-彳］的展开

式中/的系数为()

A.-10B.-20C.10D.20

【答案】D

【分析】先利用二项式系数性质求出,的值，在二项展开式的通项公式中，令炉的幕指数等于31,求出厂的

值，即可求得Y的系数.

【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为2"=32,.•."=5.

5

^(x--y=(x--)的展开式中，通项公式为4+1=7-(一2广/二

XX

令5-2厂=3,求得r=1,可得展开式中Y的系数为C；-(-2)=-10,

故选：D.

2.(24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习)若(&-的展开式的二项式系数和为32,且一的系数为80,则

实数。的值为.

【答案】-2

【分析】由二项式系数和先求”，再利用通项普=C(-a)*x^得到/的指数确定左值，由一的系数为

80,建立关于。的方程求解可得.

6

【详解】因为（五-三］的展开式的二项式系数和为32,

所以C：+C；+C：+…+C：=2"=32,解得力=5.

5-&（、氏5-34

所以如=c；（月「卜一=c：（-4尤亍，

-弘

由5已上=一2,解得左=3,

所以一的系数为C“-a）3=-10a3=80,解得a=-2.

故答案为：-2.

考点四、二项式系数的增减性和最值

典例引领

1.（23-24高二下•广东深圳•期中），--5］的展开式中二项式系数最大的项为（）

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

【答案】C

【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.

【详解】由12/的展开式中，1+1项的二项式系数为C3

根据二项式系数的性质得，当左=3时，（C：）max=C；,即第四项的二项式系数最大.

故选：C.

2.（2024•江西南昌•三模）（多选）已知卜-曰4的展开式中二项式系数的最大值与'的展开式中;的

系数相等，则实数。的值可能为（）

A.&B.-V2C.也D.一交

22

【答案】AB

【分析】先计算出卜-gj的展开式中二项式系数最大值,根据二项式定理得到口+（］展开式的通项公式,

从而得到方程，求出0=±近.

【详解】卜-g］的展开式中二项式系数最大值为C：=6,

L+-Y的展开式通项公式为&=ca-2,，

令3—2r=—1得，丫=2,

7

故展开式中L的系数为c；/,故3a2=6,解得a=土友.

X

故选：AB

即时检测

1.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）（1-2耳”的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有11项，可求得”的值.

【详解】因为（1-2尤）”展开式中，二项式系数最大的项只有第6项即最大，

根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，

所以为+1=11,解得”=10.

故选：B.

2.（2024•贵州・模拟预测）卜-的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.（用数字作答）

【答案】24

【分析】根据条件得到二项式系数最大的项为第3项，再利用卜-。］的展开式的通项公式

&i=C；x4TH（0<r<n,reN）,即可求解.

【详解】因为九=4,所以二项式系数最大的项为第3项，

又的展开式的通项公式为j（0<r<4,reN）,

令r=2,得到T=C%2（_4）2=24,所以二项式系数最大的项的系数是24,

X

故答案为：24.

考点五、求指定项的系数

典例引领

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）（2工-：；展开式中含5项的系数为（）

A.420B.-420C.560D.-560

【答案】D

【分析】由二项展开式的通项公式解出厂的值，进而可得r2项的系数.

8

【详解】由题意知，（2尤-总的二项展开式的通项公式为&=a（2x）71「"=（-!）'27yx7”

令7-3厂=一2,得r=3,故含子项的系数为（-I）32g=-I6x35=-56O.

故选：D.

2.（2024•黑龙江哈尔滨,模拟预测）已知二项式（6-5x）”的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,

则其展开式中%5的系数为.

【答案】700

【分析】利用二项式系数相等可求得〃=8,再由二项展开式的通项可求得结果.

【详解】根据展开式中第3项与第7项的二项式系数相等可得C=C：,解得〃=8；

7—4

不妨设第左项含有V项，所以C俨（石厂（-5x）1=（-5广七”产+工，

所以「用子_丫5,即左+1+?=5,解得左=1；

所以含有彳5项为（-5）2C?=700%5.

因此可得炉的系数为700.

故答案为：700

即0唧（

1.（2024•浙江绍兴•三模）（尤-I?的展开式中丁的系数为.（用数字作答）

【答案】-20

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

【详解】对（尤-1）6有&=c"6T（_iy=（_i）y―，

则4=（-1）七，-3=_20高

故（x-球的展开式中/的系数为-20.

故答案为：-20.

2.（2024•黑龙江大庆•三模）在（2尤3+t］的展开式中，含一项的系数是.

【答案】24

【分析】根据题意，写出其通项，再求其特定项的系数即可.

【详解】在【2^+J4的展开式中，小"：（2巧"'（一）’=码24-7".

令12—4厂=4得厂=2,所以含一项的系数是C：2?=24.

故答案为：24.

9

考点六、由项的系数确定参数

典例引领

1.（2024•黑龙江•模拟预测）若1+2］的展开式中V的系数为"4,则。=.

【答案】±2

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令X的次数为5,求出乙再由f的系数为144,可求出

【详解】卜+小勺展开式的通项公式：

令9-2r=5,解得r=2,

所以由题意得/C；=144,解得a=±2.

故答案为：±2.

2.（2024•福建宁德•模拟预测）已知（尤+ay）6的展开式中含项的系数为160,则实数a的值为.

【答案】2

【分析】运用二项式展开式的通项公式，就可以出求指定项的系数，从而解得a=2.

6kk

【详解】由二项式展开式通项公式得：Tk+l=C：f-乂做了=晨〃-x-y,

当左=3时，有n=C：/.尤3y3,由展开式中含W项的系数为160,

所以C》3=i60,解得：4=2,

故答案为：2.

即时性测

1.（2024•安徽芜湖•模拟预测）（x+1）"的展开式中f的系数为15,则〃=.

【答案】6

【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解〃即可.

【详解】（龙+1）”的二项展开式的通项为4包=CRT,

［n-k=2

依题意［c：=15'

解得〃=6,左=4,

故答案为：6.

2.（2024•山东•模拟预测）二项式（x+幺］的展开式中，Y的系数为io,则。=

【答案】2

10

【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.

rr

【详解】易知二项式上+£：的展开式通项公式为Tr+l=CJ51a-x-'）=C5a■铲",

显然r=l时，C"=10na=2.

故答案为：2

考点七、有理项（含常数项）、无理项及其系数

典例引领

1.（2024•江西鹰潭•模拟预测）［疡-亡］的展开式中，常数项的值为.

【答案】840

【分析】利用二项式展开式的通项公式求解

10-r（1Y5--5--r

【详解】展开式的通项公式为乙=C；0（岳）…，

令5=0,解得厂=6,

6

所以常数项为R=（-1）61•2?=840.

故答案为：840

2.（浙江•高考真题）在二项式（0+x）9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是.

【答案】16725

【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开

式的通项入手，根据要求，考察x的幕指数，使问题得解.

【详解】（应+4的通项为7；+|=0（0）9-，/（厂=0,1,29）

可得常数项为7；=《（应/=16拒，

因系数为有理数，厂=1,3,5,7,9,有系式工,有劣共5个项

【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是"幕指数"不能记混，其次，计算要

细心，确保结果正确.

即时检测

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）［1+岳］展开式的7项中，系数为有理数的项共有（）项

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

11

【分析】利用二项式的展开式配]=晨（71）1天3,厂=0,1,2,,6，可得结论―

11£

【详解】（1+缶3）6的展开式为&[=C久缶3产=晨"1）"・』,『=0,1,2,…,6,

当r=0,2,4,6时，二项式展开式的各项的系数分别为1,30,60,8均为有理数，

故系数为有理数的项共有共有4项.

故选：D.

2.（2024•河南•模拟预测）已知[f-（其中。＞0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项共

有（）

A.6项B.5项C.4项D.3项

【答案】D

【分析】运用二项展开式的通项公式可得〃、。的值，结合有理项的定义赋值求解即可.

6214

【详解】展开式的第7项为＜=C：（x2）"[-=（-fl）C＞«-,

由题意，得2力-14=0,（-a）6C®=7,（。＞0）,所以〃=7,a=l,

/[\k42-7左

则展开式的通项为2=（-球C/必言=（-l）AC^-,k=0,1,2,,7,

令丝广EZ,则k=0,3,6,所以展开式中的有理项共有3项.

故选：D.

3.（2024•辽宁・模拟预测）（多选）若（私+j]（"26）的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式

中的有理项（/项中。是整数）可以是（）

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

【答案】ACD

【分析】根据二项式系数的最值可得〃=6或”=7,结合二项展开式分析求解.

【详解】由题意可知：[近+：]的展开式通项为却=《（也厂0=2（：龙号/=0,1,「〃，

因为中第4项的二项式系数C：最大，

rj6—4r

当”为偶数，则5=3，即"=6,此时=2，C）了,厂=0,1,…,6,

令为整数，可得厂=0,3,6,

即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；

当〃为奇数，贝1，=3或，=3,即〃=5或〃=7,

22

12

且“26,可得〃=7,此时4+]=2cx『厂=0,1,…,7，

7—4r

令下一为整数，可得〃=1,4,7,

即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；

故选:ACD.

考点八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和

典例引领

1.（2024・上海・高考真题）在（x+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为

【答案】10

【分析】令x=l,解出〃=5,再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.

【详解】令x=l,，（1+1）"=32,即2"=32,解得〃=5,

所以（x+l）5的展开式通项公式为令5-r=2,则r=3,

7；=Cjx2=10x2.

故答案为：10.

2.（202441建泉州•一模）（多选）已矢口）展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是（

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为

C.系数最大项为第2项D.有理项共有4项

【答案】AD

【分析】先根据展开式的项数确定〃的值，根据二项式系数的性质判断A；令x=l可得所有项的系数和从而

判断B,利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD.

【详解】A项，因为[无+京J的展开式共有8项，所以“=7.

故所有项的二项式系数和为27=128，故A正确；

B项，令x=l,可得所有项的系数和为11+g；故B错误;

因为二项展开式的通项公式为:

C项，当reN*,l〈r<6,设1+i项系数最大,

13

3

,解得,贝!J厂=2,

r>-

3

71

第3项系数为

当丁=0时，7]=%7,系数为1；

当r=7时，=」一£：,系数为上；

8712)128128

由之1<弓21/<2弓1，故第3项的系数最大；故C错误；

12844

D项，由7-主为整数，且r=0,l,2,-,7可知，r的值可以为：0,2,4,6,

2

所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确.

故选：AD.

3.(2024•河南驻马店,二模)(多选)已知(4—3x)7=%+q(1—3%)+%(1—3x)2++07(1-3x)7,贝|()

7

A.@=945B.Z《=47-1

i=l

C.a。+/+。4+,=2'-+2，D.q+%+%+%=2，—2“

【答案】AC

【分析】先对式子进行化简，再根据二项式定理求解即可.

【详解】依题意得(4-3x)7=[3+(1-30了，所以q=c；x33=35x27=945,故A项正确；

177

令x=3,得/=37,令X=O,得»>=47,所以[>=47-37,故B项错误；

34=oi=i

2

X=—,27=CLQ-%+%-〃3+〃4-〃5+〃6-%，

3^.4，=U.Q+4+%+%+〃4+%+〃6+%，

77

41O132*46

由①+②可得。0+。2+。4+。6==2+2,故C项正确；

同理，由②)-④)得4+。3+%+%=2於-2‘，故D项错误.

故选：AC.

4.(2024•四川乐山三模)设(X+2024)(21严=/+阴+%八+%024邢，则A自+墨++黄

()

A.1B.-1C.2024D.-2024

【答案】C

【分析】令x=0求得旬，令x=g即可求得%+3+||+自+…+簧的值.

14

2

【详解1由(x+2024)(2%—1严23=%+q%+a2x+...+々必公期,令x=0,得％=—2024；

令x=g,得4+与+/+墨+…+普=0,

所以>*+*+…+策=-%=2024.

故选：C.

♦♦即时检测

1.(2024•辽宁・三模)(多选)关于二项式(3x-1)，的展开式，下列说法正确的是()

A.第三项系数为270B.犬的系数为90

C.二项式系数和为25D.系数和为25

【答案】ACD

【分析】求出二项式(3了-1)5展开式的通项公式，第三项的系数判断A,求含/项的系数判断B,根据二项

式系数的性质判断C,求系数和判断D.

r

【详解】二项式(3x-IP展开式的通项公式为Tr+l=G(3尤广'(-l)=q35T(_了产“45/eN,

对于A,展开式中第3项的系数为C；X33X(-1)2=270,A正确；

对于B,令5-厂=2,可得厂=3,故展开式中含/的项为第四项，该项的系数为C；X32X(T)3=_90,B错误；

对于C,(3尤-1)5的展开式的二项式系数和为C；+C；+C；+C；+C：+C=25,C正确，

对于D,二项式(3x-iy的展开式的系数和为(3x1-1)5=25,D正确；

故选：ACD.

2.(2024■福建福州,模拟预测)(多选)己知(1—2x)9=4++电/+…+a/',贝[|()

A.%=1

B.1=18

C.Q]+%++%=—1

c1+39

D.Q]+/+%+%+〃9=----——

【答案】AD

【分析】利用赋值法令x=0可计算得出A正确，令x=l可知C错误，求出展开式中一次项的系数，经计算

可得B错误；构造方程组计算可得D正确.

【详解】对于A,令x=0,即可得(l-2xO)9=ao=l,可得A正确；

对于B,因为展开式中生代表一次项系数，所以(1-2尤)9的展开式中含有一次项C；?%-x,可得

q=-18,即B错误；

对于C,令%=1,即可得(1—2)=%+6+〃2++〃9=—1①，可得％+。2++〃9=—1—。0=—2,所以C错

15

误;

对于D,令x=—1-)即可得(1+2)=%—q+%—%+.—%=3。②，

②得2(々］+〃3+。5+/+%)=_(1+39),得4+〃3+。5+%+。9=-----，即D正确.

故选：AD

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)(多选)已知。-%)6=4+/兀+生/++4x6,则下列结论正确的是()

A.2=15B.4+出+“3++4=0

C.a。+/+。4+。6=64D.%+2%+3。3++6%=0

【答案】AD

【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：借助赋值法分别令x=0、x=l计算即

可得；对C：结合B中所得，再令x=T计算即可得；对D：借助导数结合赋值法计算即可得.

【详解】对A：对(1-1有Z+i=G(-x)'=(-

则的=心=(-1)2晨=15,故A正确；

6

对B：令％=0,有/=1,令％=1,则有4+%+%++a6=(1-1)=0,

i^a1+a2+a3++«6=0—1=-1,故B错误；

对C：令x=-1,则有—%+%—+%=(1+1)=64，

故…2+%+&=(/+巧+%+6++?+(%-4+/-+&)=^=32,

故C错误；

对D：令/(%)=(1-力6=40+0兄+%X2++/兄6,

15

则/'(%)=—6(1—%)5=q+2/%++6a6x,

贝U/'(1)=-6(1—I)，=%+2。2+.+6〃6=。，故D正确.

故选：AD.

考点九、三项展开式的系数问题

典例引领

干-！+y)6的展开式中孙的系数为()

1.(2024•湖南衡阳•一模)(.

X

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】D

【分析】写出通项(Y-』+y)6=WCg2」)"y,令i=i,再求爆，_!_严展开式中X系数为1时的系数,

Xz=01X

16

然后相乘即可；

【详解】（Y-，+y）6=W或，」广义

Xz=oX

I515

孙项对应i=l,C一—尸=爆（斤）2（5川（_—），）=6（斤，°3（一iy）,

Xr=0%r=0

与项对应r=3系数为-60,故（/-工+4展开后孙系数为-60.

X

故选：D.

2.（2024•江苏南京•模拟预测）［+1的展开式中，］的系数为（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】根据1+1-

结合二项展开式的通项公式分析求解.

【详解】由题意可知：［x+lf=1+卜-；1的通项为"&（"尸产=0,1,…,6,

6rkk

且（X-；）6T的通项为Sk+l=晨_,尤6»=（-2）/Cirx--y-,

令k=2,6-r—k=4,解得左=2/=0,

所以E的系数为C：（-2＞建=60.

y

故选：A

1.（2024・云南昆明•模拟预测）（无2+2彳-），丫的展开式中，龙5y2项的系数为（）

A.10B.-30C.60D.-60

【答案】C

【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中尤5y2项的系数，得到答案.

【详解】由多项式（Y+2x-y）5展开式的通项为&|=匚（，+2外5灯，

令r=2,可得7；=C；，+2x）3（_y）2,

又由（*+24展开式的通项为*C；，产.（2x）上=2«C；V”,

当左=1时，可得冕=2仁；犬，

所以展开式中x5y2项系数为C；x2xC；=60,

故选：C.

17

f1y2

2.(2024•安徽•三模)—*+，=+的展开式中匕的系数为_________.

IJ尤

【答案】-30

【分析】利用乘方的几何意义和二项展开式的通项公式求解.

(1丫21)

21

【详解】解：因为++y是由5个-%+下+丁相乘得到,

r47]I7xJ

2]

使用要想产生17，则-/出1个，百出2个，y出2个,

故所求系数为c；-(-l)-C；=-30.

故答案为：-30

考点十、两个二项式乘积展开式的系数问题

典例引领

1.(2024•山西长治•模拟预测)(x+2y)(x-y)5的展开式中Vy3的系数是()

A.-10B.0C.10D.30

【答案】C

【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】依题意可知，含/y5的项是xxC；xfx(-yy+2yxC；*x3*(_y)2

所以的系数是10.

故选：C

2.(2024•江苏南京•模拟预测)，+2x+3)(2x+l)6的展开式中，/的系数是

【答案】205

【分析】根据二项式(1+2x)6的通项公式，结合乘法运算的法则进行求解即可.

6

【详解】(x2+2x+3)(2x+1)6=(X2+2X+3)(1+2x)6=(x2+2x+3)^C^-2k-xk,

A=0

所以V的系数为C；20+2xC；x2i+3x《x22=205,

故答案为：205

即时投测I

23

1.(2024•江西•一模)(了+了)(%-Il的展开式中的常数项为()

A.147B.-147C.63D.-63

18

【答案】c

【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出（X-l）7展开式中项即可列式计算即得

【详解】二项式（XT）,展开式中一,d项分别为C*2（-l）5,C"（-1）",

所以（一+三）。-1）7的展开式中的常数项为2C；（-1）5+3C；（-1）4=63.

xx

故选：C

2.（2024•江西宜春•模拟预测）在（4-26+1）（2。-6）6的展开式中，//项的系数是.

【答案】380

【分析】由题意（a—2A+l）（2a-6）6=a（2a-5）6-26（2a—6）6+（2a—b）6,利用二项式定理求出各项中//的

系数即可.

【详解】（2a-力展开式的通项公式为&产&（2”广’（-6丫，

又（a-26+l）（2a-bp=a（2a—b^—2b（2a—6^+（2a-6），,

其中a（2a-b^中含//的项为0©（2a）6T-（-&）4=60//,

-&（2a-6）6中含分六项为_26C：（2q厂（询3=320。3/,

（2。-中不含d"项，

故优一系数为60+320=380,

故答案为：380.

考点十一、求系数最大（小）的项

典例引领

1.（23-24高二下•河北邢台•阶段练习）（》+1产的展开式中，系数最大的项是（）

A.第U项B.第12项C.第13项D.第14项

【答案】C

［分析］根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解.

【详解】因为（X+1产的展开通项公式为4+1=仁/24-,

又当r=12时，取最大值，

则系数最大的项是第13项几=.

故选：C.

2.（2024•安徽•二模）已知，-21的展开式二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

【答案】C

19

【分析】根据二项式系数和可得〃=8,即可根据通项特征，列举比较可得最大值.

【详解】由已知2"=256,故〃=8,故通项为九］=C；产［二］=（一1）"晨2上产2上（左=o,1）8）,故奇

数项的系数为正数，偶数项的系数为负数,

C°2°=1,C^22<C；2\C；26=4C；2\(6=与=§>=晨

*>1

88888C^24C；5C®284

故C；26最大，因此第七项的系数最大,

故选：C.

即时窜L

1.（2023・上海嘉定•一模）已知（l+2x）6的二项展开式中系数最大的项为

【答案】240x4

【分析】设系数最大的项为几1=晨（2寸，则可得直接求解即可.

【详解】设系数最大的项为几户晨（2x）3

2左>c%+i2&+i1114

则解得号”奏,

或.222或，21'

因为0VAV6且上为整数,

所以k=4,此时最大的项为4=或（2x）4=240/.

故答案为：240公

考点十二、整除和余数问题

典例引领

1.（2024・湖北•模拟预测）2?必被9除的余数为（）

A.1B.4C.5D.8

【答案】B

【分析】化简得出22°〃=4x（9-1）674,应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数.

【详解】22024=4x22022=4X8674=4X（9-I）674

674673673674

=4（CMx9xl°-C'74x9xl1+一C需x9'xI+C篇x9°x