2025北师大版高二数学上学期期末教学质量模拟检测（二）（含解析）

2024-2025学年上学期北师大版高二年级期末教学质量模拟检测

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”提出直角三角形的三

边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6,8,以AB所在的

直线为%轴,A3的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系，则以A,B为焦点，且过点。的双曲线

方程为（）

22

2.已知直线丁=履（kwO）与椭圆C：工+方=1（。〉5〉0）交于A,8两点，以线段A3为直径

的圆过椭圆的左焦点《，若国A]=2闺用，则椭圆C的离心率是（）

A.立B.-C.立D.-

2439

22

3.已知椭圆C：工+==l（q〉/,〉0），O为坐标原点，直线％=£与椭圆C交于两点.若△oAg

为直角三角形，则C的离心率为（）

A.lB.逅c.交D.1

2322

4.下列直线中，倾斜角最大的是（）

A.3x-y-2=0B.%=2C.3x+y+4=0D.y=2

5.在平面直角坐标系xOy中，A为直线/:y=3%上在第一象限内的点，5。0,0）,以A3为直径的

圆C与直线交于另一点。若丽•①=0,则点A的横坐标为（）

A.lB.2C.3D.4

6.在两条异面直线a,b上分别取点A',E和点A,E使AA_La,且AA_LZ?.已知AE=2,Ak=3,

EF=5,AA'^y[6,则两条异面直线a,b所成的角为（）

，兀兀一兀兀

A.—B.—C.—D.—

6432

22

7.已知椭圆E：工+2L=1（a〉Z?>0）的左焦点为R过焦点p作圆/+丫2=62的一条切线/

a2b2

交椭圆E的一个交点为4切点为。，且5+亦=2诙（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为

（）

B.BC.逅D.正

3332

8.已知直线经过两点4（—1,2）,3（3,4）,则直线的一个方向向量是（）

A.（2,4）B.（l,2）C.（T,—2）D.（4,-2）

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4与直线/：y=x+2平行,且/与4间的距离为2夜，则4的方程可以是（）

A.%-y+6=0B.x-y+3=0C，x-y+l=0D.x-y-2=0

10.已知：直线4：cos6)x+sin6*y=1,直线/■，:cos61x-siney=1,直线力：sin6)x+cos8y=1，

直线。：sinOx-cosOy=1，则下列正确的是（）

A.对任意的6eR,4，4恒成立B.对任意的OGR,/“乙恒成立

C.存在OcR,使得4成立D.存在6GR，使得4/〃4成立

11.在正方体ABCD-44GA中，产为AC的中点，则下列说法正确的是（）

A.DD、fWW0

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学A,B,C,D,E,F

慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求A,B相邻,C在D的左边，则不同的站法共有

；(用数字做答)

13.如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6,8,以A5所在的直线为x轴，A3的中垂线为y

轴，建立平面直角坐标系，则以A,B为焦点,且过点C的双曲线方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知点4(1,3),8(3可，若点M(x,y)在线段AB上，则上的取值范围为.

16.已知圆c：X2+,2+瓜+或+尸=o过点直线4:犬一3丁+1=0和4:犬一y-1=0均平

分圆C.

⑴求圆的标准方程；

(2)过点P的直线/与圆C相交于M点，且ZPCM=—，求直线I的一般式方程.

3

17.已知△AB。的两顶点坐标为A。,—1),0(3,0)，4(0,1)是边A5的中点，A。是边上的

高.

(1)求所在直线的方程；

(2)求高所在直线的方程.

18.已知椭圆0：二_+/=1(。〉6〉0)的一个顶点为4(2,0),离心率为4.

⑴求椭圆。的方程；

⑵经过点M(l,l)能否作一条直线/,使直线I与椭圆交于A,B两点,且使得M是线段AB的

中点,若存在，求出它的方程;若不存在，说明理由.

19.已知直线4:cix—^ci—6)y+2=0，直线Z2:3x+uy—1=0.

(1)若〃〃2,求实数〃的值;

(2)若求实数〃的值•

参考答案

1.答案：A

解析：依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距2c=|AB|=10,即c=5，

实轴长2aM|AC|-|8C||=8-6=2,即。=1,于是虚半轴长/?=后二/=26，

2

所以所求双曲线方程为炉一2L=i.

2.答案：C

解析：取右焦点B，连接A《，BF2,由耳在以线段AB为直径的圆上，

故人耳,明，结合对称性可知四边形A耳屏;为矩形，有|A周=|幽|，

有OA=O3=OE=c，又寓A|=2闺却，

由闺A「+闺3「=（2C）2,则用川=竽「闺。=孚「

由椭圆定义可得闺H+|A闾=2a，

故忻山+忸石=孚c+半c=^c=2a，

c2石

则八片衣=!"•

5

故选：C.

y

UN°/2

/B=

3.答案：B

解析：由椭圆的对称性可得|oA=,

IIJ1

则NAOx=N3Qx="，

4

则不妨取A、,?，,土—|）■

将点的坐标代入《222

+当=i得:*+M=i，

（22）a2

所以欧=1,

a23

所以C的离心率e=£=ST庐_新

av彳一石

|.V

故选:B.

4.答案：C

解析：对于A,直线3x-y-2二=0的斜率k=3，则倾斜角夕e

兀.

对于B,直线％=2的倾斜角，=-—,

2

对于C,直线3x+y+4=0的斜率左=—3，则倾斜角。e［方，兀

对于D,直线y=2的倾斜角0=Q,

所以直线3x+y+4=0的倾斜角最大.

故选:C.

5.答案：D

解析：设A(a,3a)(a>0),因为5(10,0),所以C1与”,

则圆C的方程为(x-a)(x—10)+y(y—3a)=0,

y=3x

联立4

(x-a)(x—10)+y(y_3a)=。

­=。,

解得£)(1,3)，由初•①=(10—a,—

得a?—2a—8=0,

解得。=-2或a=4,

又a>0,所以a=4,

即A(4,12)，所以点A的横坐标为4.

故选：D

6.答案：C

解析：

7.答案：A

解析：由题意可知：圆代+J?=人2的圆心为点。，半径为匕，c>b，

设椭圆E的右焦点为心，连接AK，

因为西+方=2诙，可知点。为AF的中点，

且点。为户工的中点，则。。〃4工，|9|=2|0。|=2。，

由椭圆定义可知：|A尸|=2a—|A耳|=2a—26，

因为。为切点，可知OQLAb，则Af；LAP，

可得|A月=|/^F|2>

即4b°+(2a—2by=4c2=4(/—廿)，

解得2a=3〉，即2=2,

a3

所以椭圆E的离心率e=£=Jl；==*.

故选：A.

8.答案：C

解析：因为A(—1,2),5(3,4)

所以丽=(4,2),因为(―4,-2)=—

所以(T,—2)与:W共线，

故直线I的一个方向向量是(T,-2).

故选:C

9.答案：AD

解析：直线/:y=x+2,即x-y+2=0,

设所求直线的方程为x—y+a=O,

由题意可得凡二=2J5,解得a=6或-2.

V2

故所求直线的方程为x—y+6=0或x—y—2=0.

故选：AD.

10.答案：ACD

解析:A.•.•直线4:cos6x-siney=1，直线。：sin0x+cos6y=1，

Xcos^sin^+(-sin^cos0)=0^。wR，故4,4恒成立，选项正确，符合题意;

B.・.・I]:cos8x+siney=l，/4:sin8x-cos8y=1，

又,.,cose（—cos。）—sin6sin6=-lwO，故OwR，〃/乙不成立，选项错误，不符合题意;

C.・.・§:cosejr+siney=1，Z3:sin<9x+cos^=b

又,当夕=］时，cos^sin0+sin^cos0=0f故成立，选项正确，符合题意;

D.l2:cos3x-sin0y=1，Z4:sin^x-cos^y=1，

47r

又丁当。=彳时，cos^(-cos^)-sin^(-sin^)=sin2^-cos2^=0，

且—1x(—sin。)—(—cos6)x(-l)=血w0，使得〃/"成立‘选项正确,符合题意；

故选：ACD.

11.答案：AD

解析：

12.答案：120

解析：先将A,8“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，

再考虑C在。的左边，最后“解绑”，故有=120种方法.

故答案为：120.

13.答案：x2一匕=1

24

由题意得|AB|=10,贝ijc=5,

\CB\-\C^=2=2a,

则a=1,b~=c2-a2=24,

所以双曲线的方程为一一乙二1.

24

故答案为：X"=1.

24

14.答案：y=l

解析：•.•抛物线C：f=-2py经过点(2,—1),

.♦.4=—2px(—1)=22，解得p=2,则%匕

准线方程为y=l.

15.答案：(―oo,—3]41,+°°)

解析：二二表示过点和点N(2,0)的直线斜率,

九一2

如图，

因为"N=—3=1，结合图形可知七N43V或kMN2须N，

所以一-一的取值范围为(—OO,—3]U[L+。。),

故答案为：(―00,—3]U[1,+8)

16.答案：(1)(%-2)2+(y-1)2=4

⑵x-底+君=0，x+A-0=0

解析：(1)由点P在圆C上，则1+£+/7=0①，

又直线1｝和4均平分圆C,则直线Z,和4均过圆心C,

联立方程组「-3y+1=0，解得卜=2,

x-y-l=0[y=i

所以直线I]和4的交点坐标为(2,1),即圆心c的坐标为(2,1),

(DF

由圆C：%2+y2+瓜+£y+尸=()可知，圆心。的坐标为

QD——4

则I2，解得1,

E,E=—2

-----=1I

I2

将E=_2代入①，得F=1，

所以圆C的方程为：x?+y?—4x—2y+1=0,即(x—2)?+(y—1)~=4，

故圆C的标准方程为：(x—2y+(y-l)2=4-

(2)由题可知，直线I的斜率存在，故设直线I的方程为丫=履+1,即履—y+l=0,

取弦PM的中点为N,则CN±PM，

又|尸。|==2，则圆心0(2,1)到直线I的距离为|OV|=sinZMPC=1,

由点到直线的距离公式可知：|CN|=-Ji=1,解得，左=+无，

11VI7F—3

所以直线I的方程为y=±@彳+1,即直线I的一般式方程为：％-6y+百=0，x+石y—百=().

17.答案：（1）3x+4y—9=0;

(2)4尤—3y—7=0

解析：(1)因为用(0,1)是边A3的中点，所以3(—1,3)，

所以直线8C的斜率即c=—|，

a

所以8C所在直线的方程为：y=--(x-3)»即3%+4y-9=0・

(2)因为旦(0,1)是边A3的中点，所以3(-1,3)，

因为AD是边上的高，所以•kp=—1»所以！——-kAD=—1-

—1—3

A