2025届高考数学专项复习：圆锥曲线中的新定义问题（解析版）

（8他曲线中的新st*同题

K/

新定义题目简介

“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的

定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要

求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

求解“新定义”题目，主要分如下几步：

（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；

（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；

（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接

按照法则计算即可;若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除,注意新

定义题目一般在高考试卷的压轴位置,往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻

易放弃。

、/

一、单i4a

题目①已知曲线r的对称中心为o,若对于r上的任意一点A,都存在「上两点B,。，使得。为△4BC的

重心,则称曲线「为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自稳定曲线”;②存在双曲线是“自稳定曲线”.

则（）

A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①②都是假命题D.①②都是真命题

【答案】B

【分析】设出椭圆、双曲线方程及点ABC的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点4的坐标求出直线

方程,再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.

【详解】椭圆是“自稳定曲线”.

22

设椭圆方程为3+3=1（Q2WkQ2>0,匕2>。）,令4%%）,则匕2鬲+Q2加_a2b2,设双叫,%）,。（力2,纺），

Qb

BC

由O是△ABC的重心，知二°。，直线过点必―等,一用,

十班—一队'22/

当为=0时，若4(a,0),直线y=一方与椭圆有两个交点B,C,符合题意,

若A(—a,0),直线y=£与椭圆有两个交点符合题意,

则当％=0,即A(土a,0)时，存在两点B,C,使得△ABC的重心为原点O,

同理，当g=0,即4(0,±b)时，存在两点B,C,使得△ABC的重心为原点

4+a2g；=a2b2

2

当看以r0时,年舄+a2g：=a2b2,两式相减得/(电一电)(0+g)+a®-沙2)(必+仍)=0,

直线及7的斜率空畋=—用，方程为沙+?=—用卜+与)，即夕=—孕/一三，

2v2

力1一力2a'yo2ayQ2，ay02yo

22

(_bX0b22

由a2no2go消去"并整理得：力2+g#+/-----—0,

UV+aV=a2b24b

2--

A—XQ—a+当/=—与若+~~^yl—卷%>0,即直线BC与椭圆交于两点，且O是△4BC的重心,

bb-bb

即当xoyo20时，对于点A,在椭圆上都存在两点BC,使得。为△ABC的重心，

综上，椭圆上任意点A,在椭圆上都存在两点B,C,使得O为△ABC重心，①为真命题;

双曲线不是“自稳定曲线

由对称性，不妨令双曲线方程为工Y—%=1(?71>0.口>0),令4(3,s),则九出一^^二小?九2,设

mn

(t,2$2),

假设O是△ABC的重心，则H,直线过点(—《,一《)，

(Si+s2=—s'227

当s=0时，直线力=—与或直线x=与与双曲线=1都不相交，因此sW0,

22mn

nmrrtl22

[2^_f2_22，两式相减得n(ti-12)(^i+幻—m(«i—s2)(si4-s2)—0,

[7?/t)2斤^S?—TYl>Tb

直线B。的斜率子子=空，方程为沙+得=卒卜+!)，即"=空'+4，

力1一力2ms2ms'%ms2s

(n?tIn222

2

由《后s2s消去"并整理得：/+垃+...-s=0

lnV-mV=m2n24"

ZV=——a?—耳§2=邛$2—。§2=—告邛^〈。，即直线^^与双曲线不相交，

nnn-n

所以不存在双曲线，其上点力及某两点B,C,O为AABC的重心，②是假命题.

故选：B

【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端

点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.

If0数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=。(其中”=容口)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄

22

金椭圆方程为多+?七=1,(a>b>0),若以原点O为圆心，短轴长为直径作。QP为黄金椭圆上除顶点

a/H

外任意一点，过P作。。的两条切线，切点分别为43,直线AB与轴分别交于M,N两点，则

\OM\2

H—()

\ON\2I)

A.-B.u>C.一(i)D.——

a>a>

【答案】A

【分析】根据题意O、4P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为P(g,%),从而得出四点所在圆

的方程为双/一g)+n(y—y。)=0,利用两圆方程之差求得切点B所在直线方程，进而求得A/、N两点

坐标即可解决本题.

【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为P(g,仅))，则该圆的方程为：x(x—xo)+y(y—y0)=0,

22

将两圆方程：/+才=b?与x—xox+y—yoy=0相减，得切点所在直线方程为

+9物=",解得7Vf(£,0),,因为岑+%■=1,所以

万a?_5a?_/曷+。戴_a2&2=口2=1=2=1

\OM\2+一耳十4—b4—/―/―—75-1—3,

城3/0

故选：A

题目区小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之

积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上

法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老

师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设E(-1,0)、月(1,0)是平面直角坐标系cOv内的两个定

点，满足|PE卜炉周=2的动点P的轨迹为曲线C,从而得到以下4个结论:①曲线。既是轴对称图形，又

是中心对称图形;②动点P的横坐标的取值范围是［―四,6］；③|OP|的取值范围是［1,，^］；④APE月的

面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】设P(/,y),由题设可得曲线。为(X2—I)2+2靖(d+1)+y4=4,将(x,y)>(—x,y)>(—z,—y)代入即

可判断①;令£=才>0,由/(t)=t2+2(02+i)t+谬一i)2一4在［o,+oo)上有解,结合二次函数性质求P

的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得|。砰=/+/=24不7—1,进而求范围判断③；由基本不等

式、余弦定理确定NRPE范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.

【详解】令PQ,沙)，则y/(x+l)2+y2-y/(x—l)2+y2=2,

所以［Q+l)2+才］［Q—Ip+才］=4,则(/—1)2+2“2(/+1)+/=4,

将(x,y)>(―c,y)、(―,，一0)代入上述方程后，均有(X2—I)?+2y2(x2+1)+y4=4,

所以曲线。既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；

令土=才>0,则/+2(/+l)t+(/-1)2-4=o,

对于/(力)=t2+2(x2+l)t+(X2—I),—4,对称轴为x=—(rc2+1)<0,

所以/⑶在［0,+8)上递增，要使/⑶=0在［0,+8)上有解，只需/(0)=(/—1)2-4&0,

所以一14/-142,即0W/43,可得一遍WrcW通，②正确；

由QP|"=，+才，由f(t)=0中，△=4(/+1)2-4(,2_ip+16=16(/+1),

所以t=才=一I，'+=2，7n—(/+1)>0,其中负值舍去，

!

综上，。刊=2；2+/=2G匚|'-1,又042；243,即14;1；2+144,

所以lOPfe［1,3］,则|OP|G［1,四］,③正确；

由|P同+|P月>2加丽西=22,仅当|P耳|=|P耳|=2时等号成立，

△P月月的面积S=y|F^||F^|sinZ^P^=sin/RP西,

r-/ppp庐后产+5附一囱研、n.„O/ppp<-00°

而C0S/-FJPF2=---------1-----------1------->0,所以0VAFiPFi<90,

2\PFi\\PF2\

所以△9瓦用的面积的最大值为1,④正确.

综上，正确结论的个数为4个.

故选：D

【点睛】关键点点睛:②③通过换元t=构造/⑻=)+2(，+坟+32-1)2—4,利用根的分布求P

的横坐标、QP|的取值范围.

题目④在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|a;1—®2|,|yi—y2|}为两点4%%)，及电,统)的“切比雪夫

距离”，并对于点P与直线Z上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P与直线Z间的“切比雪夫距离”,记作

d(P,Z),给定下列四个命题：

Pi：对于任意的三点A,B,C,总有d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

的：若点P(3,1),直线Z:2c—沙—1=0,则d(P,Z)=弓；

P3：满足式。")=。(。>0)的点M的轨迹为正方形；

Pa：若点用(一c,0),£(c,0),则满足|d(P出)一d(P,£)|=2a(2c>2a>0)的点M的轨迹与直线y=为常

数)有且仅有2个公共点;则其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】①讨论力，B,C三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②设点Q是直线y—2x—l上一点，且Q(c,2c—1),可得d(P,Q)—max{|c—3|,|2—2剑},讨论—3],

|2-2⑹的大小，可得距离d,再由函数的性质，可得最小值；

③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

④讨论P在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断.

【详解】①对任意三点4B、C,若它们共线，设4出，物)、BE，例)，

结合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),d(A,B)

为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则d(C,A)+d(C,B)=d(A,B);

若B,。或A,。对调，可得d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

若4,B,。不共线，且三角形中。为锐角或钝角，由矩形CMNK敢矩形BMNK,

d(C,⑷+d(C,⑹>d(A,⑹；

则对任意的三点4石，。,都有d(C,A)+d(。，⑹>d(A,B);故①正确；

设点Q是直线g=2力一1上一点，且QQ,2/-1),

可得d(P,Q)=max{|力一3|,|2—26|},

由\x-3|>|2—2ex\,解得一1&n&,即有d(P,Q)=\x-3|,

o

当力=.时，取得最小值.；

OO

由\x-31Vl2—2x\,解得x>日或xV—1,即有d(_P,Q)=|2T—2|,

d(P,Q)的范围是(3,+oo)U(!,+8)=(+8),无最值,

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为

故②正确：

③由题意，到原点的''切比雪夫距离”等于。的点设为(①夕)，则max{|矶㈤}=C,

若\y\>闻，则㈤=。;若\y\<同,则|;c|=C,故所求轨迹是正方形，则③正确;

④定点E(—c,0)、月(c,0),动点PQ,y)

满足\d(P,耳)—d(P,月)|=2a(2c>2a>0),

可得P不y轴上，P在线段用其间成立，

可得a;+c—(c—c)=2a,解得a:=a,

由对称性可得①=—a也成立，即有两点P满足条件；

若P在第一象限内，满足|d(P,却—d(P,E)|=2a,

即为c+c—y—2a,为射线,

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点.

故④正确；

综上可得，真命题的个数为4个，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵

坐标之差绝对值中的最大值;理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.

题目回定义:若直线Z将多边形分为两部分，且使得多边形在Z两侧的顶点到直线Z的距离之和相等，则称%

为多边形的一条“等线”.已知双曲线-吗=l(a，b为常数)和其左右焦点凡另，P为。上的一动

ab

点，过P作。的切线分别交两条渐近线于点4B,已知四边形上铲鸟与三角形刊的有相同的“等线”Z.

则对于下列四个结论：

①|阿=\PB\；

②等线Z必过多边形的重心；

③，始终与螺—¥=i相切；

ab

④Z的斜率为定值且与a,6有关.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【答案】。

【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点P(x0,yo)的切线方程，再与渐近线方程联立可求出4B的横坐

标，然后与g比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心

的定义可知四边形AFrBF，其重心H必在△ARE与重心连线上，也必在AAF^B与△?!理8重心连

线上,△PRE重心设为G,则/即为直线G8,然后由重心的性质可证得GH//AB,从而可得结论.

【详解】解:①:设P(g,%),当y0>0时，设y>0,则由号—叟f=1,得£二包而匚浸,

aba

所以式=一^^,所以切线的斜率为k=—励，,

avx2—a2ay/x1—a2

所以切线方程为v—%=第23-g),

XQ-a

22________

2222

因为点F(rc0,yo)在双曲线上，所以多—华=1,得y/x1-a=华y。,bx1—a^yl—ab,

所以g—窝=b?(/-g)=与-%)，

a•卡yoay°

222

所以0yoy-ayl=bxQx-bxl,

222222

所以bxox—ayQy=bx1—ayl=ab，所以叁生—叟字=1,

ab

同理可求出当认<0时的切线方程为叁学一邛=1,

ab

当为=0时，双曲线的切线方程为2；=±&，满足等—衅=1,

ab

所以过P点切线方程为警一等=1,

ab

渐近线方程为y=±-x

联立两直线方程得力4=----------,x=-----

空_/Bxo_,yo_

abab

故有，4+=22"°，=2g,故l-R4|=\PB\

g%

a2~b2

②:设多边形顶点坐标为②,%)，其中i=1,2,3…八

设“等线”方程为"一kc—6=0,则。,少)到等线的距离为：&=履二］◎一引

y/1+k2

又因为等线将顶点分为上下两部分，则有

VJ_V^yi-kxj-b

乙九部分一乙飞苫

yi—kXi—b

上k下部分一工一二点，

Z4上部分=》d下

部分

从而之国三丝二1二0

占Vi+fc2

1_72_[_n_

整理得一汇%=k•一汇为+b

即等线/必过该多边形重心.

③④:考察AFEE重心，设P（g,%）,则重心G（y-y）.对于四边形448尸,其重心H必在A4里与

△3号乂重心连线上，也必在与A4的B重心连线上，则Z即为直线GH.

设A4EE与ABEE重心分别为E,F,则普=尊=E，所以EF〃AB,

EAFB2

因为G为△PEE的重心，所以邛=综,所以EG〃AB,

EAGP

所以E,EG三点共线，

因为H在即上，所以GH〃AB,过G信玲），

因为直线AB为华一誓=1,所以直线AB的斜率为卜=空・空，

abayo

所以直线GH的方程为V一等=4••生（，—等），整理得学吃一驾=1,

3a2%'3'CLb2

所以直线I方程笑生-粤幺=1,

ab

由①的求解过程可知该方程为年—粤-=1切线方程,所以③正确，④错误，

a~b-

故①②③正确.

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等

线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.

二、多选题

建目回古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线.后经研究发现:当圆锥轴截

面的顶角为2a时，用一个与旋转轴所成角为0的平面八不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥

曲线）的离心率为e=空火.比如，当&=五时，e=l,即截得的曲线是抛物线.如图，在空间直角坐标系

COSdf

Occyz中放置一个圆锥，顶点S（O,O⑵,底面圆。的半径为2,直径AB,GD分别在c,沙轴上，则

下列说法中正确的是（）

A.已知点N(O,O,l),则过点河,N的平面截该圆锥得的截口曲线为圆

B,平面截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分

C.若石(一四,—2,0)/(2,2,0),则平面截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分

D.若平面Z截该圆锥得的截口曲线为离心率是V2的双曲线的一部分,则平面/不经过原点O

【答案】BCD

【分析】根据情境，由题可知cosa—cos亍,再对每个选项,求出过点的平面与旋转轴OS所成角的余弦,

即cos6的值，代入e=@阻求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可.

cosa

【详解】对于A:只有过点河，N且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆，

其他情况均不是圆，故A不正确；

对于由题得底面圆O的半径为2,则OD=2,OS=2,则河为SD中点，

易知AB_L平面S。。，SDU平面SCO,所以SD_LAB,

又$0_102,0初。43=0,0凶(1平面21£45ABU平面

所以SD_L平面又易知OM=SAl=AiD,

所以平面3LB与旋转轴OS所成角为/SOM=?/OSD=£，即6==?

所以e=巴阻=1,所以平面M4B截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B正确;

cosa

对于C:£(-V2,-V2,O),F(V2,V2,O),M(O,l,l),

则前二(2V2,2V2,0),MF=(V2,V2-1,-1),

设平面的一个法向量为芯=(/,%z),则[巴馆=22,

[MF-m=V2x+(V2—l)y—z=0

取/=1,则y=—lfz=1,故后=(1,—1,1),

|m-Qs|

2/3.Q_娓

所以sin§=|cosm,Os|=丁，・・8sB=

oo

C££L

故7二…

所以平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故。正确；

对于若平面7截该圆锥得的截口曲线为离心率是方的双曲线的一部分，

则亚盟=学=.•・a=1,:0C［。,对,0=。，

COS。V2_L2」

2

所以平面7〃OS,故平面y不经过原点O,故。正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线（圆锥曲线）的离心率的定义，结合空间向量法即可得

解.

趣目可法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学,推动了空间解析几何

学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C:g+£=l（a>

ab

6>0）的“蒙日圆”的方程为"+方=&2+/,已知椭圆。的长轴长为4,离心率为e=为蒙日圆上任一

点,则以下说法正确的是（）

A.过点P作椭圆C的两条切线则有_R4±PB.

B.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值kOP-kAB=-4-

C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为AB,则S4ApB的取值范围伴明•

D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则S^OB的最大值为V3.

【答案】ACD

【分析】对于4,由题意求出蒙日圆的方程,讨论切线斜率是否存在，结合联立直线和椭圆方程,利用根与系

数关系化简，即可判断；对于B,求出切点弦的方程即可得其斜率，化简即可判断；对于C,。,联立切点

弦的方程和椭圆方程，求出弦长|AB|,求出相应三角形的高，即可求得三角形面积的表达式，结合函数

的单调性或者不等式知识即可求得最值或范围.

22

【详解】由题意知椭圆。：匹7+支7=1（。>6>0）的长轴长为4,离心率为e=4，

ab2

故Q=2,9=4，••・。=1/2=02—。2=3,

a2

22

则椭圆方程为亍+1_=1「蒙日圆”的方程为/+才=7;

对于4假设有一条切线斜率不存在，不妨假设PB斜率不存在，

则不妨设P石过椭圆的右顶点，则方程为力=2,

则P点坐标为F（2,±V3）,显然此时4点取椭圆的短轴顶点（0,±V3）,

则24方程为g=±，^,此时满足Q4与椭圆相切，且P4_LPB;

当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为沙=%力+小,优#0）,

设P（g,%）,则馆=%一版1,冠+褶=7,

y—kx-\-m

或£_，整理得(或2+3)/2+弘恒力+4馆2—12=0,

(T+T=1

贝MA=64fc2m2—4(4fc2+3)(4m2—12)=0,即m2=4fc2+3,

将?n=%—kXi代入上式,得关于k的方程(冠一4)昭一2gg#+g；-3=0,

27y2

则N=4(3冠+4^-12)>0,(P在椭圆个+*=1外)，

4O

kPA,kPB为该方程的两个根,itkPA-kPB=空——=7，--=—1,

鬲-4Xi-4

即％_LPB,A正确；

对于B,设4电,%),B(g,%)，则P4的方程为手+*=1,

4O

PB的方程为等+等■=：1,

两切线过点P⑶，m，故等+等=1,等+鬻=1,

即点A,B在直线等+粤=1上，因为两点确定一条直线,

4O

故直线AB的方程为亨+噜=1,则=—答,

434«x

而kop=⑨"，故kOP-kAB=-Y,B错误;

力14

对于。，由于直线AB的方程为等+华=1,联立《+¥=1,

得(3x1+4yl)x2—24力像+48—16褶=0,

△"=(24d)2—4(3冠+4诏)(48-16?/?)=64就(3*+4函—12)>0,

24的_48—16记

则电+g=34+4帮'"33冠+4褶’

故\AB\=J1+(即B)2,=jl+禽x&加*曹；一空

_2了9曷+16册3冠+44—12

3冠+4褶’

又点P到直线4B的距离为d=粤之丝二

，9冠+16褶

J9屠+16g；个3届+4g；-12|3^+4^-12|

3冠+4褶—9冠+16g；

(3a;i+4i/i—12)/3冠+41一12

3曷+4g；

又就+4=7,故令力=/34+44-12=+9,tE[3,4],

则SMPB=

廿+12

令/⑶=V+号,显然/⑴在［3,4］上单调递减,

Et

故U=在［3,4］上单调递增,

1_64_16

则(S&4PB)min==y>(S，)

AAPBmax/⑷287

即S会的取值范围上，叫，C正确；

2J9曷+16帮J3就+4/一12

对于。，由。的分析可知\AB\

3冠+4诏

1-121

而点O到直线AB的距离为d=

^94+16褶，3冠+4褶-12|-12|

3冠+4褶，9就+16若

_12/3冠+4洸-12

=-3就+44—'

又+必=7,故令t=J3—+4犹—12=Vz/i+9,te[3,4],

12力12

贝US44OB

力2+12力+竽

而力+*>2巫=4〃^,当且仅当力■，即力=2通6［3,4］时等号成立,

12

故S2OB=&」^=7^,即见曲；的最大值为7^,。正确，

4V3

故选：4CD

【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的相关知识，涉及到蒙日圆的问题，综合性强，计算量大，难点在于计算

相关三角形的面积，要注意切线方程的应用，计算需要十分细心.

题目回小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之

积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上

法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老

师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设月(-1,0)、月(1,0)是平面直角坐标系xOy内的两个定

点，满足|P后HP£|=2的动点P的轨迹为曲线C,从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()

A.曲线。既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P的横坐标的取值范围是［-通，遍］

C.\OP\的取值范围是［1,2］D.用E的面积的最大值为1

【答案】48。

【分析】设P(c,y),由题设可得曲线。为(a?—1尸+2才("+1)+/=4,将(*,9)、(—x,y)、(—x,—y)代入即

可判断4令3=才>0,由/⑴=*+232+1.+(一一iy_4在［o,+8)上有解，结合二次函数性质求P

的横坐标的取值范围判断8；由②分析可得IOPF="+y2=2J/+1—1,进而求范围判断。；由基本不等

式、余弦定理确定范围,再根据三角形面积公式求最值判断D.

/-FXPF2

【详解】令P(rr,0)，则J(c+1)2+令-J(工-1)?+才=2,

所以［3+1)2+才］［3一1)2+/］=4,则(/2—1)2+2才Q2+1)+靖=4,

将(x,y)>(―a;,y)s(―名,—沙)代入上述方程后，均有3-1)2+2才(a?+1)+y4=4,

所以曲线。既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确；

令力=豕>0,则e+2(x2+l)t+(x2-l)2-4=0,

对于f(t)=/+2(a?+l)t+(/—I)?—4,对称轴为x——(a;2+1)<0,

所以/⑴在［0,+oo)上递增，要使/(。=0在［0,+8)上有解，只需/(0)=(/—1)2-4&0,

所以一lWa;2-iw2,即OW/W3,可得一正确；

11

由|OP|2=a?+#，由于(垃=0中，△=4(/+1)2—4(/—1)2+16=16(/+1),

所以力=娟=-2®+—2Ja?+1—(/+1)>0,其中负值舍去,

综上，|。「|2="+才=27^1—1,又04/&3,即14/+144,

所以|OP『e[1,3],则\OP\G。错误；

由—+炉胤)2J|PE卜|P£|=,仅当「局=|尸项=0时等号成立，

”2的面积S=杷用国sin"改=sin/9里

而cosZ^PF,=户同十.曰一出勾〉0,所以0°<W90°,

AFXPF2

21PE1|P现

所以△PEE的面积的最大值为1,。正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：B,。通过换元力=才10,构造，⑴=廿+2(，+圾+32—1)2—4,利用根的分布求。

的横坐标、|。冏的取值范围.

题目⑥如图，已知圆锥P。的轴P。与母线所成的角为a,过4的平面与圆锥的轴所成的角为仅万>&),该

平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为4A2,短轴为瓦玛,长半轴长为a,短半轴长为6,椭圆的

中心为N,再以55为弦且垂直于PO的圆截面,记该圆与直线PA.交于G,与直线PA2交于a，则下列说

法正确的是()

A.当6Va时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆

B.INGHNCN史呦普

cosa

C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=空且

cosa

D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=或3

snip

【答案】BC

【分析】由截口曲线的含义可判断A;过N作NG，PG于点G,求出而\CrN\=asm(a+6),&N|=

cosa

asm("a),即可判断民根据图形的几何性质求得椭圆的a,c之间的关系式，即可求得离心率，可判断C,

COSdf

D.

【详解】由截口曲线知，当£Va时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A错.

对于B,过N作NG_LPG于点G,而/G4N=°+6，|NAJ=Q,

所以|NG|=asin(a+0),而/GNG=%|°闪=asm(a+0)

cost

同理过N向PQ作垂线，可得\C2N\=asm」-a),

cost?

a2sin(yS+a)sin(0—a)

A\NC.\­|7VC|,B正确;

2cos2a

对于C,设圆锥上部球Q与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆Oi,半径为r,

球Oi与44的切点为椭圆左焦点F,

设AO^A^F—dNOp4iF=0，，6①,

2

兀一(a+6)|4例r

3=—2—」4同=。—c=tan/

|相|=a+c=」^...卫=坦空1+e

tan。a—ctan。1-e5

tanp—tan。_sin(0—9)(p-0—^—P

解得e=,而

tanp+tan。sin(p+夕)q+夕=£-a

故6=日11（2"）=空色，故0正确，£）错误,

sin—acosdf

故选：BC

【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得Q,C之间的关系，这是解答的难点，也是关键之

处，因此通过设AO.AF=仇/OI//=0,结合图形的几何性质,得到|AiF|=Q—c=,\AF\=a-\-

2tan^2

r

c=----，即可求解.

tan夕

题目①2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线

2.2.

C：国"+|V『=1.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是

A.石关于g轴对称B.E上的点到立轴、9轴的距离之积不超过士

O

C.E上的点到原点距离的最小值呜D.曲线石所围成图形的面积小于2

【答案】4BO

2.2./2.

【分析】A由Q,夕）、（一。,妨均在曲线上即可判断；B应用基本不等式国3+旧『>2明却3即可判断；。由

"+y2=（£）+（/），结合立方和公式及B的结论即可判断；。根据与㈤+㈤图形的位置关系

判断.

【详解】若（rc.y）在星形线E上，则（一立,5也在E上，故E关于y轴对称，A正确；

22/I1,[

由|2『+|'『=1>2y/\xy\3=2|a;y|3,则W工当且仅当㈤=|引时等号成立，B正确；

O

由/+#=（/）+（03）—（"+/）[（力3+。3）-3（/）3]=]_3（曲）3>；,当且仅当\x\=\y\时等号成

立，故E上的点到原点距离的最小值为。错误；

2222

曲线E过（±1,0）,（0,±1）,由㈤+\y\>\x\3+=i,则国3+0『在㈤+0|所围成的区域内部，而\x\

+|引=1所围成的面积为2,故曲线石所围成图形的面积小于2,0正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛:应用基本不等式有|力|"+|评）2,丽P,由x2-\-y2=（y）+（/）及立方和公式求两

点距离，利用㈤2四23与㈤+㈤图形的位置判断面积大小.

F）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线工