2025版高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计满分示范课练习文含解析

PAGE1-满分示范课——概率与统计概率与统计问题须要从数据中获得有用的信息，通过数据的筛选、分析构建相关模型特殊是从图表、直方图、茎叶图中获得信息，利用图表信息进行数据分析．解题的关键重在“辨”——辨析、辨型、辨图，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率与统计模型的提取往往须要经过视察、分析、归纳、推断等困难的辨析思维过程，同时，还需清晰概率模型中等可能事务、互斥事务、对立事务等事务间的关系，留意放回和不放回试验的区分，会套用公式求eq\o(b,\s\up14(^))，k2的值，并进一步进行统计分析．【典例】(满分12分)(2024·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式．依据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：生产方式超过m不超过m第一种生产方式其次种生产方式(3)依据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828[规范解答](1)其次种生产方式的效率更高．理由如下：①由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此其次种生产方式的效果更高．②第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间eq\o(x,\s\up14(－))1＝84.其次种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间eq\o(x,\s\up14(－))2＝74.7.因为eq\o(x,\s\up14(－))1＞eq\o(x,\s\up14(－))2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于其次种．所以其次种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图数据得到m＝eq\f(79＋81,2)＝80.由此填写列联表如下：生产方式超过m不超过m总计第一种生产方式15520其次种生产方式51520总计202040(3)依据第(2)中的列联表计算．K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(40（15×15－5×5）2,20×20×20×20)＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．高考状元满分心得1．得步骤分：步骤规范，求解完整，解题步骤常见的失分点．如第(1)问不能明确指出“其次种生产方式”的效率更高．第(2)问不能写出中位数m.第(3)问不能代入K2公式等．2．得关键分：如第(1)问理由表述要紧扣茎叶图的数据信息(表达方式不唯一)，精确指出m＝80，不能忽视K2＝10>6.635等．否则会导致扣分．3．精确计算是得满分的保证：如第(2)问中位数的判定，列联表中数据的填写，独立性检验中K2观测值的计算等．[解题程序]第一步：由茎叶图，探讨甲、乙两种生产方式的数字特征，确定生产效率的凹凸．其次步：求m的值，画出2×2列联表．第三步：代入独立性检验公式，计算观测值K2.第四步：依据临界值，进行独立性分析．第五步：反思总结，规范解题步骤．[跟踪训练]1．(2024·珠海质检)为了丰富学生的课外文化生活，某中学主动探究开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习主动性与参与文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：分类参与文体活动不参与文体活动总计学习主动性高180学习主动性不高60总计300已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习主动性不高的学生的概率为eq\f(4,15).(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为学生主动性高与参与文体活动有关？请说明你的理由；(3)若从不参与文体活动的同学中依据分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习主动性不高的概率．附：p(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)设学习主动性不高的学生有x名，则eq\f(x,300)＝eq\f(4,15)，解之得x＝80.列联表如下：分类参与文体活动不参与文体活动总计学习主动性高18040220学习主动性不高206080总计200100300(2)有．理由：由(1)中的列联表可求得K2＝eq\f(300×（180×60－20×40）2,200×100×220×80)≈85>7.879，因此有99.5%的把握认为学习主动性高与参与文体活动有关．(3)依据题意，知从学习主动性高的学生中抽取2人，从学习主动性不高的学生中抽取3人．可设抽出的学习主动性高的学生为A、B，学习主动性不高的学生为C、D、E，则选取的2人可以是(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，其中至少有1人学习主动性不高的有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共9种，所以至少有1人学习主动性不高的概率为eq\f(9,10).2．(2024·山东省试验中学四校联考)“一带一路”沿线的20国青年评比出了中国“新四大独创”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2024年春节期间，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的运用．某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.2元，2.9元，3.3元，5.9元，4.8元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送饮水杯．(1)求获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过5元的概率；(2)统计一周内每天运用支付宝付款的人数x与商家每天的净利润y元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图．x12162629252230y60100150270240210330①干脆依据散点图推断，y＝a＋bx与y＝ec＋dx中哪一个适合作为每天的净利润的回来方程类型．②依据①的推断，建立y关于x的回来方程；若商家产天的净利润至少是1400元，估计运用支付宝付款的人数至少是多少(a，b，c，d的值取整数)?参考数据：eq\o(x,\s\up14(－))eq\o(y,\s\up14(－))22.86194.29268.863484.29附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回来直线eq\o(v,\s\up14(^))＝eq\o(α,\s\up14(^))＋eq\o(β,\s\up14(^))u的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(β,\s\up14(^))＝，eq\o(α,\s\up14(^))＝eq\o(v,\s\up14(－))－eq\o(β,\s\up14(^))eq\o(u,\s\up14(－)).解：(1)由已知5名顾客中红包超过5元的有两人，分别记为A1，A2；不足5元的有三人分别记为B1，B2，B3，从这5名顾客中随机抽取3人，有如下状况：(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，B3)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，B3)，(A1，B2，B3)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，B3)，(A2，B2，B3)，(B1，B2，B3)，共10种．设事务M：“获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过5元”，则它的对立事务是eq\o(M,\s\up14(－))：“获得饮水杯的三人中没有一人的红包超过5元”，满意它的是(B1，B2，B3)，只有1种状况．所以P(M)＝1－P(eq\o(M,\s\up14(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).(2)①依据散点图可推断，选择y＝a＋bx作为每天的净利润的回来方程类型比较适合．②由最小二乘法得系数eq\o(b,\s\up14(^))＝＝eq\f(3484.29,268.86)≈13，所以eq\o(a,\s\up14(^))＝eq\o(y,\s\up14(