2025年北京高考数学二轮复习热点题型专练：排列组合与二项式定理（13类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题11排列组合与二项式定理

o----------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01加法计数原理和乘法计数原理综合........................................................I

题型02排队问题...............................................................................4

题型03涂色问题................................................................................7

题型04分组分配问题...........................................................................10

题型05二项展开式第左项......................................................................12

题型06求指定项的二项式系数..................................................................14

题型07二项式系数和...........................................................................16

题型08求指定项的系数........................................................................18

题型09由系数确定参数........................................................................20

题型10系数和................................................................................21

题型11系数最大（小）的项....................................................................23

题型12两个二项式乘积展开式的系数问题........................................................26

题型13三项展开式的系数问题..................................................................28

♦>-----------题型探析・明规律-----------♦>

题型01加法计数原理和乘法计数原理综合

【解题规律•提分快招】

1、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；

2、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算

每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

i碗丽工ii一（2023无奈冻城三稹5一窠在成靛俵端军王血歹两下琬厕筏并看童丁茬翦福百茄以环「灰一

佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）

A.13种B.14种C.15种D.16种

【答案】C

【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题

【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.

【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有C；=4种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有C；=6种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有C；=4种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有C：=l种，

所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有4+6+4+1=15种，

故选：C.

【典例1-2】（2024•河南新乡•一模）如图，机器人从/点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每

个小正方形的一条边长为一个单位），要走到8点，不同的走法共有种.

【答案】401

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解.

【详解】如图，当路线经过点C时，从A到C有1种，从C到3有亡种；

当路线经过点。时,从A到。有C；种，从。到8有C；+C；种;

当路线经过点£时,从A到£有C；种，从E到5有C：种;

当路线经过点尸时,从A到尸有C；种,从尸到3有C：种;

当路线经过点G时,从A到G有C；种，从G到8有1种,

所以不同的走法共有lxC；+C；（C；+C；）+C；C：+C；C；+lxC；=28+180+150+36+7=401（种）.

故答案为：401

【变式1-1］（2023•北京•模拟预测）"赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之

一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人

既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有

().

A.26种B.31种C.36种D.37种

【答案】D

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】根据题意，设/=｛只会划左桨的人｝,3=｛只会划右桨的人｝,C=｛既会划左桨又会划右桨的人

｝,据此按集合A中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可.

【详解】根据题意，设/=｛只会划左桨的人｝,3=｛只会划右桨的人｝,｛既会划左桨又会划右桨的人

｝，

据此分3种情况讨论：

①从A中选3人划左桨，划右桨的在(2uC)中剩下的人中选取，有C；=10种选法；

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在(2UC)中剩下的人中选取，有C>C；.C：=24种选

法；

③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，B中3人划右桨，有C；=3种选法，

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选：D.

【变式1-2](2023•北京•模拟预测)若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女

生又要有男生，则不同的分配方案有()种.

A.20B.40C.60D.80

【答案】C

【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、元素(位置)有限制的排列问题、分组分配问

题

【分析】利用分步乘法原理、排列组合数以及不均匀分组的方法进行求解.

【详解】第一步，先安排2名男生，有A；=2种排法；

第二步，安排5名女生：

第1种情况，5名女生分两组，一组1人，一组4人，有C；=5种分法，

第2种情况，5名女生分两组，一组2人，一组3人，有C；=10种分法，

所以5名女生分两组去两地参加志愿者活动共有：A｝(5+10)=30种排法，

所以，总共有2x30=60种分配方案.故A,B,D错误.

故选：C.

【变式1-3](2024•广东广州•模拟预测)袋子里有四张卡片，分别标有数字1,2,3,4,从袋子中有放回

地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.

【答案】77

64

【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回

问题的概率

【分析】根据分类加法计数原理，将两张卡片数字之和不为5的分为5种情况有：即可根据组合数求解，结

合对立事件的概率公式即可求解.

【详解】根据题意可知：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有4"=256种，

任意两张卡片数字之和不为5的情况有：

（1）1111,2222,3333,4444,都各有1种，

（2）1112,1122,1222,有2C；+C；=14种，

（3）1113,1133,1333,有2C；+C；=14种，

④2224,2244,2444有2C；+C；=14种，

⑤3334,3344,3444有2C；+C；=14种，

故总的情况有4+4x14=60,

6049

故有两张卡片数字之和为5的概率是1，

4464

49

故答案为：-

题型02排队问题

【解题规律•提分快招】

1、解有“相邻元素”的排列问题的方法

对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，

再考虑这个整体内部各元素间的顺序。

2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法

对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然

后将不相邻的元素进行“插空二

3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法

解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元

素为主或以位置为主

彳观椀1行~（2024：无赢破三稹5一二II厚王菇版二ST若在熹相舜的了天再就至石肯一2一互富王「且在熹植

邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题

【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人

数为6的情况，由此得解.

【详解】如果人数大于6,考虑前7个人：ABCDEFG,

每相邻的3人取成一组，则有/8。,8以）,。。及。££所65组，

因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，

即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至少有10名男生；

每相邻的5人取成一组，则有ABCDE,BCDEF,CDEFG3组，

因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，

即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至多有9名男生；

显然矛盾，故人数不可能大于6,

当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.

【典例1-2]（2024•浙江台州•一模）台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随

机地站到4x4的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女

生也既不同行也不同列的概率是（）

,24122133

A.—B.—C.—D.-

65356591

【答案】D

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率

【分析】利用排列法求得总的方法数为A%,利用间接法求得两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也

既不同行也不同列的方法数为（4x4x3x3）2-4x4x3x3x（2+32）,从而可求概率.

【详解】从16个格子中选4个排4个人有A%种排法，

两个男生既不同行也不同列的排法有4x4x3x3种排法，

两个女生也既不同行也不同列的排法有4x4x3x3种排法，

两名女生与两名男生排在一起的排法有4X4X3X3X2,

两名女生中有一名与男生排在一起的排法有4X4X3X3X4X8,

所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列（每人一格）有

（4x4x3x3）2—4x4x3x3x（2+32）种，

所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是：

（4x4x3x3）2-4x4x3x3x3416x9x（16x9-34）_33

盛二斌=91-

故选：D

【点睛】关键点点睛：重点在于求得4个各站一格且两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同

行也不同列的方法数，适用间接法.

【变式1-1]（2023•北京•模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在

两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.32种D.40种

【答案】B

【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题

【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果.

【详解】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A1A：=48种情况，

甲站在两端的情况有A；A；A；=24种情况，

.•.甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种.

故选：B.

【变式1-2]（2024•江西新余•模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在

最左端的不同的排列方式共有（）种.

A.48B.66C.72D.78

【答案】D

【知识点】元素（位置）有限制的排列问题

【分析】采用间接法，先5人全排有A；种，去掉甲在中间的有A：种，乙在最左端的有A：种，然后加上甲

在中间和乙在最左端的有A；种.

【详解】采用间接法，先5人全排有A；种，去掉甲在中间的有A：种，乙排最左端的有A：种，

然后加上甲在中间和乙在最左端的有A；种，

则共有A；-A”A：+A；=78种排法.

故选：D.

【变式1-3]（2024•广东•模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（）

A.6种B.12种C.24种D.48种

【答案】D

【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型

【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据“个不同元素围成的环状共有种排法求解.

【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将〃个不同元素围成的环状排列剪开看成〃个元素排成一排，

即共有〃!种排法，

由于"个不同元素共有〃种不同的剪法，则环状排列共有史=（〃」）！种排法.

n

甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有（5-1）!种坐法,

又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为（5-l）!x2!=48种.

故选：D

题型03涂色问题

【解题规律•提分快招】

「73—系法向施需瓦蓟颔爸希丽;

（2）相邻区域不能同色；

（3）常采用分类讨论法，从选定两个不相邻区域开始，讨论这两块区域同色和不同色。

I

真椀工11—7231万高三卫河南丽5一浣相天看莉手兀量憩豪方市面灌方的话养厂二不丽麦在铳血棱桎舷

积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且

在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（）

A.216B.360C.720D.1080

【答案】D

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、排列数的计算

【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计

算可得答案.

【详解】根据题意，如图：

分3步进行分析：

①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，

②对于上底N2CO,有4种颜色可选，则有A：,

③对于下底45cA,每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3x3xlxl=9种选法，

则共有5x24x9=1080种选法.

故选：D.

【典例1-2］（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，给28CDE尸六个点涂色，现有五种不同的颜色可

供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）种.

A.1440B.1920C.2160D.3360

【答案】B

【知识点】涂色问题、排列数的计算

【分析】根据题意，依次分析A、B、C和。、E、尸的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①对于A、B、C三点，两两相邻，有A；=60种涂色方法，

②尸与C相邻，有4种颜色可选，

若尸与A同色，其中。与B同色时，E有3种涂色方法，。与B不同色时，。有2种颜色可选，E有2种

颜色可选，

此时有3+2x2=7种涂色方法，同理：若厂与3同色，有7种涂色方法，

若尸与A、8颜色都不同，尸有2种颜色可选，D、E有3种颜色可选，

此时有2x3x3=18种涂色方法，

则尸、D、E有7+7+18=32种涂色方法，

故有60x(7+7+18)=1920种涂色方法.

故选：B.

【变式1-1］（23-24高二下•安徽池州,期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注

时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻

区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）

B.26

C.340D.420

【答案】D

【知识点】涂色问题

【分析】根据题意，分4步依次分析区域/、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案.

【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为/、B、C、D、E,

A

D

C

E\\

分4步进行分析：

①，对于区域4有5种颜色可选；

②，对于区域及与/区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域C,与/、3区域相邻，有3种颜色可选；

④，对于区域。、E,若D与8颜色相同，£区域有3种颜色可选，

若。与8颜色不相同，。区域有2种颜色可选，£区域有2种颜色可选，

则区域。、£有3+2x2=7种选择，

所以不同的涂色方案有5x4x3x7=420种.

故选：D.

【变式1-2］（23-24高二下•江苏宿迁•期末）如图，用四种不同颜色给图中的4昆C,D,E五个点涂色，要

求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有种.

【答案】72

【知识点】涂色问题、实际问题中的组合计数问题

【分析】由图形可知点E比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E开始涂色计算可得结果.

【详解】根据题意按照42,C,O,E的顺序分5步进行涂色，

第一步，点E的涂色有C；种，

第二步，点A的颜色与£不同，其涂色有C；种，

第三步，点8的颜色与4E都不同，其涂色有C；种，

第四步，对点c涂色，当4c同色时，点。有1种选择；当4c不同色时，点。有1种选择；

第五步，对点。涂色，当4c同色时，点。有2种选择；当4c不同色时，点。有1种选择；

根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有C；C；C；（lx2+1x1）=72种.

故答案为：72

【变式1-3］（23-24高二下•广西河池•阶段练习）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块

地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数

为

【答案】200

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题

【分析】分用2种农作物和3种农作物两种情况求解.

【详解】若只用2种农作物，则种植方法数有2C；=20,

若用3种农作物，先从5种不同的农作物选3种农作物，有C；种方法，

第一块地有3种种植方法，第二块地有2种种植方法，

若第三块地与前两块地种不同作物，则第四块地有2种种植方法，

若第三块地与第一块地种种相同作物，则第四块地只有1种种植方法，

则种植方法数有C；x3x2x（2+1）=180,

所以总共有20+180=200种种植方法.

故答案为：200.

题型04分组分配问题

【解题规律•提分快招】

一免芬iT后漏;

（2）分组包含①平均分②部分平均分③不平均分

（3）分组后再分配

i观椀工行一（为高三下:无章年百5-20函「车一5一月一位百至35百「音扇万国二市至峰会在画函西妾成坊举一

行.峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担4,B,C,。共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译

工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（）

A.480种B.240种C.120种D.4种

【答案】B

【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用

【分析】先用捆绑法分组，再排列求解即可；

【详解】首先把5名同学转化成4组，然后分给4项翻译工作，

第一步：从5名同学中任意取出2名捆绑成1组，有C；种方法；

第二步：再把4组分给4项翻译工作，有A：种方法，

由乘法原理，共有C：A：=240（种）方法；

故选：B.

【典例1-2】（2024•河南周口•模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期

间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1

人.每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用数字

作答）

【答案】114

【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题

【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是14,3和1,2,2,先求出5名工作人员分配到3

个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.

【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是U,3和1,2,2,

C；C；C；

人数组合是1,1,3时，共有xAj=60种情况,

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为"g

xA；=18种,

A；

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60-18=42种;

共有卑CxA；

人数组合是1,2,2时,=90种情况,

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为C；C；xA；=18种，

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90-18=72种，

所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42+72=114种.

故答案为：114.

【变式1-1］（23-24高二下•北京）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区

参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.则不同的

选派方法的种数是（）

A.18B.21C.36D.42

【答案】D

【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用

【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分"分派2名女生"和"分派1名女生"两种情况讨论，由分类计

数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理,

即可求解.

【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，

若甲地派2名女生，有C；=l种情况；

若甲地分配1名女生，有C；C；=6种情况，

则甲地的分派方法有1+6=7种方法；

甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A；=6种安排方法，

由分步计数原理，可得不同的选派方法共有7x6=42种.

故选：D.

【变式1-2］（23-24高二下•北京顺义阶段练习）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普

通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）

【答案】216

【知识点】排列组合综合

【分析】根据题意，分为1女2男和2女1男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可

求解.

【详解】第一类，选1女2男，有C>C；=30种，

这3人选2人作为队长和副队有段=6种，故有30x6=180种；

第二类，选2女1男，有C1C；=6种，这3人选2人作为队长和副队有&=6种，

故有6x6=36种，根据分类计数原理共有180+36=216种，

故答案为：216

【变式1-3］（23-24高二上•北京）把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每个

人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有种.（用数字作答）

【答案】144

【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题

【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将

分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案.

【详解】解：根据题意，可分为两步进行：

①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，

则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1,2,3,4,5,6这6个数字用3个

板子隔开，分为四部分且不存在三连号，

即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有C；=10种情况；

其中出现3张三连号的有：123,4,5,6；1,234,5,6；1,2,345,6；1,2,3,456；共4种情况，

不满足题意，

所以有10-4=6种情况；

②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有A：=24种情况，

由分步计数原理可得，共有6x24=144种不同的分法.

故答案为：144

题型05二项展开式第左项

【解题规律•提分快招】

n；r

对于伍+3"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=Cnab

【典例1-1]（23-24高三下•北京•阶段练习）在]的展开式中，第四项为（）

A.160B.-160C.160》3D.-160x3

【答案】D

【知识点】求二项展开式的第k项

【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.

【详解】在‘J；：的展开式中，

第四项为4=C：“一'=（-2丫C>3=-160x3.

故选：D.

【典例1-2】（2023•河南•模拟预测）在（1+2元）4（1-的展开式中，按x的升幕排列的第三项为.

【答案】-6x2

【知识点】求二项展开式的第k项、两个二项式乘积展开式的系数问题

【分析】

依题意可得第三项为含/项，结合展开式的通项可求解.

【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为f项.

整个式子中¥项可由（1+（]一月5的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项

相乘得到，

其中（l+2x）4展开式的通项为&|=C；（2xy（r=0,l,2,3,4）,

（1一村5展开式的通项为（左=0,1,2,3,4,5）；

故所求为C：xC；（-x）2+C：（2x）xC；（-x）+Cj（2x）2o

xC=_6X2

故答案为：-6x2.

【变式1-1]（2023・西藏拉萨•一模）二项式的展开式中的第3项为（）

„»8040

A.160B.—80xC.-rD.=-

xx

【答案】C

【知识点】求二项展开式的第k项

【分析】根据二项式展开式公式即可求解.

【详解】因为兀|=砥（2可"｛一｝],所以j;=c；（2x）3.1g[2=F，故C项正确.

故选：C.

【变式1-2］（2024•陕西宝鸡•一模）展开式中的第四项为（）

A.160J?B.-160x3C.240D.-240

【答案】B

【知识点】求二项展开式的第k项

【分析】根据二项展开式的通项公式求解.

【详解】3-：］展开式的通项公式为£+1=仁卜2尸（-2丫/=（-2丫鹿产3,

所以7；=(-2)3CR233=(_8)x20x3=-160?,

故选：B

【变式1-3］（2023•北京•模拟预测）在的二项展开式中，第四项为

【答案】-32-5

【知识点】求二项展开式的第k项

【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.

第四项为7；=C：11-备］=一32『1

【详解】在的二项展开式中,

故答案为：一32/3

题型06求指定项的二项式系数

【解题规律•提分快招】

nrr

对于仅+3"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=C'na-b

【典例1-1］（24-25高三上・贵州•阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（）

A.8B.-8C.28D.-28

【答案】C

【知识点】求指定项的二项式系数

【分析】利用二项式系数的意义求解即可.

【详解】第3项的二项式系数为C；=2JxJ7=28.

2x1

故选：C.

6

【典例1-2】（2023高二下•北京房山•期中）2x-的展开式中，X3的系数是第四项的二项

式系数是.

【答案】24020

【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数

【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3,计算展开式中含有％?项的系数，通过二项式系

数定义求解即得.

【详解】由题意得：&|=C"2x)［一十］=(-iych4等，只需6T=3,可得r=2,

所以4=凌(2x)4(-；)2=240x3,第四项的二项式系数是C：=20

故答案为：240；20.

【变式1-1］(23-24高二下•安徽芜湖•阶段练习)已知二项式展开式的二项式系数的和为64,则

A.展开式中各项系数的和为-1B.展开式中第3项的二项式系数最大

C.展开式的常数项为-20D.展开式中第5项的系数最大

【答案】D

【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、二项展开式各项的系数和

【分析】根据二项式展开式的二项式系数的和为64得〃=6,再分别讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为二项式J展开式的二项式系数的和为64,

所以2"=64,解得〃=6,

所以，对于A选项，令x=l得仆-多丫展开式中各项系数的和为1,故A选项错误；

对于B选项，由〃=6可知「-工］展开式中第4项的二项式系数最大，为C；=20,故B选项错误;

6r

对于C选项，由展开式的通项公式为：Tr+i=C'6-x-(-2广鼠产，，「=0,1,2,…,6,

故令6-2.=0,即厂=3时，展开式的常数项为-160,故C选项错误；

对于D选项，(x-展开式的系数分别为1,(-24爆=-12,(-2)2C=60,(-2)3=-160,

(-2『©=240,(-2)5©=-192,(-2『=64,

所以，展开式中系数最大值为240,此时r=4,为展开式第5项，故D选项正确.

故选：D

【变式1-2］(2024•北京•三模)在屏-二)4展开式中，常数项的二项式系数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知识点】求指定项的二项式系数

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出常数项即得.

【详解】二项式（x--I）4展开式的通项j（--ly=（-1丫C%I，,reN,r<4,

XX

由4-4r=0,得r=l,则（工-二）“展开式的常数项是第2项，

所以常数项的二项式系数为C；=4.

故选：A

【变式1-3］（23-24高二下•浙江•阶段练习）在一:］的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A.56B.-56C.70D.-70

【答案】A

【知识点】组合数的计算、求指定项的二项式系数

【分析】根据二项式系数的概念即可求解.

【详解】第4项的二项式系数为C；=56.

故选：A.

题型07二项式系数和

【解题规律•提分快招】

黄诏蝙j暮三疏£素薪菽一

d+C+...+C"..+C；=2"（〃eN*）；

（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

d+C"-Y+C；+--=2"T（〃eN*）

【典例1-1］（2024•北京•三模）已知［宁-x］的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为（）

A.-240B.240C.60D.-60

【答案】B

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】根据二项式系数之和可得〃=6,结合二项展开式分析求解.

【详解】由题意可知：二项式系数之和为2"=64,可得〃=6,

其展开式的通项为=晨3](-x)r=(-l)r-26Tc.h/=0,1,2,…,6,

3

令,—3=0,解得y=2,

所以其展开式的常数项为(-if•24C=240.

故选：B.

【典例1-2](2023•北京朝阳•二模)已知(l+3x)'("eN*)的展开式中所有项的二项式系数的和为64,贝U

"=，展开式中f的系数为.

【答案】6540

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】由二项式系数和2"=64求〃，再应用二项式定理写出含x3的项，即可得结果.

【详解】由题意2"=64,则〃=6,故原二项式为(1+3x)6,

所以其展开式通项为=黑尸⑶丫=3«，，

当厂=3,则7；=33cx3=540/,故所求系数为540.

故答案为：6,540

【变式1-1](2024•北京朝阳•二模)在(l-3x)"的展开式中，若二项式系数的和等于64,则"=,此

时Y的系数是.(用数字作答)

【答案】6135

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】利用二项式系数的和等于64,求解"值，利用通项公式求解/的系数.

【详解】由二项式系数的和等于64,则2"=64,«=6；

61r

通项公式为Tr+l=C；-I-'.(-3x)"=C；(-3)/,

令，=2,所以f的系数为C；(-3)2=135.

故答案为：6；135.

【变式1-2](2023•北京密云•三模)已知(2x+l)"的展开式中，各项系数之和为81,则二项式系数之和

为.

【答案】16

【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和

【分析】令x=l,结合二项式(2x+l)"各项系数和可求得"的值，进而可求得该二项式系数之和.

【详解】因为(2x+l)"的展开式中，各项系数之和为81,令x=l,可得3"=81,解得〃=4,

因此，二项式系数之和为2,=16.

故答案为：16.

【变式1-3]（2023•北京海淀•模拟预测）在-jj的展开式中，二项式系数和是16,则展开式中各项系

数的和为.

【答案】16

【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和

【分析】由二项式系数的性质可求"，再利用赋值法求各项系数和.

【详解】因为二项式-j]"的展开式中，所有二项式系数的和是16,

所以2"=16,故〃=4,

取x=l可得二项式-的展开式中各项系数和为。-3）4,即16.

故答案为：16.

题型08求指定项的系数

【解题规律•提分快招】

rn；r

对于伍+以，涉及到真体项，通常使用通项公式：Tr+l=Cna-b

【典例1-1】（2024•北京•三模）已知的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为（）

A.-240B.240C.60D.-60

【答案】B

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】根据二项式系数之和可得〃=6,结合二项展开式分析求解.

【详解】由题意可知：二项式系数之和为2"=64,可得”=6,

其展开式的通项为（-x）r=（-1/.26^.晨./=0,1,2,…,6,

3

令y-3=0,解得r=2,

所以其展开式的常数项为&=240.

故选：B.

【典例1-2】（2024•北京朝阳•二模）在（l-3x）"的展开式中，若二项式系数的和等于64,则〃=,此

时/的系数是.（用数字作答）

【答案】6135

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】利用二项式系数的和等于64,求解"值，利用通项公式求解Y的系数.

【详解】由二项式系数的和等于64,则2"=64,«=6；

1

通项公式为Tr+l=C；•(_3x)"=或(-3)'/,

令厂=2,所以f的系数为C；(一3『=135.

故答案为：6；135.

【变式1-1](2024•北京通州•二模)在，2-的展开式中，常数项为()

A.60B.120C.180D.240

【答案】D

【知识点】求指定项的系数

【分析】写出通项，令x的次数为零，求出r=4,再计算常数项即可.

【详解】展开式的通项为配尸或修厂(-2丫丁，

令12—2尸+(―r)=0=>尸=4,

所以7；=C：x(—2『=15x16=240,

所以常数项为240.

故选：D.

【变式1-2](2024•北京•模拟预测)在(x-24)5的展开式中，一项的系数为()

A.-20B.20C.-40D.40

【答案】D

【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数

【分析】由题意写出展开式通项并化简，令5=4,解得r=2,回代展开通项计算即可得解.

【详解】在(X-24)5的展开式通项为=C)5Tb=G(-2)'x5W,(0WrW5/eN*)，

由题意令5-1=4,解得r=2,所以X4项的系数为C；(-2)2=10x4=40.

故选：D.

【变式1-3](2024•北京门头沟•一模)弓一2工：的展开式中常数项为(用数字作答)

【答案】-160

【知识点】求指定项的系数

【分析】根据题意，由题意可得二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.

6T

1

【详解】因为展开式的通项公式为•(-2力，=(-2)'(产6

X

令2—6=0可得r=3,则展开式中的常数项为7；=(-2)3.C3x°=-160.

故答案为：-160

题型09由系数确定参数

【解题规律•提分快招】

rr

对于伍+3"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=C；a"-b