第2.1讲 函数的概念及其表示（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章函数第2.1讲函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．题型一函数的定义域题型二函数的解析式题型三分段函数题型四综合应用1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．题型一函数的定义域1．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，解得，所以函数的定义域为.故选：D．2．已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或.因此，函数的定义域为.故选：A.3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：函数的定义域为，所，则，所以的定义域为．则函数的定义域，需满足，解得，即函数的定义域为．故选：A.4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.当时，当时，，所以不等式在上恒成立显然不成立，当时，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.5．函数的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由定义域知，即，只有C满足．故选：C．题型二函数的解析式6．设，则等于（

）A． B．

C． D．

【答案】C【详解】∵，∴，故选：C．7．已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令为，则，与联立可解得，．故选：D．8．为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（

）A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00【答案】A【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点，由函数图像连续，代入函数的解析式，可得，解得，所以，令，可得或，解得或．所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．故选：A．9．已知函数是单调函数，且时，都有，则（

）.A．-4 B．-3 C．-1 D．0【答案】C【详解】由题得，设，k是一个常数，，，，则有，，解得，，.故选：C10．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为，所以，故，所以，设线段对应的函数解析式为，因为直线经过点，所以，所以，设，则点的坐标为由可得，所以点的坐标为，所以，所以直角梯形的面积，所以，令，可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最大值，最大值为.故选：D.题型三分段函数11．已知函数则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【详解】，∴．故选：B12．已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】根据题意，当时，，不符合题意；当时，，解得；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意．故选:B．13．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【详解】由题意可知所以，，，而无解.故选：C.14．若函数的值域为，则实数的可能值共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】当时，，当时，，若，的值域为，不合题意；若，则时，，，由于，由题意可知需使；若，则时，，，，故需使，即实数的可能值共有2个，故选：B15．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．则在上有两个零点，此时必须满足，解得．综上，得或．故选：A题型四综合应用16．已知，求的解析式【详解】因为，用替换得，消去，解得，即.17．已知二次函数，，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【详解】（1）解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即．（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．因为在递减，在递增，所以，因为，，所以，所以在上的值域为．18．已知函数满足．(1)求的解析式；(2)设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【详解】（1）由，得，消去得，所以．（2）由，得，即对任意恒成立，令，，当时，取得最大值86，所以实数m的取值范围为．19．2022年是合肥一六八中学建校20周年，学校届时将举行20周年校庆活动，其中会建立校史展览馆并向各界校友及友好人士展出一六八中学自建校以来的大事记．已知展览馆的某一部分平面图如图所示，AB的长为18米，点C到x轴和y轴的距离分别是6米和9米，其中边界ACB是函数图像的一部分，前一段AC是函数图像的一部分，后一段CB是一条线段，现要在此处建一个陈列馆，平面图为直角梯形DEBF（其中BE、DF为两个底边）．(1)求函数的解析式；(2)求梯形DEBF面积的最大值．【详解】（1）因为点C到x轴和y轴的距离分别是6米和9米所以又前一段AC是函数图像的一部分，经过点C所以，所以所以当时，又后一段CB是一条线段且过和所以当，由直线的两点式得综上所述得函数得解析式为（2）设点，所以，所以梯形的面积为设，令由所以令，则有在单调递增，令，则有在单调递减，所以即时，梯形DEBF面积的最大值为44．·20．已知二次函数的值域为．（1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求在上的最小值，并求的值域．【详解】（1）由题意可知数开口向上，且在对称轴处取得最小值0，所以，且，即，因此，因为函数在上是单调减函数，所以，所以，故实数a的取值范围为；（2）若，即，所以在上单调递增，所以；若，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，因为函数在上单调递增，且，因此的值域为.21．已知函数，其中，且．(1)当时，若，求实数的取值范围；(2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围．【详解】（1