专题3.2 导数与函数的单调性（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第三章导数及其应用专题3.2导数与函数的单调性1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．考点一不含参函数的单调性考点二含参数的函数的单调性考点三函数单调性的应用知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上是增函数f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上是减函数f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．第一部分核心典例题型一不含参函数的单调性1．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．【详解】（1），则则，又，则曲线在点处的切线方程为，即（2），则，由可得或，则函数的单调增区间为，.2．已知函数，求的单调区间【详解】因为，定义域为，所以，令，得，令，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.3．求函数的单调区间.【答案】的单调递减区间为，单调递增区间为【详解】，当时，，当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为.4．已知函数.求单调区间.【答案】单调递增区间为，单调递减区间为【详解】的定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为.5．已知函数.求函数的单调区间.【答案】增区间为，；减区间为.【详解】依题意：，故当时，，当时，，当时，，∴的单调增区间为，，单调减区间为.题型二含参数的函数的单调性6．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.7．已知函数.（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.【详解】由已知函数的定义域均为,且.(1)函数,因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．(2)命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．当时，由（1），在上为减函数，则=，故．当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.8．已知函数．(1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值；(2)若函数在单调递减，求实数a的取值范围．【详解】（1），∵函数的单调递减区间为，所以是的两个根，所以，解得.经检验当时，由，解得，所以函数的单调递减区间为.所以.（2）∵在单调递减∴对恒成立，即，恒成立∴.9．已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.【详解】（1）当时，，则，令，得，，和的变化情况如下表30递减极小值递增所以当时，取得极小值，无极大值（2）由（），得（），当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递增，当时，由，得，，和的变化情况如下表0递减极小值递增因为在上单调递增，所以，得，综上，a的取值范围为10．已知函数的图象与函数的图象关于点对称．（1）求的解析式；（2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围．【详解】解：（1）设图象上任一点坐标为，点关于点的对称点在图象上．．，即，．（2），，在上递减，在时恒成立，即在时恒成立．时，，，即题型三函数单调性的应用11．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，求的最小值．【详解】（1）函数定义域为R，．当或时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．（2）由得，，所以，因为，所以，即．令，则．所以当时，单调递增，当时，单调递减，因此，当时取得最大值，即取得最大值，故的最小值为4．12．已知函数．已知，，求证：．【详解】证明：由题意得，要证，，即证，即证，令，，可得，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，因为当时，所以，故当时，对于任意，．13．已知函数．(1)求的极值；(2)比较的大小，并画出的大致图像；(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．【详解】（1）的定义域为，，于是时，单调递增；时，单调递减，又，则在处取到极小值，无极大值.（2）由（1）知，在区间上单调递减．故．又因为当时，，故，所以．因为，所以．结合（1）中的单调性，大致图像如下：（3）的解的个数可以看成和直线在同一坐标系下图像交点的个数，由（2）的图像知，当的取值不小于最小值即可，即14．已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)若函数在上严格递减，求实数的取值范围.【详解】（1）函数在处的切线方程为；（2）对任意恒成立故，解得，故的取值范围为.15．已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．【详解】（1），，函数的图象在点处的切线方程为．解得，．，令，解得或；令，解得．函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（2）由（1）可得：，．令，则，所以当变化时，的变化情况如下：，02，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．函数在上的最大值为8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范围是．第二部分课堂达标一、单选题1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当时，的导函数为，所以在时单调递增，又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.故选：D.2．函数的单调增区间（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】的定义域为，，令，解得，故的单调递增区间为.故选：A3．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数，，若在递增，则在恒成立，可得,解得，故选：D4．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（

）

A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．当时，>0D．当时，=0【答案】C【详解】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确；由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确；当时，函数单调递减，所以，C错误.故选：C5．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令函数，则，因为所以.是增函数，因为是奇函数，所以，，所以的解集为，即≥的解集为；故选：D.6．已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，在函数中，，导函数为，，设，则.∵，∴，则是上的增函数.不等式等价于，即，则解得：，故选：D.7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，由题意可知：存在，使得，整理得，且在上单调递减，则，可得，所以实数的取值范围是.故选：A.8．已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由，求导得，因为为上的增函数，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，即在R上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以当时，函数取得最大值，所以，所以的取值范围为.故选：B二、多选题9．已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为【答案】BC【详解】对于AC，，由，得，所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，对于BD，函数的定义域为，，由，得，解得，由，得，解得，所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，故选：BC10．已知函数，则满足的整数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BCD【详解】由题意得，故为偶函数，而，当时，，故在单调递增，在单调递减，若，则，得，即，解得故选：BCD三、填空题11．函数的增区间为．【答案】【详解】有题知，函数的定义域为，因为，所以，令，解得，故函数的增区间为故答案为：12．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是【答案】【详解】当时，，，故在上单调递减，且，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，且当时，恒成立，画出的图象如下：

函数恰有一个实根，则或，则实数的取值范围是.故答案为：四、解答题13．确定函数的减区间．【详解】由题意可知：，令，即，且，解