弹性力学 课件 第8章 空间问题及其解答

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12空间问题及其解答Spaceproblemsandtheirsolutions直角坐标系下的弹性力学问题01柱坐标系下的弹性力学问题02球坐标系下的弹性力学问题03空间问题的位移势函数的引用04勒夫位移函数05伽辽金位移函数06半空间体表面受法向分布载荷问题07两球体之间的接触压力08空间问题的应力求解法09直角坐标系下的弹性力学问题01Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem——6个应力分量；空间问题基本方程空间问题的基本未知量：——6个应力分量；——6个形变分量；——3个位移分量；（1）平衡微分方程——6个应力分量；空间问题基本方程（2）几何方程（3）物理方程——6个应力分量；位移法求解空间问题1.写出物理方程，用应变分量代替应力分量其中

为第一应变不变量，或称其为体积应变。2.将空间问题几何方程代入上式，得——6个应力分量；位移法求解空间问题3.此时

再将上式代入平衡方程,得上式中，只含有三个位移分量，共三个方程，理论上在边界条件的限定下，就可以得到问题的唯一解。——6个应力分量；例题1设有一无限大厚弹性板放置在一刚性平面上，如图所示，板厚度为

，弹性体密度为

，上表面受大小为

的均布载荷，试求该弹性体的弹性力学解。分析体力，由于本题中体力由重力产生，得解:由于弹性体在无限大范围内受均布载荷作用，因此任一竖直平面都可以是该问题的对称面，因此按位移写出的平衡方程，得——6个应力分量；例题1将体力、位移代入按位移写出的平衡方程中，有积分，得其中，A和B为任意常数。将位移分量代入应力分量的表达式——6个应力分量；例题1边界条件求解上表面边界条件将A、B的解代回位移分量和应力分量的表达式，得位移分量为上表面：下表面：将其代入下表面边界条件,得——6个应力分量；例题1应力分量为最大位移发生在弹性体的上表面此外，垂直截面上的应力

和

与水平平面上的应力

之比是一个完全由泊松比

决定的常数这在土力学中被称为侧压力系数。柱坐标系下的弹性力学问题02Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem柱坐标系01柱坐标是在极坐标的基础上发展起来的，相当于将极坐标面向

方向拓展，在极坐标里确定一点的位置坐标为

，在柱坐标里则为

如图所示。常见空间轴对称结构02长征五号运载火箭圆柱形压力容器椭球形压力容器xyzOρ

z空间轴对称弹性力学问题，除了要求弹性体几何上轴对称，还必须要求其所受的载荷和约束也是轴对称的。如图所示，混凝土浇筑管道，在管道外表面3600受相同的位移约束，满足轴对称，当管道内受均匀内压时，其载荷也关于对称轴对称，此时，求解管道的应力、应变，就可简化为轴对称问题。混凝土浇筑管道浇筑管道截面示意图空间轴对称弹性力学问题

对于空间轴对称问题，因为弹性体的几何结构、载荷、约束均为轴对称，其变形也必然为轴对称。轴对称问题的位移分析

如图所示，设

P

和

是关于

y轴对称的点，则设P点有图示方向环向位移时，

点的环向位移方向应为图中虚线所示。

但空间轴对称还是绕轴对称，即绕

z轴旋转任意角度后，满足空间轴对称的量将完全重合，将

P点绕

z

轴旋转至

，显然根据绕轴对称，

点的环向位移应为图中实线所示。

这一矛盾说明环向位移只能为0，即

。此外，由于轴对称，

和

w

也与

无关，它们只是

的函数。轴对称问题下的几何方程（1）只有径向（

方向）位移时xyzOPABC参考图中所示的构型

P-ABC，设

PB变形前长

，变形后长

（设径向位移量为

）,因此设P点位移

，则A点位移

因此

轴对称问题下的几何方程xyzOPABC设P点位移

，则C

点位移

因此PC长度为

从P点到A点,由于只有径向位移，PA不发生偏转。从P点到B点，只是

坐标增加

因此PB也不发生偏转。因此由于P点和B点在方向位移相等，变形前后，PB都垂直于面PAC，而PC只在面PAC中变形,因此设P点位移

，则C

点位移

PC

将发生偏转，因此

轴对称问题下的几何方程（2）只有轴向（z

方向）位移时考虑切应变，有考虑线应变，有（3）叠加

当同时存在径向位移和轴向位移时，叠加上述两种情况下的应变分量，得到空间轴对称问题总的几何方程，为xyzOPABC轴对称问题下的物理方程空间轴对称问题，只需要考虑4个应变分量。因此，广义胡克定律变为将前三式相加，得称为体积应变。称为体积应力。将广义胡克定律写成以位移分量表示的形式为此时，体积应变也用位移分量表示为轴对称问题下的平衡方程xyzOPABC

dρρdzzdrdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ空间轴对称问题，取如图所示的微元体，该微元体由两个柱面、以及两个通过对称轴的平面组成，高度为

，两个柱面之间的距离为

，两个过对称轴的平面所成角度为

。轴对称问题下的平衡方程ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ列出极径方向（方向）的平衡方程略去高阶无穷小量轴对称问题下的平衡方程列出轴向（z

方向）的平衡方程，有略去高阶无穷小量——为恒等式。总结以上讨论，得空间轴对称问题的平衡微分方程为：ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ轴对称问题下的平衡方程将物理方程代入平衡方程，可得到用位移表示的平衡方程，有空间轴对称问题的平衡微分方程为：——为极坐标系下的拉普拉斯算子。ρdρdzPCAfρfzyxO

d

fρ(ρ+dρ)d

ρd

dρ轴对称问题下的边界条件柱坐标系的边界条件为：l为表面外法线与

方向夹角的余弦，m为表面外法线与

方向夹角的余弦，n为表面外法线与z方向夹角的余弦。下面以圆柱体和圆锥体为例，写轴对称问题的边界条件。轴对称问题下的边界条件xyzO在顶面上，

时，

在底面上，

时，

在圆柱面上，

时，

对于圆柱体，其边界条件为对于圆锥体，其边界条件为xyzO在圆锥体锥面上，

时，在底面上，

时，以上即为空间轴对称问题的应力边界条件。球坐标系下的弹性力学方程03ElasticMechanicsProblemsinSphericalCoordinateSystem在工程中，有许多球对称问题，例如球形储气罐，球形爆炸容器等。工程中的球对称问题0201球坐标含义：在球坐标内，一点的坐标表示为

其中，

表达一点在空间的方位，如图所示，

称为天顶角，表示该点与原点的连线（径向连线）与

z

轴正向的夹角；

表示径向连线在xoy

平面内的投影与

x轴正向的夹角，称为方位角；r

相当于极坐标中的，仍然表示该点在离开坐标原点的距离（径向距离）。几何方程xyzOPBCA设在球体上任取一点P，并以该点为基准，分别沿

方向做增量

PAB平面投影PAC

平面投影PBC

平面投影设P点位移为

，r方向的应变为

方向的应变为几何方程PAB

平面投影PAC

平面投影PBC

平面投影PA和PB不发生偏转，因此

方向的应变为可见记为PA与PC、PB和PC均不发生偏转，因此整理上面式子，得此即为球对称问题的几何方程。物理方程写成

，整理得将几何方程代入平衡方程drrrdφdφrdφ(r+dr)dφ

考虑到，当dφ

很小时，sindφ/2≈dφ/2，同时，将两边同除以r2drdφ

2，略去高阶无穷小，有将应力分量代入例题2空心圆球：内径为a，外径为b；载荷：内表面受均布压力qa

作用

；外表面受均布压力qb

作用

；体力不计。——球对称问题求：应力分量和位移分量。当体力不计，fr

=0时，球对称问题位移形式的平衡方程为解:——Euler齐次变系数常微分方程求解如下：ab例题2消去对应特征方程：应力分量：边界条件例题2将

A、B

代回位移分量表达式，得球体的径向位移为将

A、B

代回应力分量表达式，得球体的径向位移为当只有内压q

，且令b→∞，式中解还可推广为无限大弹性体含有半径为

a的球形空腔，受内压时的解，有空间问题的位移势函数的引用04Applicationofdisplacementpotentialfunctionforspatialproblems确定位移势函数的基本方程01

假定：

（无体力）。

此时，位移平衡微分方程为：

引入函数：

使得：

式中：G

为剪切弹性模量，

满足上述条件的函数，称为位移势函数。此时，有：确定位移势函数的基本方程01将式代入位移平衡方程，有这就是位移势函数需要满足的泛定方程。其中的C是任意常数。确定位移势函数的基本方程01（1）取常数C=0，则有：即：

应为一调和函数。（2）即无体积变化。（3）应力分量计算：（当

=0时）当这样，对于一个空间问题，如果找到适当的调和函数

(x,y,z)，使得位移分量和应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。轴对称问题的位移势函数01其中假定：此时，位移平衡微分方程为：选取位移势函数：

使位移分量表示成：将其代入平衡方程，可得到位移势函数应满足的微分方程，推导过程如下：轴对称问题的位移势函数01代入综合两式可知柱坐标拉普拉斯算子：轴对称问题的位移势函数01从形式上看，柱坐标系下应力函数与直角坐标系下相同，注意的是直角坐标系下的拉普拉斯算子：柱坐标系下的拉普拉斯算子：取常数C=0，则有：即：

应为一调和函数。应力分量表达式为勒夫位移函数05Solutionofplaneproblems-Displacementmethod为了求解空间轴对称问题，勒夫（Love，1863-1940）引用一个位移函数

，把位移分量表示为确定Love位移函数的方程：表明：

应为重调和函数。应力分量的表达式为：边界条件要求：设有半空间体，体力不计，在其表面受有法向集中力F，如图所示。例题3解:同时，在O点附近应满足平衡条件：（1）引入勒夫位移函数

取

（2）代入位移分量式和应力分量式，有例题3（3）边界条件讨论：

——满足——不满足使得

与（4）选取轴对称问题的位移势函数令将上式代入位移分量式和应力分量式中，得例题3（5）将两者结果叠加，使其满足边界条件求出待定常数。叠加后的位移分量和应力分量为由边界条件

有

例题3将

代入平衡条件，得联立两式（6）将A1,A2代入，结果为此为著名的布西内斯克（Boussinsq,J.）解伽辽金位移函数06Galerkindisplacementfunction伽辽金（Galerkin）位移函数——适用于一般的空间问题，为Love位移函数的推广。引入三个位移函数：把位移分量表示为其中将式代入用位移表示的平衡微分方程（无体力）：将式代入用位移表示的平衡微分方程（无体力）：将其代回平衡微分方程第一式，得同理可得此为位移函数所应满足的条件。说明：三个位移函数都应当是重调和函数。将位移函数代入物理方程，求得应力分量：

对于一般空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数

使位移分量、应力分量满足所有的边界条件，即得到问题的正确解。应力边界条件要求：设有半空间体，体力不计，在其表面受有切向集中力

F

，如图所示。以力

F

的作用点为坐标原点O，作用线为

x轴，z

轴指向半空间体的内部。例题4解:F

此外还有由应力边界条件转换而来的平衡条件：例题4F

取长度坐标为零次幂的调和函数为位移势函数：（1）选取伽辽金（Galerkin）位移函数和位移势函数：取长度坐标为一次幂的重调和函数为伽辽金位移函数：（2）求出相应的应力分量与位移分量并叠加：（3）由边界条件确定常数A1、A2、A3例题4F

（4）代回应力与位移分量式，得最终结果。位移分量：例题4F

应力分量：伽辽金位移函数也可选为：半空间体表面受法向分布载荷问题

07Theproblemofnormaldistributedloadonthesurfaceofahalf-spacebody例题5M

点的沉陷为以均布法向荷载

q

作用在半径为a的圆面积上的情形为例，如图所示，求出半空间体边界上距圆心为

r

的一点

M的沉陷。解:因而

M点的总沉陷为注意弦

mn

的长度为

，并在对

进行积分时考虑对称性，有

例题5由于

，有将其代入式中,有式中：

为

的最大值，即圆的切线与OM间的夹角。例题5当M点位于圆的边界时，

，

有若M点是在荷载面积之内，如图所示，M

点的沉陷仍为注意弦

mn

的长度为

，而

由

，所以有例题5当M点位于圆心时，r=0，有利用比较式,可见最大沉陷是荷载圆的边界沉陷的

倍。例题5当集中力作用时，有：求应力分量，和位移计算类似，由叠加法计算求得。将式中的F

用

代替，并对

r积分，有求水平面内的应力分量

：在对称位置，取四个微面积：1、2、3、4，每一微面积均为：rd

dr,例题5由公式可知将式中的F

用

代替，有再考虑微面积：3、4的两个载荷

，有例题5将两式相加，有再考虑微面积：3、4的两个载荷

，有将式子对变量r

积分，

对

积分，,即例题5剪应力发生在与z轴成45°的斜面上，其值为：将上式对变量z求导，并让其为零，可求得：即该点取得整个弹性体中最大剪应力，其值为：若取

=0.3，

z=0.637a处，两球体之间的接触压力08Contactpressurebetweentwospheres研究两弹性体在接触点由于接触压力引起的应力与变形。——接触问题，也称赫兹（Hertz.H，1885）问题）。特点：（1）接触处的接触压应力为未知量；（2）边界条件是未知的，由接触压力引起的变形决定的；——状态非线性问题。假定：（1）假定接触面表面为理想光滑面，摩擦力可不计；（2）接触处的变形为小变形，局部性的，接触面的边界尺寸远小于弹性体的几何尺寸。研究思路：利用半空间体边界上作用法向力的结果，近似分析接触问题。——限于分析两球体间的接触问题。接触问题及其特点设两球体的半径分别为：R1、R2，当无压力作用时，两球体仅为一点O接触。

考虑距接触点公法线为r的两点：M1、M2，它们距公切面的距离分别为z1、z2，则几何关系有由此可求得：若点M1、M2

离接触点O很近，则z1<<2R1

、z2<<2R2,于是，近似有：M1、M2

两点间的距离：

当两球体以一力F相压时，在接触点附近将发生局部变形，出现一边界为圆形的接触面。

在小变形情况下，接触面半径远小于R1、R2，故可利用半空间体的成果进行分析。

命

z1

轴上及

z2

轴上的两点A、B，设它们在两球相压时趋近的距离为

，当

M1

恰好与

M2

接触时，有

此时，

M1

和

M2

之间并没有接触力，若

M1

和

M2

之间存在接触力时，

M1

和

M2仍需各自产生

w1

及

w2

的位移，此时

将式

代入，有其中

式中：将式

代入，有

利用前章节半空间体受分布压力时的位移计算公式，M1点的变形位移为：式中E1、1分别为下球体的材料常数；q为接触面上的压力。对上球体类似可以写出相似的表达式。于是得到：赫兹（Hertz.H）假定：

假定接触面边界上的压力按接触面边界的半球面分布。证明如下：由图中可知，压力大小的比例因子为：q0/a。沿弦mn的压力变化规律如虚线所示的半圆。因此沿弦mn的积分：其中：A为该半圆的面积，即,将其代入式(h)中，有(h)左边积分后，得比较两边常数项和r2的系数，有由此表明：按Hertz给出的关于q分布的假定，能使式得到满足。以下确定q0、a：

由此得，最大接触压力值为：

最大分布压力值等于平均压力F/a2的1.5倍。利用式：

以及

代入式

，得

设两球体间的总压力为F，则以a为半径的半球体的体积等于F。即

(8-33)最大接触压力值为：若取：,,可得（1）由此可确定：接触处的最大压应力：q0,发生在接触面中心。最大拉应力：

发生在接触面边界上。讨论：最大剪应力：

距接触点