弹性力学 课件 马宏伟 第1-6章 绪论-平面问题的极坐标解答

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12力学课程回顾00ReviewofMechanicsCourse钢丝绳检测小麦倒伏问题汽车传动系统吊车桁架结构苏州博览中心网架＋门式刚架瓦楞纸板泡沫金属金属橡胶通过特殊的结构设计改善材料特性行业力学建筑力学桥梁力学岩土力学施工力学机械设计水力学等断裂力学复合材料力学塑性力学粘弹性力学牛顿、非牛顿流体振动力学波动力学弹性静力学弹性动力学流体力学固体力学连续介质力学（入门课程：弹性力学）力学专业课程材料力学、结构力学工程意识理论力学力学原理高数、几何、微分方程等数学基础基础按照平衡条件发展按照研究对象发展计算力学实验力学理性力学图1力学课程体系结构图横截面绪论Introduction弹性力学的研究内容01从材料力学到弹性力学02弹性力学的基本假设03弹性力学的研究内容01Thecontentandbasicassumptionsofelasticity研究内容弹性：材料在外力或其它作用（如边界约束、温度改变）下发生变形，而撤去外力或其它作用时，物体恢复原状的特性。弹性力学的任务：与材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和变形（位移），以确定它们是否满足工程所需要的强度、刚度和稳定性条件，并寻求或改进它们的计算方法。材料力学杆件梁轴结构力学杆系桁架刚架等弹性力学板壳其它几何体挡土墙堤坝地基等弹性力学的研究对象从材料力学到弹性力学02Frommaterialmechanicstoelasticmechanics杆件是大自然广泛存在的结构之一，也是被人才最早应用的结构在人类早期的工具中有许多属于细长结构，如棍棒、骨针，以及石刀、石斧、石矛的把等，因此与细长构件相关的力学问题也最先被提出来加以研究。工程上仍存在许多非细长结构，它们如何进行力学分析？利用微元体解决结构任意形状的问题应力01材料力学从讨论杆件基本变形入手，首先采用截面法求出构件截面上的内力，然后通过观察变形得到内力在截面上的分布规律，进而求出应力。弹性力学采用了柯西定义：首先构造一个四面体微元，设P点是的弹性体内部一点，以P点为基准，沿x，y，z三个方向分别延伸三个微量△x，△y，△z，设顶点分别为A、B、C，连接ABC组成的任意微面（称为柯西斜面），在柯西斜面上定义应力。基本概念应变02基本概念材料力学首先给出杆件发生均匀变形时应变的概念，如直杆轴向拉压，其轴向线应变被定义为杆件轴线方向单位长度的改变量切应变

定义为构件上两正交线段夹角的改变量，若直角改变了

，则切应变被定义为弹性力学中强调一点处的应变，选择任意点P，以P点为基准，在x,y,z方向上分别取微段△x=PA,△y=PB,△z=PC，如图1.5所示，该点处的变形可由该点处三个方向的线应变

，

，，以及三个切应变

，

，，共6个应变分量表示变形和位移03基本概念材料力学里讲到构件变形时，都选择了构件的几何特征量，例如拉伸作用下杆件轴线方向的伸长或缩短，扭转作用下截面之间发生的相对转动，以及梁弯曲时截面绕中性轴的转角、中性层表示挠曲线等。在弹性力学中，变形分析不再是讨论几何特征量，而是直接讨论弹性体上每一点的位移，分别用u，v，w来表示，共三个位移分量。确定了构件上每一点的位移，自然可以确定构件上几何特征量的变形。含义：作用于物体上的外力通常有表面力和体积力两种，前者简称为面力，后者简称为体力。（材料力学中外力，有分布力和集中力之分。）外力04基本概念面力（Surfaceforce）：分布在物体表面上的力，例如风压力、液体压力、两固体间的接触力等等。物体在其表面上各点所受的面力一般是不同的。面力集度表示为：体力（Bodyforce）：分布在物体体积内的力。例如重力和惯性力。物体内务点受体力的情况一般也是不相同的。为了表明该物体在某一点P所受体力的大小与方向，我们同样采用体力集度按极限的概念来定义，即作用在物体内菜一点P处的体力的集度为：内力05含义：物体受外力作用以后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。基本概念六面体微元体正坐标面负坐标面基本概念应力符号的含义应力方向规定与切应力互等注意：在弹性力学中，正应力的规定与材料力学同，但剪应力则不完全相同。切应力互等同理第一个下标i

代表应力所在面的外法线方位与坐标方向i的方位一致;第二个下标j代表应力的方向与坐标轴j的方位一致。剪应力的下标做同样的理解。i(i,j=1,2,3)j确定应力的方向确定应力所在微面弹性力学的基本假设03Basicassumptionsofelasticity连续性假设01假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样的材料，也称之为连续介质。这样，物体内所有点（数学意义上的点）都有物质，所有点的力学量，如应力、应变、位移等都有实际意义，在整个物体上都可以用数学上的连续函数来描述。完全弹性假设02假定物体在引起变形的外界因素被消去以后，能瞬时、完全恢复原状，而没有任何剩余变形，并且完全服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成比例，反映这种比例关系的常数，即所谓弹性常数，并不随应力或应变的大小和符号而变。均匀性假设03假定整个物体是由同一材料组成，这样，整个物体的所有各部分都具有了相同的弹性性质，其弹性常数不随位置坐标变化，可使得问题分析得到极大的简化。工程上，若物体由两种或两种以上材料组成，如果每一种材料的颗粒都远小于物体，而且在物体内均匀分布，这个物体就可以使用均匀性假设。各向同性假设04假定物体内任意点的弹性性质在各个方向上都相同，弹性常数不随方向而变。这一假设也建立在一定的尺度上，例如钢材，在微观上它的晶体具有各向异性特征，但由于晶体很小，而且随机排列，在宏观上钢材就表现出近似的各向同性特征。小变形假设05即假定物体在受到外力或其它外部作用发生变形时，变形量与其本身的几何尺寸相比属于高阶小量，可以不考虑因变形引起的尺寸变化。这样，就可以用变形前的几何尺寸来代替变形后的尺寸，使得在进行力学分析时使问题大为简化。基本假设的意义

在上述五个基本假设中，连续性假设和均匀性假设目的是为了解决数学连续性与实际材料不连续或不一致（微观或宏观上）之间的矛盾，完全弹性、各向同性、小变形假设则限定了弹性力学研究的范围，从而能够得到较为简单的弹性理论方程体系。相反，任何一个基本假设被放松之后，都会形成另外一门专门力学。谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12弹性力学的基本方程Thebasicequationsofelasticmechanics弹性力学的方程思想01平衡方程02一点处的应力状态03最大、最小应力04几何方程05一点处的应变状态06物理方程07弹性力学方程的张量表达08弹性力学的方程思想01Theequationideaofelasticmechanics弹性力学的方程思想z弹性力学问题求解需要满足平衡方程、几何方程、物理方程，用到的求解方法有三类：应力法，位移法，混合法。已知鸡和兔同在一个笼子里，头有35个，脚有94只。问笼中有多少只鸡，多少只兔？设笼中有x只鸡，兔子y只。弹性力学理论体系也具有设未知量、列方程、求解方程的基本框架。弹性力学的未知量：平衡方程02EquilibriumequationxyzOPABC在P点附近取一微元体，如图所示，设P点坐标为（x,y,z），且应力状态可由微面PBC，PAC，PAB的应力分量确定，即若弹性体内应力分量为坐标的连续函数,则相邻点的应力分量可通过泰勒级数展开求出。P'依据泰勒级数展开规则，若已知微面PBC、PAC、PAB上的应力分量，则微面P'A、P'B、P'C上的应力分量可写成PABCP'过微元体绕过体积中心且平行于z轴的直线为矩轴，列出对矩轴的平衡方程，有化简后，同理PABCP'虑沿三个坐标方向的平衡，以x方向的平衡为例两边同时除以dxdydz，可得考虑沿坐标方向的平衡，以x方向为例，另外由三个方向轴的力矩平衡：可得到：得到微元体的平衡微分方程为：zPABC——剪应力互等定理P'一点处的应力状态03Stressstateatonepoint

任意斜截面上的应力NxyzOPABCpypzpx设已知物体在P点的应力，在O-xyz坐标系下，可表示为：对P点取如图所示的四面体（微元体），斜截面ABC的外法线方向为N，其方向余弦分别为：设平面ABC的面积为，平面PBC、PAC、PAB的面积分别为：设四面体PABC的体积用代表。有

任意斜截面上的应力同理，考察y，z方向平衡可得设斜面上的应力在三个坐标方向的投影分别为由x方向平衡，得：NxyzOPABCpypzpx

任意斜截面上的应力斜截面上的剪应力

N：斜截面的正应力

N：用矩阵表示

：因为斜面上全应力p

可表示为NxyzOPABCpypzpx主应力与应力主向定义：当P点的某一斜面上的剪应力为零时，则该斜面上正应力称为P点的一个主应力。该斜面称为P点的一个应力主面（主平面）。主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。分析：在主应力面上，有则该面上全应力：将p

=

向三个坐标轴投影，有（a）（b）l,m,n要有非零解，要求系数矩阵行列式为0求出求解上述方程，可以得到三个根。三个根中，值最大的为，值最小的为，中间的为，它们就是P点的三个主应力，由此三个主应力描述的应力状态为例:在材料力学中学过的纯剪应力状态，其应力矩阵可表示为依据式（a）解得将和纯剪状态应力矩阵代入式(b），得联立，得说明，位于方向为或者的微面上，该平面为第一主应力平面。同理，可求出第二主应力平面、第三主应力平面。应力不变量任意方向的应力分量与主应力方向都应满足：展开，得这说明均不随坐标发生变化，又因为它们是由应力表示的量，因此它们分别被称为第一应力不变量、第二应力不变量、第三应力不变量。

最大、最小应力04Maximumandminimumstresses最大、最小正应力设

1、

2、

3已知，如图取坐标系，则有

按主应力状态，任取一斜截面，其法线N的方向余弦为：l、m、n。由斜截面应力计算公式得：由式：

1

2

3主应力单元体xyzxyzO

1

2

3N

N最大、最小正应力xyzO

1

2

3N

N

将

N视为变量m、n的二元函数，对m、n求偏导数，并令其等于零，有表明：

N的一个极值为

1。同理，再分别消去m和n，可求得：

N的另二个极值为

2、

3。比较极值

1、

2、

3中最大者，即为最大应力；最小者即为最小应力。通常取最大应力——

1；通常取最小应力——

3。即：可求得：将其代回：可求得：最大、最小切应力xyzO

1

2

3N

N如图选取坐标系，斜面上的应力在三坐标方向的分量为：代入式利用消去l,得最大、最小切应力xyzO

1

2

3N

N分别对m和n求导确定极值可得两类解解第一类解，得，解第二类解得正应力、切应力取极值的六种情况显然，最大最小剪应力：

3

1

2zxy最大最小剪应力平面000(

N)20±100n00±10m000±1lσNσ1σ2σ3几何方程05Geometricequations平衡方程物体变形分为两类:一类是线段的伸长和缩短,另一类是线段之间夹角的改变,这两类变形在力学上分别对应于正应变(也称线应变)和切应变(也称角应变、剪应变)。描述物体变形的线应变和切应变就与各点的位移之间存在一定的关系,利用位移写出应变分量的方程被称为几何方程。B点的位移：P点的位移：A点的位移：B点的位移：xyzdxdydzPABC俯视图PBAdxdyxyεx与位移之间的关系A点在x方向的位移用泰勒级数展开表示为只保留一阶项,忽略高阶项,A点在x方向的位移近似为利用线应变的定义，得同理，可得俯视图PBAdxdyxyγxy与位移之间的关系根据角应变的定义，有ABPP'A''B''B'A'βα当物体处于小变形状态下，有因此综上所述,微段PA和PB在变形过程中的应变分量为同理,用同样的方法求微段PB和PC在变形过程中的应变分量：微段PA和PC在变形过程中的应变分量为整理得到几何方程：一点处的应变状态06Strainstateatonepoint平面内任意方向的线应变利用泰勒级数展开,写出A点位移分量在Р点的展开式,并略去二阶以上的高阶无穷小有P'A'在x方向的投影:P'A'在y方向的投影:任意方向微段由PA变为P'A'

，记P'A'变形后的线应变为εN，则有P'A'在x方向的投影:P'A'在y方向的投影:依据线段投影和线段长度之间的关系,有等式两边同时除以dr2,得

表示微段PA与x轴正方向夹角的余弦,记为l

表示微段PA与y轴正方向夹角的余弦,记为m

表示线应变

x

表示线应变

y平面内任意方向的线应变将上式展开，并略去二阶以上的项，有考虑到，上式可写为平面内任意方向的线应变改写为在应变测试技术中，通常采用应变花测试结构表面一点处的应变。一般情况下应变花由三个不同方向上的应变片组成，设三个方向分别为N1，N2，N3方向，方向余弦分别为(l1,m1)，(l2,m2)，(l3,m3)，则可写出三个式子为任意方向的切应变假设变形后PA和PB分别对应于P'A'和P'B',则任意夹角的角应变γ

就可以定义为设PA方向为(l1,m1),PB方向为(l2,m₂)，则它们夹角可以用向量内积表示为同理设变形后P'A'和P'B'的方向为

(l'1,m'1),PB方向为(l'2,m'₂)，θ2表示为求变形后长度假设变形前PA长度为dr1，根据线应变原理，求解得到l'1,m'1长度分子与分母同乘（1-

N1）同理得到l'2,m'2长度任意角度的改变γ为空间情况推广设任意斜方向线段长dr,变形后各坐标方向投影a=（l，m，n）a=（l，m）向量表示空间情况平面情况方向余弦x方向:y方向:x方向:y方向:z方向:可看作是空间情况dz=0的特殊情况可看作是空间情况n=0的特殊情况空间线应变的求法设任意方向的线应变为εN,设微段原长为dr,则变形后的长度为dr'=(1+εN)dr,有下列关系:展开上式,并略去高阶无穷小,得令可以写成与求解主应力类似的形式:因此,一点处的应变状态也可以写成应变矩阵的形式:空间切应变的求法考虑空间任意一组微段PA和PB,设其变形前分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）变形后P'A'方向矢量为变形后P'B'方向矢量为任意方向切应变为主应变与应变不变量主应变表示微元体在变形过程中只有边长的伸长或缩短,而无畸变，一点处的应变状态表示为应变矩阵,有设矢量{l,m,n}为一个主应变方向,对应的主应变为ε,则该线应变在坐标方向上的应变分量为lε、mε

、nε,类似于求主应力,有主应变与应变不变量若存在这样的主应变方向,则l、m、n不全为0,有展开上式，得若x、y、z

恰好为主应变方向，三个主应变为：

1、

2、

3，此时：

yz

=

zx

=

xy=0，于是有主应变与应变不变量上述θ1,θ2,和θ3,分别被称为第一应变不变量、第二应变不变量和第三应变不变量。因为主应变：

1、

2、

3不随坐标系的变化而变化，有物理方程07Physicalequations物理方程表征了材料在发生变形时应力与应变之间所满足的关系,因此,也被称为应力-应变关系,因其又反映材料的本质特性,也被称为本构关系。一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：以σx

,为例来考虑,当函数为光滑连续函数时,利用多元函数泰勒级数展开,并略去二阶以上小量，可得其中，(f1)0表示弹性体的初应力,不考虑初应力时,有(f1)0=0。令因此,

σx可近似写成一次函数其余各式均可采用类似地方法,写成一次函数的形式：［C］为物理方程的系数矩阵，共36个常数。写成矩阵形式标记应力、应变分量的排列顺序：所以：考虑应变能。回顾：当压缩一个线性弹簧时，外力做功等于弹性势能的增加量，有将这一定义应用到线弹性的微元体上，微元体储存的应变能可表示为所以,极端各向异性材料物理方程包含21个独立的常数。（1）一般情况（a）利用应力与应变的关系把式(b)代入到式(a)中，得即有（b）同理，应变能密度也可写为

，将代入，同样可得考虑材料具有一个弹性对称面，如设xOy为对称面，则在两个坐标系中求解力学量,并不会因为z坐标系的正负不同而不同。zyxOzyxO仍考虑应变能密度

，将式(c)展开（2）具有一个弹性对称面的情形由几何方程zyxOzyxO可见,材料具有一个对称面物理方程包含13个独立的常数。由于在两个坐标系下正负号相反，因此，含有项系数应该为0，因此,系数矩阵化简为若物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性材料。简称正交异性材料。可见：正交各向异性材料的弹性常数为9个。（3）具有三个对称面的情形（正交各向异性）czyxOzyxO（a）zyxO（b）zyxO（c）（d）坐标系(a)与(b)关于xOz平面对称,坐标系(a)与(c)关于zOy平面对称,坐标系(a)与(d)关于xOy平面对称。因此,系数矩阵化简为这类材料有：设在正交各向异性材料的三个正交弹性对称面中,有一个弹性对称平面内,材料具有各向同性性质,这类材料被称为横观各向同性材料,此平面称为各向同性面。可见：横观各向同性材料的弹性常数为5个。（4）横观各向同性材料因此,系数矩阵化简为

这类材料有：可见：各向同性材料的弹性常数只有2个。（5）各向同性材料因此,系数矩阵化简为这类材料有：各向同性材料表示材料任意方向的弹性性质都相同,各方向弹性模量相同,这类材料被称为各向同性材料。拉梅常数法国力学家拉梅(GabrielLamé,1795-1870)曾给出过物理方程的一种形式将系数矩阵代入方程，得对比两个方程，可得被称为拉梅常数。E和μ分别为弹性模量和泊松比。拉梅(GabrielLamé,1795-1870)广义虎克定律若将三个坐标轴方向设为三个主应力方向表明：三个主应力方向与三个主应变方向重合。这时有

1

2

3xyz将上式的三个线应变的方程相加得根据前面的记号，有于是前式可表示为：在三向拉伸时体积膨胀,有单向拉伸时，设x方向受单向拉伸，则有∵单向拉伸时有横向收缩，有综合上述结果，得：——体积应变——第一应力不变量，称为体积应力负泊松比材料特殊性质及应用负泊松比材料在受拉时横向会膨胀，受压时会收缩具体的应用有新型扣件（fasteners），这种材料还可以用于夹心板中（Sandwichpanel），当板弯曲时，负泊松比材料会向上凸，这使镶入其他材料更为容易，这种材料在汽车和飞机中都有应用。负泊松比材料在受弯曲时内部形成中空低气压带可以提高材料的背部支撑力，使其对冲击有更好的缓冲作用可以用于一些保护用品中，如防弹背心，护膝，缓冲垫等。负泊松比材料由于其具有球型腔的内部结构在受张力时球型腔会胀大，这种效应会使应力集中降低，从而提高有微裂纹材料的强度另外，由于凹孔泡沫自身的特殊结构，对声音有很强的吸收能力弹性力学方程的张量表达08Tensorrepresentationofelasticmechanicalequations数量、向量、张量数量：也称为标量，指只有大小，没有方向的量，如温度、质量、密度等；向量：也称为矢量，指既有大小，也有方向的量，如力、速度、加速度等；张量：指一群满足一定变换规则的量的组合；如应力张量、应变张量等。数量和向量也是特殊的张量，分别为零阶张量和一阶张量。应力张量为二阶张量。如：应力张量可表示为缩写为(i=1，2，3)(j=1，2，3)张量的变换规则

SPx1Ox2x3A假设

是一已知矢量，另有任意数组

（不确定是否为矢量），先求其不变量的一次形式定义为：P'坐标系

和

是两个坐标系，有两个矢量A和S,显然A与S的点乘（内积）不会因坐标系的不同而不同，这成为张量的一个不变量。张量就具有在坐标系发生变换时，不变量保持不变的特性。当坐标系发生变化时，上述不变量的一次式保持不变，就称数组

为矢量，矢量也被称为一阶张量。张量的变换规则假设和是两个已知矢量,另有任意数组,

不变量的双一次形式定义为当坐标系发生变化时,上述不变量的双一次式保持不变,就称数组为二阶张量。应力张量就是一个二阶张量。张量的变换规则假设、

、

是三个已知矢量,另有任意数组

,

不变量的双三一次形式定义为当坐标系发生变化时，上述不变量的三一次式保持不变,就称数组为三阶张量。仿照上述方式，可以构造出四一次形式、五一次形式等等，同样的方法，可以用它们定义出四阶张量、五阶张量等更高阶的张量。（1）张量概念的要点：存在一个与坐标变换无关的不变量F，如：二阶张量张量是一群具有下标量的集合。一阶张量：（即：矢量）0阶张量：（即：标量）如：温度T、能量U等分量数：1（2）张量的阶数与分量数：张量的阶数=表示张量所用的下标数在三维空间中，其分量数：3在二维空间中，其分量数：2二阶张量：在三维空间中，其分量数：9在二维空间中，其分量数：4三阶张量：在三维空间中，其分量数：27在二维空间中，其分量数：8n阶张量:在三维空间中，其分量数：在二维空间中，其分量数：张量的基本运算（1）张量的和若两个二阶张量[aij]与[bij],其和张量为[cij]，则有同理，可定义n阶张量的和运算。说明：（1）张量的和运算必须在两个同阶张量间进行。（2）张量的和运算为两张量对应分量的和运算。这一点与矩阵运算相似。张量的基本运算（2）张量的求导运算在弹性力学中，常遇到一些量（如：位移分量ui、应力分量

ij、应变分量

ij等）对于坐标的偏导数：偏导数的下标记法如下：上述中的每一组量的集合都是张量。如：——9个量的集合，为二阶张量。——27个量的集合，为三阶张量。——81个量的集合，为四阶张量。很显然,张量形式比分量形式具有更加简洁的书写格式。求和约定凡在同一项内，有一个指标出现两次时，则该指标从1~3求和（对二维空间，则从1~2求和）。——Einstein求和约定作求和的下标——称为哑指标；不作求和的下标——称为自由指标。在弹性力学中,用到求和约定的式子有很多,例如上面的式子中,j是哑标,表示求和,展开为三项之和,这里

i是单独的,被称为自由标,求和约定不影响自由标。可见求和之后自由标保留,哑标消失。平衡方程的张量形式平衡方程：上式式子展开，得再将1、2、3轴变换为x、y、z轴几何方程的张量形式几何方程：上式式子展开，得再将1、2、3轴变换为x、y、z轴从这能看出物理方程的张量形式物理方程：先对j展开，得再对i展开，第一式展开为由于,只写出后面两项,展开第二式为由于,只写出最后一项,展开第三式为整理后,广义胡克定律为物理方程的张量形式谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12边界条件BoundaryCondition边界条件的分类与本质01应力边界条件02位移边界条件03无限大特殊边界04简单弹性力学问题求解05边界条件的分类与本质01Classificationandnatureofboundaryconditions边界条件设有一被固定约束的弹性体,其边界上一部分受面力

作用,另有一部分为自由状态。边界上的微元体,将有一个微面成为边界的一部分,不再有相邻的微元体，此时微元体将受边界上的外力限制；若边界微元体正好处于约束区域，其变形和位移又必将受到约束的限制，这些边界上的力和变形的限制统称为边界条件。边界条件是平衡方程在边界上的表现边界条件的分类如果边界上作用的面力已知如果边界上位移已知应力边界条件位移边界条件既存在面力，又有位移约束混合边界条件应力边界条件02Stressboundarycondition边界条件：定义：应力边界条件本质上反应了弹性体在边界上的平衡条件。将图示微元体斜面视为边界面，其上受面力

，

，

。

解：方向余弦为将方向余弦和面力分量代入，得位移边界条件03Displacementboundarycondition

弹性体放置在无摩擦的刚性面上，边界条件为如图示，弹性体放置在无摩擦的刚性面上，边界条件为如果弹性体在下表面被完全约束，边界条件为如果弹性体上方有另一个刚性平面将弹性体压下∆，则边界条件为材料力学典型位移约束固定铰支座约束滑动铰支座约束固定端约束实际约束的简化桥梁：焊接：无限大体的特殊边界04Specialboundaryoftheinfinitegeneral弹性力学中，经常提到的无限大体、半无限大体，这些概念该如何理解？本质上，可以将无限大体和半无限大体视为一种特殊的边界模型，这种模型不需要考虑边界条件（或边界条件很少）。对于特殊的弹性力学问题，可以使用“无限大体”或者“半无限大体”模型，简化弹性力学问题。“基本方程+边界条件”是弹性力学的基本体系，但有时复杂的边界条件会给分析问题带来极大的困难，甚至得不到解析解。解：如图建立坐标系，由于所研究的物体在xoy平面内受均布载荷，因此将将其视为一维问题，应力只沿z轴方向变化，而不随x,y变化，也就是对x,y求导等于0。因此，平衡方程简化为例：如图半无限大体，不考虑体力，设在其表面受均布载荷q作用，试求无限大体的应力解。代入边界条件，得在山体中开挖一个山洞，若山洞的直径远远小于山体，就能将山体视为“无限大体”；在大地上盖了一座高楼，研究高楼对大地引起的应力分布，可以将大地视为“半无限大体”。这类问题只在局部引起应力分布而远在远端应力为0或某一常数，应力边界条件为

也可以考虑在远端不引起物体变形，位移边界条件为

其中，Ci(i=1,2,…,6)等于常数或者0。简单弹性力学问题求解05Simpleelasticmechanicsproblemsolving空间问题的基本方程平衡方程几何方程物理方程弹性力学基本方程简化

平衡方程几何方程物理方程弹性力学问题求解例1设有高有h的立柱，密度为ρ，则体力fx=-ρg，下端为固定端，上端受均布载荷q作用，利用前面分析得到的应力、位移结果求立柱的应力和位移。边界条件：代入应力边界条件：代入位移边界条件：将C2代入，得将C1代入，得谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12平面问题的基本理论TheBasicTheoryofPlaneProblems平面应力问题与平面应变问题01平面问题的基本方程02平面问题的边界条件03圣维南原理与等效边界条件04平面问题的求解——位移法05平面问题的求解——应力法06艾力应力函数

逆解法与半逆解法07叠加原理与唯一性定理08平面应力问题与平面应变问题01Planestressproblemandplanestrainproblem一、平面应力问题(planestress)含义：物体在一个坐标方向(例如z方向)上的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，图示的薄板，板厚就远远小于板面x、y方向的尺寸。几何形状特征01一、平面应力问题(planestress)含义：根据问题的特征，经过分析判断可预先未知数中一部分为零或接近于零，或与其他分量虽相比，小到可以忽略不计的程度。简化分析03含义：在薄板的两个侧表面上无表面荷载，作用于薄板边缘的表面力平行于板面，且沿厚度方向不发生变化，或虽沿厚度方向变化但对称于乎板画的中间平面，即合力与中平面重合。同时，体力亦平行于板面，且沿厚度方向不变。02承受荷裁特征应力分析由剪应力互等定理，得故平面应力问题的非零应力分量为薄板，应力不沿厚度方向变化一、平面应力问题(planestress)工程中的平面应力问题在实际工程中，可以简化为平面应力问题的例子很多。例如，高层建筑中的剪力墙、深梁、平面吊钩，以及平面链环、被圆孔或圆槽削弱的薄板等等，都可简化为平面应力问题。一、平面应力问题(planestress)二、平面应变问题(planestrain)含义：柱体的体积力和侧表面所承受的表面力均垂直于z轴，且分布规律不随坐标z变化，柱体的位移约束条件和力的支承条件沿z方向也是相同的。承受荷裁特征02含义：与平面应力问题相底物体沿一个处标轴（例如z轴）方向的尺寸远大于其他两个坐标轴（x轴和y轴）方向的尺寸，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等截面柱体。01几何形状特征简化分析03含义：等截面柱体，例如挡土墙、隧道、重力坝和圆管等，如果受到垂直于z轴且不沿长度变化的荷载作用，就可以假定所有横截面都处于相同的情况。应变分析二、平面应变问题(planestrain)长柱结构，只受平行于横截面且不沿长度方向变化的载荷，此时有平面BOC上的点只沿平面位移，得故平面应变问题的非零应力分量为工程中的平面应变问题堤坝筒体滚轴涵洞二、平面应变问题(planestrain)胡克定律三、平面问题的应力、应变分量平面应力平面应变应变分量（据胡克定律）应力分量（据胡克定律）平面问题的基本方程02Thebasicequationforplaneproblem平面应力问题的基本方程平衡方程考虑平面应力问题广义胡克定律考虑平面应力问题平面应力问题的基本方程几何方程由广义胡克定律可知表示为同时

可由

表示因此，平面应力问题需要求解的应变分量只有几何方程可简化为平面应变问题的基本方程几何方程由前面分析可知平面应变问题，有因此，几何方程可简化为且力学量不随坐标z发生变化，有广义胡克定律考虑广义胡克定律简化为平面应变问题的基本方程平衡方程因此，平衡方程可简化为平面应变问题仍只有3个未知量由前面分析可知平面应力问题与平面应变问题物理方程对比平面应力问题平面应变问题另外，对于平面应变的情形，只要将平面应力时的物理方程中的弹性常数作如下变化，则可得到平面应变时的物理方程：平面问题的边界条件03Boundaryconditionsforplaneproblem含义：弹性力学平面问题的基本方程也由微分方程给出，求解时同样需要给出边界条件确定积分常数。类似于空间问题，平面问题的边界条件也可以分为应力边界条件、位移边界条件和混合边界条件三类。对于平面问题，包括平面应力和平面应变问题，其所有的未知量都可以在同一个平面内表示。如图a所示。考察边界上的任意一点，不妨设为P点，构造微元体PBC，如图b。斜面BC的方向由外法线方向n分别与x轴、y轴正向夹角的余弦确定，称之为方向余弦，并定义：应力边界条件（a）（b）将斜面BC上的面力分解为

和

，规定面力分量的方向与坐标方向一致时为正，相反时为负。设BC的面积为ds，建立平衡方程应力边界条件整理得例题1图中所示为一变截面悬臂梁，斜边界上受垂直于边界的均布载荷q，水平边界为自由边界，试写出该悬臂梁的边界条件（暂不考虑固定端边界条件）第一步，如图所示，建立坐标系。解:第二步，分析边界。（1）水平边界边界位置：用方程写出水平边界为y=0；方向余弦：其外法线方向与x轴垂直，边界面力：水平边界为自由边界，例题1第二步，分析边界。（2）斜边界边界位置：用方程写出斜边界为

方向余弦：边界面力：第三步，写边界条件。（1）在水平边界上，即y=0，（2）在斜边界上，即练习题有些弹性力学问题的边界较为复杂，如图所示，试写出该问题应力边界条件。位移边界条件在物体的达界上全部给定位移，用Su表示，如图示，这时，位移边界条件为：位移的边界值，是待求的在边界上是坐标x，y

的函数，是已知的例题图中所示为一变截面悬臂梁，斜边界上受垂直于边界的均布载荷q，水平边界为自由边界，试写出该悬臂梁固定端的位移边界条件。第一步，如图所示，建立坐标系。解:第二步，分析固定端边界。该边界的特点是边界上各点既不能发生线位移，也不能发生角位移（转动）。边界位置：固定端边界；线位移约束：不能上下、左右移动：边界面力：不能发生转动：例题边界面力：不能发生转动：表示固定端上任意点处竖直微段的偏转角表示固定端上任意点处水平微段的偏转角第三步，写出位移约束条件。在x=0处：圣维南原理与等效边界条件04Saint-Venant'sprincipleandequivalentboundaryconditions应用背景从数学上难以完全满足边界条件。应用条件替换力系与原力系“静力等效”；在弹性力学问题的小边界上使用。如果改变物体的某一局部(小部分)边界面上作用的表面力的分布方式，但保持静力上的等效(即主向量相同，对于同一点的主矩也相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，而远处的应力改变甚小，可以忽略不计。这一叙述称为圣维南原理。原理静力等效写边界条件01考虑图中所示的悬臂梁，在自由端受集中力Fx、Fy以及外力偶矩M作用，试利用圣维南原理写出该边界上的静力等效边界条件。解:在离开自由端很近的地方假设用截面A-A将其截开。取截出的微段，画受力图如图所示。写出微段的平衡方程，有01考虑建立坐标不通过梁截面形心的情况，新、旧坐标系满足关系式写出微段的平衡方程，有这说明新坐标系下外力的简化结果也需要对新坐标原点进行简化。静力等效写边界条件平面问题的求解——位移法05Solutionofplaneproblems-Displacementmethod胡克定律几何方程或平衡方程平面问题的基本方程平面应力问题平面应变问题位移为基本变量的平衡方程代入几何方程胡克定理平衡方程位移为基本变量的平衡方程思考：用位移表示的平面应力问题有几个基本方程？如何转换为平面应变问题？位移边界条件仍然表示为：应力边界条件平面问题的求解——应力法06Solutionofplaneproblems-Stressmethod相容方程两边对y求两次导数两边对x求两次导数将两者叠加两边对x和y各求一次导数对比两者等号右侧，完全相同(4-16)考虑物理方程式(4-16)可写为———用应力表示的相容方程。再利用平衡方程消去切应力两边对x求导两边对y求导变形协调方程代入(4-18)变形协调方程平衡方程平面问题的力法和位移法方程总结位移法求解的基本方程应力法求解的基本方程位移法求解的基本方程艾力应力函数法

07Ailistressfunctionmethod19世纪大量铸铁材料应用于桥梁工程，为了确定桥梁结构的强度，亟需有一种求解桥梁内部的应力、应变的方法。这一情况受到了英国数学家和天文学家的艾力（GeorgeBiddellAiry，1801-1892）的关注，他意识到求解梁内部所有点应力、应变的重要性，并立志要发展一套全新的求解理论。艾力应力函数GeorgeBiddellAiry1801-1892悬臂梁模型19世纪大量铸铁材料应用于桥梁工程，为了确定桥梁结构的强度，亟需有一种求解桥梁内部的应力、应变的方法。这一情况受到了英国数学家和天文学家的艾力（GeorgeBiddellAiry，1801-1892）的关注，他意识到求解梁内部所有点应力、应变的重要性，并立志要发展一套全新的求解理论。常体力相容方程简化力法求解二维问题的基本方程，包含2个平衡方程和1个变形协调方程（相容方程）：当体力为常数时，上述第三式相容方程右侧为0，即可得到常体力下的相容方程：非齐次常微分方程求解：对应齐次方程的通解+一组特解齐次方程通解推导：根据全微分，上式成立，必存在势函数A，满足下式根据全微分，上式成立，必存在势函数B，满足下式再次根据全微分，上式成立，必存在势函数，满足下式代回应力分量，用表示(4-20)平衡方程：可验证下面解都是平衡方程的特解：特解一：特解二：特解三：选择任意特解，写出方程的解为：将其带入相容方程（4-19），得：或：逆解法与半逆解法应力势函数通常情况下不能直接求出，一般有两类方法确定应力势函数，分别为逆解法和半逆解法。01逆解法含义：逆解法，也可以称之为经验法，即先设出某种类型的满足相容方程的函数，然后求解应力分量，再依据应力分量求出面力分布，这样就可以知道哪类弹性力学问题应该选择什么样的应力函数。02半逆解法含义：半逆解法就是针对特定的问题，根据边界条件，可以确定出全部或部分应力分量为某种形式，从而推出应力函数，然后检验其是否满足相容方程，以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余分量是否满足边界条件。叠加原理与唯一性定理08Theprincipleofsuperpositionandtheuniquenesstheorem叠加原理和唯一性定理是弹性力学求解的两个基本原理，前者使复杂问题简化为几个简单问题的叠加，后者则保证了使用逆解法或半逆解法求解的正确性。叠加原理理论发展恩斯特·海因里希·韦伯(ErnstHeinrichWeber,1795—1878)出版了《基于实验的波的理论》(Wellenlehre,aufExperimentegegrundet)一书，在这本书中提出了弹性板振动的叠加原理。克拉尼(ErnstFlorensFriedrichChladni,1753—1827)发表了《声音理论中的发现》发明了一种用沙子展示弹性板的固有模态方法(1787年）。1742年，丹尼尔·伯努利(1700—1782,DanielBernoulli),在研究两端夹紧的弹性振动带问题时,声称他可以同时听到两个不同振动模态的声音。1749年，达朗贝尔(Jean-BaptisteleRondd'Alembert,1717—1783)推导了弦振动的微分方程。1822年傅里叶(JosephFourier,1768—1830)发表《热的分析理论》(TheAnalyticTheoryofheat)完善了傅里叶级数。叠加原理含义：对于同一个弹性体，分别受到两组（或多组）不同的体力、面力和已知位移的作用，当弹性体在这些载荷和已知位移同时作用下，其应力、应变和位移解为每组载荷和已知位移分别作用所得的两组（或多组）解之和。唯一性定理当使用逆解法求解时，自然会产生这样一个疑问，即，这样求得的解是不是唯一的解？会不会还有其他解答?另外，是否可能找出两组不同的解，它们对应着同一个边界情况。若有这种可能，用逆解法求解的解就不一定是问题的真正的解。但可证明：在没有初应力的情况下，对应着一定的边界条件，弹性力学问题的解是唯一的。这就是解的唯一性定理。根据这一定理，不论是用正解法(直接积分法)或从用逆解法，只要所求得的解满足弹性力学的全部要求，它就是唯一的解。唯一性定理证明设有一弹性体受面力

和体力

作用，

对于第一组解对于第二组解唯一性定理证明将上述两组解的方程相减，得若将

视为一组新的解，它所对应的是无体力、无面力、边界无位移状态，此时有这说明了原来所设定的两组不同的解完全相同。谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12平面问题的直角坐标解答TheCartesianCoordinateSolutiontoPlaneProblems弹性力学多项式解答01纯弯曲梁的弹性力学解02简支梁受均布荷载03楔形体受重力和液体压力04弹性力学级数式解答05课程回顾00CourseReview应力函数求解弹性力学问题协调方程边界条件应力函数不计体力可写为：弹性力学平面问题应力解法的数学模型一是如何构造可以作为应力一般解的双调和函数，即寻求双调和函数Φ的一般解；在给定边界条件的情况下用直接积分去求解弹性力学的基本方程，确定物体内的应力、应变和位移，一般地讲是很困难的，只有对一些简单的问题才适用。所以，往往对具体问题采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理为弹性力学问题的逆解法提供了一个理论根据。二是对具体问题(即给定边界条件下的问题)求解。在V内

问题归结为：（3-1）逆解法（这种解法有两种含义）弹性力学平面问题应力解法的数学模型

另一种含义是：通过材料力学或某种分析得到某问题的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边界条件。半逆解法

若不满足，或出现矛盾，则需修改原来所设的函数，重新检查，一直到满足为止。半逆解法系由圣维南提出，所以又称圣维南解法，或凑合解法。弹性力学多项式解答01Polynomialsolution①一次多项式

z无应力状态满足双调和方程z

经过验证，下列函数

都是满足双调和方程

或因而，它们都是可能的应力函数。在体力不计的情况下，我们考虑上述可能的应力所对应的应力分量。2aoxy2aoxybb2coxy2c②取二次多项式满足双调和方程

②取二次多项式因此，对于矩形板，当受到图（d）所示的面力作用时，可用多项式Ф=ax2+bxy+cy2作为应力函数来求解。2aoxy2abb2c2c从而得到：

x=2c

，

y=2a，

xy=-b这一解答。③再取三次多项式

满足双调和方程

③取三次多项式

当使用逆解法求解时，自然会产生这样一个疑问：这样求得的解是不是唯一的解？会不会还有其他解答？解的唯一性定理：在没有初应力的情况下，对应着一定的边界条件，弹性力学问题的解是唯一的。这就是解的唯一性定理。另外，是否可能找出两组不同的解，它们对应着同一个边界情况。若有这种可能，用逆解法求解的解就不一定是问题的真正的解。根据这一定理，不论是用正解法（直接积分法）或从用逆解法，只要所求得的解满足弹性力学的全部要求，它就是唯一的解。21函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力Ф=a+bx+cy能

x=y=xy=0Ф

=ax2能

x=xy=0

y=2aФ

=ay2能

y=xy=0

x=2ah/2h/2yxo

序号3

564Ф

=axy能

x=y=0

xy

=-aФ

=ax3能

x=xy=0

y=6axФ

=ax2y能

x=0,xy=-2ax

y=2ay

函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力序号7Ф

=axy2能

x=2ax,

xy=-2ay,

y=0

记忆、理解对多项式表述的应力函数及其对应的应力状态。函数形式能否作为应力函数应力分量边界上的面力序号纯弯曲梁的弹性力学解答02ElasticMechanicsSolutionforPureBendingBeam矩形梁纯弯曲-求出位移分量如图所示，矩形截面的直梁，厚度远小于深度和长度，在两端受有相反的力偶而弯曲，体力可以不计，求该梁的应力分量及位移分量。

上一节结论：

胡克定律几何条件

左边y的函数，右边x的函数

位移分量讨论：从u

的表达式看，不论约束情况如何，铅直线段的转角都是：

、u0、v0必须由约束条件求得。可见，在同一横截面，x为常量，则铅垂直线的转角相同。平截面假设成立。位移边界条件：以简支梁来研究位移边界条件：

以梁中线(y=0)作为挠曲线带入位移表达式：得：悬臂梁情况下位移分量

位移边界条件：带入位移表达式：求解，得：选择中性层，即y=0，挠度方程为：简支梁受均布荷载03Simplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloads问题的提出设一矩形截面的简支梁跨度为2l，在梁的上边界受有均匀分布的荷载q作用，如图。试分析梁内应力分量，并与材料力学结果相比较(自重不计)。

材料力学解答：

弹性力学求解

考察该函数满足双调和性

，所以，有将其视为x的一元二次方程，若对于所有的x都成立，有积分求应力函数所以：应力分量

思考如何确定剩余的常数？边界条件

上边界：下边界：带入应力分量，得：求解简化应力分量剩余边界条件(圣维南原理)

验证第三式成立求解前两式，得

简支梁应力分布图

为简便起见，设b=1。材料力学中有虚线左边的项与材料力学的解答相同右边的项是弹性力学所给出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以忽略不计。以梁的中间截面为例，梁顶与梁底的弯曲应力为当h/2l=0.25时，第二项为第一项的1.7％；当h/2l=0.50时，第二项为第一项的6.7％。当h/2l=0.10时，第二项为第一项的0.3％；

h/2l楔形体受重力和液体压力04Wedgebodyissubjectedtogravityandliquidpressure例题

量纲分析确定应力函数分析：试考虑对应力分量有影响的量。应力表达式的可能形式：Agx、Bgy、C

´gx、D

´gy应力函数应为什么形式？量纲

力学量量纲力学量应力分量外力坐标几何力学量国际单位量纲体力面力（平面问题）例题

考虑体力，应力分量为：体力分量：fx=0，fy＝

g。通解＋特解，特解如p72特解三。确定应力函数中的待定常数1写出边界条件：左边界x=0，

应力分量简化为:斜边界将应力分量带入边界条件，得：求解方程组，得：解答与分析将系数代入式，得莱维(Lèvy)解答。各应力分量沿水平方向的变化如图示。可见，

x沿水平方向没有变化，该结果由材料力学公式是得不到的。

针对于工程问题，需要指出的几点工程大坝在平面问题简化时的几何要求。1地基和题设不同，此解不满足工程问题。2坝顶不会是尖点，工程中还会有载荷，不满足。3级数式解答05Seriessolution如果梁或板所受的面力比较复杂，或者甚至是不连续的，就不可能用多项式求解解答。在这种情况下，可以试用三角级数求解。设应力函数为：带入相容方程，有：上式满足，必有：求解该方程，得：所以：再考虑：利用相容方程：三角级数表示的应力函数为：写出应力分量，有利用边界条件，确定出待定常数，即可求出问题的解。MATLAB-GUI界面应力函数及应力分量误差、应力分析与ANSYS结果对比谢谢观看Thanksforwatching东莞理工学院弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12第六章

平面问题的极坐标解答Chapter6Polarsolutionstoplanarproblems极坐标中的弹性力学方程0102极坐标中的应力函数与相容方程03孔口应力集中问题楔形体弹性力学解答及推广04极坐标中的弹性力学方程01Elasticityequationsinpolarcoordinates平衡条件应用假定:（1）连续性，（2）小变形。

平衡条件

其中可取：

所以：平衡条件

略去三阶微量，保留到二阶微量，得：

平衡条件当考虑到二阶微量时，得：

含义：通过形心C的力矩为0。进一步验证了切应力互等定理。极坐标下的平衡方程：

01几何方程

所以切应变为

几何方程

02

所以切应变为

几何方程

03

（2）极坐标中的物理方程（3）边界条件

平面应力问题：对于平面应变问题，只须作如下变换，（1）几何方程为形式比较简单极坐标中的应力函数与相容方程02Stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：（a）物理量的转换；（b）从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。或：

（1）坐标变量的变换：（2）函数的变换：（3）导数的变换：极坐标下的应力分量与协调方程极坐标下的应力分量与协调方程

（3）导数的变换：因此，把x轴和y轴分别转到

和

的方向，有xyO时二阶导数的变换公式，可以从上式导出。例如：展开即得：

若微元体处于6.

展开即得：应力分量

若微元体处于展开即得：6.拉普拉斯算子的变换：(用于验证双调和性)应力函数

极坐标中的相容方程的展开式6.拉普拉斯算子的变换：(用于验证双调和性)

孔口应力集中问题03Stressconcentrationattheorifice问题的提出在结构中开孔以符合某种工程需求是工程上常见的现象，例如机械结构中连接件、以及隧洞开挖、水利工程中的泄洪口等，而确定孔边应力分布，进而对开孔构件进行强度校核，包括刚度校核、稳定性判定是确保各类开孔工程安全的基础。此类问题通常简化为圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）。如图所示，设有圆环受内外均布压力，内半径为a，外半径为b。试求应力分量、位移分量。分析：由于几何形状、载荷均轴对称，故属于轴对称应力问题。含义：轴对称即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。

问题：试求轴对称平面问题的应力分量、应变分量和位移分量。轴对称应力问题

相容方程简化为：①求应力函数相容方程：其中，因此，相容方程写为：

分部积分积分③应变通解②应力通解

（c）

（d）（a）（b）④求对应的位移将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分

代入得(a)，(b)两式的表达式为：

④求对应的位移

分开变量，两边均应等于同一常量F：

④求对应的位移由两个常微分方程，

其中，A、B、C、H、I、K都是任意常数，第2式第一项

，为满足位移单值条件，有B=0。①应力分量简化为，②考虑内、外边界条件，有内壁：外壁：③求解边界条件，得④带入参数，得拉梅-克拉贝隆解圆环/圆通受内压、外压时的应力解圆环/圆通受内压、外压时的应力解上述解答的应用：(1)只有内压力，此时(2)只有内压力且，成为具有圆孔的无限大薄板(弹性体)。(3)只有外压力单值条件的说明：(1)多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）。(2)在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。所