福建省泉州市三校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

福建省泉州市三校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知z(1−i)=3−i（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量AB=(7，6)，BC=(−3，A．32 B．23 C．−33．如图，已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若CE=mAB+nA．−16 B．−12 C．4．在△ABC中，已知a=4， b=43A．60° B．45° C．305．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.96．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）A．7，7 B．7，1.2 C．1.1，2.3 D．1.2，5.47．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）．A．112 B．16 C．148．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA．[3，23) B．(6二、多选题9．已知下列命题中，正确的是（）A．若a⋅b=0，则B．若k∈R，且kb=0，则C．[(D．若a与b平行，则a10．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：总体平均数x≤3，且中位数为0乙地：总体平均数为2，且标准差s≤2；丙地：总体平均数x≤3，且极差c≤2丁地：众数为1，且极差c≤4．A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地11．有一道数学难题，学生甲解出的概率为12，学生乙解出的概率为13，学生丙解出的概率为A．恰有一人解出的概率为1124 B．没有人能解出的概率为C．至多一人解出的概率为1724 D．至少两个人解出的概率为12．已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=13，D在BC上，ADA．BE=B．△ABC的面积为3C．AD=D．P在△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为2三、填空题13．已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅(14．满足条件|z|=|3+4i15．从只读过《论语》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为．16．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，且AM=AN=2千米，若要求观景台P与两接送点所成角∠MPN与∠BAC相等，记∠PMA=α，观景台P到M，N建造的两条观光线路PM与PN之和记为y，则把y表示为α的函数为y=；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离PA=千米.四、解答题17．已知复数z=1+4mi1−i（（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）设z是z的共轭复数，复数z在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围.18．已知向量a=(−3，2)，b=(1，（1）求m的值；（2）若a−λb与2a19．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1−cos2B=cos（1）求证：b2（2）当BD=b时，求cos∠ABC21．为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．（1）若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；（2）若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知AC=40m，BC=403m，AC⊥BC，（1）若AM=20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为复数z=(3−i)(1+i)所以z=2−i，所以复数z故答案为：D.

【分析】把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标即可得证.2．【答案】D【解析】【解答】AC=因为A，C，D三点共线，所以AC与AD共线，所以4×2m=−(m+6)故答案为：D.

【分析】根据向量的运算，求得AC→3．【答案】A【解析】【解答】依题意得，AD=故CE=所以m=故2m+n=2×1故答案为：A﹒

【分析】根据向量的运算，化简得到AD→=23AB4．【答案】C【解析】【解答】因为asin所以4sin解得：sinA=12因为a<b，所以A=30故答案为：C.

【分析】根据正弦定理，求得sinA=5．【答案】C【解析】【解答】因为P(C)=0.6，事件B与C对立，所以P(B)6．【答案】D【解析】【解答】实线的数字为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，虚线的数字为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，所以x乙x甲SS乙故答案为：D

【分析】根据平均数，方差的公式，计算即可。7．【答案】B【解析】【解答】设齐王的三匹马分别为a1，a(a1，b1(a1，b1(a1，b2(a1，b2(a1，b3(a1，b3)、故答案为：B

【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出田忌获胜概率。8．【答案】D【解析】【解答】由sin2A+即有cosC=a2+b又sinB由正弦定理､余弦定理得，b⋅323a由正弦定理有：asinA=bsin△ABC是锐角三角形且C=π3，有A∈(0，解得A∈(π因此a+b=4=43由A∈(π6，π2所以c2故答案为：D

【分析】由sin2A+sin2B−sin9．【答案】B,C【解析】【解答】对于A，若a⋅b=0，则a=0对于B，若k∈R，且kb=0，则k=0对于C，[(b⋅c对于D，当a与b同向时，a⋅b=|a|⋅故答案为：BC

【分析】由a⋅b=0，可能得到a→⊥b→10．【答案】C,D【解析】【解答】甲地：满足总体平均数x≤3，且中位数为0乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差s=4但不符合该标志；丙地：由极差c≤2可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人，那么总体平均数x≤3丁地：因为众数为1，且极差c≤4，所以新增疑似病例的最大值≤5，所以丁地符合该标志.故答案为：CD

【分析】根据7天的新增疑似病例可能为0，0，0，0，5，6，7，可得甲不符合题意；由7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差s<2，可判定乙不符合题意；由新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人，此时平均数x≤3就不正确，可判定丙地符合题意；由众数为1，且极差c≤4，得到新增疑似病例的最大值≤511．【答案】A,C【解析】【解答】A：恰有一人解出的概率为12B：没有人能解出的概率为(1−1C：由A、B知：至多一人解出的概率为1124D：至少两个人解出的概率为12故答案为：AC

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，再结合对立事件求概率公式，从而找出正确的选项。12．【答案】A,B,D【解析】【解答】在三角形ABC中，由余弦定理cos∠BAC=∴∠BAC=60∘，故S△ABC在△ABE中，由余弦定理得：BE∴BE=3，故A由余弦定理可知：cosC=13+16−12×4×∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴sin在三角形ACD中，由正弦定理可得：ADsin故AD=ACsinC∵AB=1，AE=2，∠BAE=60°，∴BE=1+4−2×1×2×∴AB⊥BE，∴AE为△ABE的外接圆的直径，故△ABE的外接圆的半径为1，显然当PB+2PE取得最大值时，P在优弧BAE上．故∠BPE=∠BAE=60∘，设∠PBE=α，则∠PEB=120∴PB∴PB=2sin(120∴PB+2PE=3cosα+5sinα=2∴当α+θ=π2时，PB+2PE取得最大值27故答案为：ABD．

【分析】由余弦定理求得cos∠BAC=12，结合面积公式S△ABC=3，可判定B正确；在△ABE中，由余弦定理求得BE=3，可判定A正确；由余弦定理求得cosC=7213，得到sinC=3213，结合sin∠ADC=sin(13．【答案】2【解析】【解答】∵向量a与b的夹角为π3，|a|=1，a⋅∴|a||b|cos故答案为：2

【分析】根据向量数量积的公式进行计算即可.14．【答案】25π【解析】【解答】|z设z＝x＋yi，x、y∈R，则z在复平面对应点为(x，y)，则x2∴z在复平面上对应点的轨迹围成的图形为以原点为圆心，半径为5的圆，∴其面积为25π．故答案为：25π﹒

【分析】设z＝x＋yi，x、y∈R，求得x215．【答案】3【解析】【解答】将只读过《论语》的2名同学分别记为x，y，只读过《红楼梦》的3名同学分别记为a，b，c．设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件A，从5名同学中任选2人的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b故答案为：310

【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出选中的2人都读过《红楼梦》的概率。16．【答案】4sin【解析】【解答】MN2=A∠AMN=∠ANM=π6，∠PMN=α−π在△PMN中，根据正弦定理：PMsin故PM=4sin(π故y=PM+PN=4cos故y=4sin当α=π3时，y最大，此时MA=MP=2，△PAM为等边三角形，故故答案为：4sin(α+π

【分析】利用余弦定理求得MN=23，得到∠PMN=π2−α，在△PMN中，根据正弦定理求得PM=4sin17．【答案】（1）解：因为z=1+4mi所以1−4m=01+4m≠0，得m=（2）解：由（1）知，z=1−4m2+所以z在复平面内对应的点为(1−4m依题意可得1−4m2>0−【解析】【分析】（1）化简得到z=1−4m+(1+4m)i18．【答案】（1）解：b因为b−a与c共线，所以解得m=4.（2）解：由（1）知b=(1，由a−λb与2a所以26−5(1+2λ)+17λ=0，解得λ=−3.【解析】【分析】（1）求得b−a=(4，m−2)，根据b−a与c共线，列出方程，即可求解；

（2）由（1）知b19．【答案】（1）解：因为(0.0024+0.（2）解：根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为(0.所以用电量大于250kW·h的户数为：100×0.故用电量大于250kW·h有18户；（3）解：因为前三组的频率和为：(0.前四组的频率之和为(0.所以频率为0.所以第一档用电标准为：200+0故第一档用电标准为245.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；

（2）根据频率分布直方图求得“用电量大于250kW·h”的频率为0.18，进而求得用电量大于250kW·h有户数；

（3）分别求得前三组和前四组的频率和，得到频率为20．【答案】（1）证明：因为1−所以2si所以2所以sin2B=可得b2（2）解：由题意AD=DC知，点D是边AC两边平方整理得4BD即4根据余弦定理b两式相加得a2再由余弦定理cos【解析】【分析】1）依题意利用二倍角公式及两角和差的余弦公式得到sin2B=sinAsinC，再由正弦定理将角化边即可；

（2）依题意D21．【答案】（1）解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，则共有2×6=12种，甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为p=（2）解：因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，，从地理、化学、生物中选2门