专题四 代数推理题(2024年新增题型) 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

专题四代数推理题(2024年新增题型)

人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”:为什么说不是有理数?

(1)【阅读与思考】2

假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得=,

�

22�

两边平方得2=,

�2

�

即p2=.①

故p2是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

设p=2s,代入①中,得,

即q2=,

所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.

这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.

(2)【运用并解决2】2

类比上述的阅读与思考,推理说明不是有理数.

3

2

1.数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.

(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n为正整数):

N奇数4的倍数

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-22

表示结果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

…………

一般结论2n-1=n2-(n-1)24n=

按上表规律,完成下列问题:

①24=()2-()2;

②4n=.

(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均

为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:

假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数.

分下列三种情形分析:

①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数,则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数,

而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为偶数;

②若x,y均为奇数,设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数,

则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=为4的倍数,而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为奇数;

③若x,y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2为奇数.

而4n-2是偶数,矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数.

由①②③可知,猜测正确.

阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.

用代数推理的方法证明下列两个结论:

(1)设是一个四位数,若a+b+c+d可以被3整除,则这个数可以被3整除.

(2)已知𝑎函𝑏数y=x2.求证:当x>0时,y随x的增大而增大.

2.对于任意一个三位正整数,十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字,则称这

个三位数为“极差数”.例如:对于三位数451,5-1=4,则451是“极差数”;对于三位数110,1-0=1,则110

是“极差数”.求证:任意一个“极差数”一定能被11整除.

3.一个十位上的数字不为0的三位数m,若将m的百位数字与十位数字相加,所得和的个位数字放

在m的个位数字右边,与m一起组成一个新的四位数,则把这个新四位数称为m的“生成数”.若再

将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉,可以得到四个三位数,则把这四个三位数之和记为

S(m).例如:m=558,∵5+5=10,∴558的“生成数”是5580.将5580的任意一个数位上的数字去掉后得

到的四个三位数是580,580,550,558,则S(m)=580+580+550+558=2268.

(1)写出123的“生成数”,并求S(123)的值.

(2)说明S(m)一定能被3整除.

参考答案

例1解析:(1)2q2;4s2=2q2;2s2.

提示:假设是有理数,那么存在两个互质的正整数p和q,使得=,

p

22q

两边平方得2=,

p2

即p2=2q2.①q

故p2是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.

设p=2s,代入①中,得4s2=2q2,

即q2=2s2.

所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.

这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.

(2)假设是有理2数,那么存在两个互质的正2整数p和q,使得=,

33p

22q

两边立方得2=,

p3

即p3=2q3.①q

故p3是偶数,因为只有偶数的立方才是偶数,所以p也是偶数.

设p=2s,代入①中,得8s3=2q3.

即q3=4s3,

所以q也是偶数,则p和q都是偶数,不互质,这与假设p和q互质矛盾.

这个矛盾说明,不能写成分数的形式,即不是有理数.

33

针对训练1.解析2:(1)①7;5.2

②(n+1)2-(n-1)2.

(2)4(k2-m2+k-m).

例2解析:(1)=1000a+100b+10c+d

=(999a+99b+9ca)b+c(ad+b+c+d)

=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d).

显然3(333a+33b+3c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么就能被3整除.

(2)设x1>x2>0,则y1=,y2=,abcd

22

12

y1-y2=-=(x1+x2)(x1-x2).x

22

12

∵x1>xx2>0x,

∴x1+x2>0,x1-x2>0,

∴(x1+x2)(x1-x2)>0,

∴y1>y2,即当x>0时,y随x的增大而增大.

针对训练2.证明:设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,

∵a=b-c,

∴100a+10b+c=100b-100c+10b+c=110b-99c=11(10b-9c),

∴100a+10b+c能被11整除,

∴任意一个“极差数”一定能被11整除

针对训练3.解析:(1)依题意123的“生成数”为1233,

得另四个三位数:233,133,123,123,

∴S(123)=233+133+123+123=612.

(2)设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a,b,c(都是整数),

由题意得2≤a+b≤18.

当2≤a+b≤9时,

由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b,100a+10c+a+b,100a+10b+a+b,100a+10b+