专题六 圆的相关证明与计算 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

类型一与切线相关的证明与计算

(2024·龙岩模拟)如图,在锐角∠MON内部取一点A,过点A分别作AB⊥OM于点B,作

AC⊥ON于点C,以AB为直径作☉P,CA的延长线与☉P交于点D,连接BD.

(1)求证:∠MON+∠ABD=90°.

(2)若OB=BD,点D在OP的延长线上,求证:ON是☉P的切线.

(3)当tan∠MON=1时,连接OA,若CP⊥OA于点F,求的值.

PF

CF

1.如图,AB是☉O的直径,P是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线

EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.

(1)求证:DC=DP.

(2)若∠CAB=30°,AB=4,F是弧AC的中点,求CP的长.

2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,

且BF是☉O的切线.

(1)求证:∠BAC=2∠CBF.

(2)若☉O的半径为5,sin∠CBF=,求CD的长.

2

5

类型二圆的综合探究

(2024·福建)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于

点D,AE⊥OC,垂足为E,BE的延长线交于点F.

AD

(1)求的值.

OE

AE

(2)求证:△AEB∽△BEC.

(3)求证:AD与EF互相平分.

3.(原创)已知△ABC内接于☉O,D是的中点,连接AD,CD,BD,AD与BC交于点P.

BC

图1图2

(1)如图1,若∠DBC=28°,∠ACB=74°,求∠APB和∠ABC的度数.

(2)如图2,当AB为☉O的直径时,过点D的切线与AB的延长线交于点E,若CD∥AB,求∠BDE

的度数.

4.已知四边形ABCD内接于☉O,AC⊥BD,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,交BD于点G,连接AG.

图1图2

(1)求证:CG=CD.

(2)如图1,若AG=4,BC=10,求☉O的半径.

(3)如图2,连接DF,交AC于点H,若∠ABD=30°,CH=6,试判断+是不是定值.若是,求出该定值;

11

CDCF

若不是,说明理由.

5.如图,AB是☉O的直径,C,D为☉O上不同于A,B的两点,并且点C,D位于直径AB的两

侧,CA=CD.

图1图2

(1)如图1,连接BD,求证:∠ABD=2∠BDC.

(2)如图2,AB,CD交于点E,过点E作EF⊥DB于点F,延长FE交AC于点M,求证:CE=CM.

(3)在(2)的条件下,若tan∠CDB=,EB=5,求线段CE的长.

1

2

6.【问题呈现】阿基米德折弦定理:阿基米德(Archimedes,公元前287-公元前212年,古希腊)是有

史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1,AB和BC是☉O的两条

弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折

弦ABC的中点,即CD=DB+BA.下面是运用“截长AB法C”证明CD=DB+BA的部分证明过程.

证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.

图2

∵M是的中点,∴MA=MC.

又∵∠AA=B∠CC,BA=GC,

∴△MAB≌△MCG,∴MB=MG.

又∵MD⊥BC,∴BD=DG,

∴AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.

【理解运用】如图1,AB、BC是☉O的两条弦,AB=4,BC=6,M是的中点,MD⊥BC于点D,则

BD的长为.ABC

图1

【针对训练探究】如图3,若点M是的中点,【问题呈现】中的其他条件不变,判断CD、DB与

BA之间存在怎样的数量关系,并加以A证C明.

图3

【实践应用】如图4,BC是☉O的直径,A为圆上一定点,D为圆上一动点,且满足∠DAC=45°,若

AB=6,☉O的半径为5,则AD的长为.

图4

参考答案

例1解析:(1)证明:∵AB是☉P的直径,

∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.

∵CD⊥ON,

∴BD∥ON,

∴∠MON=∠MBD.

∵AB⊥OM,

∴∠ABD+∠MBD=90°,

∴∠MON+∠ABD=90°.

(2)证明:如图1,连接OD,则点P在OD上,过点P作PE⊥ON于点E.

∵OB=BD,

∴∠1=∠2,

∴∠MBD=∠1+∠2=2∠1.

由(1)可知∠MON=∠MBD=2∠1,

∴OP平分∠MON.

∵PE⊥ON,PB⊥OM,

∴PE=PB,

∴ON是☉P的切线.

(3)解法一:如图2,过点P作PH⊥AD于点H,过点B作BR⊥ON于点R,

则AH=DH,∠PHC=∠CRB=90°.

设AH=x,AC=y.

由(1)得∠OCD=∠CDB=90°,

∠COB=∠BAD,

∴四边形CDBR是矩形.

∴BR=CD=

2x+y.

∵tan∠MON=1,

∴tan∠PAH=1,

∴PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.

∵CP⊥OA于点F,

∴∠CFO=∠PHC=90°,

∴∠3+∠5=90°.

∵AC⊥OC,

∴∠4+∠5=90°,

∴∠3=∠4,

∴△OCA∽△CHP,

∴=,即=,

ACOCy4x+y

PHCHxx+y

∴y=2x,

∴OA===2x,

2222

CP=OC+C=A(6x)+=(2x)x,10

2222

∴CF=CH+=PH=(3xx),+x10

OC·CA6x·2x310

OA210x5

∴PF=x,∴=.

210PF2

解法二:∵5∠ACFO=3∠AFC=90°,

cos∠CAO==,∴AC2=AF·AO.

AFAC

ACAO

∵∠ABO=∠AFP=90°,

cos∠BAO==,∴AP·AB=AF·AO,

AFAB

APAO

∴AC2=AP·AB.

∵AB=2AP,∴AC2=2AP2,∴AC=AP.

2

如图3,过点P作PH⊥AD于点H.

设PA=r,AC=r,

∵tan∠MON=12,∴∠MON=45°.

由(1)可知∠BAD=45°,在Rt△APH中,AH=PH=r,

2

2

∴CH=AC+AH=r,PC==r.

322

2

∵△CAF∽△CPH,2PH+CH5

∴=,∴=,CF=r,

CFCACF2r3

3

CHCP22r5r55

PF=CP-CF=r-r=r,

32

55555

∴=2=.

PF55r2

3

CF3

针对训5练5r1.解析:

(1)证明:如图,连接OC.

∵DC切☉O于点C,∴半径OC⊥DC,∴∠DCP+∠ACO=90°.

∵PE⊥AB,

∴∠OAC+∠APE=90°.

∵∠DPC=∠APE,∴∠OAC+∠DPC=90°.

∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DCP=∠DPC,∴CD=PD.

(2)如图,连接OF,CF.

∵∠CAB=30°,∴∠BOC=2∠CAB=60°,

∴∠AOC=120°.

∵F是的中点,∴∠FOC=∠FOA=60°.

∵OF=AOCC,∴△OFC是等边三角形,∴FC=OC=2.

∵∠APE=90°-∠BAC=60°,∴∠DPC=∠APE=60°.

∵DP=DC,∴△DPC是等边三角形.

∵∠CFO=∠AOF=60°,∴CF∥BE.

∵BE⊥DE,∴CF⊥DP.

∵sin∠CPF==,FC=2,∴PC=.

CF343

针对训练2.P解C析2:3

(1)证明:如图,连接AE.

∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.

∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=∠BAC.

1

2

∵BF是☉O的切线,∴∠CBF+∠ABE=90°,

∴∠CBF=∠BAE=∠BAC,∴∠BAC=2∠CBF.

1

2

(2)如图,连接BD.

∵AB=AC=2OB=10,sin∠CBF=,

2

5

∴sin∠BAE=,∴BE=4,∴BC=2BE=8.

2

5

设CD=x,则AD=10-x.

∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°,

∴82-x2=102-(10-x)2,解得x=,∴CD=.

1616

55

例2解析:(1)∵AB=AC,且AB是☉O的直径,

∴AC=2AO,

∵∠BAC=90°,

在Rt△AOC中,tan∠AOC==2.

AC

AO

∵AE⊥OC,

在Rt△AOE中,tan∠AOC=,

AE

OE

∴=2,

AE

OE

∴=.

OE1

AE2

(2)证明:如图1,过点B作BM∥AE,交EO延长线于点M,

∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.

∵AO=BO,

∴△AOE≌△BOM(AAS),

∴AE=BM,OE=OM.

∵=,

OE1

AE2

∴BM=2OE=EM,

∴∠MEB=∠MBE=45°,

∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,

∠BEC=180°-∠MEB=135°,

∴∠AEB=∠BEC.

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠ABC=45°,

∴∠ABM=∠CBE,

∴∠BAE=∠CBE,

∴△AEB∽△BEC.

(3)证明:如图2,连接DE,DF.

∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴BC=2BD,∠DAB=45°.

由(2)知,△AEB∽△BEC,

===,∠EAO=∠EBD,

AEAB2AOAO

BEBC2BDBD

∴△AOE∽△BDE,

∴∠BED=∠AEO=90°,

∴∠DEF=90°,

∴∠AFB=∠DEF,

∴AF∥DE,

由(2)知,∠AEB=135°,

∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.

∵∠DFB=∠DAB=45°,

∴∠DFB=∠AEF,

∴AE∥FD,

∴四边形AEDF是平行四边形,

∴AD与EF互相平分.

针对训练3.解析:(1)∵∠DBC=28°,∴∠CAD=28°,

∴∠APB=∠CAD+∠ACB=28°+74°=102°.

∵D是的中点,∴=,

∴∠DABBC=∠CBD=2C8D°.BD

在△ABP中,∠DAB=28°,∠APB=102°,

∴∠ABC=180°-∠DAB-∠APB=50°,

∴∠APB=102°,∠ABC=50°.

(2)如图,连接OD.

∵CD∥AB,

∴∠DCB=∠ABC.

∵D是的中点,

∴=BC,∴∠DCB=∠DBC=∠DAB.

∵ACDB为BD☉O的直径,∴∠ADB=90°,

∴∠DAB+∠ABC+∠DBC=90°,∴∠DAO=30°.

∵DE为☉O的切线,∴OD⊥DE,

∴∠BDE+∠ODB=90°.

∵∠ADO+∠ODB=90°,∴∠BDE=∠ADO.

∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,

∴∠BDE=∠DAO=30°.

针对训练4.解析:(1)证明:如图1.

图1

∵AC⊥BD,CF⊥AB,

∴∠AEB=∠AFC=90°,

∴∠2+∠BAC=90°,∠1+∠BAC=90°,

∴∠1=∠2.

∵∠1=∠3,

∴∠2=∠3.

∵∠DEC=∠GEC=90°,

∴∠3+∠CDE=90°,∠2+∠CGE=90°,

∴∠CDE=∠CGE,

∴CG=CD.

(2)如图2,连接CO并延长交☉O于点Q,连接BQ,

图2

由(1)知,CG=CD,∠2=∠3,

∴AC是DG的中垂线,

∴AG=AD.

∵AC⊥BD,

∴∠CED=90°,

∴∠CDE+∠ECD=90°.

∵CQ为☉O的直径,

∴∠CBQ=90°,

∴∠CQB+∠QCB=90°.

∵∠CQB=∠CDB,

∴∠QCB=∠3,

∴BQ=AD,

∴BQ=AD=AG=4.

在Rt△CQB中,根据勾股定理得CQ==2,

22

∴☉O的半径为.4+1029

(3)+的值是定值29.

11

CDCF

如图3,过点H作HM∥CD交CF于点M,

图3

∴∠CHM=∠3.

由(1)知,∠2=∠3,

∴∠CHM=∠2,

∴CM=HM.

∵HM∥CD,

∴△FMH∽△FCD,

∴==.

FMHMCM

CFCDCD

∵+==1,

FMCMCF

CFCFCF

∴+=1,

CMCM

CDCF

∴+=,

111

CDCFCM

过点M作MN⊥CH于点N,则CN=CH=3.

1

2

在Rt△CMN中,cos∠2==.

CN3

CMCM

∵∠ABD=30°,

∴∠1=∠2=∠3=30°,

∴CM==2,

3

cos30°3

∴+=.

113

针对CD训CF练65.解析:(1)证明:如图1,连接OC,OD.

图1

在△OCA和△OCD中,

OC=OC,

CA=CD,

∴O△A=OCOAD≌,△OCD(SSS),

∴∠ACO=∠DCO.

∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO.

∵∠A=∠CDB,

∴∠CDB=∠OCD,

∴OC∥DB,

∴∠ABD=∠BOC.

∵∠BOC=2∠BDC,

∴∠ABD=2∠BDC.

(2)证明:如图2,连接AD.

图2

∵MF⊥BD,

∴∠MFB=90°.

∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠EFB=∠ADB,

∴MF∥AD,

∴∠CME=∠CAD,∠CEM=∠CDA.

∵CA=CD,

∴∠CAD=∠CDA,

∴∠CME=∠CEM,

∴CM=CE.

(3)如图3,连接AD,BC,CO,延长CO交AD于点H,

图3

由(1)知,∠ACO=∠DCO.

∵CA=CD,

∴CH⊥AD,AH=DH.

∵∠CDB=∠CAO=∠ACH,

∴tan∠CDB=tan∠CAO=

tan∠ACH=,设BC=2a,则AC=4a,AB=2a,AH=a,CH=a,

14585

2555

∴OH=CH-OC=a,

35

5

∴tan∠OAH==35=.

OH5a3

45

AH4

5a

∵EF∥AD,

∴∠BEF=∠OAH,

∴tan∠BEF=.

3

4

∵EB=5,

∴BF=3,EF=4.

∵tan∠EDF==,

1EF