第四章 三角形 第6节 相似三角形 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第6节相似三角形

回归教材·过基础

【知识体系】

【考点清单】

知识点1比例线段

1.性质:

(1)若=,则ad=bc(abcd≠0).

ac

bd

(2)合比性质:若=,则=(bd≠0).

aca±bc±d

bdbd

(3)等比性质:如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=.

acma+c+…+ma

bdnb+d+…+nb

2.黄金分割:点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),

如果AC是线段BC和AB的比例中项,即==≈0.618,那么C叫作线段AB的黄金分割点.

BCAC5-1

ACAB2

知识点2平行线分线段成比例

1.基本事实

两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

2.推论

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.

3.主要的几种形式

图1图2图3

如图1,当l3∥l4∥l5时,有=,=等.

ABDEABDE

BCEFACDF

如图2,当DE∥BC时,有=,=等.

ADAEADAE

DBECABAC

如图3,当DE∥BC时,有==.

ABACBC

AEADED技巧提示

可通过一组平行线快速找到一组相似三角形.

知识点3相似图形的性质与判定

1.定义:

(1)相似多边形:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形.

相似多边形对应边的比叫作相似比.

(2)相似三角形:如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,

那么这两个三角形叫作相似三角形.

2.相似三角形的性质:

(1)对应角相等,对应边成比例.

(2)周长之比等于相似比,

面积之比等于相似比的平方.

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.

3.相似三角形的判定:

(1)两角对应相等的两个三角形相似.

(2)两边对应成比例,

且夹角相等的两个三角形相似.

(3)三边对应成比例的两个三角形相似.

4.几种基本相似三角形图形:

(1)“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”);

(2)“斜交型”的相似三角形(需满足∠1=∠2,有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”);

(3)“垂直型”的相似三角形[有“双垂直共角型”“双垂直共角共边型(也称‘射影定理型’)”“三垂直

型”].

核心方法

判定两个三角形相似的常规思考过程:

1.先找两对对应角相等,一般这个条件比较简单;

2.若只能找到一对对应角相等,则判断相等角的两夹边是否对应成比例;

3.若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;

4.若题目出现平行线,则直接运用基本定理得出相似的三角形.

知识点4位似图形

1.定义:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫作位似图形,这

个点叫位似中心.

2.位似的性质:

(1)位似图形的对应边成比例,对应角相等,它们的周长之比等于位似比,面积之比等于位似比的平

方;

(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;

(3)对应点的连线都经过位似中心.

3.作图步骤:①确定位似中心;②确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点;③描出新图形.

技巧提示

给出位似比,但没有给出位似中心的情况下,一定要分两个方向,多种情况进行讨论,不要漏解.

【基础演练】

1.如图,在△ABC中,AB=10,D,E分别是AB,AC上的点,连接DE.

(1)若DE∥BC,=,则AD的长为,=,△ADE与△ABC的周长之比

AE2DE

AC5BC

为,=.

S△ADE

S△ABC

(2)若∠AED=∠B,写出图中的相似三角形:.

(3)已知AC=12,且△ADE与△ABC相似,若AE=5,则AD的长为.

2.如图,在△ABC中,AB=10,E是AC边上的一点,连接BE,∠ABE=∠ACB.

(1)若AC=12,则AE=.

(2)若=,S△BEC=5,求△ABC的面积.

AE2

AB3

真题精粹·重变式

考向1平行线分线段成比例

热点训练

1.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若AC=6,则EC=()

AD2

DB3

A.B.

612

55

C.D.

1824

55

考向2相似三角形的性质与判定6．年．1．考．

2.(2023·福建)阅读下列材料,回答问题.

任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最

大宽度,如图1.

工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的

两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一

点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.

小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:

测量过程:(ⅰ)在小水池外选点C,如图4,测得AC=am,BC=bm;

(ⅱ)分别在AC,BC上测得CM=m,CN=m;测得MN=cm.

ab

33

求解过程:由测量知,AC=am,BC=bm,CM=m,CN=m,

ab

33

∴==,又∵①,

CMCN1

CACB3

∴△CMN∽△CAB,∴=.

MN1

AB3

又∵MN=cm,∴AB=②m.

故小水池的最大宽度为***m.

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容.

(2)小明求得AB用到的几何知识是.

(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几

何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.

要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次

(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).

考向3图形的位似

热点训练

3.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF

的周长比是.

考向4相似三角形的应用

热点训练

4.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度,他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长

为1.2米,此时旗杆影长为7.2米,则旗杆的高度为米.

参考答案

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基础演练

1.(1)42∶5(2)△ABC∽△AED

24

525

(3)6或

25

6

2.解析:(1)

25

3

(2)∵∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,

∴△ABE∽△ACB,

∴2=,

AES△ABE

ABS△ACB

∴2==.

2S△ABE4

3S△ACB9

∵S△BEC=5,

∴=,

S△ACB-54

S△ACB9

∴S△ABC=9.

真题精粹·重变式

1.C

2.解析:(1)①∠C=∠C;②3c.

(2)相似三角形的判定与性质.

(3)测量过程:(ⅰ)如图,在小水池外选一点C,用测角仪在点B处测得∠ABC=α,在点A处测得

∠BAC=β;

(ⅱ)用皮尺测得BC=am.

求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.

过点C作CD⊥AB,垂足为D.

在Rt△CBD中,cos∠CBD=,

BD

BC

即cosα=,所以BD=acosα.

BD

a

同理,CD=asinα.

在Rt△ACD中,tan∠CAD=,