第三章 函数 第1节 平面直角坐标系与函数 学案（含答案）2025年中考数学人教版一轮复习

第1节平面直角坐标系与函数

回归教材·过基础

【知识体系】

【考点清单】

知识点1平面直角坐标系及点的坐标特征

1.点的坐标特征

点在平行于坐标轴的直

点在象限内点在坐标轴上点在各象限角平分线上

线上

第一象限:x>0,y>0;

平行于x轴的直线上

第二象限:x①0,

当点在x轴上时,的点,所有点第一、三象限角平分线

y②0;

该点的⑦等于0;的⑨都相等;上的点:xA=yA;

第三象限:x③0,

当点在y轴上时,平行于y轴的直线上第二、四象限角平分线

y④0;

该点的⑧等于0的点,所有点上的点:

第四象限:x⑤0,

的⑩都相等

y⑥0

2.点的对称与平移

关于轴对称的点

对称关于轴对称的点

(1)P(x,y)x:P'(x,−y)

P(x,y)关于原y点对称的点:P'⑫

P(x,y):P'⑬

向左平移个单位长度

向右平移个单位长度

P(x,y)a:P'(x−a,y)

(2)平移

P(x,y)向上平移a个单位长度:P'⑭

P(x,y)向下平移b个单位长度:P'⑮

3.点到坐标P(轴x,y及)原点的距离b:P'⑯

点到x轴的距离是|y|点到y轴的距离是点到原点的距离是

4.平面内两点之间的距离

若P,Q两点的连线平行于x若P,Q两点的连线平行于y

平面内任意P,Q两点之间的距离

轴,则这两点之间的距离是轴,则这两点之间的距离是

是|PQ|=

|PQ|=|x1-x2||PQ|=22

(x1-x2)+(y1-y2)

知识点2函数及自变量的取值范围

1.概念:在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对应,

我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.

是全体实数

2.不同函数中自变量x的取值范围y=ax+b(x)

y=x(x≠0)

且

y=x(x≥0)

x+a

3.函数的表示方法:解析式法、列表法y、=图x象法(x≥.-ax≠0)

4.函数的图象的画法:列表、描点、连线.

真题精粹·重变式

考向1函数自变量的取值范围

热点训练

1.函数y=中,自变量x的取值范围是()

A.x≤-2Bx.x−≥-2

C.x≤2D.x≥2

2.函数y=的自变量x的取值范围是()

x+1

A.x≠3x−3B.x≥3

C.x≥-1且x≠3D.x≥-1

考向2平面直角坐标系中点的坐标特征6．年．1．考．

3.(2019·福建)在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(4,2),

则第四个顶点C的坐标是.

热点训练

4.如图,已知A(2,0),AB=3,以点A为圆心,AB的长为半径画弧交x轴的负半轴于点C,则点C

的坐标为22()

A.(3,0)B.(,0)

C.(-2,0)D.(-32,0)

5.已知2点A的坐标为(3,a+23),点B的坐标为(a,4),AB∥x轴,则线段AB的长为()

A.5B.4C.3D.2

核心方法

平面直角坐标系中特殊点的坐标

1.当直线平行于x轴时,直线上的点的纵坐标相同;当直线平行于y轴时,直线上的点的横坐标

相同.

2.两点间的竖直距离等于其纵坐标差的绝对值,水平距离等于其横坐标差的绝对值.

6.三个能够重合的正六边形的位置如图所示.已知点B的坐标是(-,3),则点A的坐标

是.3

7.(改编)在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为(0,-3),点Q的坐标为(5,1),连接PQ后平移得到

P1Q1,若P1(m,-2),Q1(2,n),则m+n的值是.

核心方法

平面直角坐标系中图形与点的平移

平移图形时,图形上的所有点都沿相同的方向平移相同的距离,即所有点的变化规律都一样.

向左平移,横坐标都减相同的距离,向右平移,横坐标都加相同的距离;向上平移,纵坐标都加相同的

距离,向下平移,纵坐标都减相同的距离.

考向3函数图象的分析与判断

热点训练

8.根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30m称为“加速期”,30m~80m为“中途期”,80m~100m

为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(单位:m/s)与路程x(单位:m)之间的观

测数据绘制成曲线,如图所示.

(1)y是关于x的函数吗?为什么?

(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?

(3)根据图中提供的信息,给小斌提一条训练建议.

9.通过课本上对函数的学习,我们积累了一定的经验.下表是一个函数的自变量x与函数值y的部

分对应值,请你借鉴以往学习函数的经验,探究下列问题:

x…012345…

y…6321.51.21…

(1)当x=时,y=1.5.

(2)根据表中数值描点(x,y),并在如图的平面直角坐标系画出函数图象.

(3)观察画出的图象,写出这个函数的一条性质:.

核心突破·拓思维

考点1平面直角坐标系中点的特征

(原创)如图1,正方形ABCD的边长为3个单位长度,点A的坐标为(1,2),边AB,CD都平行

于x轴,与y轴分别相交于点E,G,边AD,BC都平行于y轴,与x轴分别相交于点H,F.

(1)点B,C,D,E,F的坐标分别为.

(2)AE=,BE=,BF=,CF=.

(3)将正方形ABCD沿x轴向右平移0.5个单位长度,向下平移0.5个单位长度.

①请在图2的网格中画出平移后的正方形A1B1C1D1,并写出点A,B,C,D的对应点A1,B1,C1,D1的坐

标.

②点A1与点C1的位置关系为,点A1与点B1的位置关系为,点A1与点D1的位置关

系为.

③点B1到x轴的距离为,到y轴的距离为.

核心方法

平移图形时,图形上所有点的变化规律都一样.

一般规律为向左(右)平移几个单位长度,横坐标都减(加)相同的单位长度;向上(下)平移几个单

位长度,纵坐标都加(减)相同的单位长度.

如图,这是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂形”,裂片具有少数突出的齿,将其放在平面

直角坐标系中,表示叶片“顶部”的A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则叶杆“底部”点C的坐标

为.

在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(m,m),(m,m-5),则点

C的坐标为.(用含m的式子表示)

数学家高斯推动了数学科学的发展,被数学界誉为“数学王子”.据传,他在计算

1+2+3+4+…+100时,用到了一种方法,将首尾两个数相加,进而得到1+2+3+4+…+100=.

100×(1+100)

人们借助这样的方法,得到1+2+3+4+…+n=(n是正整数).如图,在平面直角坐标系中的2一系列

n(1+n)

格点Ai(xi,yi),其中i=1,2,3,…,n,…,且xi,yi均为整2数.记an=xn+yn,如A1(0,0),即a1=0,A2(1,0),即

a2=1,A3(1,-1),即a3=0,…,以此类推.

则下列结论正确的是()

A.a2023=40

B.a2024=43

C.=2n-6

2

D.a(2n-1)=2n-4

2

考a点(2n-21)函数图象的分析与判断

如图,长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶,现用水管往铁桶中持续匀速注水,直到长方体水

池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t,y1(细实线)表示铁桶中水面高度,y2(粗实线)表示水池中水

面高度(铁桶高度低于水池高度,铁桶底面积小于水池底面积的一半,注水前铁桶和水池内均无水),

则y1,y2随时间t变化的函数图象大致为()

AB

CD

【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程

相等,②③两路段路程相等.【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游

览路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游览路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系

(部分数据)如图2所示,在2100米处,他到出口还要走10分钟.

【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为()

A.4200米B.4800米

C.5200米D.5400米

参考答案

回归教材·过基础

考点清单

①<②>③<④<⑤>