《高等数学 》课件-第3章

3.1利用导数求极限3.2函数单调性的判别法3.3函数的极值与最值3.4曲线的凹凸性与图形描绘3.5曲率3.6导数在经济分析中的应用3.7用MATLAB作函数的图像第3章导数的应用

3.1利用导数求极限

微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的理论基础，它们在微分学理论中占有重要地位.

3.1.1微分中值定理

观察图3-1可以看出，若连续曲线f(x)在弧上两点值相等，除端点外,处处有不垂直于x轴的切线，则在弧上至少存在一点(如图3-1中所示P、Q两点)，使得曲线在该点处的切线平行于x轴.由此有下面的罗尔定理.图3-1罗尔(Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得

f′(ξ)=0

观察图3-2也可以看出：若连续曲线f(x)在弧上每一点都有不垂直于x轴的切线，则在弧上至少存在一点(如图3-2中所示P、Q两点)，使得曲线在该点处的切线平行于端点边线AB.由此有下面的拉格朗日中值定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得

在以上两个中值定理中，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.例3-1函数f(x)=x2+2x在区间[0,2]上满足拉格朗日中值定理条件,求ξ.

解b=2,a=0

f(2)=8,f(0)=0

f′(x)=2x+2

由拉格朗日中值定理得

即

所以ξ=13.1.2洛必达法则

在第1章已经介绍过函数极限的求法，但这些方法在求解有些函数的极限时受到局限.下面将介绍用导数求极限的方法.如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)和g(x)都趋近于零，或者都趋于无穷大，则极限(或)可能存在，也可能不存在.我们把这两类极限分别称为型或型未定式.显然，不能直接用极限的四则运算法则求它们的极限.1696年，法国数学家洛必达(L′Hspital,1661～1704)在他的《无穷小分析》中给出了确定这种未定式的方法，他将函数比的极限化为导数比的极限，后人称这种方法为洛必达法则.对于以下七种未定式：

、、∞-∞、0·∞、00、∞0、1∞,洛必达法则将为求解其函数的极限提供简单而重要的方法.*2.其他类型的未定式——可化为型或型未定式1)0·∞型未定式一般地，0·∞型未定式可将其中一个因子移到分母，转化为型或型未定式.实训3.1

1.下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足,则求出使f′(ξ)=0成立的ξ.

2.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的条件?如果满足，求出定理中的ξ.

(1)f(x)=2x3,[-1,1]；(2)f(x)=lnx,[1,e].

3.2函数单调性的判别法

在第1章中已经介绍了函数在区间上单调的概念，下面介绍利用导数来判定函数单调性的方法.

我们先从几何上观察函数的单调性与导数之间的联系，在图3-3中可以看出：如果函数y=f(x)在区间(a,b)上单调增加，则它的图像在(a,b)内是一条沿x轴正向上升的曲线，且曲线上各点处的切线斜率是非负的，即f′(x)≥0；如果函数y=f(x)在区间(a,b)上单调减少，则它的图像在(a,b)内是一条沿x轴正向下降的曲线，且曲线上各点处的切线斜率是非正的，即f′(x)≤0.可见，函数的单调性与其导数的符号密切相关，这启示我们可以利用导数的符号来判定函数的单调性.图3-3定理3.2设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导,则有

(1)如果在(a,b)内，f′(x)>0,函数y=f(x)在[a,b]内单调增加；

2)如果在(a,b)内，f′(x)<0,函数y=f(x)在[a,b]内单调减少.证明在[a,b]上任取两点x1、x2,且x1<x2.在[x1,x2]上应用拉格朗日中值定理，得

f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1),

x1<ξ<x2

①

(1)因为f′(x)>0,所以f′(ξ)>0,而x2-x1>0,故由式①得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在[a,b]上单调增加.

(2)因为f′(x)<0,所以f′(ξ)<0,而x2-x1>0,故由式①得

f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),所以f(x)在[a,b]上单调减少.

注意:若将定理3.2中的区间(a,b)换成其他各种区间(包括无穷区间)，该定理结论同样成立.例3-9讨论函数f(x)=x2的单调性.

解函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),它的导数为f′(x)=2x.

当x=0时，f′(0)=0.因为在区间(-∞,0)内，f′(x)<0,所以，函数f(x)=x2在(-∞,0)内单调减少；又因为在区间(0,+∞)内,

f′(x)>0,所以，函数f(x)=x2在(0,+∞)内单调增加.

例3-9表明，导数为零的点为函数的单调减区间与单调增区间的分界点.

一般地，称使得f′(x)为零的点为函数f(x)的驻点.例3-10求函数f(x)=的单调区间.

解函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),当x≠时，它的导数为

当x=0时，函数的导数不存在.将函数在(-∞,0)和(0,+∞)内导数符号及函数的单调性情况列表,如表3-1所示,表中符号“”和“”分别表示函数在相应的区间上单调增加和单调减少.由上表可知，函数f(x)=在(-∞,0)内单调减少,在(0,+∞)内单调增加.

例3-10表明，导数不存在的点也是函数单调区间的分界点.

综合上述两种情形有如下结论：如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外,导数均存在且连续，则只要用使f′(x)=0的点及f′(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能使f′(x)在各个部分区间内保持固定的符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调.综上所述，求函数f(x)单调区间的步骤如下：

(1)确定y=f(x)的定义域；

(2)求f′(x),并求出函数f(x)在定义域内的驻点以及不可导点；

(3)用驻点和不可导点将定义域分成若干小区间，列表分析；

(4)判断f′(x)的符号，从而确定y=f(x)的单调区间.例3-11求函数f(x)=x3-3x2-9x+14的单调区间.

解函数的定义域为(-∞,+∞),求导数得

f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)

令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.这两个根将(-∞,+∞)分为三个区间，列表讨论,参见表3-2.

所以，函数的单调增加区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调减少区间为(-1,3).实训3.2

1.确定下列函数的单调区间.

(1)f(x)=x3+x；

(2)f(x)=xex；

(3)f(x)=2x3-6x2-18x-7；

2.判定函数f(x)=arctanx-x的单调性.

3.判定函数f(x)=x+cosx(0≤x≤2π)的单调性.

3.3函数的极值与最值

3.3.1函数极值的概念

数学家费马(PierredeFermat,1601～1665)在1629年的手稿“求最大值和最小值的方法”中提出了求函数极值和求曲线切线的方法.

函数的极值是函数性质的重要特征，在实际问题中的应用也很广泛.下面用求导的方法来讨论函数的极值问题.观察图3-4可以看出，函数f(x)在点x1、x3、x5的函数值f(x1)、f(x3)、f(x5)比其邻域内的函数值都大，而在点x2、x4的函数值f(x2)、f(x4)比其邻域内的函数值都小，对于具有这种特点的点在应用上有重要意义，我们对此作一般性的研究.

定义3.1设函数f(x)在点x0处及其附近有定义，若对于x0的某一邻域中的所有x(x≠x0)有f(x0)>f(x),则称f(x0)为函数f(x)的极大值，点x0称为函数f(x)的极大值点；若对于x0的某一邻域中的所有x(x≠x0)有f(x0)<f(x),则称f(x0)为函数f(x)的极小值，点x0称为函数f(x)的极小值点.极大值点与极小值点统称为极值点.图3-4注意:

(1)极值是一个局部性概念，是一个邻域内的最大值与最小值，而不是对整个区间而言的.

(2)极值只能在区间内取得.

从图3-4中还可以看到，在函数的极值点处，曲线的切线是水平的，这给我们以启示：可导函数的极值点可在其导数等于零的点中寻找.

下面介绍函数取得极值的必要条件与充分条件.定理3.3(必要条件)设函数f(x)在点x0处的某一邻域内有定义，f(x)在点x0处可导且在x0取得极值，则f′(x0)=0.

上述定理告诉我们，可导函数f(x)的极值点必是驻点；反过来，驻点却不一定是f(x)的极值点.例如，点x=0是

f(x)=x3的驻点，但不是极值点.

对于一个连续函数，它的极值点还可能是导数不存在的点.例如，f(x)=|x|,在点x=0处的导数不存在，但x=0却是函数的极小值点，如图3-5所示.

总之，函数的驻点或导数不存在的点可能是函数的极值点，连续函数仅在这些点上才可能取得极值，这些点是否是极值点(是极大值点，还是极小值点)需要进一步判定.图3-5定理3.4(第一充分条件)设连续函数在点x0的某一邻域内可导(但f′(x0)可以不存在).

(1)当x<x0时,f′(x)>0；而当x>x0时,f′(x)<0,则f(x)在点x0处取得极大值f(x0)；

(2)当x<x0时,f′(x)<0；而当x>x0时,f′(x)>0,则f(x)在点x0处取得极小值f(x0)；

(3)当在x0的左、右两侧，f′(x)的符号相同时，则f(x)在x0处不取得极值。例3-13求函数的极值.

解

令f′(x)=0,得x=1.当x=0时,f′(x)不存在，如表3-4所示.

所以，极大值为f(0)=0,极小值为.综合以上讨论，可得求函数极值的步骤如下:

(1)求函数的定义域及导数；

(2)求出函数的驻点及导数不存在的点，把定义域划分为若干个子区间；

(3)考查每个区间内f′(x)的符号，利用上述定理作出判定；

(4)求出函数的极值.定理3.5(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f′(x0)=0,

f″(x0)≠0,则

(1)当f″(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值；

(2)当f″(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值.

例3-14求f(x)=x3-3x的极值.

解f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0得驻点x1=-1,x2=1,f″(x)=6x；

又f″(-1)=-6<0,由上述定理知，当x=-1时，函数取得极大值为2；又f″(1)=6>0,由上述定理知，当x=1时，函数取得极小值为-2.3.3.2函数的最值

在工农业生产、经济管理、工程技术及科学实验中，常需要解决这样一类问题：在一定条件下，怎样使材料最省,

效率最高,成本最低,耗时最少等问题.这类问题反映在数学上就是求函数(通常称为目标函数)的最大值和最小值问题，

它是数学上常见的一类优化问题.

函数的最大值与最小值统称为最值.要注意函数的最值与函数的极值在概念上的区别，前面所讨论的极值是局部最大与最小，而最值是指在整个区间上所有函数值中最大(小)者，它是一个全面、整体的概念.由闭区间上连续函数的性质可知，如果函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必定能取得最大值与最小值.显然,f(x)在[a,b]上的最大值、最小值可能是在(a,b)内取得，也可能在区间的端点上取得.如果最大(小)值点在(a,b)内，则最大(小)值点必定是极大(小)值点.总之，连续函数f(x)在[a,b]上的最大(小)值点，必定是f(x)在(a,b)内的驻点或导数不存在的点，或是区间的端点.

因此，求函数在[a,b]上的最值常采用以下步骤：

(1)求出f(x)在[a,b]上所有驻点和导数不存在的点；

(2)求出驻点、导数不存在的点及端点所对应的函数值；

(3)对上述函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

例3-15求函数f(x)=2x3+3x2-12x+10在[-3,4]上的最大值与最小值.

解f′(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)

令f′(x)=0,得驻点x1=-2,x2=2.由于

f(-2)=30,f(1)=3,f(-3)=19,f(4)=138

比较可得到f(x)在x=4处取得最大值fmax(4)=138,在x=1处取得最小值fmin(1)=3.

对于实际问题，需先建立函数关系式，确定自变量的变化范围；再来求最值(最大值或最小值).在实际问题中，如果在(a,b)内f(x)只有一个驻点x0,而从该问题本身可知，在(a,b)内函数的最值确实存在，则f(x0)即是所要求的最值。

例3-16用一块宽为6m的长方形铁皮，将两个边缘向上折起制作成一个开口水槽,如图3-6所示，其横截面积为矩形，高为x.问x为何值时水槽流量最大？

解设两边各折起x(m),则槽截面积为

A(x)=x(6-2x),

0<x<3

则

A′(x)=6-4x

令

A′(x)=6-4x=0

得唯一驻点x=1.5,而铁皮两边折得过大或过小，其横截面积都会变小，故该问题存在最大面积，所以当x=1.5m时，水槽的流量最大.图3-6例3-17设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B，

铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,如图3-7所示.

现在要从铁路BC中间某处D修建一个车站，再由车站D向工厂A修一公路，问D应选在何处才能使得原料供应站C运货到工厂A所需费用最省.已知1km的铁路运费与公路运费之比为3∶5.图3-7解设BD=x,则

CD=100-x

又设公路运费为a元/千米,则铁路运费为a元/千米.于是从原料供应站C经中转站D到工厂A所需总费用为0≤x≤100于是令y′=0,且由0≤x≤100得

x=15

因此，当车站D建于B、C之间且与B相距为15km时,处运费最省.实训3.3

1.求下列函数的极值.

(1)y=x(x2-3)；(2)y=x3-9x2+15x+3；

(3)y=x4-8x2+2；(4)y=x-ln(1+x).

2.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值.

(1)y=x5-5x4+5x3+1,[-1,2]；

(2)y=x+

,[-5,1].

3.要建造一个体积为V=50m3的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，才能使所用的材料最省？

4.用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，作成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时作出的铁盒容积最大？

5.某快餐店每月对汉堡包的需求由p(x)=确定，其中x是需求量，p是价格；又设生产x个汉堡包的成本为

c(x)=5000+0.56x,0≤x≤50000

试问产量为多少时，快餐店才能获得最大利润？

6.对某工厂上午班(8:00-12:00)工人的工作效率的研究表明，一个中等技术水平的工人从上午8点开始工作，t小时后共生产

Q(t)=-t3+6t2+45t,t∈[0,4]

个产品.问在上午几点钟这个工人的工作效率最高？

3.4曲线的凹凸性与图形描绘

3.4.1曲线的凹凸性与拐点

研究函数增减性和极值，对于描绘函数的图形很有帮助，但这还不能完全反映函数曲线的变化规律.为了更为准确地把握函数曲线的变化特征，还需对曲线的弯曲方向进行研究，为此我们给出以下定义和定理.

定义3.2设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

若曲线y=f(x)在(a,b)上每一点的切线都位于该曲线的下(上)方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹(凸)的.如图3-8所示.图3-8定理3.6设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，

(1)若在(a,b)内，f″(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；

(2)若在(a,b)内，f″(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.若将定理3.6中的区间改为无穷区间，则结论也成立.曲线凹、凸部分的分界点，称为曲线的拐点.例3-18判断曲线y=ln2x的凹凸性.

所以曲线y=ln2x为凸的.

若(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，那么当x从左到右经过x0时,f″(x)必变号，这表明f′(x)必在x0处取得极值,因而在拐点处f″(x0)=0或f″(x0)不存在；反之，若f″(x0)=0或f″(x0)不存在，则x0,f(x0))未必是曲线y=f(x)的拐点.例如，(0,0)就不是y=x4的拐点.解求曲线y=f(x)的凹、凸区间及拐点的步骤如下：

(1)求出f(x)的定义域；

(2)求出f″(x)=0和f″(x)不存在的点；

(3)列表考查上述各点邻近两侧f″(x)的符号，若异号，则与该点对应的曲线上的点即是拐点；反之则不是.同时即可得出曲线的凹、凸区间.例3-19求函数y=x4-4x3+2x-5的凹、凸区间与拐点.

解(1)函数的定义域为(-∞,+∞).

(2)f′(x)=4x3-12x2+2

f″(x)=12x2-24x=12x(x-2)

令f″(x)=0,得x1=0,x2=2.

(3)列表,如表3-5所示.

(4)由表3-5可知，曲线f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)是凹的，在区间(0,2)是凸的，曲线y=f(x)的拐点为(0,-5)和(2,-17).3.4.2函数图形的描绘

通过一阶导数的符号，可确定函数的单调区间和极值点；通过二阶导数的符号，可确定函数的凹、凸区间和拐点，这些对准确作出函数图形是非常有益的.但为了讨论曲线向无穷远处延伸时的变化规律，还需引出渐近线的概念.定义3.3如果曲线上的点沿曲线趋势于无穷远时，此点与某一直线的距离趋于零，则称该直线为曲线的渐近线.一般地，对于给定函数y=f(x),如果f(x)=A(A为常数),则称y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线；如果有常数a使得

f(x)=∞,则称x=a为曲线y=f(x)的垂直渐近线.关于斜渐近线的内容在这里我们不再讨论.

例如：y=1为的水平渐近线；x=2为

的垂直渐近线.

通过以上知识准备，就可全面掌握函数的变化状态，准确描绘出函数图形.作函数图形的一般步骤为：

(1)确定函数的定义域及不连续点；

(2)考查函数的奇偶性、周期性与有界性；

(3)确定函数的单调区间、极值点、凹区间、凸区间与拐点；

(4)求曲线的渐近线；

(5)根据上面讨论并补充曲线与坐标轴交点及相关辅助点，描绘函数图形.图3-9实训3.4

1.判定下列曲线的凹凸性.

(1)y=ex；(2)y=x+

(x<0).

2.求下列曲线的拐点及凹凸区间.

(1)y=x3-3x2-9x+9；(2)

.

3.当a、b为何值时，点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点？

4.作出下列函数图形.

(1)y=x3-x2-x+1；(2)y=6x5-5x3.

*5.某公司用二阶导数来评估不同广告战的相关业绩，假设所有的广告都提高销量.如果在一次新的广告战中，销量关于时间的曲线为凹的，这表明该公司的经营情况如何？

为什么？若曲线为凸的呢？

*3.5曲率

在实际问题中，有时需要考虑曲线的弯曲程度.例如，在机械和土建工程中，需要考虑各种梁在荷载作用下的弯曲程度；

在设计铁路时，需要考虑弯道处铁轨的弯曲程度，等等.

在数学上可用曲率表示曲线的弯曲程度.作为曲率的预备知识，我们先来讨论弧微分的概念.3.5.1弧微分

如图3-10所示，设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有连续导数.在曲线y=f(x)上取固定点M0(x0,y0)作为度量弧长的起点，并规定x增大的方向为曲线的正向，M(x,y)为曲线上任一点，s表示曲线弧的长度，即s=

.

很明显，弧长s由点M(x,y)的位置唯一确定，而点M(x,y)由x的值唯一确定.因此，s是x的函数，记作s=s(x).为了简便，规定s=s(x)是x的单调增加函数.图3-10下面来求s=s(x)的导数与微分.

给x以增量Δx(Δx>0),相应地y有增量Δy=RN,s有增量Δs=

.由导数的定义可知令Δx→0,对上式两端取极限，可以证明根据上面的规定，s=s(x)是x的单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有

或

这就是弧微分公式.

由图3-10可以看出，弧微分ds就是曲线上点M处的切线上的线段|MT|.通常把直角三角形MRT叫做曲线在点M的微分三角表.例3-21求曲线y=ln(1-x2)的弧微分.图3-11图3-12例3-22已知圆的半径为r，求：

(1)圆上任一段的平均曲率；

(2)圆上任一切点的曲率.

图3-13上述结论表明，圆上任一切点的曲率都等于半径r的倒数，半径越小，曲率越大，这一结论与我们的直观看法是一致的.

在现实生活中，我们坐车时感到公路的弯大或弯小通常有两方面的情况：一方面是公路的方向改变的大小；另一方面是在多长的路程上改变了这一角度，若两个弯都改变了同一角度，则在短距离的路程上改变这一角度的公路弯曲得更厉害.由此可见，弯曲程度是由方向改变的大小以及在多长一段路程上改变的这两个因素决定的，并且弯曲程度与方向改变的大小成正比，与改变这个方向所经过的路程成反比.下面导出曲率的计算公式：

设y=f(x)具有二阶导数，由于y′=tanα,α=arctany′,

,且,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))的曲率计算公式为例3-23求抛物线y=x2上任一点处的曲率.

解因为y′=2x,所以y=x2在任一点的曲率为

由此看到，y=x2在原点处曲率最大.*实训3.5

1.求下列曲线的弧微分.

(1)y=x3-x；(2)y=ex；

(3)y=2x2-3x+4；(4)y=tanx.

2.求下列曲线在给定点的曲率.

(1)y=x3,(2,8)；(2)y=4x-x3,(2,0)；

(3)y=sinx,(

,1)；(4)y=ln(1-x2),(0,0).

3.求曲线y=ex上曲率最大的点.

*3.6导数在经济分析中的应用

本节讨论导数概念在经济分析中的若干应用，这些应用包括需求价格弹性、边际量、最优值等.

1.需求价格弹性

我们已经讨论过弹性问题，即函数f(x)在点x处的相对改变量与自变量的相对改变量之商的极限，称为函数y=f(x)在点x处的弹性.

弹性概念在经济学中应用非常广泛，下面主要介绍需求价格弹性.定义3.4设某种商品的市场需求为q,价格为p,需求函数q=q(p)可导，则称

为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性.

由上式及导数定义可得由此可知，需求弹性Ep表示某种商品需求量对价格p变化的敏感程度.因为需求函数为价格的递减函数，即需求弹性Ep′一般为负值，所以其经济含义为：当某种商品的价格下降(或上升)1%时，其需求量将增加(或减少)|Ep|%.

当我们比较商品需求弹性的大小时，通常是比较其弹性绝对值的大小.当我们说某种商品的需求弹性大时，通常是指其绝对值大.

当Ep=-1(即|Ep|=1)时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等.当Ep>-1(即|Ep|>1)时，称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较大.换句话说，适当降价会使需求量较大幅度上升，从而增加收入.

当-1<Ep<0(即|Ep|<1)时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小，在适当涨价后，不会使需求量有太大的下降，从而可以使收入增加.例3-24某种商品的需求量q(单位：百件)与价格p(单位：千元)的关系为q(p)=

,p∈[0,10],求当价格为9千元时的需求弹性.

解因为q′(p)=

,根据公式有所以当p=9时，Ep=|p=9=-3.在例3-24中，当价格p=9千元时，需求弹性为|Ep|=|-3|=3>1,表示这种商品的需求对价格富有弹性，即价格的变化对需求量有较大的影响.也就是说，当价格上涨1%时，商品的需求量将减少3%；反之，当价格下降1%时，商品的需求量将增加3%.例3-25设某商品的需求函数为q(p)=150-2p2(0<p<0).

(1)求需求弹性.

(2)讨论当价格为多少时，弹性分别为缺乏弹性、单位弹性、富有弹性？

解(1)因为q′(p)=-4p,所以

(2)令Ep=-3,解得p=5,即价格p=5时，|Ep|=1是单位弹性.

令Ep<1,解得0<p<5,即价格p满足0<p<5时，|Ep|<1是缺乏弹性.

令Ep>1,解得5<p<8,即价格p满足5<p<8时，|Ep|>1是富有弹性.在市场经济中，企业经营者关心的是商品涨价(Δp>0)或降价(Δp<0)对总收入的影响程度.利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收，降价未必减收.

因为

当商品价格p有微小变化(|Δp|非常小)时，商品销售收入R=pq的改变量为

ΔR=Δ(pq)≈dpq=qdp+pdq=qdp+Ep·qdp=(1+Ep)qdp

即

ΔR=(1-|Ep|)qdp≈(1-|Ep|)qΔp所以，当|Ep|>1时，商品涨价(Δp>0)将使商品销售总收入减少(ΔR<0)；商品降价(Δp<0)将使商品销售总收入增加(ΔR>0).而商品需求价格弹性大于1，降价可以增加收入.当|Ep|<1时，商品涨价将会使商品的销售总收入增加，商品降价将会使商品销售总收入减少.

当|Ep|=1时，商品涨价或降价对商品销售总收入基本没有影响.

例3-26已知某公司生产经营的某种电器的需求弹性在1.5～3.5之间，如果该公司计划在下一年度内将价格降低

10%,试问这种电器的销售量将会增加多少？总收入将会增加多少？

故在下一年度内将价格降低10%后，该公司这种电器的销售量将会增加15%～35%,总收入将会增加5%～25%.

2.边际与边际分析

在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y对于另外一个经济变量x的变化.平均概念y表示在自变量x的某一个范围内的平均值.显然，平均值随x的范围不同而不同.边际概念表示:当x的改变量Δx趋于零时，y的相应改变量Δy与Δx的比值的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时，y的瞬时变化.

1)边际成本

设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数为C=C(q),则当产量q有一个改变量Δq时，总成本函数C(q)有一个相应的改变量

C=C(q+Δq)-C(q)那么，总成本函数C(q)的平均变化率为

它表示产量由q变到q+Δq时，在平均意义下的成本.

当总成本函数C(q)可导时，其边际成本定义为

即边际成本是总成本函数C(q)关于产量q的导数，其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品(即Δq=1)所增加的总成本ΔC(q).因此，近似地记为

C(q+1)-C(q)=ΔC(q)≈C′(q)

边际成本有时用MC表示，即MC=C′(q).例3-27一企业某产品的日生产能力为500台，每日产品的总成本C(单位：千元)是日产量q(单位：台)的函数，即

C(q)=400+2q+5

,

q∈[0,500]

试求:(1)当产量为400台时的总成本；

(2)当产量为400台时的平均成本；

(3)当产量由400台增加到484台时，总成本的平均变化率；

(4)当产量为400台时的边际成本.上式中，C′(400)=2.125千元/台表示当产量为400台时，再多生产1台，成本将增加2.125千元.

2)边际收入

设销售某种产品q单位时的总收入函数为R=R(q),则当销售量q有一个改变量Δq时，总收入函数R(q)有一个相应的改变量

ΔR=R(q+Δq)-R(q)

那么，总收入函数R(q)的平均变化率为

当总收入函数R(q)可导时，其边际收入定义为即边际收入是总收入函数关于销售量q的导数.边际收入有时用表示，即MR=R′(q).例3-28设某种家具的需求函数为q=1200-3p,其中p(单位：元)为家具的销售价格，q(单位：件)为需求量，求销售该家具的需求函数为q=1200-3p的边际收入函数，以及当销售量为q=450件、600件、750件时的边际收入.

解由需求函数q=1200-3p,得价格,总收入函数为

故边际收入函数为从而

由例3-28可知，当家具的销售量为450件时，R'(450)>0,说明总收入函数R(q)在q=450附近是单调增加的，即销售量增加可使总收入增加，而且再多销售1件家具，总收入将增加100元；当销售量为600件时，R'(600)=0,说明总收入函数R(q)达到最大值，再增加销售量，总收入将不会增加；当销售量为750件时，R'(750)<0,说明总收入函数R(q)在750附近是单调减少的，而且再多销售1件家具，总收入将减少100元.

3)边际利润

设销售某种产品q单位时的利润函数为L=L(q),则当L(q)可导时，称L'(q)为当销售量为q单位时的边际利润.

因为利润函数L(q)等于总收入函数R(q)减去总成本函数C(q),即

L(q)=R(q)-C(q)

那么，由导数运算法则可知

L'(q)=R'(q)-C'(q)

所以，边际利润L'(q)等于边际收入R'(q)减去边际成本C'(q).例3-29某煤炭公司每天生产煤q(t)的总成本函数为

C(q)=2000+450q+0.02q2

如果每吨煤的销售价为490元，求：

(1)边际成本函数C‘(q)；

(2)边际利润L’(q)；

(3)边际利润为0时的产量.

解(1)因为C(q)=200+450q+0.02q2,所以C‘(q)=450+0.04q.

(2)因为总收入函数R(q)=pq=490q,所以利润函数为

L(q)=490q-(2000+450q+0.02q2)

=-2000+40q-0.02q2边际利润函数为

L′(q)=40-0.04q

(3)当边际利润为0时，即

L′(q)=40-0.04q=0

可得

q=1000t

3.经济分析中的最大值与最小值问题

例3-30设某企业每季度生产某种产品q个单位时，总成本函数为

C(q)=aq3-bq2=cq

其中，a>0,b<0,c<0.求：

(1)使平均成本最小的产量；

(2)最小平均成本及相应的边际成本.

解(1)因为平均成本为例3-31一家工厂生产一种成套的电器维修工具,厂家规定:订购套数不超过300套，每套售价400元；若订购套数超过300套，每超过1套可以少付1元.问怎样的订购数量才能使工厂销售收入最大？

解设订购套数为q,销售收入为R(q),那么，当订购套数不超过300套时，每套售价为q=400元；当订购套数超过300套时，每套售价为

q=400-1×(q-300)=700-q

即工具每套售价为由此可得总收入函数R(q)为

因为

令R′(q)=0,得驻点q1=350,且q2=300是不可导点.

当q<350时，R′(q)>0；当q>350时,R′(q)<0.所以q2=300不是极值点,q1=350是极大值点，也是最大值点，即工厂经营者若想获得最大销售收入，应该将订购套数控制在350套.例3-32已知生产某种彩色电视机的总成本函数为C(q)=2.2×103q+8×107,通过市场调查，可以预计这种彩电的所需求量为q=3.1×105-50p,其中p(单位：元)是彩电售价，

q(单位：台)是需求量.试求使利润最大的销售量和销售价格.解由需求量q=3.1×105-50p,解得p=6.2×103-0.02q.那么,当销售量为q时，总收入函数为

R(q)=pq=6.2×103q-0.02q2

利润函数为因为

L′(q)=4×103-0.04q