《电子技术》课件-第7章

第7章逻辑代数基础7.1概述7.2逻辑代数中的三种基本运算7.3逻辑代数的基本公式和常用公式7.4逻辑代数的基本定理7.5逻辑函数及其表示方法7.6逻辑函数的两种标准形式7.7逻辑函数的化简方法7.8具有无关项的逻辑函数及其化简习题

逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。本章首先简要介绍逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理，然后讲解逻辑函数的表示和化简方法，并配有一定数量的例题，

介绍如何应用这些公式和定理化简逻辑函数。

7.1概述

逻辑是指事物的前因与后果之间所遵循的规律。19世纪英国数学家乔治·布尔首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法——布尔代数。布尔代数早期应用于解决继电器开关电路的问题，也称为开关代数。

随着数字技术的发展，人们发现它完全可以作为研究逻辑电路的数学工具，称为分析和设计逻辑电路的理论基础，所以也把布尔代数称为逻辑代数。逻辑代数和普通代数都是

用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量，可以取不同值。和普通代数不同的是，逻辑变量的取值只有两个：“0”或“1”。这两个值不具有数量大小的意义，仅表示客观事物的两种不同状态，如开关的闭合与断开、判断问题的是与非、电位的高与低等。

7.2逻辑代数中的三种基本运算

逻辑代数的基本运算有与(AND)、或(OR)、非(NOT)三种。

7.2.1与逻辑及与门

与逻辑的定义:只有当决定事件发生的所有条件均满足时，事件才会发生。

下面以图7－1所示的指示灯控制电路为例进行说明。图7－1指示灯控制电路

【例7－1】如图7－1所示，开关A、B串联控制灯泡Y。只有当两个开关同时闭合时，指示灯才会亮。任何一个开关断开，指示灯都不会亮。

逻辑表达式为:Y=A·B=AB。

将开关闭合记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以通过表7－1来描述与逻辑关系。

这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的图表叫做逻辑真值表，简称真值表。

实现与逻辑运算的单元电路称为与门。与门的逻辑符号如图7－2所示。图7－2与逻辑图形符号

7.2.2或逻辑及或门

或逻辑的定义:当决定事件发生的各种条件中，只要有一个或多个条件具备，事件就发生。

下面以图7－3所示的指示灯控制电路为例进行说明。图7－3指示灯控制电路

【例7－2】如图7－3所示，开关A、B并联控制灯泡Y。两个开关只要有一个接通，灯就会亮。

逻辑表达式为:Y=A+B。

逻辑真值表如表7－2所示。

实现或逻辑运算的单元电路称为或门。或门的逻辑符号如图7－4所示。图7－4或逻辑图形符号

7.2.3非逻辑及非门

非逻辑的定义:当决定事件发生的条件满足时，事件不发生;条件不满足时，事件反而发生。

下面以图7－5所示的指示灯控制电路为例进行说明。图7－5指示灯控制电路

实现非逻辑运算的单元电路称为非门。非门的逻辑符号如图7－6所示。图7－6非逻辑图形符号

7.2.4复合逻辑门

与、或、非是三种最基本的逻辑运算，应用这三种运算可以组成复合逻辑运算。常用的一些复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。

1.与非运算

与非逻辑表达式为:Y=AB。

与非逻辑真值表如表7－4所示。

与非逻辑符号如图7－7所示。

图7－9与或非的图形符号

4.异或运算

异或逻辑表达式为:Y=A

B。

异或逻辑真值表如表77所示，其特点是“相同为0，不同为1”。

异或逻辑符号如图7－10所示。

5.同或运算

同或逻辑表达式为:Y=A☉B。

同或逻辑真值表如表7－8所示，其特点是“相同为1，不同为0”。

同或逻辑符号如图7－11所示。

7.3逻辑代数的基本公式和常用公式

7.3.1基本公式表7－9给出了逻辑代数的基本公式。

表7－9中公式17的证明(公式推演法)如下:

公式17还可以通过真值表进行证明，如表7－10所示。

7.3.2常用公式

表7－11列出了逻辑代数的几个常用公式，直接使用这些公式，可以大大简化逻辑函数的化简工作。

表－11中各公式的证明过程如下:

(1)A+AB=A。

从以上的证明可以看到，这些常用公式都是从基本公式推导出的结果。当然，还可以推导出更多的常用公式。

7.4逻辑代数的基本定理

7.4.2反演定理

对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，

0换成1，

1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y。这个规律称为反演定理。

注意:

(1)仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。

(2)不属于单个变量上的非号应保留不变。

7.5逻辑函数及其表示方法

如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间是一种函数关系，这种关系称为逻辑函数。常用的逻辑函数表示方法有逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图和硬件描述语言等。

7.5.1逻辑真值表

逻辑真值表是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。真值表列写方法:每一个变量均有0、1两种取值，

n个变量共有2n种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序(一般按二进制递增规律)排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。

例如，当A=B=1，或A=C=1时，函数Y=1，否则Y=0。其真值表如表7－12所示。

7.5.2逻辑函数式

逻辑函数式是将输出和输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，又称逻辑表达式。

如上例所描述的功能，可得到其逻辑函数式为:

Y=AB+AC。

7.5.3逻辑图

将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图。

例如，函数式Y=AB+BC=A(B+C)的逻辑图如图7－12所示。图7－12逻辑图

7.5.4波形图

波形图是由输入变量的所有可能取值组合的高低电平及其对应的输出函数值的高低电平按时间顺序依次排列起来所构成的波形。

7.5.5卡诺图

使用卡诺图表示逻辑函数的方法在后续化简方法中具体介绍，详见7.7.2节。

7.6逻辑函数的两种标准形式

逻辑函数表达式有最小项之和和最大项之积两种标准形式。7.6.1最小项之和

1.最小项如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。n变量的最小项应有2n

个。

2.最小项的表示方法

通常用符号mi

来表示最小项。下标i

的确定方法:把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应

的十进制数，就是这个最小项的下标i

。

表7－13所示为三变量最小项的编号表。

3.最小项之和

任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项之和表达式。

对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A+A=1将每个乘积项中缺少的因子补全，这样就可以将其转化为最小项之和的标准形式。

7.6.2最大项之积

1.最大项

如果一个函数由若干个或项以逻辑乘的形式组成，若在某个或项中，每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个或项称为该函数的一个最大项。

n变量的最大项应有2n

个。

2.最大项的表示方法

通常用符号Mi

来表示最大项。其下标的确定方法与最小项类似。

表7－14所示为三变量最大项的编号表。

7.7逻辑函数的化简方法

一般情况下，根据真值表直接写出的逻辑表达式或作出的逻辑图，常会存在一些多余项，所谓多余项，是指可以省略而不会影响逻辑功能的项。由于这些多余项的存在而使电路中连线增多、元件增加、逻辑图变得复杂，从而使电路出现故障的概率增大，工作可靠性下降。因此，一个逻辑电路设计过程中，有必要对其进行化简。

一般情况下，我们将逻辑表达式化为最简与或表达式，即表达式中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项中的因子也不能再减少的表达式形式。

常用的化简方法有逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。

可见，使用不同方法，得到的最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量，表达式不唯一。

使用公式化简法进行逻辑函数式的化简，目前尚无一套完整的、有章可循的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握以及运用的熟练程度有关。其优点

是公式中变量的个数不受限制，但是对于化简结果，有时不易判断是否最简。

7.7.2逻辑函数的卡诺图化简法

利用卡诺图可以直观方便地化简逻辑函数。它克服了代数化简法难以判断化简结果是否最简等缺点。

1.卡诺图的表示方法

1)卡诺图

(1)卡诺图及其构成原则。卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则如下:

①n变量的卡诺图有2n

个小方块(最小项)。

②最小项排列规则:几何相邻的最小项必须是逻辑相邻项。

逻辑相邻:两个最小项，只有一个变量的形式不同，其余的都相同。逻辑相邻的最小项

可以合并。

几何相邻:紧挨的，位置相邻。

(2)卡诺图的画法。

①三变量(A，

B，

C)函数卡诺图如图7－13所示。

三变量的卡诺图有23

=8个小方块;几何相邻的必须逻辑相邻。因此BC变量的取值可直接按00、01、11、10的顺序排列。图7－13三变量函数卡诺图

②四变量(A，

B，

C，

D)函数卡诺图如图7－14所示。

四变量卡诺图的逻辑相邻包括上下相邻和左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性。它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。图7－14四变量函数卡诺图

③五变量(A，

B，

C，

D，

E)函数卡诺图如图7－15所示。图7－15五变量函数卡诺图

2)用卡诺图表示逻辑函数

(1)从逻辑真值表画卡诺图。根据变量的个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值(0或1)即可。需注意二者顺序不同。

【例7－16】已知Y的真值表如表7－15所示，要求画出Y的卡诺图。

其卡诺图表示如图7－16所示。

(2)从最小项表达式画卡诺图。把逻辑表达式中出现的所有最小项在对应的小方块中填入1，其余的填为0。

【例7－17】画出函数Y(A，

B，

C，

D)=∑m(0，

3，

5，

7，

9，

12，

15)的卡诺图。

解

按上述方法，可得到卡诺图如图7－17所示。图7－17例7－17的卡诺图

(3)从与或表达式画卡诺图。把每一个乘积项所包含的那些最小项所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。

【例7－18】已知Y=AB+ACD+ABCD，画出其卡诺图。

解

按上述方法，可得到卡诺图如图7－18所示。图7－18例7－18的卡诺图

图7－19卡诺图的两个最小项合并图7－20卡诺图的4个最小项合并图7－21卡诺图的8个最小项合并

可见，合并两个最小项，可消去一个变量;合并4个最小项，可消去两个变量;合并8个最小项，可消去3个变量。也就是说，合并2n

个最小项，可消去n个变量。

3.利用卡诺图化简逻辑函数

利用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下:

(1)画出逻辑函数的卡诺图。

(2)合并相邻最小项(圈组);正确圈组是关键。

(3)从圈组写出最简与或表达式。

注意:

(1)必须按2、4、8…2

n的规律来圈取值为1的相邻最小项。

(2)每个取值为1的最小项至少圈1次，可以反复多次使用。

(3)组圈的个数要最少(与项就少)，每个圈要尽可能大(消去的变量就越多)。

(4)将每个圈用一个与项表示，将各与项相或，得到最简与或表达式。

将圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同取值为1用原变量表示，相同取值为0用反变量表示。

【例7－19】用卡诺图化简逻辑函数Y(A，

B，

C，

D)=∑m(0，

1，

2，

3，

4，

5，

6，

7，8，

10，

11)。

解其卡诺图表示如图7－22所示。图7－22例7－19的卡诺图

【例7－20】化简图7－23所示的逻辑函数。

解

按照化简步骤，首先进行圈组，如图7－24所示。图7－23例7－20的卡诺图图7－24例7－20的卡诺图化简

圈组技巧(防止多圈组的方法):

(1)先圈孤立的1，再圈只有一种圈法的1，最后圈大圈。

(2)检查:每个圈中至少有一个1未被其他圈圈过。

7.8具有无关项的逻辑函数及其化简

称为约束项。

值恒等于0的最小项称为约束项。

2.任意项

在某些情况下，在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，不影响其功能。在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。

3.无关项

约束项与任意项统称为无关项，在卡诺图中用“×”表示。

因为任意项的值可以根据需要取0或取1，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用任意项，可以使逻辑函数进一步得到简化。

7.8.2无关项在逻辑函数中的应用

【例7－21】设ABCD是十进制数X的二进制编码，当X≥5时输出Y为1，求Y的最简与或表达式。

解

列出十进制数的真值表如表7－16所示。

其卡诺图如图7－25所示。

因此，

Y=A+BD+BC。图7－25例7－21的卡诺图化简

【例7－22】化简逻辑函数Y(A，

B，

C，

D)=∑m(1，

2，

5，

6，

9)+∑d(10，

11，12，

13，

14，

15)，

d表示无关项。

解

其卡诺图如图7－26所示。

因此，