《高等数学 》课件-第6章

第6章常微分方程6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3二阶常系数线性微分方程6.4微分方程的应用实例6.5用MATLAB解微分方程 6.1微分方程的基本概念

1.引例

例6-1一曲线通过点(1,3),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率等于该点处横坐标x的平方的3倍，

求该曲线方程.

解设所求曲线方程为y=y(x),根据导数的几何意义可知,未知函数y=y(x)应满足的关系式为①对式①两边积分得y=∫3x2dx

y=x3+C ②即其中,C为任意常数.又因曲线通过点(1,3),所以y=y(x)还满足下列条件：y|x=1=3③将式③代入式②,得C=2.于是所求曲线方程为y=x3+1④

例6-2

设火车提速后，以40m/s(相当于144km/h)的速度在平直的轨道上行驶(假设不计空气阻力和摩擦力)，当其制动(刹车)时,获得加速度-0.8m/s2.问开始制动后多少时间火车才能停住？在这段时间内火车行驶了多少路程？

解设火车开始制动时t=0,制动后经过t(s)行驶了s(m).根据题意，制动阶段火车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式⑤并且s=s(t)还应满足下列条件：⑥对式⑤两边积分，得⑦再积分，得s=-0.4t2+C1t+C2

⑧其中,C1、C2都是任意常数.

将条件式⑥分别代入式⑦和式⑧,得C1=40,C2=0于是v=-0.8t+40⑨s=-0.4t2+40t

⑩在式⑨中，令v=0,得到火车从开始制动到完全停住所需的时间：t=50s再把t=50代入式⑩,得到火车在制动阶段行驶的路程：s=1000m上述两例中的关系式①和式⑤都是含有未知函数的导数.一般地，像这样的方程称为微分方程.

2)微分方程的阶数

微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶数.如果一个微分方程阶数是n,我们就称这个微分方程是n阶微分方程.例如，在微分方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为一阶，则称微分方程为一阶微分方程.显然y″+y′-2y=0是二阶微分方程.

3)微分方程的解和解微分方程

我们称使微分方程左、右端相等的已知函数为微分方程的解.例如，已知函数y=x2+C就是微分方程y′=2x的解,因为y=x2+C这个已知函数能使微分方程y′=2x左、右端相等.

将y=x2+C代入微分方程的左端，则左端=(x2+C)′=2x,

而微分方程的右端=2x,故y=x2+C这个已知函数就是微分方程y′=2x的解.求微分方程解的过程，我们称为解微分方程.

4)微分方程的通解和特解

含有任意常数C的微分方程的解叫做微分方程的通解.例如，y=x2+C就是微分方程y′=2x的通解.高阶微分方程的通解中常常含有多个任意常数，一般来说，n阶微分方程，其通解中就含有n个任意常数C.例如，y′=2x是一阶微分方程，故它的通解y=x2+C仅含有一个任意常数C；而y″+y′-2y=0是二阶微分方程，故它的通解y=C1ex+C2e-2x就含有两个任意常数C1和C2.

在给定的微分方程或从实际生产和科学实验中列出的微分方程中，常常事先已知一个或几个微分方程中未知函数某时刻的函数值，则未知函数的函数值叫做微分方程的附加条件.例如，已知微分方程y′sinx=ylny,且,这里就叫做微分方程y′sinx=ylny的附加条件.

我们称满足附加条件或初始条件的微分方程的解为微分方程的特解.以后我们将具体介绍.

从例6-1和例6-2不难看出，对于形如

y(n)=f(x)

的微分方程，只要通过逐次积分(n次)，便可得到它的通解. 6.2一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为下面介绍几种常用的一阶微分方程的解法.6.2.1可分离变量的微分方程形如(6-1)的方程称为可分离变量的微分方程.其特点是方程的右端为只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积,这里f(x)、g(y)分别是变量x、y的已知连续函数，且g(y)≠0.

这类方程的特点是经过适当的变形，可以将两个不同变量的函数与相应微分分离到方程的两端.具体解法如下：

(1)将方程式(6-1)分离变量，得

(2)两边同时积分，得得方程的通解G(y)=F(x)+C

例6-5

解微分方程y′=xy.

解将方程改写为

例6-6

求方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解.

解用(x2-1)(y2-1)除方程两端，得

例6-7

已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变的放射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律.

解设这种放射性元素的衰变规律是Q=Q(t).依题意，有其中,k为比例常数，且k>0.上述方程是可分离变量的微分方程,分离变量，得上式两端积分，得即Q=e-kt+C0=eC0·e-kt=Ce-kt

其中,C=eC0.所以，所求放射性元素的衰变规律是Q=Ce-kt.6.2.2一阶线性微分方程

形如(6-2)的微分方程叫做一阶线性微分方程

,其中P(x)、Q(x)都是x的连续函数.当Q(x)≡0时，上述微分方程式(6-2)成为(6-3)称为一阶齐次线性微分方程；当Q(x)≡0时，微分方程式(6-2)称为一阶非齐次线性微分方程.

这类方程的特点是:它所含的未知函数y及其导数y′都是一次的.(6-4)

例6-8

求微分方程y′+ysinx=0的通解.

解所给微分方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx,因由通解公式可得原方程的通解为y=Cecosx

例6-9

求方程(x2y-2xy)dx+xdy=0满足初始条件

y|x=0=1的特解.

解将所求方程化为如下形式这是一阶线性齐次方程,分离变量，得两边积分，得化简，得将初始条件y|x=0=1代入通解，得C=1，故所求特解为

2.一阶线性非齐次微分方程的解法

设方程式(6-2)是非齐次方程，为了求出非齐次线性方程式(6-2)的解，先把Q(x)换成零，得y′+P(x)y=0此方程称为对应于非齐次线性方程式(6-2)的齐次线性方程.\

下面介绍用(拉格朗日)常数变易法求一阶线性非齐次微分方程的通解.这种方法是把对应的齐次方程通解中的C换成未知函数C(x),即令y=C(x)e-∫P(x)dx

(6-5)求导得式(6-8)右端第一项是对应的齐次方程式(6-3)的通解，第二项是非齐次线性方程式(6-2)的一个特解.由此可知,一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为：

(1)先求出非齐次方程所对应的齐次方程的通解；

(2)利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解；

(3)将所设特解代入非齐次线性方程式(6-2),解出C(x),并写出非齐次线性方程的通解.即原方程的通解为

*6.3二阶常系数线性微分方程

形如y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(6-9)的方程称为二阶线性微分方程.如果f(x)≡0,方程式(6-9)称为齐次的；如果f(x)≡0,方程式(6-9)称为非齐次的.设方程式(6-9)为非齐次线性方程，则它对应的齐次线性方程为y″+P(x)y′+Q(x)y=0在力学中，物体在有阻力情况下的自由振动微分方程和强迫振动微分方程，以及电学中串联电路的振动方程都是二阶线性微分方程.6.3.1二阶线性微分方程解的结构

定理6.1(齐次线性方程解的结构)如果函数y1、y2是二阶齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的两个解，那么y=C1y1+C2y2

(6-11)也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数.如果y1与y2之比不为常数(即≠k,k为常数),则y=C1y1+C2y2

是该方程的通解.

定理6.2(非齐次线性方程解的结构)设y是二阶非齐次线性微分方程6.3.2二阶常系数齐次线性微分方程

设p、q为常数，形如

y″+py′+qy=f(x)(6-14)

的方程称为二阶常系数线性微分方程.如果f(x)≡0,方程

y″+py′+qy=0(6-15)

称为二阶常系数齐次线性微分方程；如果f(x)≡0,方程式(6-14)称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

由齐次线性微分方程解的结构知道.求齐次线性微分方程式(6-15)的解，只需求出它的两个比值不为常数的解即可.

由指数函数导数的特性，我们可以猜想方程式(6-15)具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.将y′=rerx、y″=r2erx及y=erx代入方程

y″+py′+qy=0,得

erx(r2+pr+q)=0由于erx≠0,因此只要r满足方程

r2+pr+q=0 (6-16)

即可.也就是说，当r是一元二次方程式(6-16)的根时，y=erx就是齐次线性微分方程的解.因此方程r2+pr+q=0称为微分方程y″+py′+qy=0的特征方程，特征方程的根称为特征根.

方程y″+py′+qy=0的特征方程r2+pr+q=0的特征根有三种情形，下面就其不同情形讨论对应的齐次方程的通解.

(3)当特征方程具有一对共轭复根时，即r1,2=α±iβ(α,β为实数，β≠0),方程有两个复数特解y1=e(α+iβ)x与y2=e(α-iβ)x,它们之比不为常数.为了便于在实数范围内讨论，由欧拉公式eix=cosx+isinx

可得y1=eax(cosβx+isinβx)y2=eax(cosβx-isinβx)于是有由定理6.1知，函数eaxcosβx与eaxsinβx均为方程式(6-15)的解，且它们之比不为常数.因此，方程的通解为y=eax(C1cosβx+C2sinβx)综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解步骤如下：

(1)写出对应的特征方程r2+pr+q=0(2)求出特征根r1和r2；(3)根据r1和r2的三种不同情况，写出对应的通解.表6-1给出了三种不同特征根对应的方程的通解.

表6-1

6.4微分方程的应用实例

实例6-1(环境污染问题)某水塘原有50000t清水(不含有害杂质).从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘.流入的速度为2t/min,在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘.问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?

解设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t),此时塘中有害物质的浓度为,于是有

=单位时间内有害物质的变化量

=(单位时间内流进塘内有害物质的量)-(单位时间内流出塘的有害物质的量)即

实例6-2(刑事侦察中死亡时间的鉴定)牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气

温度之差成正比.现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定.当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃

按照牛顿冷却定律开始下降，如果2h后尸体温度变为35℃,并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度

H随时间t的变化规律.又如果尸体发现时的温度是30℃,时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

解设尸体的温度为H(t),其冷却速度为.根据题意，有

实例6-3(新技术推广问题)某工厂推广一项新技术，刚开始时，在2000人中派出10个人先出去学习这种新技术,

完全掌握后回厂进行传帮带，使其他工人也掌握此技术,经过1个星期推广后有40个人掌握了这种新技术.已知推广这种新技术的速度和已经掌握这种新技术的人数与尚未掌握这种新技术的人数之乘积成正比.试问经过4个星期推广后，

还有多少人没有掌握这种新技术？再经过4个星期呢？

解设在时刻t(星期)已掌握新技术的人数为N(t),则在[t,t+dt]时段内掌握新技术人数的增量为dN=kN(2000-N)dt

这是一个一阶可分离变量方程，分离变量得当t=4时，可解得N≈1155,即尚未掌握这种新技术的人数为

2000-N≈845

当t=8时，可解得N≈1994.6,即经过8个星期的推广后，仅有五六个人没有掌握这种新技术.实例6-4(交通事故问题)在公路交通事故的现场，常会发现事故车辆的车轮留有一段拖痕(刹车距离),这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车轮停止转动，而车轮由于惯性的作用在地面上摩擦滑动留下的痕迹.

如果在事故现场测得拖痕的长度为15m,并测出路面与车轮的摩擦系数为1.04(此系数由路面质地、轮胎与地面接触面积等因素决定)，那么交警如何判定事故车辆在紧急刹车前的车速是否超出规定？

解设拖痕所在直线为x轴，拖痕的起点为原点，车辆的滑动位移为x,滑