《工程力学》课件-06 第6章 轴和梁的刚度设计

第六章轴和梁的刚度设计第六章轴和梁的刚度设计在工程实际中，即使强度安全，但如果因外力引起的变形超过某界限值，则构件也可能发生破坏。可见，为确保构件的刚度安全，需要对构件的变形进行研究，从而进度刚度设计，以保障其刚度安全。第六章轴和梁的刚度设计本章将从微观角度，对构件进行受力分析。本章主要从拉压变形、扭转变形、和弯曲变形三种变形分析构件的变形情况，并建立相应的刚度准则，供实际设计时应用。6.1拉压应力及强度设计6.2扭转刚度设计6.3弯曲变形

6.4典型工程案例的编程解决6.5团队合作解决工程问题第六章轴和梁的刚度设计6.1拉压应力及强度设计126.1.1轴向变形与胡克定律6.1.2横向变形与泊松比6.1.3位移6.1拉压应力及强度设计6.1.1轴向变形与胡克定律

FPFP线变形线应变胡克定律则应力和应变成线性正比例关系：6.1拉压应力及强度设计6.1.2横向变形与泊松比

FPFP横向变形横向应变横向应变与线应变总同时产生、符号总相反6.1拉压应力及强度设计材

料E（GPa）μ低碳钢合金钢灰铸铁铜及其合金铝合金196~216186~21678.5~15772.6~128700.25~0.330.24~0.330.23~0.270.31~0.420.33表6-1几种常用材料的E和μ值例6-1变截面杆如图所示。已知：A1=8cm2，A2=4cm2，E=200GPa。

求杆件的总伸长

l。

解：(a)求内力。用截面法求出截面1-1、2-2杆的内力(b)求杆件的总伸长。由虎克定律可得221160kN40kN20020020kNA1A26.1拉压应力及强度设计6.1.3位移由轴力图可见：CD段没有轴力，没有发生拉伸变形，没有位移；BC段有轴力，发生拉伸变形，有位移；AB段没有轴力，没有发生拉伸变形，但由于BC段的变形，从而有位移。变形和位移没有必然的关系，位移是梁各部分变形累加的结果，取决于杆件的变形量和杆件受到的外部约束或杆件之间的相互约束。1、直杆截面的位移无变形有位移有变形有位移无变形无位移6.1拉压应力及强度设计6.1.3位移2、以切代弧法求桁架节点的位移位移在数值上取决于杆件的变形量和杆件受到的外部约束或杆件之间的相互约束。结构节点的位移是指节点位置改变的直线距离或一段方向改变的角度。根据位移图几何关系计算出位移值结构的变形图：根据变形相容条件作出位移图计算节点所连各杆的变形量变形量变形图位移值6.1拉压应力及强度设计6.1.3位移2、以切代弧法求桁架节点的位移位移在数值上取决于杆件的变形量和杆件受到的外部约束或杆件之间的相互约束。以切代弧法CBA【例6.2】图示为一简单托架。杆BC为圆钢，横截面直径d＝20mm，杆BD为8号槽钢。若E=200GPa，FP＝60kN，试求节点B的位移。

34解：1）受力分析xyxy2）求杆件变形343）以切代弧法求水平和铅直位移xy6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件

ABTT在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，以最大程度确保构件不发生失效等工程要求。1、当圆轴发生扭转时，其变形程度用扭转角衡量圆轴的抗扭刚度————如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式(6-12)的积分可以写成分段求和的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件

ABTT2、扭转变形的刚度条件(rad/m)(°/m)（1）扭矩是常量的等截面圆轴，扭转变形的刚度条件6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件2、扭转变形的刚度条件(rad/m)(°/m)（2）对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是6.2圆轴扭转时的变形和刚度条件工程上扭转刚度有如下要求对于精度高的轴，[]=0.25~0.5

/m；一般传动轴，[]=0.5~1.0

/m；对刚度要求不高对轴，[]=2

/m。扭转刚度设计：刚度校核截面设计许可载荷先进行外力偶矩分析；再分析扭矩（图）确定危险截面；最后计算扭转刚度，并应用扭转刚度条件解决这三类问题。例6-35吨单梁吊车，电机功率P=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，[

]=40MPa,G=80×103MPa,[]=1

/m。

解：（1）计算扭矩马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮，则例6-35吨单梁吊车，电机功率P=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，[

]=40MPa,G=80×103MPa,[]=1

/m。

解：（2）计算轴的直径由强度条件，得

选取轴的直径

d=4.5cm。例6-35吨单梁吊车，电机功率P=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，[

]=40MPa,G=80×103MPa,[]=1

/m。

强度和刚度都能满足要求。解：（3）校核轴的刚度例6-4已知：P＝7.5kW，n=100r/min，最大剪应力不得超过40MPa，空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：（1）由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩（2）实心轴例6-4已知：P＝7.5kW，n=100r/min，最大剪应力不得超过40MPa，空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：（3）空心轴（4）实心轴与空心轴的重量之比d2＝0.5D2=23mm可见，满足强度要求时，空心轴更为经济。例6-5（同时考虑扭转强度和刚度）某机器的传动轴如图所示，传动轴的转速n=300rpm，主动轮输入功率P1=367kW，三个从动轮的输出功率分别是：P2=P3=110kW，P4=147kW。已知[τ]=40MPa，[]=0.3o/m，G=80GPa，试设计轴的直径。解：(a)外力偶矩。根据轴的转速和输入与输出功率计算外力偶矩：M3M2M1M4(b)画扭矩图。用截面法求传动轴的内力并画出扭矩图。xT3.49kN.m(-)(+)6.98kN.m4.69kN.m从扭矩图中可以得到传动轴内的最大的扭矩值是例6-5（同时考虑扭转强度和刚度）某机器的传动轴如图所示，传动轴的转速n=300rpm，主动轮输入功率P1=367kW，三个从动轮的输出功率分别是：P2=P3=110kW，P4=147kW。已知[τ]=40MPa，[]=0.3o/m，G=80GPa，试设计轴的直径。解：(c)由扭转的强度条件来决定轴的直径。M3M2M1M4(d)由扭转的刚度条件来决定轴的直径。xT3.49kN.m(-)(+)6.98kN.m4.69kN.m(e)要同时满足强度和刚度条件，应选择(c)和(d)中较大直径者，即【补例6.6】已知一空心轴传递的功率kW，r/mi已知MPa，0.5°/m，GPa，如果轴的内外径比＝0.5,试设计轴的外径D。解：(1)计算外力偶矩。(2)由强度设计直径D1。(3)由刚度设计直径D2。故D1＝D2＝93mm。总结重点掌握：变形、位移的概念，变形的求解公式轴扭转时的变形及其计算难点：以切代弧法求静定桁架节点位移圆轴扭转的变形、刚度条件6.3弯曲变形

126.3.1弯曲变形的基本参数6.3.2积分法求弯曲变形6.3.3叠加法求弯曲变形6.3弯曲变形

在工程实际中，许多承受弯曲的构件，除了要有足够的强度外，还应使其变形量不超过正常工作所许可的数值，以保证有足够的刚度。否则，由于变形过大，使结构或构件丧失正常功能，发生刚度失效。1、必要性6.3弯曲变形

汽车轮轴的叠板弹簧——缓冲减震切割刀头部弯曲——让刀缓冲2、目的性6.3.1弯曲变形的基本参数1、挠曲线梁的轴在荷载作用下变成的连续光滑的平面曲线梁的弹性曲线方程：梁的弯曲变形表示：挠度和转角2、挠度梁任意横截面形心C的铅直位移其大小：其符号：向上为正，向下为负C的水平位移？梁的弯曲变形是弹性变形，形状变化平缓，且曲率很小，故横截面形心水平位移极小，忽略不计.CC’CC’3、转角横截面绕其中性轴相对于变形前转过的角位移大小：小变形——梁的转角方程正负：从x轴正方向起，逆时针为正，顺时针为负一、梁的挠曲线微分方程

在前面推导纯弯曲梁正应力计算公式时，曾得到用中性层曲率半径ρ表示的弯曲变形的公式

如果忽略剪切力对变形的影响，则上式也可以用于梁的横力弯曲的情形。在此时，弯矩M和相应的曲率半径ρ均为x的函数，上式变为6.3.2用积分法求弯曲变形弯矩M正负号按以前规定，并选择w轴向上为正，则弯矩M与恒为同号。故有从几何关系上看，平面曲线的曲率:小变形挠曲线近似微分方程仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题1、原理二、积分法求转角、挠度ABAB求解条件：控制点条件：集中力、集中力偶、分布载荷间断处约束条件边界条件2、特殊情况荷载沿轴向不连续且突变（有Fp、M或p）

弯矩方程分段列出

挠曲线近似微分方程分段列出

分段积分条件：

边界位移条件

分段处挠曲线连续光滑条件：

左右两截面挠度相等

左右两截面转角相等建坐标系，求支座反力，列弯矩方程，画弯矩图列挠曲线近似微分方程确定边界条件，求积分常数建立转角方程和挠度方程求最大转角和最大挠度，并指出其方向3、步骤：例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

解使用积分法求转角和挠度。(a)求约束反力。取梁AB作为研究对象，加上约束力RA和RB，然后使用平衡方程RABARBPCablyx例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(b)求弯矩方程。因AC、CB两段弯矩方程不同，分别写出弯矩方程AC段

CB段

RABARBPCablyx例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(c)列挠曲线微分方程并二次积分。AC段

例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(c)列挠曲线微分方程并二次积分。CB段例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(d)确定积分常数。利用支座A、B处边界条件和左、右两段梁连接处C的光滑连续性条件代入上述转角和挠度方程，确定积分常数(1)光滑连续性条件RABARBPCablyx例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(2)边界条件RABARBPCablyx例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(e)结果（转角和挠度方程）。AC段CB段RABARBPCablyx例6-7求图示简支梁受集中载荷P作用下的弯曲变形θA、θB和最大挠度。

(f)求指定截面的弯曲变形。RABARBPCablyx要确定最大挠度，令：，在a>b时，最大挠度发生在AC段，可求得则最大挠度为【例6-8】图12.3所示为一悬臂梁，左半部承受均布载荷q作用，试建立梁的转角方程和挠度方程，并计算截面A的转角和挠度。解:0≤x≤aa≤x≤2a（2）分段积分0≤x≤aa≤x≤2a（1）列弯矩方程在x=a处在x=2a处（3）确定边界条件求常数值0≤x≤aa≤x≤2a（4）确定截面A的转角和挠度【补例】图示为一悬臂梁，EI＝常数，在其自由端受一集中力F作用，试求该梁的转角方程和挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。解：(1)建立挠曲线微分方程并积分。(2)确定边界条件求积分常数。

C=0,D=0(3)确定最大挠度和最大转角

4、积分法小结

荷载简单、梁不分段时可直接用，形成工程上常用的表,见表9-1梁分段时，计算相当繁琐

梁的挠度方程和转角方程皆为荷载的线性函数，故可通过查表用叠加法求解6.3.3求弯曲变形的叠加法梁的挠度方程和转角方程皆为荷载的线性函数，梁有几种不同载荷共同作用时，根据力的独立作用原则，将其分解成各种载荷单独作用时的情况，查表确定单个载荷所产生的挠度和转角，然后叠加。【例6-9】求图示外伸梁C端的转角θC和挠度wC与B端的转角θB和挠度wB之间的关系。

解：C端没有受到载荷作用，其转角θC和B端的转角一致，但是其挠度wC由于B端的转角θB引起的，故BAalCP【例6-10】悬臂梁AB在自由端B和中点C受集中力F作用，如图所示。试用叠加法求自由端B的位移。

wAFFxl2/lCB解：B端F作用引起自由端B的挠度，查表12-1中1得wAFxl2/lCB在中点仅有集中力F作用时，C点处的挠度与转角B点位移【例6-11】悬臂梁AB自由端B受集中力偶矩M，中点C受集中力F作用，如图12.5所示。试用叠加法求自由端B的位移。

AFlwCBMmaxwx解：M引起的B挠度：F引起的B挠度和转角：【例6-12】按叠加法计算图中悬臂梁截面A的转角和挠度。

AqawCBaxqwACBxqqBBxxqAwwCwCw¢¢¢¢q¢¢(a)(d)(c)(b)q¢w¢A解：6.3.4弯曲刚度

对于工程中承受弯曲变形的构件，除了强度要求外，