高考数学复习第八章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量配套理

第6讲空间坐标系与空间向量1/36考纲要求考点分布考情风向标1.了解空间向量概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量数量积及其坐标表示，能利用向量数量积判断向量共线与垂直.4.了解直线方向向量与平面法向量.5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行关系年新课标以四棱锥为背景，考查求二面角余弦值大小；年新课标以三棱柱为背景，考查求二面角大小；年新课标Ⅰ以三棱柱为背景，考查求线面所成角正弦值；年新课标Ⅰ以三棱柱背景，考查求二面角余弦值；年新课标Ⅰ考查求直线与直线所成角余弦值；年新课标Ⅰ考查利用空间向量求二面角；年新课标Ⅰ考查利用空间向量求二面角.能较易建立空间直角坐标系，尽量建立空间直角坐标系；要注意向量运算与基本性质相结合叙述，这是今后方向，能够“形到形”，能够“数到形”，注意数形结合2/36或AB.空间向量能够在空间内自由平行移动.1.空间向量概念在空间，现有大小又有方向量，叫做空间向量，记作a→3/36(1)加法：AB＋BC＝AC(三角形法则：首尾相连，指向终点).(2)减法：AB－AC＝CB(三角形法则：共点出发，指向被减).2.空间向量运算→→→→→→(3)数乘向量：λa(λ∈R)仍是一个向量，且λa与a共线，|λa|＝|λ||a|.(4)数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一个实数.3.空间向量运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)普通不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4/36

4.空间向量坐标运算

叫做点P坐标. (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么

a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；λa＝_________________；a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(λx1，λy1，λz1)5/366/36余弦值为，则λ＝(D.2或－1.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b夹角89)CA.2B.－2C.－2或

255

2557/36A.一定不共面C.不一定共面B.一定共面D.无法判断B

∴P，A，B，C四点共面.故选B.8/36A

图D639/364.已知点O为坐标原点，三点坐标分别是A(2，－1，2)，标为___________.10/3611/36考点1空间向量线性运算

图8-6-112/3613/3614/36

【规律方法】(1)选定空间不共面三个向量作基向量，这是用向量处理立体几何问题基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.

(2)首尾相接若干向量之和，等于由起始向量始点指向末尾向量终点向量，我们把这个法则称为向量加法多边形法则.(3)向量线性运算有一个惯用结论：假如B是线段AC算.15/36【互动探究】

1.(年河南郑州模拟)如图8­6­2，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC中点，则x＋y＋z＝______.图8-6-216/36答案：5617/36向量OG＝_______________.

2.如图8-6-3，已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，点G在线段MN上，且→图8-6-318/3619/36考点2空间向量数量积运算

例2：(2016年山西太原模拟)如图8-6-4，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A中点.

(3)求证：A1B⊥C1M.

图8-6-420/36(1)解：如图

D64，建立空间直角坐标系.图D6421/3622/36

【规律方法】利用数量积处理问题两条路径：一是依据数量积定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可处理相关垂直、夹角、长度问题.①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；23/36

例3：(2015年新课标Ⅰ)如图

8-6-5，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证实：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角余弦值.图8-6-524/3625/3626/36图D6527/36

【规律方法】(1)求几何体中两个向量夹角能够把其中一个向量平移到与另一个向量起点重合，从而转化为求平面中角大小.(2)由两个向量数量积定义，得cos〈a，b〉＝

a·b|a||b|，求〈a，b〉大小,转化为求两个向量数量积及两个向量模,求出〈a，b〉余弦值，进而求〈a，b〉大小.在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来,进而化简得出a·b值．28/36【互动探究】

3.(年纲领)三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1

所成角余弦值为_______.29/3630/36

4.(选修2­1P105­例1改编)如图8­6­6，在平行六面体

ABCD­A1B1C1D1

中，以顶点A为端点三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.图8-6-631/3632/3633/36易错、易混、易漏⊙向量夹角不明致误

例题：如图8-6-7，在120°二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为