2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课-全等三角形（解析版）

（难）2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课

全等三角形（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.（2021•全国八年级专题练习）如图，AABC中，ZBAC=60。，NB4c的平分线4。与

边8C的垂直平分线例。相交于O,DEL回交A8的延长线于E,。尸，AC于尸，现有

下列结论：①DE=DF;@DE+DF=AD；®DMZEDF;@AB+AC=2AE,其

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】

①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知NE4O=NE4D=30。，故此可知

ED=\AD,DF：AD,从而可证明②正确；③若O0平分/成加，则N£OM=60。,

22

从而得到NABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC,

然后证明AEBOwADFC，从而得到BE=FC,从而可证明④.

【详解】

①•.•4)平分NBAC,DELAB,DFVAC,

;.ED=DF.

，①正确.

(2)-.-ZE4C=60°,AO平分NBAC,

:.ZEAD=ZFAD=30P.

■.DEA.AB,

：.ZAED=90°.

•••ZAED=90°,ZEAD=30°,

:.ED=-AD.

2

同理：DF=-AD.

2

:.DE+DF=AD.

.••②正确.

③由题意可知：NED4=/ADF=60。.

假设MD平分N£Z/,则/EDW=60。,

又・・・ZE=NRWD=90。，

/.Z£BM=120°.

/.ZABC=60°.

•・•ZABC是否等于60。不知道，

不能判定MD平分NEDF,

故③错误.

④・・・ZW是8c的垂直平分线，

DB=DC.

在RtABED和RIACFD中

[DE=DF

\BD=DC'

..RtABED=RtACFD.

：.BE=FC.

.\AB+AC=AE-BE-^-AF+FC

又・.・AE=AF,BE=FC,

:.AB+AC=2AE.

故④正确.

故选：c.

【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质,

掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.

2.（2021•东北育才双语学校）如图，正方形A8C。中，点E为对角线AC上一点，

EFLDE交边AB于F,连接〃尸交线段AC于点H,延长DE交边BC于点。，连接

QF.下列结论：①DE=EF；②若AB=6,CQ=3,贝!|A尸=2;®ZAFD=ZDFQ；

④若AH=2,CE=4,贝ljA8=3近+加；其中正确的有（）个.

AFB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】

连接8E,由“SAr可证△OCE丝△BCE,可得DE=BE,NCDE=NCBE,由补角的性

质可得可证EF=BE,故判断①，延长8C到G,使CG=A尸，连接

DG,由“SAS'可证△AOF丝△CQG,可得NAFC=NG,ZADF^ZCDG,DF=DG,

由“S4歹可证△尸丝△QOG,可得/Q=QG,NG=/DFQ,可判断③，由勾股定理

可求AF=2,可判断②,将^CDE绕点\顺时针旋转90。得到△ADM,连接MH,由“SAS'

可证且△£>£〃，可得EH=MH,由勾股定理可求的长，即可求A8的长，

即可求解.

【详解】

B

・・•四边形A8CO为正方形,

:・CB=CD,NBCE=/DCE=45。,

在△BEC和△OEC中，

DC=BC

<ZDCE=ZBCE,

CE=CE

:•△DCEq/XBCE(SAS),

；.DE=BE,NCDE=/CBE,

：./ADE=/ABE,

VZ£>AB=90°,Z£)EF=90°,

・・・ZADE+NAFE=180°,

ZAFE+NEFB=180°,

・・・ZADE=ZEFB,

：.NABE=/EFB,

：.EF=BE,

：.DE=EF,故①正确；

VZD£F=90°,DE=EF,

：.ZEDF=ZDFE=45°f

如图：延长8c到G,使CG=AE连接OG,

在尸和△CDG中,

AD=CD

<NDAF=NDCG,

AF=CG

：./\ADF^/\CDG(SAS),

AZAFD=ZG1NADF=NCDG,DF=DG,

ZADF+NCOQ=90。-NEDQ=45。，

・・・ZCDG+/。。。=45。=ZGDQ,

:・/GDQ=NFDQ,

又♦:DG=DF,DQ=DQ,

•••△QO金△QOG(SAS),

:・FQ=QG,NG=/DFQ,

：.ZDFA=ZDFQ,故③正确；

VAB=6,CQ=3,

：.BQ=3,FB=6-AF,FQ=QG=3+AF,

'：FQ2=FB2+BQ2,

：.(3+AF)2=9+(6-AF)2,

：.AF=2,故②正确;

如图：将4CDE绕点A顺时针旋转90。得到△ADM,连接MH,

：.XCDEqXADM,

，AM=CE=4,NOCE=ND4M=45。，/ADM=NCDE,DM=DE,

：.ZMAH=90°,ZADM+NADH=ZCDE+^ADH=45°=ZMDH,

又,：DH=DH,

：./\DMH乌/XDEH(SAS),

：.EH=MH,

:MH=yjAM2+AH2=716+4=275,

：.EH=MH=2不，

：.AC=AH+EH+EC=6+2有

；.AB=AC+母=3五+回,故④正确；

故选：D.

【点睛】

本题是四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰

直角三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法,

添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

3.(2021•全国八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC与80交

于点O,E为CD延长线上的一点，且CD=DE,连接BE分别交AC.AD于点/、G,

连接OG,则下列结论中一定成立的是()

@OG=yAB；②与AOEG全等的三角形共有5个；③四边形OZJEG与四边形OR4G

面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.

A.

B.①©

c.(D@③

D.(2X§)@

【答案】A

【分析】

由A4s证明MBGwAEDG,得出4G=OG,证出OG是A4CD的中位线，得出

OG=^-CD=^AB,①正确；先证明四边形A8OE是平行四边形，证出A489、ABCD

是等边三角形，得出/1B=B£>=A£),因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形，④正

确；由菱形的性质得出AABGMADBGMAEDG,山SAS证明AABGfADCO,得出

A4BO=ACBO=AaX)=A4DO=ABAG=MDG=A£DG,得出②不正确；由中线的性质和菱

形的性质可得5moe=%欢；，SMBC=S&DCE,可得四边形OOEG与四边形。SAG面积相等，

得出③正确；即可得出结果.

【详解】

解：•••四边形A8C3是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

.-.ZBAG=ZEDG,MBO=\CBO=\CDO=AADO,

•：CD=DE,

AB=DE，

在A43G和ADEG中，

"BAG=NEDG

<ZAGB=NDGE,

AB二DE

:.MBG=/^EDG(AAS),

AG=DG,

.•.OG是A4CD的中位线，

:.OG=^CD=^AB,①正确；

ABIICE,AB=DE,

四边形是平行四边形，

•.•ZBCD=Zfi4£>=60°,

.-.MBD,ABC。是等边三角形，

:.AB=BD=AD,ZODC=60°,

:.OD=AG,四边形A3DE是菱形，④正确;

：.ADLBE,

由菱形的性质得：AABGsADBGsA£Z)G,

在AABG和ADCO中，

0D=AG

-ZODC=NBAG=60°,

AB=DC

:.MBG三MXXXSAS),

△ABONXCBOWACDOWMDOW&BAGNXBDGW&EDG,②不正确；

•：OB=OD,

一S&BOGS&00c,

••,四边形AB0E是菱形，

S&ABG—S40c£,

四边形O£>EG与四边形O8AG面积相等，故③正确；

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、

三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大.

4.(2021•宜兴市实验中学八年级月考)如图，在“ABC中，A。是BC边上的高，

ZBAF=ZCAG=90°,AB=AF,AC^AG.连接FG,交D4的延长线于点E,连接

BG,CF.则下列结论：①BG=CF；②BGLCF；®BC=2AEi④EF=EG,其中

正确的有()

A.dXD®B.C.®(§)@D.(D®@@

【答案】D

【分析】

iWACAF^^GAB(SAS'),从而推得①正确；利用△及三角形内角和与

对顶角，可判断②正确；证明△AFM丝△BAO(A4S),得出FM=AD,ZFAM^ZABD,

同理AANG丝Z\CD4,得出NG=AO,则FM=NG,证明△FME丝Z\GNE(AAS).可得

出结论④，③正确.

【详解】

解：•.•/B4F=/C4G=90°,

，ZBAF+ZBAC-ZCAG+ZBAC,即NC4F=NGA8,

y.,：AB=AF,AC=AG,

.'./^CAF^^GAB(SAS),

：.BG=CF,故①正确；

•.,△MC丝△BAG,

：.ZFCA=ZBGA,

又「BG与AC所交的对顶角相等，

：.BG与FC所交角等于/G4C,即等于90°,

：.BG±CF,故②正确；

过点F作FM±AE于点M,过点G作GNLAE交AE的延长线于点N,

：.ZFAM+ZBAD=90°,NFAM+NAFM=90°,

ZBAD=ZAFM,

又尸=A8,

A/\AFM^/\BAD(AAS),

：.FM=AD,NFAM=NABD,

同理△AVG丝△CD4,

：.NG=AD,AN=CD,

：.FM=NG,

\'FM±AE,NGLAE,

NFME=NENG=90°,

NAEF=NNEG,

；./\FME名/\GNE（AAS）.

:.EM=EN,EF=EG.故④正确.

BD+DC=BC=AM+AN=2AM+2ME=2AE,故③正确

故选：D.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角,

三角形内角和等几何基础知识.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

5.（2021•全国）如图，AABC中，AB=AC,ZBAC=a,点。在AA3c内部，且使得

ZABD=^BAD=^-3Q°.则ZAC。的度数为（）

A.c-30°B.c-60°C.30°D.不能确定

【答案】C

【分析】

如图，在AABC内作ZC4E=ABAD，且使得=4），连。旦CE,证明^ABD=^ACE,

得到AACE为等腰三角形，再证明“ADE为等边三角形，推出AOCE为等腰三角形，由

三角形外角的性质得出ZACD=|ZAED即叽

【详解】

如图，在AA8c内作NC4E=N54T>,且使得AE=A£>,连DE,CE,

♦.■在△45。和AAC£■中,

'AB=AC

"ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.^ABD=^ACE（SAS）,

•••ZABD=ZBAD，

△ABO为等腰三角形，

，AACE为等腰三角形，

cc

VZCAE=ZBAD,/BAC=a,ZBAD=一一30°,

2

/.NDAE=ZBAC-Z.BAD一/CAE

”（130。卜330。）

=60°,

r.V4）E为等边三角形，

:.DE=AE=CE,

・•・AOCE为等腰三角形，

延长CE交4）于尸点，

NAEF=NEAC+ZECA,

NDEF=NECD+NEDC,

:.NAED=NAEF+NDEF

=2ZACE+2ZDCE

=2（ZACE+ZDCE）

=2ZACD,

:.ZACD=-ZAED=-x60°=30°,

22

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等

三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是

解题的关键.

二、填空题

6.（2021•湖北襄州•八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中AABC为

含有45。角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点。为另一块

三角板的直角顶点，DM、OW分别交A3、AC于点E、F.则下列四个结论：

®BD=AD=CDi②之△CFD；®BE+CF=AB®S^=BC2.其中

iAEDFO

正确结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）.

N

B乙——庠--、C

【答案】①②③④.

【分析】

根据等腰直角三角形的性质可得故①正确，ZCAD=ZB=45°,根据同角

的余角相等求出/CQF=/AOE,然后利用“角边角”证明△?!£>£和△CCF全等，判断出

②正确，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF,从而判断出③正确；根据全等三角

形的面积相等可得5山=S3*从而求出s四边i=L,K：=gm，再结合勾股定理，

判断出④正确.

【详解】

解：VZB=45°,AB=AC,

.••△48C是等腰直角三角形，

:点。为8C中点，

.'.AD=CD=BD,故①正确；

•••点。为BC中点，AB=AC,

AD1BC,N340=45。，

：.ZEAD=ZC,

•.•/MON是直角，

/.ZADF+ZADE=90°,

,/ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

：.NADE=NCDF,

在^ADE^PACO尸中，

ZDAE=ZC

<AD=CD,

NADE=NCDF

：./\ADE^/\CDF(ASA),故②正确；

AE=CF,

：.BE+CF=BE+AE=AB.故③正确；

AADfi^ACDF,

••S4ADE=S&CDF>

,•S四边形AEDF=SMDC=耳

而：AD2+BD2=AB\AB2+AC2=BC2,AD=BD,AB=AC,

­,•S四边形我注=工，*=：4。2=；482=（8。2,故④正确；

ZH-O

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，

熟记三角形全等的判定方法并求出△4。《和4CDF全等是解题的关键.

7.（2021•湖南平江•）如图，矩形纸片A8CZ）中，AB=6,8c=12.将纸片折叠，使

点5落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF,低E、F分别在边AO和边8c上.连

接BG,交CD于点K,FG交CD于氤H.给出以下结论：①EFLBG；②GE=GF；

③DK=KH;④当点尸与点C重合时，ZDEF=75°9其中正确的结论有（填

序号）.

【答案】①②④

【分析】

连接8E,设EF与BG交于点O,由折叠的性质可得E尸垂直平分8G,可判断①;由“4SA”

可证ABO尸也△GOE,可得BF=EG=GF,可判断②；通过证明四边形8EG尸是菱形，

可得NBEF=NGEF,求出/AEB=30。，可得NOE尸=75。，可判断④，根据角平分线的性

质得至IJDK^KH,即可求解.

【详解】

解：如图，连接BE,设EF与BG交于点O,

•；将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，

尸垂直平分8G,

：.EF1.BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正确，

■:AD//BC,

：./EGO=NFBO,

又，:NEOG=NBOF,

:ABOF名/XGOE（ASA）,

：.BF=EG,

:.BF=EG=GF,故②正确，

"：BE=EG=BF=FG,

，四边形8EGF是菱形，

NBEF=NGEF,

当点尸与点C重合时，则BF=BC=BE=12,

此时BE=2AB,

：.ZAEB=30°,

:.NDEF=75。,故④正确，

平分NEG凡

J.DK^KH,故③错误；

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角平分线的性质

等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

8.（2021•广东海珠•八年级期末）如图，正方形ABCO中，H为CD上一动点（不含C、

D）,连接A“交8。于G,过点G作GELAW交BC于E,过E作EFLBZ）于尸，连

接AE,EH.下列结论：①AG=EG；②NE4H=45。；③BD=2GF；④GE平分

NFEC.正确的是（填序号）.

【答案】①②③

【分析】

连接GC,延长EG交4。于点L,可证△AOGgaCOG,进而可得NGEC=NGCE,,

由此可得出GEnGC,再由/77=AR即可得出N/ME=45。，于是可判断①②；连接AC

交3。于点O,则5。=2。4证明△AOGQXGFE,即可得出OA=GF,进而可得尸G,

于是可判断③；过点G作MNJ_3C于点N,交A。于点M,由于G是动点，GN的长

度不确定，而产G=CM是定值，即可得出GE不一定平分NFEC,于是可判断④.

【详解】

解：连接GC延长EG交AO于点3

•・•四边形ABCD为正方形，

：.AD//CB9AD=CD,ZADG=ZCDG=45°t

■:DG=DG,

:.AADG会/\CDG(SAS),

：.AG=GCt/HCG=/DAG,

,/Z//CG+ZGCB=90°,

JNDAG+NGCB=90。,

u：GELAH,

：.ZAGL=90°f

・・・ZALG+ZMG=90°,

*：AD//CB,

：.ZALG=ZGEC,

：.ZGEC+ZLAG=90°f

，NGEC=NGCE,

：.GE=GC,

：.AG=EG,故①正确；

'：GE1.AH,

：.ZAGE=90°,

"：AG=EG,

：.ZEAH=45°,故②正确；

连接AC交8。于点O,则BD^2OA,

NAGF+NFGE=NGEF+NEGF=90°,

ZAGF=ZGEF,

'：AG=GE,ZAOG=ZEFG=90°,

.♦.△AOG丝ZXGFE（A4S）,

J.OA^GF,

'：BD=2OA,

：.BD=2GF,故③正确.

过点G作MN,8c于点N,交AD于点、M,交BC于点、N,

：G是动点，

，GN的长度不确定，而尸G=OA是定值，

；.GE不一定平分NPEC,

故④错误；

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定等，熟练掌握全

等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

9.（2021•江苏）如图，在与都是等边三角形，且点A、C.E在同一条直线

上，AO与5E、8c分别交于点F、M,8E与CQ交于点N.有以下结论：①AM=8N；

②4ABF9QNF；®AFMC+ZFNC=180°；=其中正确的是

.（填序号）

D

【答案】①③④

【分析】

①根据等边三角形性质得出AC=BC,CE=CD,NACB=/ECD=60°,求出

根据SAS推出两三角形全等即可；②根据NABC=6(r=/BCQ,求出AB〃C。，可推出

△ABFS^DNF,找不出全等的条件；③根据角的关系可以求得/AF8=60。，可求得

MF2120。,根据/8CD=60。可解题;④根据CM=CN,/MCN=60。,可求得/CMW=60。，

可判定MN〃AE,可求得M等N=D芸N=CD鸟-CN/，可解题.

ACCDCD

【详解】

解：证明：①;△ABC和△COE都是等边三角形，

：.AC=BC9CE=CD,ZACB=ZECD=60°f

：./ACB+/BCD=/ECD+NBCD,

^ZBCE=ZACD,

在aBCE和△ACO中，

BC=AC

<ZBCE=ZACD,

CE=CD

:•△BCE空XACD(SAS),

：.AD=BEfNADCBEC,/CAD=/CBE,

在^DMC和aENC中,

ZMDC=/NEC

<DC=EC,

Z.MCD=4NCE

:•△DMC91XENC(A&4),

:・DM=EN,CM=C7V,

•••AD-DM二BE-EN,EPAM=BN；

@VNABC=60o=NBCD,

:,AB〃CD,

：./BAF=NCDF,

/AFB=/DFN,

JXABFSXDNF,找不出全等的条件；

@VZAFB+ZABF+ZBAF=180°,NFBC=/CAF,

：.ZAFB+ZABC^-ZBAC=180°,

・・・ZAFB=60°f

：.ZMFN=\20°f

,/ZMCN=60°f

.•.ZFMC+ZF^C=180°；

④,.,CM=CMNMCN=60。,

•••△MCN是等边三角形，

■・・NMNC=60。,

*/ZDCE=60°,

：.MN//AEf

.MNDNCD-CN

**AC-CD~~~CD-，

■:CD=CE,MN=CN,

.MNCE—MN

^~AC~~CE'

.MN、MN

••=1-，

ACCE

故答案为①③④.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查

了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题.

10.（2021•辽宁兴城•八年级期末）如图，4在正方形CD8G的边8。的延长线上，且

知4）=%>,E在Q9上，EFLAE交8c的延长线于点足有以下结论：①AE=EF

（2）ZEAB+ZEFB=45°®BC=CE+CF®CF=^2DE.其中，正确的结论有.（填

序号）

A

DB

【答案】①②④

【分析】

根据正方形性质得到/C8D=45。，进而得到N布B+/AF8=135。，根据三角形性质即可

得至l」NE48+/EF8=45。，判断②正确；连接BE,先证明4E=8E,得至Ij/E4B=/EA4,

根据NE48+/EF'8=45。证明EF=EB,即可判断①正确；作EH_L8凡得至ljBC=FC+2CH,

根据为等腰直角三角形得到CE=&CH，即可得至IJ8C=FC+反E，即可判断③

错误；证明BC=辰D，根据BC=FC+42CE得至IFC+辰E==0CE+&.DE，即可

得到④正确.

【详解】

解：•••四边形CC8G为正方形，

,NCBD=gNDBG=45。,

：.ZFAB+ZAFB=\35°,

即ZEAF+NAFE+NEAB+NEFB=135°,

,：EFl.AE,

，NAEF=90°,

二ZEAF+ZAFE=90°,

：.NEAB+NEFB=45。,

故②正确；

连接BE,

•••四边形CD2G为正方形，

DELAB,

,：AD=BD,

.'.AE=BE,

：.NEAB=NEBA,

VZEAB+ZEFB=45°,ZEBD+ZEBF=45°,

：.NEFB=NEBF,

:.EF=EB,

：.AE=EF,

故①正确；

作EHLBF,

•：BE=FE,

：.BH=FH,

Z.BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH,

•.•四边形CQBG为正方形，

NHCE=gNDCG=45。,

'：EH±BF,

.•.CE=&CH，

即C4=^CE,

2

BC=FC+2CH=FC+0CE，

故③不正确；

VZBCD=45°,ZCDB=90°,

:.BC=-ficD,

,;BC=FC+6CE，

FC+OCE=-J1CD=®CE+CO)=及CE+垃DE,

:.FC=ODE，

故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形

性质等知识，综合性较强，熟知正方形性质和等腰直角三角形三边数量关系，添加适当

辅助线是解题关键.

三、解答题

11.（2021•黑龙江道外•八年级期末）四边形45。中，DA=DC,连接3£>,ZABD=

ZDBC.

D

K

图1图2图3

(1)如图1,求证：NR4O+NBC0=18O。；

如图连接当。时，求的长；

(2)2,AC,NOAC=45BC=3AB,SADBC=27,A5

(3)如图3,在(2)的条件下，把AAOC沿AC翻折，点O的对应点是点E,AE交

BC于点K,/是线段8c上一点，连接E凡ZBFE=45a,求AE尸C的面积.

.Q

【答案】(1)见解析；(2)48=3；(3)-

【分析】

(1)作DM_L54交BA的延长线于M,ONL8C于N,利用HL定理证明

RMDM4段/?/△DNC,根据全等三角形的性质证明即可；

(2)作DMLBA交BA的延长线于例，DNLBC于N,根据角平分线的性质得到MB

=BN=Z)N,根据三角形的面积公式求出A5；

(3)作EG_LAB交48的延长线于G,EHLBC于H,证明△AGE会△€■，后，根据全等

三角形的性质得到AG=C"EG=EH,求出84,进而求出C凡根据三角形的面积公

式计算，得到答案.

【详解】

(1)证明：如图1,过点。作DMLBA交BA的延长线于M,DNLBC于N,

则/DMA=N£WC=90。，

•:/ABD=NDBC,DM_LBA,DNLBC,

；.DM=DN,

在R>DMA和Rt4DNC中，

/DM=DN

[DA=DC'

/./?/△DMA丝/△DNC(HL),

:./DAM=NBCD,

"：ZDAM+ZDAB=]SO°,

...NZM8+NBCC=180°；

(2)如图2,过点。作DM,BA交54的延长线于M,DNLBC于N,

由(1)得，△£WC四△DMA,CN=MA,

■:DA=DC,NOAC=45。，

：.ZDAC=ZDCA=45°f即N£)AC+NOCA=9()Q,

・・・ZADC=90°,

AZABC=ISO0-NADC=90。,

平分NA8C,

/./DBM=4DBN=45°,

*：/M=/DNB=90。,

：.NMDB=/BDN=NDBM=/DBN=45。,

:・DN=BN,DM=8M,

VDM=DM

:・MB=BN=DN,

设则3C=3A8=3m设CN=b,则MA=CN=b,

:・MB=a+b,BN=3a-b9

/.a+b=3a-b,

:・b=a,

:・BN=DN=3a-b=2a,

：.SAHCD=yBC・DN=-3q・2a=27,

解得，a=b=3,

：.AB=3；

(3)如图3,过点E作EGLAB交AB的延长线于G,EHLBC于H,

由翻折可知，AE=AD=CD=CEtZAEC=ZADC=90°.

NAKB=NCKE,

:・/BAE=NBCE,

在△AG£^IMCHE中,

ZGAE=ZHCE

<AAGE=ACHE,

AE=CE

：./\AGE^/\CHE(A4S),

：.AG=CH,EG=EH,

：.BE平分NC8G,即/GBE=NCBE=45°=/HEB=NBEG,

:・BH=EH=BG=EG,

设BH=k,则AG=3+KCH=9-k,

\'AG=CHf

：.3+k=9-k,

解得,k=3,

:・EH=BH=3,

NBFE=45。,NEHF=90。,

：.ZHEF=Z/7FE=45°,

:・HE=FH=3,

：.CF=CB-BF=9-3-3=3,

I।9

AEFC的面积=丁xCFxEH=-x3x3=

222

图1图2图3

【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定和性质、翻折变换的性质、角平分线的性质、等腰直角

三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

12.(2021•山西太原•)综合与探究:

问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动.如图，在AABC

中，a)_LA5于点。，AE平分NR4c交CZ)于点尸.

初步分析：

(1)智慧小组的同学发现ACEF是等腰三角形，请你证明这一结论；

(2)博学小组的同学发现给AA8C添加一个条件，可使ACE尸成为等边三角形.添加

的条件可以是.(写出一种即可)

操作探究：

(3)创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下的探究，请从下面A,5两题中任

选一题作答我选择题：

A.将A40厂沿射线48的方向平移，使点尸的对应点尸恰好落在线段8c上，

①请在图中画出平移后的AAO产，

②猜想此时线段A，5与AC之间的数量关系，并说明理由.

B.将ACE尸沿射线C5的方向平移，使点C的对应点恰好与点B重合，

①请在图中画出平移后的ABE9，

②连接EF，，交BD于点G,猜想此时线段EG与F，G之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）ZCAB=60°（答案不唯一）；（3）4①见解析；®A'B=AC,

证明见解析；B：①见解析；②EG-F'G,证明见解析-

【分析】

（1）根据直角三角形的性质，角平分线的性质进行等量代换进而证明结论即可；

（2）当AABC中，NC4B=60。时，根据等边三角形判定定理进行判定；

（3M.过点尸作尸6人AC于G,根据角平分线的性质得出FG=U>,进而证明R/ZVIGF

丝心△ADF,根据全等三角形对应边相等可得AG=A。，根据平移的性质得到AA£>尸丝

△A'DF',得出AG=4D=A7）',GF=DF=OF',然后利用“角角边”证明ACG尸且

广，得到CG=B£>',最终得出A'B=AC；

及过点E作EHLAG于〃,，根据角平分线的性质得出EC=E〃，根据平移的性质得到

△CEF咨/\BF'E,得出△CER是等腰三角形，EH=CE=CF=BF',

然后利用“角角边”证明巫HE丝AGBF,最终得出EG=F'G.

【详解】

（I）平分NBAC,

ZCAE=AEAB,

-JCDLAB,ZACB=90。，

ZADC=90°,

.•.在VAFZ）中，ZAFD+ZFAD=90°,

在AACE中，ZAEC+ZCAE=90°,

•?ZAFD=ZCFE,

ZCEA=ZAFD=ZCFE,

...△CEF是等腰三角形；

（2）当△ABC中，NC48=60。时，

ZC4£=30°,ZCEF=90°-ZCAB=60°,

.•.△CE尸是等边三角形;

（3）A.①如下图即为所求,

②A'B=AC,理山如下:

过点F作依八AC于G,

•.FE平分/B4C,

VFDLAB,FGAAC,

'FG=FD,

在Rt/\AGF和Rt^ADF中，

[AF=AF

[GF^DF

：.R&GF色Rt/XADF(HL)

二AG=AD.

；△的)尸平移后得到AA'D'F',

：.^ADF丝/\ADF'

：.AG^AD^A'D',

GF=DF=DF',

;在△88中，N2+N3=90。,

又•:Zl+Z2=90°,

N1=N3,

在MGF和△3DF中，

,Z1=Z3

"NCGF=NBDF

GF=D'F'

:.Z\CGFmABD'F'(44S)

Z.CG=BD',

：.AG+CG=A'iy+BEy,

即：AB=AC；

B.①如下图即为所求，

过点E作E”J.AG于H,

ZEFG=90°,

平分/BAC,

；ECJ,AC,EH±AH,

：.EC=EH,

:ACEF平移后得到/\BF'E,

/.ACEF<ABF'E',

**-CF=BF',N2=N4,

••.△C所是等腰三角形，

：.EH=CE=CF=BF',

;在△88中，N2+N3=90。,

Z4+Z3=90°,

ZGBF'=90°,

在ACHE和△G8F'中，

Zl=Z5

"NGHE=NGBF'

EH=F'G

：.ACHE会△GBF'(A4S)

，EG=F'G.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与

性质，图形的平移等，熟练运用以上性质定理是解题的关键.

13.(2021•福建晋江•八年级期中)(1)在平面直角坐标系中，一次函数

y=Nx-l)+3(ZwO),无论k取何值，其图象——直线总会过一定点，请写出此定点坐

标(,),

(2)如图①，一次函数的图象经过点尸(-2,3),交y轴正半轴于点A,交x轴负半轴

于点B,求AOAB面积的最小值.

(3)如图②，等腰Rt^ABC中，斜边AB=8,在A8边上取点。(点。不与A、8重

合)，以AO为直角边在AB下方作等腰RIAADE，连结BE,点产为。3的中点，连结CF,

试判断CF与的位置和数量关系，并说明理由.

【答案】(1)1,3；(2)12；(3)CF=；BE,CF1BE,理由见解析

【分析】

(1)因为与系数火无关，则令与人有关的式子为0,即可求得定点坐标；

(2)过点尸任作一直线交y轴正半轴于点E,交X轴负半轴于点尸，过点8作BG//y轴

交EF卜点G，则,根据S&OEF-S四边形OEGB=S四边形OEPB+S△aBC=^AOAB可

知当点P为A8中点时，A048面积的最小，过点尸作PC_Ly轴于点C,轴于点

D,进而根据P的坐标和三角形面积公式计算即可；

(3)以AB所在直线为x轴，过点C作A3的垂线为》'轴建立平面直角坐标系，坐标原

点为。，)轴交BE于点G,设点。的横坐标为。，根据已知条件分别求得B,E的坐标，

设直线班:的解析式为):奴+力，待定系数法求解析式，求得b即OG的长，进而可知

OF=OG,则可证明△COF丝△8OG,过点G作GH_L轴于点//,进而证明

△GHE且△BOG可得GE=BG,即可得出数量关系CT7=38后，延长CF交BE于点P,

根据AOBG+NBFP=NOCF+ZCFO=90°,可得位置关系CFLBE.

【详解】

解：(1)y=/(x—1)+3伏*0),

当x=l时，y=3,

••.无论左取何值，其图象直线总会过一定点。,3),

故答案为：L3；

(2)当点P为A8中点时，△。钻面积的最小，理由如下：

过点P任作一直线交了轴正半轴于点E,交x轴负半轴于点F,

过点8作BG//y轴交所于点G

则有N«4E=NP3G,PA=PB,ZAPE=NBPG

：.^PAE^^PBG

S40EF—$四边形OEG8=$四边形O£PB+S&PBG=S40AB，当且仅当EF与AB重合时取等号

过点产作PCLy轴于点C,PDLx轴于点。，

•.•P(-2,3),则PC=OD=2,PD=OC=3

■:ZAPC=4PBD,ZACP=ZPDB,PA=PB

：.AAPC沿APBD

AC=PD=3,PC=BD=2

OA=6,OB=4

'SAOAB=；x4x6=12,即A048面积的最小值为12.

(3)CF=；BE,CF1BE,理由如下：

以AB所在直线为x轴，过点C作AB的垂线为丫轴建立平面直角坐标系,

坐标原点为。，y轴交班:于点G

J*

•••△ABC、A4）E都是等腰直角三角形，AB=8

，A（T,O）,B（4,0）,OA=OB=OC

设点。的横坐标为。，则AE=4O=a+4,DB=4-a

•.•点尸为OB的中点

二BF=Z）f=g（4-a）,O尸=O8-Bf=g（4+a）

设直线BE的解析式为丫=履+方，

把8（4,0）、£（T,-a-4）分别代入得

4k+b=0

-4k+h=-a-4

解得：〃（一。一4）

OG=g(4+〃)

：.OF=OG

NCOF=NBOG=90°

：.△CO&ABOG,

CF=BG,NOCF=ZOBG.

过点G作G”,短轴于点H,则〃G=04=08,

1.•AE//y轴,

:.NOGB=NHEG,

又•；4BOG=NGHE=90。

.­•AGHE出ABOG,GE=BG

：.CF=BG=GE,^CF=-BE

2

延长CF交BE于点P

ZOBG+ABFP=NOCF+ZCFO=90°

ZFPB=90°,BPCF1BE

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，几何题的解析解法，三角形全等的性质与判定，等腰直角

三角形的性质，建立平面直角坐标系是解题的关键.

14.(2021•湖北武昌♦八年级期中)如图，点尸为正方形ABC。的对角转AC上一动点，

过点P作PE±PB交射线DC于点E.

(1)如图1,当点E在边CD上时，求证：PB=PE；

(2)如图2,当点E在。C的延长线上时,探求线段丛、PC、CE的数量关系并加以

证明；

(3)如图3,在(1)的条件下，连接BE交AC于点尸，若正方形45Q9的边长为4,

当点E为的中点，则尸尸=—(请直接写出结果).

【答案】(D见解析；(2)AP-PC=^EC.证明见解析；(3)半.

【分析】

(1)如图1,连接PD.分别证明PE=P。即可证明结论.

(2)结论:AP-PC=0EC.如图2中，过点P作尸T_LPC交8c于7,过点T作THLBC

交AC于，，过点H作HKLAB于K,设PE交8c于点O.想办法证明HK=BT=EC,

PC=PH,AH=^2HK,即可证明结论；

(3)如图3中，过点尸作PALBE于L,过点尸作FQLCO于Q,FJ，8c于J.想办

法求出PL,LF,再利用勾股定理，即可证明结论.

【详解】

(1)证明：如图1,连接PD

BC

图1

・・•四边形ABC。是正方形,

：.CB=CD1NPCB=NPCD=45。,

在△「。5和4PCQ中，

CB=CD

</PCB=/PCD,

CP=CP

:•△PCBQ/XPCD(SAS),

:・PB=PD,NCBP=NCDP,

•:PELPB,

：.ZBPE=ZBCE=90°f

，NCBP+NCEP=180。,

VZCEP+ZPED=180°f

:・/PED=/CBP,

：.ZPED=ZCDP9

：.PE=PD,

:・PB=PE；

(2)解：结论：AP-PC=^2EC.理由如下：

如图2,过点P作PTLPC交BC于T,过点T作THLBC交AC于",过点H作HK±AB

于K,设PE交3c于点O.

ZECO=N3PO=90。，ZEOC=/BOP,

：.ZE=ZPBTf

•：NBPE=NTPC=9。。,

■:ZBPT=/EPC,

NPCE=NPTC=45。,

：.PT=PCt

在480r和4EPC中,

4PBT=4E

<ZBPT=ZEPC,

PT=PC

:•△BPT^XEPC(A4S),

，BT=EC,

■:HT工BC,

：./TCH=/THC=450,

：.CT=TH,

VTP1C/7,

:・PC=PH,

u

：HK-LABf

：.ZHKB=ZKBT=_LHTB=90°,

，四边形377/K是矩形，

:.HK=BT=EC,

VZAKH=90°fNKA"=45。，

:・AH=6KH=梃EC,

9：PA-PC=PA-PH=AH,

：.R\-PC=yf2EC；

(3)解：如图3中，过点/，作于3过点/作尸QJ_CO于。，FJLBC于J.

D

E

0

C

•:BC=CD=4,CE=ED=2,NBCE=90。,

22

・•・BE=VEC+BC=VF+47=2忖

・・・ABPE是等腰直角三角形，PLLBE,

:・BL=EL=下,

:.PL=；BE=下,

:尸C平分NBCE,FQLCD,FJLBC,

J.FQ^FJ,

S*CFBFL.BC-FJ2

2

:.EF=LBE=",

33

：.FL=LE-EF=小-亚=逝，

33

:"F=〃尸+尸寸=娉甘+（肉2=半.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定

理的应用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

15.（2021•福州华伦中学八年级期中）已知：在矩形A5a＞中，AB=6,AD=4.

（1）如图1,E、尸、G、”分别是AQ,AB,BC,CO的中点、求证：四边形EFGH

是菱形；

（2）如图2,若菱形EFGH的三个顶点E、F、”分别在AD,AB,C。上，DE=\AD.

①连接3G,若BG=小,求AF的长；

②设Af=〃z,AG尸B的面积为S,且S满足函数关系式S=3-g/n.在自变量机的取

值范围内，是否存在如使菱形EPGH面积最大？若存在,请直接写出菱形EfG”面

积最大值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）①，②存在相=2",菱形EFGH面积最大为18+2万

【分析】

（1）连接AC,BD,由E、F、G、H分别是AO,AB,BC,的中点可得，

EF=GH=、BD,EH=FG=-AC,又AC=83,得EF=GH=EH=FG,即结论得证；

22

(2)①过点G作G/_LAB延长线于/,根据A4s证尾//痣,。//,得出G/=OE=1,根

据勾股定理求出8/,^AF=x,则8尸=6—x,再利用勾股定理求出x即可；

②延长/G交OC延长线于M,由①知AG/FMAEZ归，同理可证AAEFWAMG”，则菱形

的面积=矩形4DWZ的面积-AG/F的面积-AEDW的面积-MEF的面积-AMG”的面积，

得出关于机的关系式即可得出机最大时菱形面积最大，当〃与C重合时〃，有最大值，

求出此时的“，值即可.

【详解】

图1

•.•E、F、G,//分别是AO,AB,BC,CZ)的中点,

:.EF=GH=-BD,EH=FG=-AC,